f[t_]=t^2

curve=Plot[f[t],{t,-1,1},AspectRatio->Automatic]

df[t_]=D[f[t],t]

NormalLine[t_]:=ParametricPlot[{t-df[t]*s,f[t]+s},{s,0,2}]

Show[curve,NormalLine[0.45],NormalLine[0.37],NormalLine[0.33],NormalLine[0.31],NormalLine[0.3]]

g[t_]={g1[t],g2[t]}

dg[t_]=D[g[t],t]

roz=Solve[Dot[dg[t],{x,y}-g[t]]==0&&Dot[dg[s],{x,y}-g[s]]==0,{x,y}]

G1[s_,t_]=roz[[1,1,2]]

G1[s,s]

FullSimplify[-g1[t] g1'[t] g2'[s]+g1[s] g1'[s] g2'[t]+g2[s] g2'[s] g2'[t]-g2[t] g2'[s] g2'[t]/.{t->s}]

FullSimplify[g1'[t] g2'[s]-g1'[s] g2'[t]/.{t->s}]

G2[s_,t_]=roz[[1,2,2]]

G2[s,s]

FullSimplify[g1[s] g1'[s] g1'[t]-g1[t] g1'[s] g1'[t]+g2[s] g1'[t] g2'[s]-g2[t] g1'[s] g2'[t]/.{t->s}]

FullSimplify[-g1'[t] g2'[s]+g1'[s] g2'[t]/.{t->s}]

H1[s_,t_]=-((D[-g1[t] g1'[t] g2'[s]+g1[s] g1'[s] g2'[t]+g2[s] g2'[s] g2'[t]-g2[t] g2'[s] g2'[t],t])/(D[g1'[t] g2'[s]-g1'[s] g2'[t],t]))

xCenterOfCurvature[s_]=FullSimplify[H1[s,s]]

H2[s_,t_]=-((D[g1[s] g1'[s] g1'[t]-g1[t] g1'[s] g1'[t]+g2[s] g1'[t] g2'[s]-g2[t] g1'[s] g2'[t],t])/(D[-g1'[t] g2'[s]+g1'[s] g2'[t],t]))

yCenterOfCurvature[s_]=FullSimplify[H2[s,s]]

RadiusOfCurvatureSquare[s_]=FullSimplify[Dot[g[s]-{xx[s],yy[s]},g[s]-{xx[s],yy[s]}]]

CurvatureSquare[s_]=1/RadiusOfCurvatureSquare[s]