Równania autonomiczne

Wojciech Domitrz
MiNI PW
Równanie różniczkowe zwyczajne
CSZ PW

Równanie autonomiczne to równanie, którego prawa strona nie zależy jawnie od zmienej niezależnej 
                                                                    y'=f(y). 
Każde równanie y'=g(x,y) można sprowadzić do równania autonomicznego wprowadzając nową zmienną zależną s=x . Wtedy z=(s,y), f(z)=f(s,y)=(1,g(s,y)) oraz z'=f(z).

f[x_,y_]={y,-x}

vfpSmall=VectorPlot[f[x,y],{x,-8,8},{y,-8,8},Axes-> Automatic,VectorStyle->Arrowheads[0.01]]

gsol=DSolve[{x'[t]==y[t],y'[t]==-x[t]},{x[t],y[t]},t];

{gsol[[1,1,2]],gsol[[1,2,2]]};
sol=Table[{gsol[[1,1,2]],gsol[[1,2,2]]}/.{C[1]->i,C[2]-> i},{i,.5,6,0.25}];

graphsol=ParametricPlot[Evaluate[sol],{t,-Pi,Pi},PlotRange->{{-8,8},{-8,8}}];

Show[vfpSmall,graphsol]

stramSmall=StreamPlot[f[x,y],{x,-8,8},{y,-8,8},Axes-> Automatic,VectorStyle->Arrowheads[0.01]]

g[x_,y_]={y,-Sin[x]};

vfp=VectorPlot[g[x,y],{x,-4,4},{y,-4,4},Axes-> Automatic,VectorStyle->Arrowheads[0.01]]

vfp=StreamPlot[g[x,y],{x,-4,4},{y,-4,4},Axes-> Automatic,VectorStyle->Arrowheads[0.01]]