PRZYKLADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

W razie niejasnosci prosze o kontakt mailowy: zajac(at)mini.pw.edu.pl

1. Dany jest zbior {2,3,4,8,12,16,18} z relacja podzielnosci. Wyznaczyc (o ile istnieja) 
elementy najmniejsze, najwieksze, minimalne i maksymalne. 
Obliczyc (jesli istnieja) kresy inf(8,12), inf(12,18) i sup(3,8).

2. a) Wyznaczyc grupe izometrii szesciokata o wierzcholkach (0,1),(1,0),(2,0),(3,2),(2,3),(0,2) 
i narysowac jej tabelke.
b) jw. dla szesciokata o wierzcholkach (0,1),(1,0),(3,0),(3,2),(2,3),(0,3)
c) jw. dla szesciokata o wierzcholkach (0,1),(1,0),(2,0),(3,2),(2,3),(1,3)

3. Rozwazmy permutacje p=(1 5 8 4)(2 7 5) oraz q=(1 4)(2 5)(3 7). 
Wyznaczyc (p o q)^11, (q o p)^11. (o oznacza skladanie permutacji)

4. Rozwazmy nastepujace dzialanie: x*y= ostatnia cyfra liczby xy+x+y.
a) Czy ({0,2,4,6,8},*) jest grupa?
Jesli tak, to wyznaczyc wszystkie jej podgrupy.
b) Czy ({0,2,6,8},*) jest grupa?
Jesli tak, to wyznaczyc wszystkie jej podgrupy.

(Zadania typu 5-7 obejmie drugie kolokwium)

5. Ile istnieje rozwiazan rownania x+y+z+w=12, w liczbach:
a) calkowitych dodatnich?
b) calkowitych nieujemnych?
c) dodatnich parzystych?
d) dodatnich nieparzystych?

6. Rozwiazac dwiema metodami (przewidywan i funkcji tworzacych) rownania:
a) a(n+2)=2a(n)+a(n+1)+n+2^n, a(0)=1, a(1)=2
b) a(n+2)=2a(n)-a(n+1)+n+2^n, a(0)=2, a(1)=1

7. a) Ile istnieje drzew o 8 wierzcholkach, w ktorych wierzcholek o numerze 1 
ma stopien 3, a wierzcholki o numerach 2 i 3 maja stopien 2?
b) Jaka wlasnosc ma kod Prufera takiego drzewa?
c) Narysowac przykladowe takie drzewo i wyznaczyc jego kod Prufera.

(ponizsze zagadnienia zostana omowione na ostatnim wykladzie)

8. a) Wyznaczyc d=NWD(2499,5166). Znalezc mozliwie niewielkie liczby calkowite x i y,
dla ktorych 2499x+5166y=d.
b) jw. dla liczb 3627 i 871.

9. a) Znalezc NWD(x^3-x^2-x+1,x^3-3x+2)
b) Znalezc NWD(x^3+x^2-x-1,x^3-3x+2)