%& --translate-file=ISO-8859-2
\documentclass[dvips]{report}
\usepackage[OT4]{polski}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{bbm}
\usepackage{verbatim}
\selecthyphenation{polish}
\DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}{m}{it}
\usepackage[pdftex,bookmarks=true,bookmarksnumbered=false,
bookmarksopen=false,linkcolor=webred,unicode=true]{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}

\setlength{\textwidth}{15cm}
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}
\setlength{\textheight}{640pt}
\parskip 3pt
\hoffset -40pt

\title{Transformaty ca\l  kowe i wst\k{e}p do teorii dystrybucji}

\newtheorem{defi}{Definicja}[section]
\newtheorem{twie}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{lema}{Lemat}[section]
\newtheorem{wnio}{Wniosek}[section]
\newtheorem{przy}{Przyk\l ad}[section]
\newtheorem{uw}{Uwaga}[section]
\newtheorem{wz}{Wz�r}[section]
\newtheorem{wl}{W\l asno��}[section]
\newenvironment{dow}{\textbf{Dow�d}}{\hfill$\square$}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=4.00.0.2312}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}
%TCIDATA{Created=Fri Nov 23 14:04:04 2007}
%TCIDATA{LastRevised=Saturday, November 24, 2007 07:48:34}
%TCIDATA{\langleMETA NAME="GraphicsSave" CONTENT="32"\rangle}
%TCIDATA{\langleMETA NAME="DocumentShell" CONTENT="General\Blank Document"\rangle}



\begin{document}
\section{Dystrybucje temperowane}

\begin{defi}
Funkcja $f(t)$ jest szybkomalej\k{a}ca $\Leftrightarrow$
\[
\forall n,k\in\mathbbm{N}\,\exists c_{n,k}\quad\left|  t^{n}\varphi^{\left(
k\right)  }\right|  \leq c_{n,k}.
\]
Zbi\'{o}r funkcji szybkomalej\k{a}cych oznaczamy przez $\Phi$.
\end{defi}

\begin{uw}
Zachodzi oczywista inkluzja $D\subset\Phi$, bowiem ka\.{z}da funkcja o
no\'{s}niku zwartym jest szybkomalej\k{a}ca. Co wi\k{e}cej, rozwa\.{z}aj\k{a}c
przyk\l ad funkcji $\varphi\left(  t\right)  =e^{-t^{2}}\in\Phi$ \l atwo
zauwa\.{z}y\'{c}, \.{z}e $\varphi\notin D$, zatem $D\varsubsetneq\Phi$.\hfill
\end{uw}

\begin{defi}
M\'{o}wimy, \.{z}e ci\k{a}g funkcji $\varphi_{n}\in\Phi$ zbiega do $\varphi
\in\Phi$ $\Leftrightarrow$ $\forall m,k\in\mathbbm{N}$ $t^{m}\varphi
_{n}^{\left(  k\right)  }\rightrightarrows t^{m}\varphi^{\left(  k\right)  }$
(zb. jednostajna).\hfill
\end{defi}

\begin{defi}
Dystrybucj\k{a} wolnorosn\k{a}c\k{a} (temperowan\k{a}) nazywamy
funkcjona\l \ \ liniowy i ci\k{a}g\l y na przestrzeni $\Phi$. Zbi\'{o}r
dytrybucji wolnorosn\k{a}cych oznaczamy $\Phi^{\prime}$.\hfill
\end{defi}

\begin{uw}
Oczywi\'{s}cie je\.{z}eli $f\in\Phi^{\prime}$, to $f\in D^{\prime}$, zatem
$\Phi^{\prime}\subset D^{\prime}$.
\end{uw}

Rozwa\.{z}my nast\k{e}puj\k{a}cy przyk\l ad:

\begin{przy}%
\[
\langle T,e^{-t^{2}}\rangle=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{n^{2}}e^{-n^{2}}.
\]
Zatem $T\notin\Phi^{\prime}\,,T\in D^{\prime}.$
\end{przy}

Przyj\k{e}cie powy\.{z}szej definicji dystrybucji temperowanej jest
uzasadnione tym, \.{z}e w przypadku funkcji klasycznych (dystrybucji
regularnych) mamy:
\[
\langle f,\varphi\rangle=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\varphi(t)\,dt,
\]
gdzie $\varphi\in\Phi$. O ile zachodzi oszacowanie:
\[
|f(t)|\leqslant Ct^{n}.
\]
to ca\l ka powy\.{z}sza istnieje dla ka\.{z}dej funkcji szybkomalej\k{a}cej
$\varphi$. Funkcje takie nazywamy wolnorosn\k{a}cymi. Ka\.{z}da
wolnorosn\k{a}ca funkcja wyznacza dystrybucj\k{e} temperowan\k{a}.

\section{Transformata Fouriera dystrybucji}

Przypomnijmy sobie r\'{o}wno\'{s}\'{c} Parsevala:\newline Je\'{s}li
$G_{1}=\mathpzc{F}[g_{1}]$ i $G_{2}=\mathpzc{F}[g_{2}]$, to:
\[
\int\limits_{-\infty}^{\infty}g_{1}(u)G_{2}(u)\,du= \int\limits_{-\infty
}^{\infty}g_{2}(u)G_{1}(u)\,du.
\]


\begin{defi}%
\[
\langle\mathpzc{F}[f],\varphi\rangle\overset{def}{=}\langle
f,\mathpzc{F}[\varphi]\rangle,
\]
gdzie $\varphi\in\Phi$.
\end{defi}

\begin{uw}
Uzasadnienie powy\.{z}szej definicji wynika z przedstawionej wy\.{z}ej
r\'{o}wno\'{s}ci Parsevala.
\end{uw}

\begin{twie}
Je\'{s}li $\varphi\in\Phi$, to $\mathpzc{F}[\varphi]\in\Phi$.
\end{twie}

\begin{dow}
Niech $F=\mathpzc{F}[\varphi]$. Mamy:
\[
F^{(k)}(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(it)^{k}e^{-i\omega t}%
\varphi(t)\,dt.
\]
Dokonajmy oszacowania:
\[
|(i\omega)^{n}F^{(k)}(\omega)|= \left| \int\limits_{-\infty}^{\infty
}e^{-i\omega t}{\frac{d^{n}}{dt^{n}}}\left( (-it)^{k}\varphi(t)\right)
\,dt\right|  \leqslant\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left| {\frac{d^{n}%
}{dt^{n}}}\left( (-it)^{k}\varphi(t)\right) \right| \,dt \leqslant
C_{n.k}\Rightarrow F\in\Phi.
\]

\end{dow}

\begin{uw}
Przekszta\l cenie: $\mathpzc{F}:\Phi\longrightarrow\Phi$ jest ci\k{a}g\l e.
Wystarczy pokaza\'{c} ci\k{a}g\l o\'{s}\'{c} w zerze. Czyli, \.{z}e je\'{s}li
$\varphi_{n}\rightarrow0$, to $\mathpzc{F}\varphi_{n}\rightarrow0$.
\end{uw}

\begin{uw}
Niech $f\in\Phi{\prime}$ oraz $\varphi_{n}\rightarrow0$. Mamy
\[
\langle\mathpzc{F}[f],\varphi_{n}\rangle=\langle f,\mathpzc{F}\varphi
_{n}\rangle\rightarrow\langle f,0\rangle=0.
\]
St\k{a}d $\mathpzc{F}[f]$ jest ci\k{a}g\l e.
\end{uw}

\subsection{W\l asno\'{s}ci}

\begin{twie}
[W\l asno\'{s}ci transformaty Fouriera dystrybucji]Niech $F=\mathpzc{F}[f]$. Wtedy:

\begin{enumerate}


\item $\mathpzc{F}[(-it)^{k}f(t)]=F^{(k)}(\omega).$ 

\item $\mathpzc{F}[D^{k}f]=(i\omega)^{k}F(\omega).$ 

\item $\mathpzc{F}[f(t-\tau)]=e^{-i\omega\tau}\mathpzc{F}.$ 

\item Niech $f=\delta^{(k)}(t-\tau).$\newline Wtedy:\newline%
$\mathpzc{F}[f]=(it)^{k}e^{-it\tau}.$ W szczeg\'{o}lno\'{s}ci:

\begin{itemize}


\item $\mathpzc{F}[\delta]=1,$ 

\item $\mathpzc{F}[\delta(t-\tau)]=e^{-it\tau},$ 

\item $\mathpzc{F}[\delta^{(k)}]=(it)^{k}.$
\end{itemize}

\item $\mathpzc{F}[1]=2\pi\delta.$ 

\item $\mathpzc{F}[e^{-it\tau}]=2\pi\delta(\omega+\tau).$ 

\item $\mathpzc{F}[(it)^{k}]=(-1)^{k}2\pi\delta^{(k)}.$ 

\item $\mathpzc{F}[(it)^{k}e^{-it\tau}]=(-1)^{k}2\pi\delta^{(k)}(\omega
+\tau).$ 

\item $\mathpzc{F}[at^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots +a_{0}]=2\pi[a_{n}i^{n}%
\delta^{(n)}+a_{n-1}(i)^{n-1}\delta^{(n-1)}+\ldots+a_{0}\delta].$
\end{enumerate}
\end{twie}

\begin{dow}
[W\l asno\'{s}\'{c} 1] We\'{z}my $k=1$:
\[
\langle F{\prime},\varphi\rangle=-\langle F,\varphi{\prime}\rangle= \langle
f,\mathpzc{F}(\varphi{\prime})\rangle= -\langle f,\int\limits_{-\infty
}^{\infty}e^{-i\omega t}\varphi{\prime}(\omega)\,d\omega\rangle.= \langle f,
-\int\limits_{-\infty}^{\infty}(-it)e^{-i\omega t}\varphi(\omega
)\,d\omega\rangle=
\]
\[
-\langle f, it\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-i\omega t}\varphi
(\omega)\,d\omega\rangle= \langle-it\cdot f,\mathpzc{F}[\varphi]\rangle=
\langle\mathpzc{F}[it\cdot f],\varphi\rangle.
\]

\end{dow}

\begin{dow}
[W\l asno\'{s}\'{c} 2]
\[
\langle\mathpzc{F}[D^{k}f],\varphi\rangle= \langle D^{k}%
f,\mathpzc{F}[\varphi]\rangle= (-1)^{k}\langle f, {\frac{d^{k}}{d\omega^{k}}%
}\mathpzc{F}[\varphi]\rangle= (-1)^{k}\langle
f,\mathpzc{F}[(-it)^{k}\varphi(t)]\rangle= \langle\mathpzc{F}[f],
(it)^{k}\varphi(t)\rangle=
\]
\[
=\langle\mathpzc{F}[f](it)^{k},\varphi\rangle.
\]

\end{dow}

\begin{dow}
[W\l asno\'{s}\'{c} 4]
\[
\langle\mathpzc{F}[f],\varphi\rangle= \langle\delta^{(k)}(t-\tau
),\mathpzc{F}\varphi\rangle= (-1)^{k}(\mathpzc{F}\varphi)^{(k)}(\tau)=
(-1)^{k}\mathpzc{F}[(-it)^{k}\varphi(t)](\tau)= \int\limits_{-\infty}^{\infty
}e^{-it\tau}(it)^{k}\varphi(t)\,dt=
\]
\[
=\langle e^{-it\tau}(it)^{k},\varphi\rangle.
\]

\end{dow}

\begin{dow}
[W\l asno\'{s}\'{c} 5]
\[
\langle\mathpzc{F}[1],\varphi\rangle= \langle1,\mathpzc{F}\varphi\rangle=
\int\limits_{-\infty}^{\infty}1\,d\omega\int\limits_{-\infty}^{\infty
}e^{-i\omega t}\varphi(t)\,dt= \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega\cdot
0}\,d\omega\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-i\omega t}\varphi(t)\,dt=
\]
\[
=2\pi\varphi(0)=\langle2\pi\delta,\varphi\rangle.
\]

\end{dow}

\begin{lema}
Zachodzi nast\k{e}puj\k{a}ca to\.{z}samo\'{s}\'{c}:
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-in\lambda}= 2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}%
\delta(\lambda-2n\pi).
\]

\end{lema}

\begin{dow}%
\begin{align*}
\left\langle
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-in\lambda}|\varphi\left(  \lambda\right)  \right\rangle  &  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-in\lambda}\varphi\left(  \lambda\right)  d\lambda=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \limits_{\left(  2k-1\right)  \pi}^{\left(  2k+1\right)  \pi}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{\left(  2k-1\right)  \pi}^{\left(  2k+1\right)
\pi}}
%EndExpansion
e^{-in\lambda}\varphi\left(  \lambda\right)  d\lambda=\\
&  =\left|
\begin{array}
[c]{l}%
\lambda-2k\pi=r\\
d\lambda=dr
\end{array}
\right|  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\pi}^{+\pi}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{+\pi}}
%EndExpansion
e^{-in\left(  r+2k\pi\right)  }\varphi\left(  r+2k\pi\right)  dr=\\
&  =\left|  \text{niech }\varphi_{k}\left(  r\right)  =\varphi\left(
r+2k\pi\right)  \right|  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{-in2k\pi}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\pi}^{+\pi}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{+\pi}}
%EndExpansion
e^{-inr}\varphi_{k}\left(  r\right)  dr=\\
&  =%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{in\left(  -2k\pi\right)  }c_{n}\left(  \varphi_{k}\right)
\end{align*}
gdzie $c_{n}\left(  \varphi_{k}\right)  =\frac{1}{2\pi}%
%TCIMACRO{\dint \limits_{-\pi}^{+\pi}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{+\pi}}
%EndExpansion
e^{-inr}\varphi_{k}\left(  r\right)  dr$ s\k{a} wsp\'{o}\l czynnikami Fouriera
funkcji $\varphi_{k}$. \newline Wyra\.{z}enie $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{in\left(  -2k\pi\right)  }c_{n}\left(  \varphi_{k}\right)  $ jest
warto\'{s}ci\k{a} sumy szeregu Fouriera tej funkcji w punkcie $r_{k}=-2k\pi$,
a zatem z okresowo\'{s}ci tej sumy mamy
\[%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{in\left(  -2k\pi\right)  }c_{n}\left(  \varphi_{k}\right)  =\varphi
_{k}\left(  -2k\pi\right)  =\varphi_{k}\left(  0\right)  =\varphi\left(
2k\pi\right)  \text{.}
\]
Wynika st\k{a}d, \.{z}e
\[%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
e^{in\left(  -2k\pi\right)  }c_{n}\left(  \varphi_{k}\right)  =2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\varphi\left(  2k\pi\right)  =\left\langle 2\pi%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
\delta\left(  \lambda-2k\pi\right)  |\varphi\right\rangle
\]
co ko\'{n}czy dow\'{o}d.\hfill
\end{dow}

\subsection{Wz\'{o}r sumacyjny Poissona}

\begin{twie}
[Wz\'{o}r sumacyjny Poissona]Je\.{z}eli $F=\mathpzc{F}[\varphi],$ to zachodzi
wz\'{o}r:
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}\varphi(2n\pi).
\]

\end{twie}

\begin{dow}%
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)= \langle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta
(\lambda-n),\mathpzc{F}\varphi\rangle= \langle\mathpzc{F}\left( \sum
_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\lambda-n)\right) ,\varphi\rangle=
\]
\[
\langle\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-in\lambda},\varphi\rangle= \langle2\pi
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\lambda-2n\pi),\varphi\rangle= 2\pi
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\varphi(2n\pi).
\]

\end{dow}

\subsection{To\.{z}samo\'{s}\'{c} Jacobiego}

\begin{twie}
[To\.{z}samo\'{s}\'{c} Jacobiego]Je\.{z}eli $\varphi(t)=e^{-tx^{2}},$ dla
$t\rangle0$, to $F(x)=\sqrt{\frac{\pi}{t}}e^{\frac{-x^{2}}{4t}}.$
\end{twie}

\begin{uw}
Dokonuj\k{a}c podstawienia $t={\frac{\tau}{4\pi^{2}}}$ otrzymujemy
nast\k{e}puj\k{a}c\k{a} posta\'{c} powy\.{z}szej to\.{z}samo\'{s}ci:
\[
\sqrt{\frac{\pi}{\tau}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\frac{-\pi^{2}n^{2}}{\tau}%
}= \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\tau n^{2}}.
\]

\end{uw}


\end{document}
