Grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej
W przeciwieństwie do sytuacji na płaszczyźnie, istnieje tylko 5
wielościanów foremnych w przestrzeni trójwymiarowej. Są to tzw.
bryły platońskie:
czworościan foremny (tetraedr)
sześcian (heksaedr)
ośmiościan (oktaedr)
| dwunastościan (dodekaedr), którego ścianami są pięciokąty foremne
|
| dwudziestościan (ikosaedr), ograniczony przez 20 trójkątów foremnych.
|
Analogicznie jak dla wielokątów, dla każdej bryły foremnej możemy
utworzyć grupę złożoną z obrotów właściwych, które przekształcają
bryłę na nią samą. W ten sposób uzyskujemy jednak nie pięć, a
tylko trzy różne grupy obrotów. Dla ośmiościanu i sześcianu a
także dla dwunastościanu i dwudziestościanu otrzymane grupy są
jednakowe. Łatwo to wytłumaczyć. Jeśli połączymy odcinkami środki
sąsiednich ścian sześcianu, otrzymamy ośmiościan wpisany w
sześcian. Każdy obrót przeprowadzający sześcian na siebie
przeprowadza również ośmiościan na siebie i na odwrót. Analogiczny
fakt ma miejsce dla pary dwunastościan - dwudziestościan.
Obroty czworościanu
|
Grupa obrotów właściwych czworościanu składa się z 12 elementów i
zawiera oprócz jedności grupy: 4 obroty o , 4 obroty o
i 3 obroty o . Natomiast grupa obrotów
właściwych sześcianu składa się z 24 elementów a dwunastościanu z
60 obrotów.
|
|
|
Inne rodzaje grup obrotów właściwych w przestrzeni uzyskujemy
bezpośrednio z obrotów na płaszczyźnie.
Obrót niewłaściwy
|
Przykładem obrotu niewłaściwego w przestrzeni jest odbicie
względem punktu , które przekształca punkty w ich antypody
. (Aby znaleźć punkt , łączymy z i przedłużamy
odcinek o jego długość.)
|
|
|
Pełna (nieskończona) lista wszystkich skończonych grup obrotów
(właściwych i niewłaściwych) w przestrzeni obejmuje 14 typów grup.
[ Początek strony ]
[ MiNIWykłady ]
Wszystkie prawa zastrzeżone © 2000 Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej