---
title: "Lecture 3: Elementy teorii mnogości"
lecture_number: 3
has_solutions: true
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Elementy teorii mnogości

## Zbiory

:::{narration}

Teoria mnogości zajmuje się badaniem ogólnych właściwości zbiorów, niezależnie od natury
przedmiotów, z których się one składają.

**Zbiór** {index}`zbiór` i **element zbioru** {index}`zbiór; element`
to podstawowe, niedefiniowalne pojęcia teorii mnogości.

Każdy zbiór składa się ze swoich elementów i jest przez nie wyznaczony jednoznacznie.
:::

:::{prf:definition}

$x$ **należy** {index}`zbiór; należenie` do zbioru $A$, jeśli element $x$ jest elementem zbioru $A$
i oznaczmy to przez

```{math}
x\in A.
```

$x$ **nie należy** do zbioru $A$, jeśli element $x$ nie jest elementem zbioru $A$
i oznaczmy to przez

```{math}
x\notin A.
```

:::

:::{prf:remark}

Znak $\in$ został wprowadzony przez Giuseppe Peano i jest pierwszą literą greckiego słowa $\epsilon\sigma\tau\iota$ (czytaj: esti)
oznaczającego **jest**.
:::

:::{prf:definition}

Zbiory $A$ i $B$ są **identyczne** {index}`zbiór; identyczny` lub
**równe**, {index}`zbiór; równy`
co piszemy jako
$A = B$,
jeśli

$$
\text{dla każdego $x$ zachodzi} \quad x \in A \Leftrightarrow x\in B.
$$

:::

:::{narration}

Ponieważ każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy,
to $A = B$ implikuje,
że $A$ i $B$ to ten sam zbiór,
choć na dwa różne sposoby oznaczony lub zdefiniowany.
:::

:::{prf:definition}

**Zbiór pusty**, {index}`zbiór; pusty` oznaczany symbolem **$\emptyset$**,
to zbiór do którego nie należy żaden element.
:::

:::{prf:example}

Przykłady zbiorów:

1. $\{a, b, c\} = \{c, a, b\} = \{a, c, a, b, a\}$
   -- _zbiór skończony składający się z 3. elementów: $a$, $b$ i $c$_
2. $\Set{4, 5, 6, \ldots }$ -- _zbiór składający się ze wszystkich liczb naturalnych począwszy od 4_
3. $\Set{x\in\rr : x>0} = (0, +\infty)$ -- _zbiór zadany przez formę zdaniową_
4. $\Set{n\in \zz : 2 | n }
= \Set{ n : \text{istnieje } k\in\zz \text{ takie, że } n = 2k}
= \Set{2k : k\in \zz}$
   -- _ten sam zbiór zadany przez różne formy zdaniowe_
5. $\Set{ \emptyset, \pi, \{1,2\}}$ -- _elementami zbioru mogą być zbiory; ten zawiera 3 elementy_
6. $\Set{ \Set{\Set{\Set{1},2},3},4}$ -- _ten zawiera 2 elementy_
7. $\Set{\emptyset} \neq \emptyset$ -- _zbiór składający się ze zbioru pustego nie jest pusty!_

:::

::::{prf:remark}

Istnieją "obiekty składające się z elementów", które nie są zbiorami,
na przykład:

:::{container} center-text
**Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów!**
:::

W tym celu wprowadza się pojęcie klasy.
Istnieje klasa wszystkich zbiorów.
Ale nie istnieje klasa wszystkich klas...

W dalszej części wykładu nie będziemy wchodzić w zawiłości teorii mnogości
i zajmiemy się jedynie zbiorami.
::::

## Inkluzja zbiorów

:::{prf:definition}

Zbiór $A$ **zawiera się** {index}`zbiór; zawieranie` w zbiorze $B$,
lub $A$ **jest podzbiorem** {index}`zbiór; podzbiór` zbioru $B$,
co piszemy jako

```{math}
A\subseteq B \qquad \text{lub} \qquad A \subset B
```

jeśli dla każdego $x$ zachodzi
$x\in A \Rightarrow x\in B.$
:::

:::{prf:remark}

Dla dowolnego zbioru $A$ zachodzi

```{math}
\begin{aligned}
\emptyset \subseteq A \qquad \text{oraz}
  \qquad A \subseteq A.
\end{aligned}
```

Należy wyraźnie rozróżnić pojęcie przynależności elementu i inkluzji zbiorów.
Na przykład:

- $1 \in \nn$ oraz $\{1\} \subseteq \nn$, ale $\{1\} \notin \nn$
- $\emptyset \subseteq \nn$, ale $\emptyset \notin \nn$ oraz $\{\emptyset\} \nsubseteq \nn .$

:::

:::{prf:proposition}

Dla dowolnych zbiorów $A, B, C$ zachodzą następujące własności:

1. $A = B \Leftrightarrow (A\subseteq B \wedge B \subseteq A)$
2. $(A\subseteq B \wedge B\subseteq C) \Rightarrow A \subseteq C.$

:::

:::{prf:definition}

Zbiór $A$ jest **właściwym podzbiorem** {index}`zbiór; podzbiór właściwy` $B$,
co oznaczmy jako

```{math}
\begin{aligned}
A \subsetneq B,
  \qquad \text{jeśli} \qquad
  A \subseteq B \wedge A \neq B.
\end{aligned}
```

:::

:::{prf:example}

Niech $B = \Set{1, 3, \Set{3},  \Set{1, 2}, \emptyset, \Set{1, \emptyset}, \Set{\emptyset, \Set{\emptyset}}} .$
Wówczas:

- $1\in B$ oraz $\Set{ 1 } \subseteq B$, ale $\Set{ 1 } \notin B$
- $3\in B$ $\Set{ 3 } \subseteq B$ oraz $\Set{ 3 } \in B$
- $\Set{1, \emptyset} \in B$ oraz
  $\Set{1, \emptyset} \subseteq B$
- $\Set{2, 1} \in B$ ale $\Set{2,1} \nsubseteq  B $
- $\emptyset \subseteq B$ ale również $\emptyset \in B $
- $\Set{\emptyset, \Set{\emptyset}} \in B$ ale
  $\Set{\emptyset, \Set{\emptyset}} \nsubseteq B.$
  :::

## Podstawowe działania na zbiorach

:::{narration}

W teorii zbiorów ograniczamy się do
rozważania tylko takich zbiorów, które są podzbiorami pewnego
ustalonego zbioru zwanego **przestrzenią** {index}`zbiór; przestrzeń`
(**uniwersum**). {index}`zbiór; uniwersum`

Niech $X$ będzie ustaloną przestrzenią.

Wyróżniamy trzy podstawowe działania dwuargumentowe na zbiorach
:::

:::{prf:definition}

**Sumę** {index}`zbiór; suma` zbiorów $A$ i $B$ definiujemy jako

```{math}
A\cup B = \{x\in X : x\in A \vee x \in B\},
```

czyli zbiór składający się ze wszystkich elementów zbioru $A$,
wszystkich elementów zbioru $B$ i nie zawierający żadnych innych elementów.

**Iloczyn** {index}`zbiór; iloczyn`
lub **przecięcie** {index}`zbiór; przecięcie`
lub **część wspólną** {index}`zbiór; część wspólna`
zbiorów $A$ i $B$ definiujemy jako

```{math}
A\cap B = \{x \in X : x\in A \wedge x \in B\},
```

czyli zbiór składający się z elementów zbioru $A$,
które są jednocześnie elementami zbioru $B .$

**Różnicę** {index}`zbiór; różnica` zbiorów $A$ i $B$ definiujemy jako

```{math}
A\setminus B = A - B = \{x \in X : x\in A \wedge x \notin B\},
```

czyli zbiór składający się ze wszystkich elementów zbioru $A$,
które nie są w zbiorze $B .$
:::

:::{prf:proposition}

Dla dowolnych zbiorów $A, B$ zachodzi

```{math}
\begin{aligned}
A\subseteq B
  \qlq
  A\cup B=B
  \qlq
  A\cap B=A
  \qlq
  A\setminus B= \emptyset.
\end{aligned}
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-01
:class: [exercise]

Niech

```{math}
\begin{aligned}
A & = \nn \cap ((-6,3)\cup (6,7)),  &
  B & = (\nn \cap (-6,3))\cup (6,7),  &
  C & = \emptyset \cup \Set{\emptyset}\cup\Set{1,3, \Set{\emptyset}}.
\end{aligned}
```

Znajdźmy (możliwie prosty zapis):
$
A,\ B,\ C,\ B \cup C,\
 B\setminus C,\
 C\setminus \emptyset,\
 C\setminus \Set{\emptyset},\
 C \setminus \Set{\Set{\emptyset}},\
 C\setminus B.
$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-03`, {numref}`prob-04-ex-08`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

- $A = \Set{1,2}$
- $B = \Set{1,2} \cup (6,7)$
- $C = \Set{\emptyset, 1,3, \Set{\emptyset}}$
- $B\cup C = \Set{\emptyset, 1,2,3, \Set{\emptyset}} \cup (6,7)$
- $B \setminus C = \Set{2} \cup (6,7)$
- $C \setminus \emptyset = \Set{\emptyset, 1,3, \Set{\emptyset}}$
- $C \setminus \Set{\emptyset} = \Set{1,3, \Set{\emptyset}}$
- $C \setminus \Set{\Set{\emptyset}} = \Set{1,3, \emptyset}$
- $C \setminus B = \Set{\emptyset, 3, \Set{\emptyset}}.$
:::

:::{prf:theorem}

Dla dowolnych zbiorów $A, B, C$ zachodzą następujące własności:

1. $A\cup \emptyset = A$

   $A\cap \emptyset = \emptyset$

2. $A, B \subseteq A \cup B$

   $A \cap B \subseteq A, B $

3. $A\cup A = A$

   $A\cap A = A \quad$
   -- _prawa idempotentności_

4. $A\cup B = B\cup A$

   $A\cap B = B\cap A \quad$
   -- _prawa przemienności_

5. $(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)$

   $(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C) \quad$
   -- _prawa łączności_

6. **$A\setminus(B\cup C)= (A\setminus B)\cap(A\setminus C)$**

   **$A\setminus(B\cap C)= (A\setminus B)\cup(A\setminus C) \quad$**
   -- _prawa de Morgana_

7. **$A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)$**

   **$A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$**

   **$A\cap (B\setminus C) = (A\cap B)\setminus (A\cap C) \quad$**
   -- _prawa rozdzielności_
:::

## Dopełnienie zbioru

:::{prf:definition}

**Dopełnienie** {index}`zbiór; dopełnienie`
zbioru $A\subseteq X$ definiujemy jako zbiór

```{math}
A' = X\setminus A \subseteq X.
```

:::

:::{prf:remark}

Dopełnienie zbioru zależy od uniwersum $X$!
:::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-03
:class: [exercise]

W przestrzeni $X = \nn_0$ znajdźmy
$
\Set{0}',\
 \Set{n \in \nn_0 : \exists k\in\nn \, n = 2k}'.
$
:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-04`, {numref}`prob-04-ex-05`, {numref}`prob-04-ex-09`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

- $\Set{0}' = \nn_0 \setminus \Set{0} = \nn,$
- $
  \Set{n \in \nn_0 : \exists k\in\nn \, n = 2k}'
  = \nn_0\setminus\Set{2k : k\in \nn}
  = \Set{2k-1 : k\in \nn}\cup\Set{0}.
  $
:::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-04
:class: [exercise]

W przestrzeni $X = \rr \setminus \rr_+$ znajdźmy
$
\Set{0}',\
 [-2,-1)' .
$
:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-04`, {numref}`prob-04-ex-05`, {numref}`prob-04-ex-09`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

Ponieważ $X = \rr_- \cup \Set{0} = (-\infty, 0]$, to:

- $\Set{0}' = \rr_-$
- $[-2,-1)' = (-\infty, -2) \cup [-1,0].$
:::

:::{prf:theorem}

Dla dowolnych zbiorów $A, B$ w przestrzeni $X$, zachodzą następujące własności:

1. $X' = \emptyset$

   $\emptyset ' = X$

2. **$A\cup A' =  X$**

   **$A\cap A' = \emptyset \quad$**
   -- _rozbicie przestrzeni_

3. $(A')' = A \quad$
   -- _inwolutywność_

4. **$(A\cup B)' = A'\cap B'$**

   **$(A\cap B)' = A'\cup B' \quad$**
   -- _prawa de Morgana_
:::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-05
:class: [exercise]

W przestrzeni $X = \rr^2$ niech

```{math}
\begin{aligned}
A' = \Set{(x,y)\in \rr^2 : y > x^2},\quad
  B' = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x > y}.
\end{aligned}
```

Znajdźmy $B,\ (A \cup B)',\ (A \cap B')'.$
:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-04`, {numref}`prob-04-ex-05`, {numref}`prob-04-ex-09`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

Warto skorzystać z równości:

```{math}
\begin{aligned}
(A\cup B)'  & = A'\cap B' ,
  &
  (A\cap B')' & = A'\cup B'' = A'\cup B .
\end{aligned}
```

Rozwiązanie graficzne: [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/y5nsdfwz).
:::


## Zbiór potęgowy

:::{prf:definition}

**Zbiór potęgowy** {index}`zbiór; potęgowy` zbioru $X$ definiujemy jako

```{math}
2^X = \{A: A\subseteq X\}
```

czyli zbiór składający się ze wszystkich podzbiorów zbioru $X .$
:::

:::{prf:remark}

1. Dla dowolnego zbioru $X$ zachodzi
   $\quad \emptyset \in 2^X \quad \text{oraz} \quad X \in 2^X.$
2. Jeśli zbiór $X$ ma $n\in \nn$ elementów, to zbiór $2^X$ ma
   $2^n$ elementów.
:::

:::{prf:example}

1. Dla $X = \emptyset$ mamy $2^\emptyset = \Set{\emptyset} .$
2. Dla $X = \Set{ a }$ mamy $2^X = \Set{\emptyset, \Set{a}} .$
:::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-02
:class: [exercise]

Znajdźmy zbiór potęgowy zbiorów $A = \Set{ \emptyset, 1, 2 }$
oraz
$B = \Set{0,\Set{1,\Set{2,\Set{3}}}}.$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-03`, {numref}`prob-04-ex-08`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

- $2^A = \Set{ \emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{2\}, \{\emptyset,1\}, \{\emptyset, 2\}, \{1, 2\}, A }$
- $2^B = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{\Set{1,\Set{2,\Set{3}}}}, B}.$
:::

## Iloczyn kartezjański

:::{narration}

Niech $n\in\nn$ i $n \geq 2 .$
:::

:::{prf:definition}

**Uporządkowany układ** {index}`układ uporządkowany`
elementów $a_1, a_2, \ldots ,a_n$ zapisujemy jako
$(a_1,a_2,\ldots ,a_n) .$
Dwa układy uporządkowane $(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ i $(b_1,b_2,\ldots ,b_n)$
uważamy za **równe**, co piszemy jako

```{math}
\begin{aligned}
(a_1, a_2,\ldots, a_n) = (b_1, b_2,\ldots, b_n),
  \qtq
  a_i = b_i \text{ dla }  i\in\{1, \ldots, n\} .
\end{aligned}
```

W przypadku $n=2$ uporządkowany układ $(x,y)$ nazywamy
**uporządkowaną parą** {index}`para uporządkowana`.
:::

:::{prf:definition}

**Iloczyn kartezjański zbiorów** {index}`zbiór; iloczyn kartezjański`
lub **produkt zbiorów** {index}`zbiór; produkt` $X_1, \ldots, X_n$
definiujemy jako zbiór

```{math}
\begin{aligned}
X_1 \times \cdots \times X_n = \displaystyle \prod_{i=1}^n X_i =
  \begin{cases}
 \ \Set{(x_1,\ldots,x_n) : x_1\in X_1 \wedge \ldots \wedge x_n \in X_n},
 & \qquad \text{jeśli } X_1, \ldots, X_n \neq \emptyset \\
 \ \emptyset & \qquad \text{w p.p.}
  \end{cases}
  .
\end{aligned}
```

W przypadku, gdy przestrzenie się powtarzają stosujemy oznaczenie

```{math}
\underbrace{X\times \cdots \times X}_{n \textrm{ razy}}  = X^n .
```

:::

:::{prf:remark}

1. Jeżeli $X, Y\neq \emptyset$ oraz $X\neq Y$, to $X\times Y\neq Y\times X$,
   czyli iloczyn kartezjański nie jest przemienny.

2. Jeżeli $X, Y, Z\neq \emptyset$, to
   $\Paren{X \times Y} \times Z \neq X \times \Paren{ Y \times Z}$,
   czyli iloczyn kartezjański nie jest łaczny.
   Dla przykładu, jeśli $X=\Set{0}$
   to

   $$
   \Paren{X \times X} \times X
   = \Set{\Paren{\Paren{0,0},0}}
   \neq \Set{\Paren{0,\Paren{0,0}}}
   = X \times \Paren{X \times X}.
   $$

:::

:::{prf:example}

1. Dla $n = 3$ możemy oczywiście zapisać

   ```{math}
   \begin{aligned}
   (x_1,\ldots ,x_3) & = (x_1, x_2, x_3),   &
   X_1  \times \cdots \times X_3 & = X_1 \times X_2 \times X_3.
   \end{aligned}
   ```

2. Podstawowym zbiorem, który będzie modelem dla wielu pojęć na tym wykładzie jest
   $n$-wymiarowa przestrzeń rzeczywista

   ```{math}
   \rr^n = \Set{(x_1,\ldots,x_n) : x_i\in \rr \text{ dla }  i\in\{1, \ldots, n\} }.
   ```

:::

:::{prf:proposition}

Dla dowolnych zbiorów $X$, $Y$, $Z$ zachodzi równość

```{math}
X \times (Y \diamond Z) = (X\times Y) \diamond (X \times Z),
```

gdzie za
$\diamond$ możemy podstawić jedno z działań $\cup$, $\cap$ lub $\setminus .$
:::

:::{prf:proposition}

Jeżeli zbiór $X_i$ ma $m_i\in \nn$ elementów, dla $i \in \Set{1,\ldots, n}$,
to zbiór $X_1\times\cdots\times X_n$ ma $m_1\cdots m_n$ elementów.
:::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-06
:class: [exercise]

Niech $X = \Set{e, \pi}$ oraz $Y = \Set{-1, 1} .$

Znajdźmy
$
X \times Y ,\
 Y \times X ,\
 X \times X ,\
 $

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-03`, {numref}`prob-04-ex-08`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

- $X \times Y = \Set{(e,-1),\ (e,1),\ (\pi, -1),\ (\pi, 1)}$
- $Y \times X = \Set{(-1,e),\ (1,e),\ (-1, \pi),\ (1, \pi)}$
- $X \times X = \Set{(e,e),\ (e,\pi),\ (\pi, e),\ (\pi, \pi)}.$
:::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-07
:class: [exercise]

Niech $X = \Set{\emptyset, \Set{1,\Set{2,3}}, 4}$, $Y = \Set{1, \nn \cap (0,2)} .$

Ile elementów mają zbiory $X \times Y$, $Y\times Y$ ?

Znajdźmy $Y \times Y .$
:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-03`, {numref}`prob-04-ex-08`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

Ponieważ $Y = \Set{1,\Set{1}}$, to:

- $X \times Y$ ma $3\cdot 2 = 6$ elementów
- $Y \times Y$ ma $2\cdot 2 = 4$ elementy
- $Y\times Y = \Set{(1, 1),\ (1, \Set{1}), \ (\Set{1}, 1),\ (\Set{1},\Set{1}) }.$
:::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-08
:class: [exercise]

Niech $X = \Set{\emptyset, \rr} .$

Znajdźmy
$
X \times X \times X,\
 (X \times X \times X) \setminus \Set{\emptyset,\emptyset, \emptyset}.
$
:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-03`, {numref}`prob-04-ex-08`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

- $X \times X \times X =
  \Set{
  (\emptyset, \emptyset, \emptyset),\
  (\rr, \emptyset, \emptyset),\
  (\emptyset, \rr, \emptyset),\
  (\rr, \rr, \emptyset),\
  (\emptyset, \emptyset, \rr),\
  (\rr, \emptyset, \rr),\
  (\emptyset, \rr, \rr),\
  (\rr, \rr, \rr)
  }$

- $(X \times X \times X) \setminus \Set{\emptyset,\emptyset, \emptyset}
  = (X \times X \times X) \setminus \Set{\emptyset}
  = X \times X \times X.$
:::

:::{prf:remark}

Jeśli $A_1\subseteq B_1, \ldots, A_n\subseteq B_n$,
to $A_1 \times \cdots \times A_n \subseteq B_1 \times \cdots \times B_n.$
W szczególności jeśli $A_1,\ldots, A_n \subseteq X$,
to $A_1 \times \cdots \times A_n \subseteq X^n.$
:::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-09
:class: [exercise]

Zaznaczmy na płaszczyźnie $\rr^2$
zbiory $\rr\times \Set{1,2}$,\ $\Set{1,2}\times(-1,1]$,\ $[-1,2)^2 .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-06`, {numref}`prob-04-ex-10`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

Rozwiązanie graficzne: [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/dxhqghes).
:::

## Indeksowane rodziny zbiorów

:::{narration}

Niech $X\neq \emptyset$ będzie zbiorem odgrywającym rolę **przestrzeni**,
$T\neq\emptyset$ -- zbiorem **indeksów** (elementy zbioru $T$ nazywamy {indeksami}).
:::

:::{prf:definition}

**Indeksowaną rodziną podzbiorów** {index}`indeksowana rodzina podzbiorów`
zbioru $X$ definiujemy jako dowolną funkcję

```{math}
f: T \to 2^X,\qquad f(t) =  A_t\subseteq X,
```

która przyporządkowuje każdemu $t\in T$ pewien podzbiór $A_t$ w $X .$

Indeksowaną rodzinę zbiorów oznaczamy przez $\quad (A_t)_{t\in T} .$
:::

:::{prf:example}
:label: example-rodzinypodzbiorow

1. Dla $X=\rr$, $T = \Set{2,\pi,e}$, $f(t) = A_t = \Set{n\in \nn : n < t}$, mamy:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   A_2 & = \Set{1},
   &
   A_{\pi} & = \Set{1,2,3},
   &
   A_{e}   & = \Set{1,2}.
   \end{aligned}
   ```

2. Dla $X=\rr$, $T = \nn$
   $A_t = \Set{ x \in \rr : -t \leq x < \frac 1 t}$
   możemy wypisać przykładowo:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   A_1 & = \IntCO{-1,1},
   &
   A_2 & = \IntCO{-2,\frac 1 2},
   &
   A_3 & = \IntCO{-3,\frac 1 3},
   &
   A_n & = \IntCO{-n,\frac 1 n}.
   \end{aligned}
   ```

3. Dla $X=\rr$, $T = \rr$,
   $A_t = \Set{ x \in \rr :  t = x^2}$ można zauważyć, że

   $$
   A_t =
   \begin{cases}
   \emptyset,   & \text{dla } t < 0 \\
   \Set{0}, & \text{dla } t = 0 \\
   \Set{-\sqrt t, \sqrt t}, & \text{dla } t > 0
   \end{cases}
   .
   $$

4. Dla $X=\rr^2$, $T = \rr_+$,

   $$
   A_t = \Set{ (x,y)\in\rr^2 : x \geq t\cdot y^2 }
   $$

   możemy przedstawić zbiory tej rodziny graficznie,
   np. dla: $t=\frac 1 {27},\ \frac 1 4,\ 1,\ 9$, etc..

   [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/tumx5xwn)

:::

## Działania nieskończone na zbiorach

:::{narration}

Niech $(A_t)_{t\in T}$ będzie dowolną indeksowaną rodziną podzbiorów
zbioru $X .$
:::

:::{prf:definition}

**Uogólnioną sumę zbiorów** {index}`zbiór; uogólniona suma` $A_t$, $t\in T$, definiujemy jako
zbiór

```{math}
\displaystyle\bigcup_{t\in T} A_t = \{a\in X : \exists t\in T \,\, a \in A_t\}.
```

:::

::::{narration}

Definicję można zapisać równoważnie:

```{math}
\begin{aligned}
a & \in \bigcup_{t\in T} A_t \qlq \exists t \in T \ a\in A_t.
\end{aligned}
```

Nieformalnie, uogólnioną sumę rodziny zbiorów można określić jako

:::{container} center-text
**najmniejszy zbiór zawierający wszystkie zbiory tej rodziny**.
:::

::::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-10
:class: [exercise]

Znajdźmy uogólnione sumy zbiorów dla danych
z {prf:ref}`example-rodzinypodzbiorow`
:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-04`, {numref}`prob-04-ex-05`, {numref}`prob-04-ex-06`, {numref}`prob-04-ex-09`, {numref}`prob-04-ex-10`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

- Dla $X=\rr$, $T = \Set{2,\pi,e}$,  $A_t = \Set{n\in \nn : n < t}$ wychodzi
  $
  \quad
  \displaystyle
  \bigcup_{t\in T} A_t = A_2 \cup A_{\pi} \cup A_e = \Set{1,2,3}.
  $

- Dla  $X=\rr$, $T = \nn$
  $A_n = \IntCO{-n,\frac 1 n}$ wychodzi
  $
  \quad
  \displaystyle
  \bigcup_{n\in \nn} A_n = (-\infty, 1).
  $

- Dla $X=\rr$, $T = \rr$,
  $A_t = \Set{ x \in \rr :  t = x^2}$
  % $
  %  A_t =
  %  \begin{cases}
  %   \emptyset,   & \text{dla } t < 0 \\
  %   \Set{0},     & \text{dla } t = 0 \\
  %   \Set{-\sqrt t, \sqrt t}, & \text{dla } t > 0
  %  \end{cases}
  % $
  wychodzi
  $
  \quad
  \displaystyle
  \bigcup_{t\in \rr} A_t = \rr,
  \quad
  $
  bo każda liczba rzeczywista jest $\pm$ pierwiastkiem z pewnej liczby rzeczywistej.

-
  Dla $X=\rr^2$, $T = \rr_+$,
  $A_t = \Set{ (x,y)\in\rr^2 : x \geq t\cdot y^2 }$
  wychodzi

  $$
  \bigcup_{t\in \rr_+} A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x> 0} \cup \Set{(0,0)}.
  $$

  Odpowiedź można przedstawić graficznie:
  [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/tumx5xwn).
:::

:::{prf:definition}

**Uogólniony iloczyn zbiorów** {index}`zbiór; uogólniony iloczyn` $A_t$, $t\in T$, definiujemy jako
zbiór

```{math}
\displaystyle\bigcap_{t\in T} A_t = \{a\in X :\forall t\in T \,\, a \in A_t\}.
```

:::

::::{narration}

Definicję można zapisać równoważnie:

```{math}
\begin{aligned}
\displaystyle
  a  \in \bigcap_{t\in T} A_t \qlq \forall t\!\in\! T \ a\in A_t.
\end{aligned}
```

Nieformalnie, uogólniony iloczyn rodziny zbiorów można określić jako

:::{container} center-text
**największy zbiór zawarty w każdym zbiorze tej rodziny**.
:::

::::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-11
:class: [exercise]

Znajdźmy uogólnione iloczyny zbiorów dla danych
z {prf:ref}`example-rodzinypodzbiorow`
:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-04`, {numref}`prob-04-ex-05`, {numref}`prob-04-ex-06`, {numref}`prob-04-ex-09`, {numref}`prob-04-ex-10`.
:::

::::

:::{answer}
:class: [solution] dropdown

- Dla $X=\rr$, $T = \Set{2,\pi,e}$,  $A_t = \Set{n\in \nn : n < t}$ wychodzi
  $
  \quad
  \displaystyle
  \bigcap_{t\in T} A_t = A_2 \cap A_{\pi} \cap A_e = \Set{1}.
  $

- Dla  $X=\rr$, $T = \nn$
  $A_n = \IntCO{-n,\frac 1 n}$ wychodzi
  $
  \quad
  \displaystyle
  \bigcap_{n\in \nn} A_n = [-1, 0].
  $

- Dla $X=\rr$, $T = \rr$,
  $A_t = \Set{ x \in \rr :  t = x^2}$
  % $
  %  A_t =
  %  \begin{cases}
  %   \emptyset,   & \text{dla } t < 0 \\
  %   \Set{0},     & \text{dla } t = 0 \\
  %   \Set{-\sqrt t, \sqrt t}, & \text{dla } t > 0
  %  \end{cases}
  % $
  wychodzi
  $
  \quad
  \displaystyle \bigcap_{t\in \rr} A_t = \emptyset,
  \quad
  $
  bo zbiory $A_t$ są (parami) rozłączne.

- Dla $X=\rr^2$, $T = \rr_+$,
  $A_t = \Set{ (x,y)\in\rr^2 : x \geq t\cdot y^2 }$
  wychodzi

  $$
  \displaystyle
  \bigcap_{t\in \rr_+} A_t
  = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x\geq 0 \wedge y = 0}
  = \Set{(x,0)\in \rr^2 : x\geq 0}
  = [0,+\infty) \times \Set{0}.
  $$

  Odpowiedź można przedstawić graficznie:
  [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/tumx5xwn).
:::

:::{prf:remark}

W przypadku, gdy zbiór indeksów pokrywa się z liczbami naturalnymi począwszy od ustalonej $n\in\nn$, czyli
$T = \nn_{n} = \{ n, n+1, n+2, \ldots \}$,
używane są oznaczenia:

```{math}
\begin{aligned}
\bigcup_{t\in \nn_n} A_t & = \bigcup_{k = n}^\infty A_k , &
  \bigcap_{t\in \nn_n} A_t & = \bigcap_{k = n}^\infty A_k
\end{aligned}
```

:::

:::{prf:example}

Jeśli zbiór indeksów $T = \{t_1, \ldots, t_n\}$ jest skończony to

```{math}
\begin{aligned}
\bigcup_{t\in T} A_t & = A_{t_1} \cup \cdots \cup A_{t_n}, &
  \bigcap_{t\in T} A_t & = A_{t_1} \cap \cdots \cap A_{t_n}.
\end{aligned}
```

:::

:::{prf:proposition}

Dla dowolnych niepustych zbiorów $X$, $T$, oraz
dowolnej indeksowanej rodziny podzbiorów
$(A_t)_{t\in T}$ zbioru $X$ zachodzą następujące własności:

1. Dla każdego ${s \in T}$ mamy

   ```{math}
   \displaystyle A_s \subseteq \bigcup_{t\in T} A_t.
   ```

2. Dla każdego ${s \in T}$ mamy

   ```{math}
   \displaystyle \bigcap_{t\in T} A_t \subseteq A_s.
   ```

3. Jeśli istnieją $ t*1,\ldots,t_n \in T$ takie, że
   $\quad \displaystyle \forall {t\in T}\; A_t \subseteq A_{t_1}\cup\cdots \cup A_{t_n}$,
   wówczas

   ```{math}
   \displaystyle \bigcup_{t\in T} A_t = A_{t_1}\cup\cdots \cup A_{t_n}.
   ```

4. W szczególności, jeśli istnieją $ t_1,\ldots,t_n \in T$ takie, że
   $\quad A*{t*1}\cup\cdots \cup A*{t_n} = X$,
   wówczas

   ```{math}
   \displaystyle \bigcup_{t\in T} A_t = X.
   ```

5. Jeśli istnieją $ t*1,\ldots,t_n \in T$ takie, że
   $\quad
   \displaystyle \forall {t\in T}\; A_{t_1}\cap\cdots \cap A_{t_n} \subseteq A_t$,
   wówczas

   ```{math}
   \displaystyle \bigcap_{t\in T} A_t = A_{t_1}\cap\cdots \cap A_{t_n}.
   ```

6. W szczególności, jeśli istnieją $ t_1,\ldots,t_n \in T$ takie, że
   $\quad
   A*{t*1}\cap\cdots \cap A_{t_n} = \emptyset$,
   wówczas

   ```{math}
   \displaystyle \bigcap_{t\in T} A_t = \emptyset.
   ```

7. Dla $B\subseteq X$ zachodzą uogólnione prawa de Morgana:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   B\setminus\left(\bigcup_{t\in T} A_t\right) & = \bigcap_{t\in T} \left( B\setminus A_t \right) ,
   &
   B\setminus\left(\bigcap_{t\in T} A_t\right) & = \bigcup_{t\in T} \left( B\setminus A_t \right) .
   \end{aligned}
   ```

8. W szczególności uogólnione prawa de Morgana dla dopełnienia w przestrzeni $X$:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   \left(\bigcup_{t\in T} A_t\right)' & = \bigcap_{t\in T} A_t' ,
   &
   \left(\bigcap_{t\in T} A_t\right)' & = \bigcup_{t\in T} A_t' .
   \end{aligned}
   ```

:::

::::{exercise}
:label: lec-03-ex-12
:class: [exercise]

Dla przestrzeni $X=\rr$
rozpatrzmy rodzinę podzbiorów

```{math}
\begin{aligned}
\displaystyle A_n = \Set{ x \in \rr :  (-1)^n\cdot x > n },
  \quad n\in\nn.
\end{aligned}
```

Korzystając z powyższych własności wyznaczmy:

```{math}
\begin{aligned}
\bigcup_{n\in \nn} A_n \ ,\quad
  \bigcap_{n\in \nn} A_n \ ,\quad
\bigcap_{n\in \nn} A'_n \ ,\quad
\bigcup_{n\in \nn} \rr_+ \setminus A_n \ .
\end{aligned}
```

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-04`, {numref}`prob-04-ex-05`, {numref}`prob-04-ex-06`, {numref}`prob-04-ex-09`, {numref}`prob-04-ex-10`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Zauważmy, że dla $n =2k -1$, $k\in \nn$,

```{math}
(-1)^{2k-1}\cdot x > 2k-1 \qlq x < -(2k-1),
```

więc
$
\Quad{A_{2k-1} = (-\infty, -2k +1).}
$

Analogicznie, dla $k \in \nn$,
$
\Quad{A\_{2k} = (2k, + \infty).}
$

1. Zauważmy, że
   $\Quad{\forall k\in \nn \quad A_{2k-1} \subseteq A_1}$
   oraz
   $\Quad{A_{2k} \subseteq A_2,}$
   więc
   $\quad
   \forall n\in \nn \; A_n \subseteq A_1 \cup A_2 .$

   Zatem
   $\quad
   \displaystyle\bigcup_{n\in \nn} A_n = A_1 \cup A_2 = \rr\setminus [-1,2].$

2. Ponieważ $A_1 \cap A_2 = \emptyset$, to
   $\quad
   \displaystyle\bigcap_{n\in \nn} A_n = \emptyset.$

3. Zgodnie z prawem de Morgana,

   ```{math}
   \begin{aligned}
   \bigcap_{n\in \nn} A'_n
   = \Paren{\bigcup_{n\in \nn} A_n}'
   = [-1,2].
   \end{aligned}
   ```

4. Zgodnie z prawem de Morgana,

   ```{math}
   \begin{aligned}
   \bigcup_{n\in \nn} \rr_+ \setminus A_n
   = \rr_+ \setminus\Paren{\bigcap_{n\in \nn}  A_n}
   = \rr_+.
   \end{aligned}
   ```

:::