Jakie jest pole płatka śniegu ?

Przyjmijmy znów, że bok trójkąta od którego zaczynamy konstrukcję płatka ma długość równą 1, czyli pole trójkąta jest równe $ \frac{\sqrt{3}}{4}$. W pierwszym kroku dorzucamy trzy trójkąty równoboczne o długości boku $ \frac{1}{3}$. Każdy z dorzuconych trójkątów ma więc pole dziewięciokrotnie mniejsze niż początkowy trójkąt; a więc do poprzedniego pola należy dorzucić

$\displaystyle 3 \cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}.$

Przypomnijmy, że gwiazdka ma teraz $ 3\cdot 4$ boki. Popatrzmy na to, co dzieje się w następnym kroku. Każdy bok 'rodzi' mniejszy trójkącik. Boki trójkątów maleją trzykrotnie, a więc ich pola maleją dziewięciokrotnie. Do pola obliczonego przed chwilą trzeba dorzucić pola 12 nowych trójkącików, czyli

$\displaystyle 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4},$

a boków mamy teraz $ 3 \cdot 4^2$. I co dalej? Znów z każdego takiego boku powstanie trójkącik o polu dziewięć razy mniejszym niż poprzednio i trzeba dorzucić

$\displaystyle 3 \cdot 4^2\cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}.$

Możemy już spróbować odgadnąć regułę dorzucania pól. Trzeba poprzedni wynik mnożyć przez 4, bo tyle razy rośnie liczba boków, i dzielić przez 9, bo tyle razy maleje pole trójkąta. Krótko mówiąc, poprzedni wynik mnożymy przez $ \frac{4}{9}$. Otrzymaliśmy więc, że kolejno dorzucane pola tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym $ \frac{4}{9}$. Iloraz tego ciągu jest liczbą dodatnią, mniejszą od 1, a więc istnieje suma nieskończenie wielu wyrazów tego ciągu geometrycznego.



Ciąg liczbowy $ a_1, a_2,...$ jest ciągiem geometrycznym, jeżeli każdy wyraz ciągu (oprócz pierwszego!) jest iloczynem poprzedniego wyrazu przez ustaloną liczbę $ q$. Liczba $ q$ nazywana jest ilorazem ciągu geometrycznego
Pole pierwszego trójkąta nie pasuje do tej reguły. To nic nie szkodzi. Zaczniemy sumowanie od wyrazu $ 3 \cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ i to będzie u nas $ a_1$. Tak więc

$\displaystyle a_1+a_2+...... \frac{ 3 \cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{4}{9}}= 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{20}.$




Suma nieskończenie wielu wyrazów ciągu geometrycznego
Jeżeli $ \vert q\vert$, to $ a_1+a_2+.....=\frac{a_1}{1-q}$
Na koniec dorzućmy pole wyjściowego trójkąta, które pominęliśmy w sumowaniu, a otrzymamy

$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{20} +\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2\sqrt{3}}{5}.$

Ta końcowa liczba to pole płatka śniegu.


[ Początek strony ] [ MiNIWyklady ]

Wszystkie prawa zastrzeżone © 2000 Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej