Punkty krytyczne układów na płaszczyźnie

Wojciech Domitrz
Równania Różniczkowe Zwyczajne

Jeśli funkcja F(t,p) jest rozwiązaniem następującego zagadnienia początkowego ({{{, ({{(d/(dt))x, =f(x)}, {x(0), =p}})}}) to spełnia następujące warunki
1. F(0,p)=p
2. F(t,p) jest ciągła
3.F(t+s,p)=F(t,F(s,p))

Potokiem nazywamy parę (M,(g^t)), gdzie M jest przestrzenią fazową równiania (przestrzeń x), a (g^t):M→M rodziną dyfeomorfizmów dla tϵR, spełniającą warunek: (g^(t+s))=(g^t)(g^s).

Stąd (g^0)=(Subscript[Id, M]) oraz ((g^t))-1=(g^(-t)). (M,F(t,·)), gdzie F(t,·):M→M, jest potokiem.

Trajektorią albo orbitą punktu p w potoku (M,(g^t)) nazywamy zbiór
{(g^t)p:tϵR}.
Punkt p taki, że f(p)=0 nazywamy punktem krytycznym albo osobliwym potoku (M,F(t,·)). Orbita punktu krytycznego p to {p}.

Twierdzenie. Przez każdy punkt przestrzeni fazowej M przechodzi dokładnie jedna orbita potoku (M,F(t,·)).

Twierdzenie. Jeżeli fϵC1to orbity potoku (M,F(t,·)) dzielą się na trzy kategorie: 
orbity otwarte (dyfeomorficzne z prostą),
orbity zamknięte,
punkty krytyczne.

({{{, ({{(d/(dt))(Subscript[x, 1]), =-(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 1])(1-((Subscript[x, 1])^2)-((Subscript[x, 2])^2))}, {(d/(dt))(Subscript[x, 2]), =    (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])(1-((Subscript[x, 1])^2)-((Subscript[x, 2])^2))}})}})
we współrzędnych biegunowych
({{{, ({{(d/(dt))r, =r(1-(r^2))}, {(d/(dt))u, =1}})}})

sp=StreamPlot[{-x2+x1(1-x1^2-x2^2),x1+x2(1-x1^2-x2^2)},{x1,-2,2},{x2,-2,2}];

ok=ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},PlotStyle->{Red}];
par[r0_,t_]:={r0*Exp[t]/(Sqrt[r0^2Exp[2t]-r0^2+1])*Cos[t],r0*Exp[t]/(Sqrt[r0^2Exp[2t]-r0^2+1])*Sin[t]};

zw[r0_]:=ParametricPlot[par[r0,t],{t,0,2Pi},PlotStyle->{Green}];
ww[r0_]:=ParametricPlot[par[r0,t],{t,0,2Pi},PlotStyle->{Magenta}];

Show[sp,zw[.1],ww[2],ok]

(d/(dt))x(t)=A·x(t),gdzieA=(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})),x=(({{(Subscript[x, 1])}, {(Subscript[x, 2])}}))

x=0 to punkt krytyczny układu

p(r)=det(A-r·(Subscript[I, 2]))=(r^2)-tr(A)·r+det(A) to wielomian charakterystyczny macierzy A

Wartości własne A czyli pierwiastki wielomianu p(r) to 
(Subscript[r, 1])=(1/2)(tr(A)+(Sqrt[Δ])), (Subscript[r, 2])=(1/2)(tr(A)-(Sqrt[Δ])), gdzie Δ=(tr(A))2-4det(A)
Zał, że det(A)≠0 (układ prosty)

Przypadek Δ>0

Wtedy (Subscript[r, 1])≠(Subscript[r, 2]) i macierz A ma dwa liniowo niezależne wektory własne tworzące bazę płaszczyzny. W tej bazie macierz 
A przyjmuje postać A=(({{(Subscript[r, 1]), 0}, {0, (Subscript[r, 2])}}))
Układ ma postać ({{{, ({{(d/(dt))(Subscript[x, 1]), =(Subscript[r, 1])(Subscript[x, 1])}, {(d/(dt))(Subscript[x, 2]), =(Subscript[r, 2])(Subscript[x, 2])}})}})
Jego rozwiązania to (Subscript[x, 1])(t)=(Subscript[c, 1])·(e^((Subscript[r, 1])·t)), (Subscript[x, 2])(t)=(Subscript[c, 2])·(e^((Subscript[r, 2])·t))

(Subscript[r, 1])<(Subscript[r, 2])<0 to x=0 to węzeł stabilny

A={{-2,0},{0,-1}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

(Subscript[r, 2])<(Subscript[r, 1])<0 to x=0 to węzeł stabilny również

A={{-1,0},{0,-2}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

(Subscript[r, 2])>(Subscript[r, 1])>0 oraz (Subscript[r, 1])>(Subscript[r, 2])>0 to x=0 to węzeł niestabilny

A={{1,0},{0,2}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

(Subscript[r, 1])<0<(Subscript[r, 2]) to x=0 to siodło

A={{-1,0},{0,2}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

Przypadek Δ=0

Wtedy wielomian p(r) ma podwójny pierwiastek (Subscript[r, 0]).
Jeśli warości własnej (Subscript[r, 0]) macierzy A odpowiadają  dwa liniowo niezależne wektory własne tworzące bazę płaszczyzny to w tej bazie macierz A przyjmuje postać A=(({{(Subscript[r, 0]), 0}, {0, (Subscript[r, 0])}}))
Układ ma postać ({{{, ({{(d/(dt))(Subscript[x, 1]), =(Subscript[r, 0])(Subscript[x, 1])}, {(d/(dt))(Subscript[x, 2]), =(Subscript[r, 0])(Subscript[x, 2])}})}})
Jego rozwiązania to (Subscript[x, 1])(t)=(Subscript[c, 1])·(e^((Subscript[r, 0])·t)), (Subscript[x, 2])(t)=(Subscript[c, 2])·(e^((Subscript[r, 0])·t)) 
Punkt x=0 nazywa się węzłem gwiąździstym.

(Subscript[r, 0])<0 to x=0 to węzeł gwiażdzisty stabilny

A={{-1,0},{0,-1}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

(Subscript[r, 0])<0 to x=0 to węzeł gwiażdzisty niestabilny

A={{2,0},{0,2}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

Wielomian p(r) ma podwójny pierwiastek (Subscript[r, 0]).
Jeśli warości własnej (Subscript[r, 0]) macierzy A odpowiada tylko jeden wektor własny to macierz A przyjmuje nstępującą postać kanoniczną Jordana A=(({{(Subscript[r, 0]), 0}, {1, (Subscript[r, 0])}}))
Układ ma postać ({{{, ({{(d/(dt))(Subscript[x, 1]), =(Subscript[r, 0])(Subscript[x, 1])}, {(d/(dt))(Subscript[x, 2]), =(Subscript[x, 1])+(Subscript[r, 0])(Subscript[x, 2])}})}})
Jego rozwiązania to (Subscript[x, 1])(t)=(Subscript[c, 1])·(e^((Subscript[r, 0])·t)), (Subscript[x, 2])(t)=((Subscript[c, 2])+(Subscript[c, 1])t)·(e^((Subscript[r, 0])·t)) 
Punkt x=0 nazywa się węzłem zdegenerowanym.

(Subscript[r, 0])<0 to x=0 to węzeł zdegenerowany stabilny

A={{-.5,0},{1,-.5}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

(Subscript[r, 0])<0 to x=0 to węzeł zdegenerowany niestabilny

A={{.4,0},{1,.4}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

Przypadek Δ < 0

Wtedy wielomian p(r) ma sprzężone pierwiastki zespolone  (Subscript[z, 0 ]),(Subscript[(OverBar[(Subscript[z, 0 ])]),  ])
Macierz A przyjmuje postać kanoniczną A=(({{a, -b}, {b, a}})), b>0.
Układ ma postać ({{{, ({{(d/(dt))(Subscript[x, 1]), =(Subscript[ax, 1])-(Subscript[bx, 2])}, {(d/(dt))(Subscript[x, 2]), =(Subscript[bx, 1]) +(Subscript[ax, 2])}})}})
We współrzędnych biegunowych 
(Subscript[x, 1])=r·cos u, (Subscript[x, 2])=r ·sin u  układ ma postać({{{, ({{(d/(dt))r, =ar}, {(d/(dt))u, =b}})}})
Rozwiązanie więc ma postać r=(Subscript[r, 0 ])·(e^(a·t))(Subscript[,,  ])u=(Subscript[u, 0 ])+b t  czyli
(Subscript[x, 1])=(Subscript[r, 0 ])·(e^(a·t))·cos ((Subscript[u, 0 ])+b t), (Subscript[x, 2])=(Subscript[r, 0 ])·(e^(a·t))·sin ((Subscript[u, 0 ])+b t).

a<0 to x=0 to ognisko stabilne

A={{-2,-5},{5,-2}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

a>0 to x=0 to ognisko niestabilne

A={{1,-2},{2,1}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

a=0 to x=0 to środek

A={{0,-2},{2,0}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

Przypadek det(A)=0 (układ nie jest prosty) rank(A)=1 i Δ>0

Wtedy (Subscript[r, 1])≠(Subscript[r, 2])=0 i macierz A ma dwa liniowo niezależne wektory własne tworzące bazę płaszczyzny. W tej bazie macierz 
A przyjmuje postać A=(({{(Subscript[r, 1]), 0}, {0, 0}}))
Układ ma postać ({{{, ({{(d/(dt))(Subscript[x, 1]), =(Subscript[r, 1])(Subscript[x, 1])}, {(d/(dt))(Subscript[x, 2]), =0}})}})
Jego rozwiązania to (Subscript[x, 1])(t)=(Subscript[c, 1])·(e^((Subscript[r, 1])·t)), (Subscript[x, 2])(t)=(Subscript[c, 2])

Przypadek det(A)=0 (układ nie jest prosty) rank(A)=1, Δ>0, (Subscript[r, 1])>0.

A={{1,0},{0,0}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

Przypadek det(A)=0 (układ nie jest prosty) rank(A)=1, Δ>0, (Subscript[r, 1])<0.

A={{-2,0},{0,0}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

Przypadek det(A)=0 (układ nie jest prosty) rank(A)=1, Δ=0, (Subscript[r, 1])=(Subscript[r, 2])=0.

A={{0,0},{1,0}};

StreamPlot[A.{x1,x2},{x1,-1,1},{x2,-1,1}]

Podsumowanie. 
Na płaszczyźnie mamy 3 różne przypadki portretów fazowych:
1.  (Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2])ϵ R(Subscript[r, 1])≠(Subscript[r, 2]). Stąd mamy 2 liniowo niezależne wektory własne. Układ separuje się na 2 układy jednowymiarowe.

2. Ma sprzężone pierwiastki zespolone  (Subscript[z, 0 ]),(OverBar[(Subscript[z, 0 ])]). We współrzędnych biegunowych układ separuje się na 2 układy jednowymiarowe.

3. Pierwiatek podwójny rzeczywisty. Zał., że odpowiada mu tylko jeden wektor własny. Układ się nie separuje. Przestrzenią niezmienniczą jest cała płaszczyzna.