%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0
\documentclass{article}%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=4.00.0.2312}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}
%TCIDATA{Created=Fri Nov 23 14:04:04 2007}
%TCIDATA{LastRevised=Saturday, November 24, 2007 07:48:34}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="General\Blank Document">}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\begin{document}

\begin{center}
Pusta strona\newpage
\end{center}

\section{Dystrybucje, wiadomo\'{s}ci wst\k{e}pne}

Wielko\'{s}ci fizyczne opisujemy najcz\k{e}\'{s}ciej przyporz\k{a}dkowuj\k{a}c
im funkcje (np. zale\.{z}ne od czasu). Inn\k{a} drog\k{a} opisu tych
wielko\'{s}ci jest przyporz\k{a}dkowanie im funkcjona\l \'{o}w okre\'{s}lonych
na odpowiednich przestrzeniach funkcyjnych rzeczywistych lub zespolonych.
Funkcjona\l y takie nazywamy dystrybucjami. Dystrybucje mog\k{a} by\'{c}
okre\'{s}lone na r\'{o}\.{z}nych przestrzeniach funkcyjnych. Zmieniaj\k{a}c
odpowiedni\k{a} przestrze\'{n} funkcyjn\k{a} zmieniamy klas\k{e} dystrybucji.

Poni\.{z}ej przypomnimy podstawowe poj\k{e}cia dotycz\k{a}ce dystrybucji.

\section{Przestrze\'{n} funkcji pr\'{o}bnych $D$, przestrze\'{n} $D^{\prime}
$}

\noindent\textbf{Definicja}

$D$ (zbi\'{o}r funkcji pr\'{o}bnych) $=C_{0}^{\infty}\left(  R\right)  $ lub
$C_{0}^{\infty}\left(  R^{n}\right)  $.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Oznacza to, \.{z}e $\varphi\in D\Leftrightarrow\varphi\in C^{\infty}$ oraz
$\operatorname*{supp}\varphi=\overline{\left\{  x:\varphi\left(  x\right)
\neq0\right\}  }$ (no\'{s}nik funkcji) jest zwarty ($\varphi$ mo\.{z}e by\'{c}
funkcj\k{a} o warto\'{s}ciach rzeczywistych lub zespolonych).

W przestrzeni funkcji pr\'{o}bnych definiujemy zbie\.{z}no\'{s}\'{c} ci\k{a}gu
funkcyjnego w spos\'{o}b nast\k{e}puj\k{a}cy.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

$\varphi_{n}\rightarrow\varphi$ w $D\Leftrightarrow\forall k\in N$
$\ \varphi_{n}^{\left(  k\right)  }\rightrightarrows\varphi^{\left(  k\right)
}$ oraz no\'{s}niki $\operatorname*{supp}\varphi_{n}$ s\k{a} wsp\'{o}lnie
ograniczone.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}%

%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{3in}{0.7187in}{0in}{}{}{Plot}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "MAPLEPLOT";  width 3in;
%height 0.7187in;  depth 0in;  display "USEDEF";  plot_snapshots TRUE;
%mustRecompute FALSE;  lastEngine "MuPAD";  xmin "-1";  xmax "10";
%xviewmin "-1";  xviewmax "10";  yviewmin "-0.020000";  yviewmax "1.020386";
%plottype 4;  plotticks 1;  plottickdisable TRUE;  numpoints 49;
%plotstyle "patch";  axesstyle "normal";  xis \TEXUX{x};
%var1name \TEXUX{$x$};
%function \TEXUX{$e^{-\left( x-2\right) ^{2}},e^{-\left( x-4\right) ^{2}},e^{-\left( x-6\right) ^{2}},e^{-\left( x-8\right) ^{2}}$};
%linecolor "black";  linestyle 1;  pointstyle "point";  linethickness 1;
%lineAttributes "Solid";  var1range "-1,10";  num-x-gridlines 49;
%curveColor "[flat::RGB:0000000000]";  curveStyle "Line";  rangeset "X";
%valid_file "T";  tempfilename 'JS001T00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
natheight=0.718700in,
natwidth=3.000000in,
height=0.7187in,
width=3in
]%
{JS001T00.wmf}%
}%
%EndExpansion
to jest kontrprzyk\l ad na zbie\.{z}no\'{s}\'{c} (brak wsp\'{o}lnej
ograniczono\'{s}ci no\'{s}nik\'{o}w).\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie}

Ka\.{z}da funkcja ci\k{a}g\l a o no\'{s}niku ograniczonym mo\.{z}e by\'{c}
jednostajnie przybli\.{z}ona przez funkcje z przestrzeni $D$. (patrz zadanie
1, str. \pageref{zad1}) \hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

Przestrzeni\k{a} dystrybucji $D^{\prime}$ nazywamy przestrze\'{n}
funkcjona\l \'{o}w liniowych i ci\k{a}g\l ych na $D$ (ci\k{a}g\l o\'{s}\'{c}
wzgl\k{e}dem zbie\.{z}no\'{s}ci okre\'{s}lonej w poprzedniej definicji).\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

W przestrzeni $D^{\prime}$ okre\'{s}lamy zbie\.{z}no\'{s}\'{c} jak
nast\k{e}puje. Niech $T_{n}$, $T\in D^{\prime}$ (oznaczamy r\'{o}wnowa\.{z}nie
$T\left(  \varphi\right)  =\left\langle T|\varphi\right\rangle $%
).\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

$T_{n}\rightarrow T$ w $D^{\prime}\Leftrightarrow\forall\varphi\in D$
$\Rightarrow T_{n}\left(  \varphi\right)  \rightarrow T\left(  \varphi\right)
$\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie}

Przestrze\'{n} $D^{\prime}$ jest domkni\k{e}ta ze wzgl\k{e}du na
zbie\.{z}no\'{s}\'{c} (tzn. granica funkcjona\l u li-niowego i ci\k{a}g\l ego
jest funkcjona\l em liniowym i ci\k{a}g\l ym).\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Spo\'{s}r\'{o}d wszystkich dystrybucji szczeg\'{o}lnie wyr\'{o}\.{z}niamy tzw.
dystrybucje regularne. S\k{a} to dystrybucje wyznaczone przez funkcje lokalnie
ca\l kowalne. Niech $f$ b\k{e}dzie funkcj\k{a} lokalnie ca\l kowaln\k{a} na
$R$.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

Dystrybucj\k{a} regularn\k{a} wyznaczon\k{a} przez lokalnie ca\l kowaln\k{a}
funkcj\k{e} $f$ nazywamy dystrybucj\k{e} okre\'{s}lon\k{a} wzorem
\[
\left\langle f|\varphi\right\rangle =%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  dt
\]
dla $\varphi\in D$.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Poprawno\'{s}\'{c} tej definicji (ci\k{a}g\l o\'{s}\'{c} funkcjona\l u) wynika
z oszacowania
\[
\left|  \left\langle f|\varphi\right\rangle -\left\langle f|\varphi
_{n}\right\rangle \right|  \leq%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left|  f\left(  t\right)  \right|  \left|  \varphi\left(  t\right)
-\varphi_{n}\left(  t\right)  \right|  dt=%
%TCIMACRO{\dint \limits_{K}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{K}}
%EndExpansion
\left|  f\left(  t\right)  \right|  \left|  \varphi\left(  t\right)
-\varphi_{n}\left(  t\right)  \right|  dt\leq M_{K}\cdot\varepsilon
\]
gdzie $K$ jest zbiorem zwartym, w kt\'{o}rym zawarte s\k{a} no\'{s}niki
wszystkich funkcji $\varphi_{n}$, $\varphi$.

Wiele w\l asno\'{s}ci dystrybucji i poj\k{e}\'{c} z nimi zwi\k{a}zanych
wprowadza si\k{e} w ten spos\'{o}b, by by\l y one uog\'{o}lnieniem w\l \
asno\'{s}ci dystrybucji regularnych. Dotyczy to przede wszystkim
r\'{o}\.{z}niczkowania dystrybucji, poj\k{e}cia r\'{o}wno\'{s}ci dystrybucji
na zbiorze otwartym (mimo, \.{z}e dystrybucja nie jest funkcj\k{a}
maj\k{a}c\k{a} okre\'{s}lon\k{a} warto\'{s}\'{c} w ka\.{z}dym punkcie) oraz
poj\k{e}cia no\'{s}nika dystrybucji.

Rozwa\.{z}my na pocz\k{a}tek funcj\k{e} lokalnie ca\l kowaln\k{a} $f$,
kt\'{o}rej pochodna $f^{\prime}$ jest tak\.{z}e funkcj\k{a} lokalnie ca\l \
kowaln\k{a}. Niech $\varphi\in D$ b\k{e}dzie taka, \.{z}e
$\operatorname*{supp}\varphi\subset K=\left\langle a,b\right\rangle $ -
zwarty. W\'{o}wczas ze wzoru na ca\l kowanie przez cz\k{e}\'{s}ci otrzymujemy
\[%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
f^{\prime}\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  dt=%
%TCIMACRO{\dint \limits_{a-1}^{b+1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{a-1}^{b+1}}
%EndExpansion
f^{\prime}\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  dt=\underset
{0}{\underbrace{\left.  f\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  \right|
_{a-1}^{b+1}}}-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{a-1}^{b+1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{a-1}^{b+1}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  \varphi^{\prime}\left(  t\right)  dt=-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  \varphi^{\prime}\left(  t\right)  dt
\]
co pozwala przyj\k{a}\'{c} nast\k{e}puj\k{a}c\k{a} definicj\k{e}
r\'{o}\.{z}niczkowania w przestrzeni $D^{\prime}$.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

Pochodn\k{a} dystrybucji $T\in D^{\prime}$ nazywamy dystrybucj\k{e}
$T^{\prime}=DT$ okre\'{s}lon\k{a} wzorem
\[
\left\langle T^{\prime}|\varphi\right\rangle =-\left\langle T|\varphi^{\prime
}\right\rangle
\]
dla $\varphi\in D$ (w ten spos\'{o}b ka\.{z}da dystrybucja, a wi\k{e}c i
ka\.{z}da funkcja lokalnie ca\l kowalna ma pochodn\k{a}). Pochodn\k{a} t\k{a}
nazywamy pochodn\k{a} w sensie dystrybucyjnym.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion


W przypadku wielowymiarowym powy\.{z}sz\k{a} definicj\k{e} modyfikujemy do
wzoru
\[
\left\langle D^{\alpha}T|\varphi\right\rangle =\left(  -1\right)  ^{\left|
\alpha\right|  }\left\langle T|D^{a}\varphi\right\rangle
\]
gdzie $\alpha$ jest wielowska\'{z}nikiem $\alpha=\left(  \alpha_{1},\alpha
_{2},...,\alpha_{n}\right)  $, $\left|  \alpha\right|  =\alpha_{1}+\alpha
_{2}+...+\alpha_{n}$,\newline$D^{\alpha}\varphi=\frac{\partial^{\left|
\alpha\right|  }}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}...\partial x_{n}^{\alpha_{n}}%
}\varphi$.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

Dystrybucje $T_{1}$, $T_{2}\in D^{\prime}$ s\k{a} r\'{o}wne na zbiorze
otwartym $A\subset R$ $\Leftrightarrow$\newline$\Leftrightarrow\forall
\varphi\in D$ $\ \operatorname*{supp}\varphi\subset A\Rightarrow\left\langle
T_{1}|\varphi\right\rangle =\left\langle T_{2}|\varphi\right\rangle $.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

No\'{s}nikiem dystrybucji $T\in D^{\prime}$ nazywamy najmniejszy zbi\'{o}r
domkni\k{e}ty $F\subset R$ taki, \.{z}e $T=0$ na $F^{\prime}$ w sensie
poprzedniej defincji.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Spo\'{s}r\'{o}d wszystkich dystrybucji wyr\'{o}\.{z}niamy tzw. dystrybucje
sko\'{n}czonego rz\k{e}du b\k{e}d\k{a}ce pochodnymi dystrybucyjnymi funkcji
ci\k{a}g\l ych.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

Dystrybucj\k{e} $T\in D^{\prime}$ nazywamy dystrybucj\k{a} sko\'{n}czonego
rz\k{e}du $\Leftrightarrow$ gdy istnieje funkcja $h\left(  t\right)  $
ci\k{a}g\l a na $R$ oraz liczba naturalna $k$ taka, \.{z}e $T=D^{k}h$.
Najmniejsz\k{a} liczb\k{e} $k$ o tej w\l asno\'{s}ci nazywamy rz\k{e}dem
dystrybucji $T $.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie}

Ka\.{z}da dystrybucja $T\in D^{\prime}$ jest lokalnie dystrybucj\k{a}
sko\'{n}czonego rz\k{e}du tzn., \.{z}e dla ustalonego ograniczonego lecz
dowolnego przedzia\l u $\left(  a,b\right)  \subset R$ istnieje $h\in C\left(
a,b\right)  $, $k\geq0$ taka, \.{z}e $\forall\varphi\in D$
\ $\operatorname*{supp}\varphi\subset\left(  a,b\right)  $ zachodzi
\[
\left\langle T|\varphi\right\rangle =\left(  -1\right)  ^{k}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{a}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}
%EndExpansion
h\left(  t\right)  \varphi^{\left(  k\right)  }\left(  t\right)  dt=\left(
-1\right)  ^{k}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{R}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{R}}
%EndExpansion
h\left(  t\right)  \varphi^{\left(  k\right)  }\left(  t\right)
dt=\left\langle D^{k}h|\varphi\right\rangle
\]
(dla dystrybucji sko\'{n}czonego rz\k{e}du r\'{o}wno\'{s}\'{c} powy\.{z}sza
zachodzi dla wszystkich $\varphi\in D$ - bez \.{z}adnych dodatkowych
ogranicze\'{n} co do no\'{s}nika $\varphi$).\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\textbf{Przyk\l ady} (dystrybucji sko\'{n}czonego rz\k{e}du)

\begin{enumerate}
\item Niech $h\left(  t\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{rl}%
0 & \text{dla }t<0\\
t & \text{dla }t\geq0
\end{array}
\right.  $. W\'{o}wczas $Dh=1_{+}$, gdzie $1_{+}$ jest funkcj\k{a} skoku
jednostkowego (funkcj\k{a} Heavyside'a) okre\'{s}lon\k{a} jako $1_{+}\left(
t\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{rl}%
0 & \text{dla }t<0\\
1 & \text{dla }t\geq0
\end{array}
\right.  .$\newline Obliczaj\k{a}c z definicji pochodn\k{a} $Dh$ otrzymujemy
\begin{align*}
\left\langle Dh|\varphi\right\rangle  &  =-\left\langle h|\varphi^{\prime
}\right\rangle =-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
t\varphi^{\prime}\left(  t\right)  dt=\underset{0}{\underbrace{\left.
-t\varphi\left(  t\right)  \right|  _{0}^{+\infty}}}+%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\varphi\left(  t\right)  dt=\\
&  =%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
1_{+}\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  dt=\left\langle 1_{+}%
|\varphi\right\rangle \text{ \ \ a wi\k{e}c }Dh=1_{+}%
\end{align*}


\item Niech $\delta=D1_{+}=D^{2}h$. Obliczmy warto\'{s}\'{c} $\left\langle
\delta|\varphi\right\rangle $.
\[
\left\langle \delta|\varphi\right\rangle =\left\langle D1_{+}|\varphi
\right\rangle =-\left\langle 1_{+}|\varphi^{\prime}\right\rangle =-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\varphi^{\prime}\left(  t\right)  dt=\underset{0}{\underbrace{-\varphi\left(
\infty\right)  }}+\varphi\left(  0\right)  =\varphi\left(  0\right)
\]
Dystrybucja $\delta$ zwana jest tzw. delt\k{a} Diraca. Nie jest ona
dystrybucj\k{a} regularn\k{a}, poniewa\.{z} (udowodni\'{c} to w domu!) nie
istnieje funkcja lokalnie ca\l kowalna $f$ taka, \.{z}e $\forall\varphi\in D$
zachodzi $%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  dt=\varphi\left(  0\right)  $,
jest ona jednak\.{z}e dystrybucj\k{a} sko\'{n}-czonego rz\k{e}du, jej rz\k{a}d
r\'{o}wny jest $2$.

\item Dystrybucje $\delta^{\left(  n\right)  }=D^{n}\delta=D^{n+2}h$ s\k{a}
tak\.{z}e dystrybucjami sko\'{n}czonego ($n+2$ - go) rz\k{e}du.
Korzystaj\k{a}c z definicji obliczamy natychmiast, \.{z}e
\[
\left\langle \delta^{\left(  n\right)  }|\varphi\right\rangle =\left(
-1\right)  ^{n}\left\langle \delta|\varphi^{\left(  n\right)  }\right\rangle
=\left(  -1\right)  ^{n}\varphi^{\left(  n\right)  }\left(  0\right)
\]

\end{enumerate}

\noindent\textbf{Twierdzenie}

Niech $f$ b\k{e}dzie lokalnie ca\l kowalna na $R$. Niech $h\left(  t\right)  =%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\alpha}^{t}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{t}}
%EndExpansion
f\left(  \tau\right)  d\tau$. W\'{o}wczas $f=Dh$ (w sensie
dystrybucyjnym).\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Dow\'{o}d}

W teorii ca\l ki Lebesgue'a dowodzi si\k{e}, \.{z}e $h\left(  t\right)  $ jest
r\'{o}\.{z}niczkowalna prawie wsz\k{e}dzie i\thinspace prawie wsz\k{e}dzie
$h^{\prime}\left(  t\right)  =f\left(  t\right)  $. W takim razie mamy na mocy
wzoru na ca\l kowanie przez cz\k{e}\'{s}ci
\begin{align*}
\left\langle Dh|\varphi\right\rangle  &  =-\left\langle h|\varphi^{\prime
}\right\rangle =-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
h\left(  t\right)  \varphi^{\prime}\left(  t\right)  dt=\underset
{0}{\underbrace{\left.  -h\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  \right|
_{-\infty}^{+\infty}}}+%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  dt=\\
&  =\left\langle f|\varphi\right\rangle \text{ \ \ a wi\k{e}c }Dh=f\text{.}%
\end{align*}
Poniewa\.{z} $h$ jest ci\k{a}g\l a, wi\k{e}c $f$ jest sko\'{n}czonego
rz\k{e}du ($0$ - gdy $f$ ci\k{a}g\l a, $1$ - w przeciwnym razie).\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion


\section{Transformata Laplace'a dystrybucji - definicja}

Ze zbioru wszystkich dystrybucji sko\'{n}czonego rz\k{e}du wybieramy te,
kt\'{o}re s\k{a} pochodnymi dystrybucyjnymi funkcji ci\k{a}g\l ych $h\left(
t\right)  $ spe\l niaj\k{a}cych dwa dodatkowe warunki:

\begin{enumerate}
\item $h\left(  t\right)  =0$ dla $t<0$

\item $L\left\{  h\left(  t\right)  \right\}  $ istnieje i jest zbie\.{z}na
bezwzgl\k{e}dnie dla $\operatorname{Re}s>\sigma$.
\end{enumerate}

Zbi\'{o}r takich dystrybucji oznaczamy przez $D_{o}^{\prime}$.\newpage

\noindent\textbf{Definicja}

Dla dystrybucji $T=D^{k}h\in D_{0}^{\prime}$ definiujemy przekszta\l cenie
Laplace'a wzorem
\[
L\left\{  T\right\}  \left(  s\right)  =s^{k}L\left\{  h\left(  t\right)
\right\}  \left(  s\right)  =s^{k}H\left(  s\right)
\]
gdzie $H\left(  s\right)  =L\left\{  h\left(  t\right)  \right\}  \left(
s\right)  $.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie}

Je\'{s}li funkcja $f\left(  t\right)  $ posiada $L$ transformat\k{e} w sensie
klasycznym, to posiada r\'{o}wnie\.{z} transformat\k{e} w sensie
dystrybucyjnym i transformaty te s\k{a} r\'{o}wne.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Dow\'{o}d}

Niech $h\left(  t\right)  =%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{t}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{t}}
%EndExpansion
f\left(  \tau\right)  d\tau$ oraz niech $L\left\{  f\right\}  \left(
s\right)  =F\left(  s\right)  $ w sensie klasycznym. W\'{o}wczas $h$ spe\l nia
warunki 1 i 2 oraz $Dh=f$. Ponadto, zgodnie z tw. o transformacie ca\l ki w
sensie klasycznym $L\left\{  h\right\}  \left(  s\right)  =\frac{1}%
{s}L\left\{  f\right\}  \left(  s\right)  =\frac{1}{s}F\left(  s\right)  $.
Zatem z poprzedniej definicji wynika, \.{z}e wyznaczaj\k{a}c t\k{e}
transformat\k{e} w sensie dystrybucyjnym dostajemy
\[
L\left\{  f\right\}  \left(  s\right)  =L\left\{  Dh\right\}  =sH\left(
s\right)  =s\frac{1}{s}F\left(  s\right)  =F\left(  s\right)
\]
co ko\'{n}czy dow\'{o}d.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Przyk\l ady}

\begin{enumerate}
\item $T=\delta$. Poniewa\.{z} $\delta=D^{2}h\left(  t\right)  $, gdzie
$h\left(  t\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{rl}%
0 & \text{dla }t<0\\
t & \text{dla }t\geq0
\end{array}
\right.  $ spe\l nia 1 i 2, wi\k{e}c
\[
L\left\{  \delta\right\}  \left(  s\right)  =s^{2}L\left\{  h\left(  t\right)
\right\}  \left(  s\right)  =s^{2}\frac{1}{s^{2}}=1
\]
(funkcja sta\l a nie nale\.{z}a\l a do przestrzeni obraz\'{o}w klasycznej transformaty).

\item $T=\delta^{\left(  n\right)  }$. Poniewa\.{z} $\delta^{\left(  n\right)
}=D^{n+2}h\left(  t\right)  $, wi\k{e}c
\[
L\left\{  \delta^{\left(  n\right)  }\right\}  \left(  s\right)  =s^{n+2}%
\frac{1}{s^{2}}=s^{n}\text{ - wielomiany!}
\]


\item $T=\delta\left(  t-a\right)  $, gdzie $\left\langle \delta\left(
t-a\right)  ,\varphi\right\rangle :=\varphi\left(  a\right)  $. Poniewa\.{z}
$\delta\left(  t-a\right)  =D^{2}h\left(  t-a\right)  $, wi\k{e}c na mocy
w\l \ asno\'{s}ci klasycznej transformaty (tw. o przesuni\k{e}ciu)
otrzymujemy
\[
L\left\{  \delta\left(  t-a\right)  \right\}  \left(  s\right)  =s^{2}%
e^{-as}\frac{1}{s^{2}}=e^{-as}
\]

\end{enumerate}

\subsection{Najwa\.{z}niejsze w\l asno\'{s}ci L-transformaty dystrybucji}

Za\l \'{o}\.{z}my, \.{z}e $T\in D_{0}^{\prime}$ tzn. $T=D^{k}h\left(
t\right)  $, $h\left(  t\right)  $ spe\l nia warunki 1 i 2 oraz
\[
L\left\{  T\right\}  \left(  s\right)  =s^{k}L\left\{  h\right\}  \left(
s\right)  =s^{k}H\left(  s\right)  =F\left(  s\right)
\]
\newpage

\noindent\textbf{Definicja}

Niech $b\in R$. W\'{o}wczas operator przesuni\k{e}cia $\tau_{b}$ okre\'{s}lony
na funkcjach pr\'{o}bnych r\'{o}wno\'{s}ci\k{a} $\tau_{b}\varphi\left(
t\right)  =\varphi\left(  t-b\right)  $ definiujemy w przestrzeni dystrybucji
jako
\[
\left\langle \tau_{b}T|\varphi\right\rangle =\left\langle T|\varphi\left(
t+b\right)  \right\rangle
\]
(,,uzasadnieniem'' tej definicji jest nast\k{e}puj\k{a}ca r\'{o}wno\'{s}\'{c}
dla funkcji lokalnie ca\l kowalnych $%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
f\left(  t-b\right)  \varphi\left(  t\right)  dt=%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  \varphi\left(  t+b\right)  dt$)\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Przyk\l adowo, $\left\langle \tau_{b}\delta|\varphi\right\rangle =\left\langle
\delta|\varphi\left(  t+b\right)  \right\rangle =\varphi\left(  b\right)  $ -
por. poprzedni przyk\l ad.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie }(o przesuni\k{e}ciu)

Dla ka\.{z}dego $b>0$ prawdziwy jest wz\'{o}r
\[
L\left\{  \tau_{b}T\right\}  \left(  s\right)  =e^{-bs}F\left(  s\right)
\]


\noindent\textbf{Dow\'{o}d}%

\begin{align*}
\left\langle \tau_{b}T|\varphi\left(  t\right)  \right\rangle  &
=\left\langle D^{k}h\left(  t\right)  |\varphi\left(  t+b\right)
\right\rangle =\left(  -1\right)  ^{k}\left\langle h\left(  t\right)
|\varphi^{\left(  k\right)  }\left(  t+b\right)  \right\rangle =\\
&  =\left(  -1\right)  ^{k}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
h\left(  t\right)  \varphi^{\left(  k\right)  }\left(  t+b\right)  dt=\\
&  =\left(  -1\right)  ^{k}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
h\left(  t-b\right)  \varphi^{\left(  k\right)  }\left(  t\right)
dt=\left\langle D^{k}h\left(  t-b\right)  |\varphi\right\rangle
\end{align*}
co oznacza, \.{z}e $\tau_{b}T=D^{k}h\left(  t-b\right)  .$ Zatem
\[
L\left\{  \tau_{b}T\right\}  \left(  s\right)  =L\left\{  D^{k}h\left(
t-b\right)  \right\}  \left(  s\right)  =s^{k}e^{-bs}H\left(  s\right)
=e^{-bs}F\left(  s\right)
\]
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Analogicznie do operatora przesuni\k{e}cia wprowadzamy w przestrzeni
dystrybucji ope-racj\k{e} mno\.{z}enia dystrybucji przez funkcj\k{e} klasy
$C^{\infty}$. Poniewa\.{z} dla $f$ - lokalnie ca\l kowalnych, $\varphi\in D$,
$\psi\in C^{\infty}$ zachodzi oczywisty wz\'{o}r $%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left(  f\left(  t\right)  \psi\left(  t\right)  \right)  \varphi\left(
t\right)  dt=%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  \left(  \psi\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)
\right)  dt$, wi\k{e}c w naturalny spos\'{o}b wprowadzamy
nast\k{e}puj\k{a}c\k{a} definicj\k{e} mno\.{z}enia dystrybucji\newline$T\in
D^{\prime}$ przez funkcj\k{e} $\psi\in C^{\infty}$.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

$\left\langle T\psi|\varphi\right\rangle :=\left\langle T|\psi\varphi
\right\rangle $\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie }(przesuni\k{e}cie w dziedzinie zespolonej)

Je\.{z}eli $T\in D_{o}^{\prime}$, $\alpha\in C$, to zachodzi wz\'{o}r
\[
L\left\{  e^{-\alpha t}T\right\}  \left(  s\right)  =F\left(  s+\alpha\right)
\]
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Dow\'{o}d}

Niech $T=D^{k}h$. W\'{o}wczas ze wzoru Leibniza otrzymujemy
\begin{align*}
\left\langle e^{-\alpha t}T|\varphi\right\rangle  &  =\left\langle
T|e^{-\alpha t}\varphi\right\rangle =\left\langle D^{k}h|e^{-\alpha t}%
\varphi\right\rangle =\left(  -1\right)  ^{k}\left\langle h|%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i-0}^{k}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i-0}^{k}}
%EndExpansion
\binom{k}{i}\left(  -\alpha\right)  ^{i}e^{-\alpha t}D^{k-i}\varphi
\right\rangle =\\
&  =\left(  -1\right)  ^{k}%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=0}^{k}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}}
%EndExpansion
\binom{k}{i}\left(  -\alpha\right)  ^{i}\underset{\left\langle he^{-\alpha
t}|\varphi^{\left(  k-i\right)  }\right\rangle }{\underbrace{\left\langle
h|e^{-\alpha t}\varphi^{\left(  k-i\right)  }\right\rangle }}=\\
&  =\left(  -1\right)  ^{k}%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=0}^{k}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}}
%EndExpansion
\binom{k}{i}\left(  -\alpha\right)  ^{i}\left(  -1\right)  ^{k-i}\left\langle
D^{k-i}\left(  h\left(  t\right)  e^{-\alpha t}\right)  |\varphi\right\rangle
=\\
&  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=0}^{k}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}}
%EndExpansion
\binom{k}{i}\alpha^{i}\left\langle D^{k-i}\left(  h\left(  t\right)
e^{-\alpha t}\right)  |\varphi\right\rangle
\end{align*}
W takim razie $e^{-\alpha t}T=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=0}^{k}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}}
%EndExpansion
\binom{k}{i}\alpha^{i}D^{k-i}\left(  h\left(  t\right)  e^{-\alpha t}\right)
$, a wi\k{e}c
\[
L\left\{  e^{-\alpha t}T\right\}  \left(  s\right)  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{i=0}^{k}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}}
%EndExpansion
\binom{k}{i}\alpha^{i}s^{k-i}H\left(  s+\alpha\right)  =H\left(
s+\alpha\right)  \left(  s+\alpha\right)  ^{k}=F\left(  s+\alpha\right)
\]
co ko\'{n}czy dow\'{o}d.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie }(o transformacie pochodnej)

Je\'{s}li $T\in D_{0}^{\prime}$, $n\in N$, to prawdziwy jest wz\'{o}r
\[
L\left\{  D^{n}T\right\}  \left(  s\right)  =s^{n}F\left(  s\right)
\]
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Dow\'{o}d}

Niech $T=D^{k}h\left(  t\right)  $, zatem $D^{n}T=D^{n+k}h\left(  t\right)  $.
St\k{a}d
\[
L\left\{  D^{n}T\right\}  \left(  s\right)  =L\left\{  D^{n+k}h\right\}
\left(  s\right)  =s^{n+k}H\left(  s\right)  =s^{n}F\left(  s\right)
\]
co ko\'{n}czy dow\'{o}d.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Uwaga}

Powy\.{z}szy wz\'{o}r r\'{o}\.{z}ni si\k{e} pozornie od sformu\l owania
klasycznego. W sformu\l owamiu klasycznym prawdziwy jest wz\'{o}r
\[
L\left\{  f^{\left(  n\right)  }\left(  t\right)  \right\}  \left(  s\right)
=s^{n}F\left(  s\right)  -f\left(  0^{+}\right)  s^{n-1}-f^{\prime}\left(
0^{+}\right)  s^{n-2}-...-f^{\left(  n-1\right)  }\left(  0^{+}\right)
\text{.}
\]
Wyst\k{e}puj\k{a}ca mi\k{e}dzy obydwoma przypadkami r\'{o}\.{z}nica jest
jednak tylko pozorna. Je\.{z}eli oznaczymy przez $\left[  f\right]  $
dystrybucj\k{e} generowan\k{a} przez funkcj\k{e} $f$ (r\'{o}wn\k{a} $0$ dla
$t<0$), to \l atwo pokaza\'{c} przez indukcj\k{e} wzgl\k{e}dem $n$, \.{z}e
pochodna w sensie dystrybucyjnym $D^{n}\left[  f\right]  $ mo\.{z}e by\'{c}
wyznaczona jako
\begin{equation}
D^{n}\left[  f\right]  =\left[  f^{\left(  n\right)  }\right]  +f^{\left(
n-1\right)  }\left(  0^{+}\right)  \delta+...+f\left(  0^{+}\right)
\delta^{\left(  n-1\right)  }\text{.} \label{poch_L}%
\end{equation}
Najpierw obliczamy dla $n=1$ jak nast\k{e}puje
\begin{align*}
\left\langle Df|\varphi\right\rangle  &  =-\left\langle f|\varphi^{\prime
}\right\rangle =-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  \varphi^{\prime}\left(  t\right)  dt=-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{0}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}}
%EndExpansion
\underset{0}{\underbrace{f\left(  t\right)  }}\varphi^{\prime}\left(
t\right)  dt-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  \varphi^{\prime}\left(  t\right)  dt=\\
&  =\left.  -f\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  \right|
_{t=0}^{t=+\infty}+%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
f^{\prime}\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  dt=f\left(  0^{+}\right)
\underset{\varphi\left(  0\right)  }{\underbrace{\left\langle \delta
|\varphi\right\rangle }}+\left\langle f^{\prime}|\varphi\right\rangle
\end{align*}
tzn. $D\left[  f\right]  =\left[  f^{\prime}\right]  +f\left(  0^{+}\right)
\delta$. St\k{a}d dalej \l atwo przez indukcj\k{e} uzyska\'{c} wz\'{o}r
(\ref{poch_L}) dla dowolnego $n$. Stosuj\k{a}c do wzoru (\ref{poch_L})
twierdzenie o transformacie pochodnej (w sensie dystrybucyjnym) otrzymujemy
\[
s^{n}L\left\{  f\right\}  \left(  s\right)  =L\left\{  f^{\left(  n\right)
}\right\}  \left(  s\right)  +f^{\left(  n-1\right)  }\left(  0^{+}\right)
+...+f\left(  0^{+}\right)  s^{n-1}\text{,}
\]
kt\'{o}ry jest r\'{o}wnowa\.{z}ny wzorowi klasycznemu.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie }(o r\'{o}\.{z}niczkowaniu transformaty)

Dla dowolnego $n\in N$ prawdziwy jest wz\'{o}r
\[
L\left\{  \left(  -t\right)  ^{n}T\right\}  \left(  s\right)  =F^{\left(
n\right)  }\left(  s\right)
\]
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Dow\'{o}d}

Wida\'{c}, \.{z}e wystarczy przeprowadzi\'{c} dow\'{o}d w przypadku $n=1$
(dalej natychmiast przez indukcj\k{e}). Niech $F\left(  s\right)
=s^{k}H\left(  s\right)  $. St\k{a}d $F^{\prime}\left(  s\right)
=ks^{k-1}H\left(  s\right)  +s^{k}H^{\prime}\left(  s\right)  $. Poniewa\.{z}
$L\left\{  \left(  -t\right)  h\left(  t\right)  \right\}  =H^{\prime}\left(
s\right)  $, wi\k{e}c
\[
L\left\{  kD^{k-1}h\left(  t\right)  +D^{k}\left[  \left(  -t\right)  h\left(
t\right)  \right]  \right\}  \left(  s\right)  =F^{\prime}\left(  s\right)
\text{.}
\]
Stosuj\k{a}c wz\'{o}r Leibniza do wyra\.{z}enia $D^{k}\left[  \left(
-t\right)  h\left(  t\right)  \right]  $ mamy
\[
D^{k}\left[  \left(  -t\right)  h\left(  t\right)  \right]  =-\binom{k}%
{0}tD^{k}h\left(  t\right)  -\binom{k}{1}1\cdot D^{k-1}h\left(  t\right)
=-tD^{k}h\left(  t\right)  -kD^{k-1}h\left(  t\right)
\]
zatem
\[
F^{\prime}\left(  s\right)  =L\left\{  kD^{k-1}h\left(  t\right)
-tD^{k}h\left(  t\right)  -kD^{k-1}h\left(  t\right)  \right\}  \left(
s\right)  =L\left\{  \left(  -t\right)  D^{k}h\left(  t\right)  \right\}
=L\left\{  \left(  -t\right)  T\right\}
\]
co ko\'{n}czy dow\'{o}d.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion


\subsection{Splot dystrybucji z przestrzeni $D_{0}^{\prime}$}

\textbf{Definicja}

Niech $T_{1}=D^{k_{1}}h_{1}$, $T_{2}=D^{k_{2}}h_{2}\in D_{0}^{\prime}$.
W\'{o}wczas okre\'{s}lamy splot
\[
T_{1}\ast T_{2}=D^{k_{1}+k_{2}}\left[  h_{1}\ast h_{2}\right]
\]
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Powy\.{z}sza definicja jest poprawna, poniewa\.{z} splot funkcji ci\k{a}g\l \
ych prawostronnych $h_{1}$ i $h_{2}$ jest funkcj\k{a} ci\k{a}g\l \k{a}
prawostronn\k{a} posiadaj\k{a}c\k{a} transformat\k{e} Laplace'a (tw. Borela),
zatem $T_{1}\ast T_{2}\in D_{0}^{\prime}$. W przypadku, gdy $T_{1}$ i $T_{2}$
s\k{a} generowane przez funkcje lokalnie ca\l kowalne $f_{1}$ i $f_{2}$, to
powy\.{z}sza definicja jest r\'{o}wnowa\.{z}na definicji klasycznej.

Istotnie, w tym przypadku niech $h_{1}=f_{1}\ast1$, $h_{2}=f_{2}\ast1$, tzn.
$T_{1}=Dh_{1}$, $T_{2}=Dh_{2}$. Wtedy zgodnie z powy\.{z}sz\k{a}
definicj\k{a}
\[
T_{1}\ast T_{2}=D^{2}\left[  f_{1}\ast1\ast f_{2}\ast1\right]  =D^{2}\left[
\left(  f_{1}\ast f_{2}\ast1\right)  \ast1\right]  =D\left[  \left(  f_{1}\ast
f_{2}\right)  \ast1\right]  =f_{1}\ast f_{2}.
\]
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie} (Borela dla dystrybucji)

Niech $T_{1}$, $T_{2}\in D_{0}^{\prime}$ maj\k{a} transformaty Laplace'a
r\'{o}wne odpowiednio $F_{1}\left(  s\right)  $, $F_{2}\left(  s\right)  $.
W\'{o}wczas
\[
L\left\{  T_{1}\ast T_{2}\right\}  \left(  s\right)  =F_{1}\left(  s\right)
F_{2}\left(  s\right)
\]
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Dow\'{o}d}

Niech $T_{1}=D^{k_{1}}h_{1}$, $T_{2}=D^{k_{2}}h_{2}$. Wtedy
\begin{align*}
L\left\{  T_{1}\ast T_{2}\right\}  \left(  s\right)   &  =L\left\{
D^{k_{1}+k_{2}} \left[  h_{1}\ast h_{2}\right]  \right\}  \left(  s\right)
=s^{k_{1}+k_{2}}L\left\{  h_{1}\ast h_{2}\right\}  \underset{\text{tw.
Borela}}{\underbrace{=}}s^{k_{1}+k_{2}}H_{1}\left(  s\right)  H_{2}\left(
s\right)  =\\
&  =\underset{F_{1}\left(  s\right)  }{\underbrace{s^{k_{1}}H_{1}\left(
s\right)  }}\underset{F_{2}\left(  s\right)  }{\underbrace{s^{k_{2}}%
H_{2}\left(  s\right)  }}=F_{1}\left(  s\right)  F_{2}\left(  s\right)
\end{align*}
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{W\l asno\'{s}ci}

\begin{enumerate}
\item Splot z dystrybucj\k{a} $\delta$\newline Poniewa\.{z} $\delta
=D^{2}\left[  1\ast1\right]  $, zatem dla dowolnej dystrybucji $T\in
D_{0}^{\prime}$ zachodzi
\[
T\ast\delta=D^{k+2}\left[  h\ast1\ast1\right]  =D^{k+1}\left[  h\ast1\right]
=D\left[  h\right]  =T
\]
co oznacza, \.{z}e $\delta$ jest jedynk\k{a} algebry dystrybucji.

\item Splot z dystrybucj\k{a} $\delta^{\left(  n\right)  }$\newline Podobnie
jak w poprzednim przyk\l adzie zapisujemy $\delta^{\left(  n\right)  }%
=D^{n+2}\left[  1\ast1\right]  $, wi\k{e}c
\[
T\ast\delta^{\left(  n\right)  }=D^{k+n+2}\left[  h\ast1\ast1\right]
=D^{n}D^{k}h=D^{n}T,
\]
zatem splot z dystrybucj\k{a} $\delta^{\left(  n\right)  }$ jest
r\'{o}\.{z}niczkowaniem. Pozwala to zapisa\'{c} r\'{o}wnanie
r\'{o}\.{z}niczkowe w przestrzeni dystrybucji
\[
c_{n}D^{n}y+c_{n-1}D^{n-1}y+...+c_{1}Dy+c_{0}y=f
\]
w r\'{o}wnowa\.{z}nej postaci splotowej
\[
\left(  c_{n}\delta^{\left(  n\right)  }+c_{n-1}\delta^{\left(  n-1\right)
}+...+c_{1}\delta^{\prime}+c_{0}\delta\right)  \ast y=f\text{.}
\]


\item R\'{o}\.{z}niczkowanie dystrybucyjne splotu\newline Je\.{z}eli $T_{1}$,
$T_{2}\in D_{0}^{\prime}$, to wykorzystuj\k{a}c w\l asno\'{s}\'{c} 2
mo\.{z}emy napisa\'{c}
\[
D^{m}\left(  T_{1}\ast T_{2}\right)  =T_{1}\ast T_{2}\ast\delta^{\left(
m\right)  }=\underset{D^{m}T_{1}}{\underbrace{\left(  T_{1}\ast\delta^{\left(
m\right)  }\right)  }}\ast T_{2}=T_{1}\ast\underset{D^{m}T_{2}}{\underbrace
{\left(  T_{2}\ast\delta^{\left(  m\right)  }\right)  }}
\]
co oznacza, \.{z}e
\[
D^{m}\left(  T_{1}\ast T_{2}\right)  =\left(  D^{m}T_{1}\right)  \ast
T_{2}=T_{1}\ast\left(  D^{m}T_{2}\right)  \text{.}
\]

\end{enumerate}

\section{Przestrze\'{n} dystrybucji temperowanych}

\textbf{Definicja}

Przestrzeni\k{a} funkcji szybkomalej\k{a}cych nazywamy zbi\'{o}r funkcji klasy
$C^{\infty}$ spe\l niaj\k{a}cych dla $\left|  t\right|  \rightarrow\infty$,
dowolnych $n$, $k$ naturalnych, nier\'{o}wno\'{s}ci
\[
\left|  t^{n}\varphi^{\left(  k\right)  }\right|  \leq c_{n,k}
\]
dla pewnych sta\l ych $c_{n,k}$ (zale\.{z}nych tylko od $n$ i $k$).
Przestrze\'{n} funkcji szybkomalej\k{a}cych oznaczamy symbolem $\Phi$.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Powy\.{z}szy warunek oznacza, \.{z}e dowolna pochodna funkcji $\varphi$
d\k{a}\.{z}y do zera szybciej ni\.{z} dowolna pot\k{e}ga $\frac{1}{\left|
t\right|  }$.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Uwaga}

Zachodzi oczywista inkluzja $D\subset\Phi$, bowiem ka\.{z}da funkcja o
no\'{s}niku zwartym jest szybkomalej\k{a}ca. Co wi\k{e}cej, rozwa\.{z}aj\k{a}c
przyk\l ad funkcji $\varphi\left(  t\right)  =e^{-t^{2}}\in\Phi$ \l atwo
zauwa\.{z}y\'{c}, \.{z}e $\varphi\notin D$, zatem $D\varsubsetneq\Phi$.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

M\'{o}wimy, \.{z}e ci\k{a}g funkcji $\varphi_{n}\in\Phi$ zbiega do $\varphi
\in\Phi$ $\Leftrightarrow$ $\forall m,k\in N$ $\Rightarrow$\ $t^{m}\varphi
_{n}^{\left(  k\right)  }\rightrightarrows t^{m}\varphi^{\left(  k\right)  }$
(zb. jednostajna)\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

Dystrybucj\k{a} wolnorosn\k{a}c\k{a} (temperowan\k{a}) nazywamy funkcjona\l \
\ liniowy i ci\k{a}g\l y na przestrzeni $\Phi$. Zbi\'{o}r dytrybucji
wolnorosn\k{a}cych oznaczamy $\Phi^{\prime}$.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Uwaga}

Oczywi\'{s}cie je\.{z}eli $f\in\Phi^{\prime}$, to $f\in D^{\prime}$, zatem
$\Phi^{\prime}\subset D^{\prime}$. Rozwa\.{z}aj\k{a}c przyk\l ad dystrybucji
okre\'{s}lonej wzorem
\[
f=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{n^{2}}\delta\left(  t-n\right)  \text{ \ \ tzn \ }\left\langle
f|\varphi\right\rangle =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{n^{2}}\varphi\left(  n\right)
\]
wida\'{c}, \.{z}e jest ona poprawnie zdefiniowana dla $\varphi\in D$
(odpowiednia suma jest sko\'{n}czona, bowiem no\'{s}nik $\varphi$ jest
zwarty), natomiast nie jest okre\'{s}lona np. dla $\varphi\left(  t\right)
=e^{-t^{2}}\in\Phi$ (otrzymujemy niesko\'{n}czony szereg rozbie\.{z}ny $\sum
1$). W takim razie $\Phi^{\prime}\varsubsetneq D^{\prime}$.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Przyj\k{e}cie powy\.{z}szej definicji dystrybucji temperowanej jest
uzasadnione tym, \.{z}e w przypadku funkcji klasycznych (dystrybucji
regularnych) dla uzyskania zbie\.{z}no\'{s}ci ca\l ki postaci $%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
f\left(  t\right)  \varphi\left(  t\right)  dt $, gdzie $\varphi\in\Phi$
nale\.{z}y np. za\l o\.{z}y\'{c}, \.{z}e dla pewnego $N$ zachodzi warunek
$\lim\limits_{\left|  t\right|  \rightarrow\infty}\left|  t\right|
^{-N}f\left(  t\right)  =0$. Funkcje takie nazywamy wolnorosn\k{a}cymi.
Ka\.{z}da wolnorosn\k{a}ca funkcja wyznacza dystrybucj\k{e}
wolnorosn\k{a}c\k{a}.\newpage

\subsection{Transformata Fouriera dystrybucji temperowanych}

W teorii przekszta\l cenia Fouriera dowodzi si\k{e} nast\k{e}puj\k{a}cego
twierdzenia.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie }(r\'{o}wno\'{s}\'{c} Parsevala)

Niech $g_{1}$, $g_{2}$ b\k{e}d\k{a} bezwzgl\k{e}dnie ca\l kowalne na $R$.
Niech $G_{1}=\Im g_{1}$, $G_{2}=\Im g_{2}$. W\'{o}wczas zachodzi
r\'{o}wno\'{s}\'{c}
\[%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
g_{1}\left(  u\right)  G_{2}\left(  u\right)  du=%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
G_{1}\left(  \omega\right)  g_{2}\left(  \omega\right)  d\omega
\]


\noindent\textbf{Dow\'{o}d}

Przekszta\l caj\k{a}c lew\k{a} stron\k{e} otrzymujemy
\begin{align*}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
g_{1}\left(  u\right)  G_{2}\left(  u\right)  du  &  =%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
g_{1}\left(  u\right)  du%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
g_{2}\left(  \omega\right)  e^{-iu\omega}d\omega=%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
d\omega%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
g_{1}\left(  u\right)  g_{2}\left(  \omega\right)  e^{-iu\omega}du=\\
&  =%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
g_{2}\left(  \omega\right)
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-iu\omega}g_{1}\left(  u\right)  du=%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
G_{1}\left(  \omega\right)  g_{2}\left(  \omega\right)  d\omega
\end{align*}
co ko\'{n}czy dow\'{o}d.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Operaj\k{a}c si\k{e} na powy\.{z}szym twierdzeniu obowi\k{a}zuj\k{a}cym dla
funkcji klasycznych (dystrybucji regularnych) wprowadzamy definicj\k{e}
transformaty Fouriera dystrybucji tempe-rowanych.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Definicja}

Dla $f\in\Phi^{\prime}$ okre\'{s}lamy
\[
\left\langle \Im f|\varphi\right\rangle =\left\langle f|\Im\varphi
\right\rangle
\]
dla $\varphi\in\Phi^{\prime}$.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

Nast\k{e}puj\k{a}ce dwa twierdzenia uzasadniaj\k{a} poprawno\'{s}\'{c}
przyj\k{e}tej definicji.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie}

Je\'{s}li $\varphi\in\Phi$, to $F=\Im\varphi\in\Phi$. Ponadto $\Im
:\Phi\rightarrow\Phi$ jest ci\k{a}g\l a.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Dow\'{o}d}

Je\'{s}li $\varphi\in\Phi$, to $\varphi$ jest ca\l kowalna na $R$, zatem
$F=\Im\varphi$ istnieje. Ze wzor\'{o}w na transformat\k{e} Fouriera funkcji
ca\l kowalnych wynika, \.{z}e o ile $t^{k}\varphi\left(  t\right)  $ jest
ca\l \ kowalna (a tak jest dla funkcji $\varphi\in\Phi$), to istnieje pochodna
$F^{\left(  k\right)  }$ i zachodzi
\[
F^{\left(  k\right)  }\left(  \omega\right)  =%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left(  -it\right)  ^{k}e^{-i\omega t}\varphi\left(  t\right)  dt
\]
\L atwo zauwa\.{z}y\'{c}, \.{z}e stosuj\k{a}c $m$-krotnie wz\'{o}r na ca\l \
kowanie przez cz\k{e}\'{s}ci otrzymujemy
\[
\left|  \left(  i\omega\right)  ^{m}F^{\left(  k\right)  }\left(
\omega\right)  \right|  =\left|
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-i\omega t}\frac{d^{m}}{dt^{m}}\left[  \left(  -it\right)  ^{k}%
\varphi\left(  t\right)  \right]  dt\right|  \leq%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left|  \frac{d^{m}}{dt^{m}}\left[  \left(  -it\right)  ^{k}\varphi\left(
t\right)  \right]  \right|  dt\leq Const
\]
Istnienie sta\l ej $Const$ wynika z definicji przestrzeni $\Phi$, kt\'{o}rej
elementem jest $\varphi$. Oznacza to, \.{z}e $F=\Im\varphi$ jest tak\.{z}e
funkcj\k{a} szybkomalej\k{a}c\k{a}. Ci\k{a}g\l o\'{s}\'{c} $\Im$ jako
odwzorowania liniowego wynika z ci\k{a}g\l o\'{s}ci w zerze.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion
\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Twierdzenie}

Je\'{s}li $f\in\Phi^{\prime}$, to jej transformata Fouriera $\Im f\in
\Phi^{\prime}$.\vspace{0.5cm}

\noindent\textbf{Dow\'{o}d}

Wystarczy wykaza\'{c}, \.{z}e $\Im f$ jest liniowa i ci\k{a}g\l a.
Liniowo\'{s}\'{c} jest oczywista - wynika wprost z przyj\k{e}tej definicji.
Ci\k{a}g\l o\'{s}\'{c} wynika z ci\k{a}g\l o\'{s}ci transformaty Fouriera dla
funkcji szybkomalej\k{a}cych i ci\k{a}g\l o\'{s}ci $f$, poniewa\.{z} o ile
$\varphi_{n}\rightarrow0$ w $\Phi$, to
\[
\left\langle \Im f|\varphi_{n}\right\rangle =\left\langle f|\Im\varphi
_{n}\right\rangle \rightarrow\left\langle f|0\right\rangle =0
\]
co ko\'{n}czy dow\'{o}d.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion


\subsection{Najwa\.{z}niejsze w\l asno\'{s}ci i przyk\l ady transformat
Fouriera}

Niech $F=\Im f$ dla $f\in\Phi^{\prime}$. W\'{o}wczas mo\.{z}na sformu\l \
owa\'{c} nast\k{e}puj\k{a}ce w\l asno\'{s}ci - analo-giczne do wzor\'{o}w z
teorii klasycznej.

\begin{enumerate}
\item $\Im\left[  \left(  -it\right)  ^{k}f\left(  t\right)  \right]
=F^{\left(  k\right)  }\left(  \omega\right)  $.\newline Istotnie,
korzystaj\k{a}c z definicji transformaty i definicji mno\.{z}enia dystrybucji
przez funkcje g\l adkie otrzymujemy dla $k=1$ (a potem dalej stosujemy
indukcj\k{e})
\begin{align*}
\left\langle F^{\prime}|\varphi\right\rangle  &  =\left\langle F|-\varphi
^{\prime}\right\rangle =\left\langle f|-\Im\varphi^{\prime}\right\rangle
=\left\langle f|-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-i\omega t}\varphi^{\prime}\left(  \omega\right)  d\omega\right\rangle
=\text{ (ca\l k. przez cz\k{e}\'{s}ci)}\\
&  =\left\langle f|-it%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-i\omega t}\varphi\left(  \omega\right)  d\omega\right\rangle =\left\langle
-itf\left(  t\right)  |\Im\varphi\right\rangle =\left\langle \Im\left[
-itf\left(  t\right)  \right]  |\varphi\right\rangle
\end{align*}
zatem $\Im\left[  -tf\left(  t\right)  \right]  =F^{\prime}$.

\item $\Im\left[  D^{k}f\right]  =\left(  i\omega\right)  ^{k}F\left(
\omega\right)  $ - dow\'{o}d podobnie jak w poprzednim przypadku
\begin{align*}
\left\langle \Im D^{k}f|\varphi\right\rangle  &  =\left\langle D^{k}%
f|\Im\varphi\right\rangle =\left(  -1\right)  ^{k}\left\langle f|\frac{d^{k}%
}{d\omega^{k}}\Im\varphi\right\rangle =\left(  -1\right)  ^{k}\left\langle
f|\Im\left[  \left(  -it\right)  ^{k}\varphi\left(  t\right)  \right]
\right\rangle =\\
&  =\left\langle \Im f|\left(  it\right)  ^{k}\varphi\left(  t\right)
\right\rangle =\left\langle \left(  it\right)  ^{k}F\left(  t\right)
|\varphi\left(  t\right)  \right\rangle
\end{align*}


\item $\Im\left[  f\left(  t-\tau\right)  \right]  \left(  \omega\right)
=e^{-i\omega\tau}F\left(  \omega\right)  $ - analogicznie z definicji
operatora przesuni\k{e}cia $\tau_{b}$.

\item Niech $f=\delta^{\left(  k\right)  }\left(  t-\tau\right)  $.
W\'{o}wczas
\begin{align*}
\left\langle \Im\delta^{\left(  k\right)  }\left(  t-\tau\right)
|\varphi\right\rangle  &  =\left\langle \delta^{\left(  k\right)  }\left(
t-\tau\right)  |\Im\varphi\right\rangle =\left(  -1\right)  ^{k}\left(
\Im\varphi\right)  ^{\left(  k\right)  }\left(  \tau\right)  =\\
&  =\left(  -1\right)  ^{k}\Im\left[  \left(  -it\right)  ^{k}\varphi\left(
t\right)  \right]  \left(  \tau\right)  =\\
&  =%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left(  it\right)  ^{k}e^{-it\tau}\varphi\left(  t\right)  dt=\left\langle
\left(  it\right)  ^{k}e^{-it\tau}|\varphi\left(  t\right)  \right\rangle
\text{ \ zatem}\\
\Im\delta^{\left(  k\right)  }\left(  t-\tau\right)   &  =\left(  it\right)
^{k}e^{-it\tau}%
\end{align*}
Wynika st\k{a}d, \.{z}e w szczeg\'{o}lno\'{s}ci
\[
\Im\delta=1\text{, \ }\Im\delta\left(  t-\tau\right)  =e^{-i\omega\tau}\text{,
\ }\Im\delta^{\left(  k\right)  }=\left(  it\right)  ^{k}
\]


\item Je\'{s}li $f\left(  t\right)  =1$, to $\Im\left[  1\right]  =2\pi\delta
$, poniewa\.{z}
\[
\left\langle \Im\left[  1\right]  |\varphi\right\rangle =\left\langle
1|\Im\varphi\right\rangle =%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
d\omega%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-i\omega t}\varphi\left(  t\right)  dt=2\pi\varphi\left(  0\right)
=\left\langle 2\pi\delta|\varphi\right\rangle
\]


\item $\Im\left[  e^{-it\tau}\right]  =2\pi\delta\left(  \omega+\tau\right)  $
- dow\'{o}d analogiczny jak w przypadku poprzednim gdy\.{z}
\begin{align*}
\left\langle \Im\left[  e^{-it\tau}\right]  |\varphi\right\rangle  &
=\left\langle e^{-it\tau}|\Im\varphi\right\rangle =%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-it\tau}dt\underset{\Im\left[  \varphi\right]  \left(  t\right)
}{\underbrace{%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-it\omega}\varphi\left(  \omega\right)  d\omega}}=2\pi\varphi\left(
-\tau\right)  =\\
&  =\left\langle 2\pi\delta\left(  \omega+\tau\right)  |\varphi\right\rangle
\end{align*}


\item $\Im\left[  \left(  it^{k}\right)  \right]  =\left(  -1\right)  ^{k}%
2\pi\delta^{\left(  k\right)  }\Longrightarrow\Im\left[  t^{k}\right]
=2\pi\left(  i\right)  ^{k}\delta^{\left(  k\right)  }$ - analogicznie

\item $\Im\left[  \left(  it\right)  ^{k}e^{-it\tau}\right]  =\left(
-1\right)  ^{k}2\pi\delta^{\left(  k\right)  }\left(  \omega+\tau\right)  $ -
j. w.

\item $\Im\left[  a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_{1}t+a_{0}\right]
=2\pi\left[  a_{n}i^{n}\delta^{\left(  n\right)  }+a_{n-1}i^{n-1}%
\delta^{\left(  n-1\right)  }+...+a_{0}\delta\right]  $

\item \textbf{Lemat}\newline Zachodzi to\.{z}samo\'{s}\'{c}
\[%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-in\lambda}=2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\delta\left(  \lambda-2n\pi\right)
\]
\textbf{Dow\'{o}d}\newline Niech $\varphi\in\Phi$. W\'{o}wczas
\begin{align*}
\left\langle
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-in\lambda}|\varphi\left(  \lambda\right)  \right\rangle  &  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-in\lambda}\varphi\left(  \lambda\right)  d\lambda=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\left(  2k-1\right)  \pi}^{\left(  2k+1\right)  \pi}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\left(  2k-1\right)  \pi}^{\left(  2k+1\right)
\pi}}
%EndExpansion
e^{-in\lambda}\varphi\left(  \lambda\right)  d\lambda=\\
&  =\left|
\begin{array}
[c]{l}%
\lambda-2k\pi=r\\
d\lambda=dr
\end{array}
\right|  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\pi}^{+\pi}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{+\pi}}
%EndExpansion
e^{-in\left(  r+2k\pi\right)  }\varphi\left(  r+2k\pi\right)  dr=\\
&  =\left|  \text{niech }\varphi_{k}\left(  r\right)  =\varphi\left(
r+2k\pi\right)  \right|  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-in2k\pi}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\pi}^{+\pi}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{+\pi}}
%EndExpansion
e^{-inr}\varphi_{k}\left(  r\right)  dr=\\
&  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{in\left(  -2k\pi\right)  }c_{n}\left(  \varphi_{k}\right)
\end{align*}
gdzie $c_{n}\left(  \varphi_{k}\right)  =\frac{1}{2\pi}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\pi}^{+\pi}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{+\pi}}
%EndExpansion
e^{-inr}\varphi_{k}\left(  r\right)  dr$ s\k{a} wsp\'{o}\l czynnikami Fouriera
funkcji $\varphi_{k}$. Wyra\.{z}enie $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{in\left(  -2k\pi\right)  }c_{n}\left(  \varphi_{k}\right)  $ jest
warto\'{s}ci\k{a} sumy szeregu Fouriera tej funkcji w punkcie $r_{k}=-2k\pi$,
a zatem z okresowo\'{s}ci tej sumy mamy
\[%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{in\left(  -2k\pi\right)  }c_{n}\left(  \varphi_{k}\right)  =\varphi
_{k}\left(  -2k\pi\right)  =\varphi_{k}\left(  0\right)  =\varphi\left(
2k\pi\right)  \text{.}
\]
Wynika st\k{a}d, \.{z}e
\[%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{in\left(  -2k\pi\right)  }c_{n}\left(  \varphi_{k}\right)  =2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\varphi\left(  2k\pi\right)  =\left\langle 2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\delta\left(  \lambda-2k\pi\right)  |\varphi\right\rangle
\]
co ko\'{n}czy dow\'{o}d.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion


\item (wz\'{o}r sumacyjny Poissona)\newline Niech $\varphi\in\Phi$,
$F=\Im\varphi$. W\'{o}wczas zachodzi
\begin{align*}%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
F\left(  n\right)   &  =\left\langle
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\delta\left(  \lambda-n\right)  |\Im\varphi\right\rangle =\left\langle
\Im\left[
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\delta\left(  \lambda-n\right)  \right]  |\varphi\right\rangle =\\
&  =\left\langle
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-in\lambda}|\varphi\right\rangle \overset{\text{(z lematu)}}{=}%
2\pi\left\langle
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\delta\left(  \lambda-2n\pi\right)  |\varphi\right\rangle =\\
&  =2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\varphi\left(  2n\pi\right)  \text{.}%
\end{align*}
Udowodniony zosta\l \ zatem wz\'{o}r $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
F\left(  n\right)  =2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\varphi\left(  2n\pi\right)  $.

\item (to\.{z}samo\'{s}\'{c} Jacobiego)\newline Niech $\varphi\left(
x\right)  =e^{-tx^{2}}$ dla $t>0$. Wtedy $F\left(  x\right)  =\left(
\Im\varphi\right)  \left(  x\right)  =\sqrt{\frac{\pi}{t}}e^{-\frac{x^{2}}%
{4t}}$. Stosuj\k{a}c wz\'{o}r sumacyjny Poissona otrzymujemy
\[
\sqrt{\frac{\pi}{t}}%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{\frac{n^{2}}{4t}}=2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-4t\pi^{2}n^{2}}\text{.}
\]
Podstawiaj\k{a}c $t=\frac{\tau}{4\pi^{2}}$ dostajemy inn\k{a} posta\'{c} tej
to\.{z}samo\'{s}ci
\[
\sqrt{\frac{\pi}{\tau}}%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-\frac{\pi^{2}n^{2}}{\tau}}=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-\tau n^{2}}
\]

\end{enumerate}

\section{Przyk\l adowe zadania}

\begin{enumerate}
\item \label{zad1}Udowodni\'{c}, \.{z}e ka\.{z}da funkcja o warto\'{s}ciach
zespolonych $f\left(  t\right)  $, ci\k{a}g\l a dla wszystkich $t$ i r\'{o}wna
zeru poza sko\'{n}czonym przedzia\l em mo\.{z}e by\'{c} przybli\.{z}ona
jednostajnie przez funkcje z przestrzeni $D$.\newpage\textit{Rozwi\k{a}zanie
(szkic)}\newline Nale\.{z}y rozwa\.{z}y\'{c} funkcj\k{e} $\xi\left(  t\right)
=\left\{
\begin{array}
[c]{rl}%
0 & \text{dla }\left|  t\right|  \geq1\\
e^{\frac{1}{t^{2}-1}} & \text{dla }\left|  t\right|  <1
\end{array}
\right.  $, zauwa\.{z}y\'{c}, \.{z}e jest ona klasy $C^{\infty}$ i
utworzy\'{c} kolejn\k{a} funkcj\k{e} pomocnicz\k{a} okre\'{s}lon\k{a} wzorem
\[
g_{\alpha}\left(  t\right)  =\frac{\xi\left(  \frac{t}{\alpha}\right)  }{%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\xi\left(  \frac{t}{\alpha}\right)  dt}\text{, \ \ \ }%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
g_{\alpha}\left(  t\right)  dt=1
\]
dla $\alpha>0.$ Funkcja $g_{a}$ jest to\.{z}samo\'{s}ciowo r\'{o}wna zeru poza
przedzia\l em $\left(  -\alpha,\alpha\right)  $. Niech $\varphi_{\alpha
}\left(  t\right)  =%
%TCIMACRO{\dint }%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int}
%EndExpansion
f\left(  \tau\right)  g_{\alpha}\left(  t-\tau\right)  d\tau$, $\varphi
_{\alpha}\in D$. Funkcja $\varphi_{\alpha}$ jest \.{z}\k{a}danym
przybli\.{z}eniem, poniewa\.{z}
\[
\left|  f\left(  t\right)  -\varphi_{\alpha}\left(  t\right)  \right|
=\left|
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left[  f\left(  t\right)  -f\left(  \tau\right)  \right]  g_{\alpha}\left(
t-\tau\right)  d\tau\right|  \leq%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left|  f\left(  t\right)  -f\left(  \tau\right)  \right|  g_{\alpha}\left(
t-\tau\right)  d\tau\text{.}
\]
Dobieraj\k{a}c $\alpha$ tak ma\l e, by dla $\left|  t-\tau\right|  <\alpha$ na
mocy jednostajnej ci\k{a}g\l o\'{s}ci funkcji $f$ zachodzi\l a
nier\'{o}wno\'{s}\'{c} $\left|  f\left(  t\right)  -f\left(  \tau\right)
\right|  <\varepsilon$ otrzymujemy tez\k{e}, gdy\.{z}
\[
\left|  f\left(  t\right)  -\varphi_{\alpha}\left(  t\right)  \right|
\leq\varepsilon%
%TCIMACRO{\dint \limits_{t-\alpha}^{t+\alpha}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{t-\alpha}^{t+\alpha}}
%EndExpansion
g_{\alpha}\left(  t-\tau\right)  d\tau=\varepsilon
\]
co ko\'{n}czy dow\'{o}d.\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{End Proof}{\endproof}}%
%BeginExpansion
\endproof
%EndExpansion


\item Niech $T$ b\k{e}dzie funkcjona\l em okre\'{s}lonym nast\k{e}puj\k{a}co
\[
\left\langle T|\varphi\right\rangle :=%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{1}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  -\varphi\left(  0\right)  }{t}dt+%
%TCIMACRO{\dint \limits_{1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  }{t}dt\text{ \ \ dla }\varphi\in D
\]
Pokaza\'{c}, \.{z}e: a) $T\in D^{\prime}$, b) $T=D\left[  1_{+}\left(
t\right)  \ln t\right]  $\vspace{0.5cm}\newline\textit{Rozwi\k{a}zanie ad
a)}\newline Ci\k{a}g\l o\'{s}\'{c} funkcjona\l u wynika m. inn. z oszacowania
$\left|  \varphi\left(  t\right)  -\varphi\left(  0\right)  \right|  \leq
t\sup\limits_{\tau\in\left(  0,t\right)  }\left|  \varphi^{\prime}\left(
\tau\right)  \right|  $ dla funkcji z $D$.\newline\textit{Rozwi\k{a}zanie ad
b)}\newline Obliczaj\k{a}c z definicji mamy dla $\operatorname*{supp}%
\varphi\subset\left\langle -b,b\right\rangle $%
\begin{align*}
\left\langle D\left[  1_{+}\left(  t\right)  \ln t\right]  |\varphi
\right\rangle  &  =-\left\langle 1_{+}\left(  t\right)  \ln t|\varphi^{\prime
}\left(  t\right)  \right\rangle =-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{b}}
%EndExpansion
\varphi^{\prime}\left(  t\right)  \ln tdt=-\lim_{\varepsilon\rightarrow0}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{b}}
%EndExpansion
\varphi^{\prime}\left(  t\right)  \ln tdt=\\
&  =-\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left[  \left.  \varphi\left(  t\right)
\ln t\right|  _{\varepsilon}^{b}-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  }{t}dt\right]  =\\
&  =\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left[  \varphi\left(  \varepsilon\right)
\ln\varepsilon+%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{1}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  }{t}dt+%
%TCIMACRO{\dint \limits_{1}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{1}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  }{t}dt\right]  =\\
\text{(}\varphi\left(  \varepsilon\right)   &  =\varphi\left(  0\right)
+\varepsilon\cdot\alpha\left(  \varepsilon\right)  \text{ na mocy wzoru
MacLaurina), wi\k{e}c}\\
&  =\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left[  \varphi\left(  0\right)
\ln\varepsilon+%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{1}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  }{t}dt+\varepsilon\alpha\left(  \varepsilon
\right)  \ln\varepsilon+%
%TCIMACRO{\dint \limits_{1}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{1}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  }{t}dt\right]  =\\
&  =\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left[
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{1}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  -\varphi\left(  0\right)  }{t}dt+%
%TCIMACRO{\dint \limits_{1}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{1}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  }{t}dt\right]  +\underset{0}{\underbrace
{\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\varepsilon\ln\varepsilon\alpha\left(
\varepsilon\right)  }}=\left\langle T|\varphi\right\rangle
\end{align*}


\item Niech $T$ b\k{e}dzie funkcjona\l em okre\'{s}lonym nast\k{e}puj\k{a}co
\[
\left\langle T|\varphi\right\rangle :=-\frac{1}{2}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  -\varphi\left(  0\right)  }{t\sqrt{t}}dt\text{
\ \ dla }\varphi\in D
\]
Pokaza\'{c}, \.{z}e a) $T\in D^{\prime}$, \ b) $T=D\left[  1_{+}\left(
t\right)  t^{-\frac{1}{2}}\right]  $.\vspace{0.5cm}\newline%
\textit{Rozwi\k{a}zanie ad a) }- podobnie jak w zadaniu poprzednim.\newline%
\textit{Rozwi\k{a}zanie ad b)}\newline Przedstawmy $\varphi\left(  t\right)
=\varphi\left(  0\right)  +t\psi\left(  t\right)  $. Obliczaj\k{a}c z
definicji mamy
\begin{align*}
\left\langle D\left[  1_{+}\left(  t\right)  t^{-\frac{1}{2}}\right]
|\varphi\right\rangle  &  =-\left\langle 1_{+}\left(  t\right)  t^{-\frac
{1}{2}}|\varphi^{\prime}\right\rangle =-%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\frac{\varphi^{\prime}\left(  t\right)  }{\sqrt{t}}dt=-\lim_{\varepsilon
\rightarrow0}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\varphi^{\prime}\left(  t\right)  }{\sqrt{t}}dt=\\
&  =-\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left[  \left.  \frac{\varphi\left(
t\right)  }{\sqrt{t}}\right|  _{\varepsilon}^{b}+\frac{1}{2}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  }{t\sqrt{t}}dt\right]  ==\lim_{\varepsilon
\rightarrow0}\left[  \frac{\varphi\left(  \varepsilon\right)  }{\sqrt
{\varepsilon}}-\frac{1}{2}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  }{t\sqrt{t}}dt\right]  =\\
&  =\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left[  \frac{\varphi\left(  \varepsilon
\right)  }{\sqrt{\varepsilon}}-\frac{1}{2}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  0\right)  }{t\sqrt{t}}dt-\frac{1}{2}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\psi\left(  t\right)  }{\sqrt{t}}dt\right]  =\\
&  =\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left[  \frac{\varphi\left(  \varepsilon
\right)  }{\sqrt{\varepsilon}}-\frac{\varphi\left(  0\right)  }{\sqrt
{\varepsilon}}-\frac{1}{2}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\psi\left(  t\right)  }{\sqrt{t}}dt+\frac{\varphi\left(  0\right)
}{\sqrt{b}}\right]  =\\
&  =\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\left[  \frac{\varphi\left(  \varepsilon
\right)  -\varphi\left(  0\right)  }{\sqrt{\varepsilon}}-\frac{1}{2}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\varepsilon}^{b}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}^{b}}
%EndExpansion
\frac{\varphi\left(  t\right)  -\varphi\left(  0\right)  }{t\sqrt{t}%
}dt\right]  +\frac{\varphi\left(  0\right)  }{\sqrt{b}}%
\end{align*}
Poniewa\.{z} $\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{\varphi\left(
\varepsilon\right)  -\varphi\left(  0\right)  }{\sqrt{\varepsilon}}=0$ oraz
$b$ jest dowolnie du\.{z}\k{a} liczb\k{a} dodatni\k{a}, wi\k{e}c otrzymujemy tez\k{e}.

\item Wiedz\k{a}c, \.{z}e $L\left\{  J_{0}\left(  t\right)  \right\}  \left(
s\right)  =\frac{1}{\sqrt{s^{2}+1}}$ wyznaczy\'{c} odwrotn\k{a}
transformat\k{e} Laplace'a funkcji $F\left(  s\right)  =\sqrt{s^{2}+\alpha
^{2}}$.

\item Pokaza\'{c}, \.{z}e w przestrzeni dystrybucji $D_{0}^{\prime}$ prawdziwa
jest r\'{o}wno\'{s}\'{c}
\[
t^{k}\delta^{\left(  k\right)  }=\left(  -1\right)  ^{k}k!\delta
\]


\item Rozwi\k{a}za\'{c} w przestrzeni dystrybucji r\'{o}wnanie
r\'{o}\.{z}niczkowe
\[
D^{3}y+3D^{2}y+3Dy+y=\delta^{\left(  4\right)  }\left(  t-1\right)
\]

\end{enumerate}


\end{document}