Jakie jest pole powierzchni dywanu Sierpińskiego?
- Długość boku kwadratu
wynosi np. 1. W pierwszym kroku usuwamy 1 kwadrat o długości boku
, zatem jego pole jest równe
.
- W drugim kroku usuwamy
kwadratów o długości boku
. Pole powierzchni każdego z nich jest równe
. Suma pól powierzchni kwadratów usuniętych w drugim kroku wynosi
.
- W
kroku usuwamy
kwadratów o długości boku
. Zatem ich łączne pole wynosi
.
- Po
krokach suma pól usuniętych kwadratów jest równa
![]()
![]()
![]()
Ciąg geometryczny
Ciąg liczbowy jest ciągiem geometrycznym, jeżeli każdy wyraz ciągu (oprócz pierwszego!) jest iloczynem poprzedniego wyrazu przez ustaloną liczbę
. Liczba
nazywana jest ilorazem ciągu geometrycznego.
Suma skończenie wielu wyrazów ciągu geometrycznego:
![]()
- Przypomnijmy, że dywan Sierpińskiego otrzymamy po nieskończenie wielu krokach - czyli po usunięciu nieskończenie wielu kwadratów. Suma pól powierzchni wszystkich usuniętych kwadratów wynosi
![]()
Jeżeli to
![]()
- Aby policzyć pole powierzchni dywanu Sierpińskiego należy od pola powierzchni kwadratu
odjąć sumę pól powierzchni wszystkich usuniętych kwadratów - czyli
Zatem pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest równe 0.
[ Początek strony ] [ MiNIWyklady ]
Wszystkie prawa zastrzeżone © 2000 Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej