---
title: "Lecture 4: Funkcje"
lecture_number: 4
has_solutions: true
has_exercises: true
file_format: mystnb
kernelspec:
  name: sagemath
  display_name: SageMath
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Funkcje

## Definicja funkcji

:::{narration}

Niech $X, Y$ będą zbiorami niepustymi.
:::

:::{prf:definition}

**Funkcją** {index}`funkcja` odwzorowującą zbiór $X$ w $Y$ nazywamy przyporządkowanie
każdemu elementowi zbioru $X$ **dokładnie jednego** elementu ze zbioru $Y .$
:::

:::{narration}

Jeśli funkcję oznaczymy symbolem $f$, to
zapis

```{math}
f:X\to Y.
```

czytamy jako
**$f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$**.

Przy tych oznaczeniach definicję funkcji możemy zapisać w następujący sposób:

```{math}
\forall x\in X\; \exists! y\in Y \; f(x) = y.
```

:::

:::{prf:remark}

Zamiast słowa funkcja możemy równoważnie używać słów **odwzorowanie**
lub **przekształcenie**. Jeśli zatem $f : X\to Y$,
to powiemy, że $f$ jest odwzorowaniem lub przekształceniem zbioru $X$ w zbiór $Y .$
:::

:::{narration}

Ustalmy funkcję $f: X \to Y .$
:::

:::{prf:definition}

**Dziedzina** {index}`funkcja; dziedzina` funkcji $f$
to
zbiór $D_f = X .$

**Przeciwdziedzina** {index}`funkcja; przeciwdziedzina` funkcji $f$
to
zbiór $Y .$

**Argumenty** {index}`funkcja; argument` funkcji $f$
to
elementy dziedziny $D_f .$

**Wartość** {index}`funkcja; wartość` funkcji $f$ dla argumentu $x\in X$ to
element $y = f(x) .$ Mówimy wtedy, że $x$ przechodzi na $y$, lub $x$ przechodzi na $f(x)$,
co zapisujemy jako

```{math}
x \mapsto y \qquad \text{lub} \qquad x \mapsto f(x).
```

**Zbiór wartości** {index}`funkcja; zbiór wartości`
funkcji $f$ to zbiór

```{math}
R_f = f(X) = \{f(x) : x \in X \}\subseteq Y
```

tych elementów przeciwdzidziny $y\in Y$, dla
których istnieje (niekoniecznie jeden)
argument $x\in X$ taki, że $y = f(x) .$

**Wykres** {index}`funkcja; wykres` funkcji $f: X \to Y$ to zbiór

```{math}
\Gamma_f = \Set{ (x,f(x)) : x\in X } \subseteq X\times Y.
```

:::

:::{prf:remark}

Jeśli zadamy wzorem funkcję o wartościach rzeczywistych
(np. $f(x) = \frac 1 x$),
nie podając
między jakimi zbiorami ona działa,
to zakładamy, że $X=D_f$ jest maksymalnym zbiorem,
na którym można ją określić (w przykładzie $D_f = \rr\setminus\Set{0}$),
zaś $Y = \rr .$
:::

:::{narration}

**Zbiór wszystkich funkcji**
$f: X\to Y$ oznaczamy symbolem $Y^X.$
:::

## Przykłady funkcji

### Identyczność

:::{narration}

Niech $X\neq \emptyset$ będzie zbiorem.

**Identycznością** {index}`funkcja; identycznościowa`
na $X$ nazywamy funkcję

```{math}
\begin{aligned}
\id_X:X\rightarrow X,\qquad
  \id_X(x)=x.
\end{aligned}
```

Zbiorem wartości $\id_X$ jest $X .$

:::

```{raw} html
<style>
  /* Ukrywa edytor kodu (CodeMirror) wewnątrz komórki Sage */
  .sage-hidden-code .sagecell_commands,
  .sage-hidden-code .sagecell_editor {
      display: none !important;
  }

  /* Opcjonalnie: jeśli chcesz ukryć też logo Sage pod przyciskiem */
  .sage-hidden-code .sagecell_poweredBy {
      display: none !important;
  }
</style>

<div class="sagecell-widget sagecell-exercise sage-hidden-code">
<script type="text/x-sage">
@interact
def _(N=slider(1, 10, 1, default=5)):
    p = plot(x, (x, -N, N), thickness=3, color=(154/255, 15/255, 8/255))
    show(p, xmin=-10, xmax=10, ymin=-10, ymax=10, aspect_ratio=1, frame=False, transparent=True)
</script>
</div>
```

### Funkcja charakterystyczna

:::{narration}

Niech dodatkowo $A\subseteq X .$

**Funkcją charakterystyczną** {index}`funkcja; charakterystyczna`
lub **indykatorową** {index}`funkcja; indykatorowa`
zbioru $A$ nazywamy funkcję

```{math}
\begin{aligned}
\mathbb{1}_A:X\rightarrow \rr, \qquad
  \mathbb{1}_A(x)= \begin{cases}
 1 & \text{ dla } x\in A\\
 0 & \text{ dla } x\notin A
  \end{cases}.
\end{aligned}
```

Zbiorem wartości $\mathbb{1}_X$ jest $\{0,1\}.$
:::

:::{prf:example}

Wykresy funkcji $\mathbb{1}_A : X \to \rr$ dla:

1. $X = (-3, 3), \; A = (-1, 2]$ w [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/bwf4pw57)
2. $X = \rr, \; A = \nn$ w [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/bwf4pw57)
3. $X = \rr^2, \; A = [-1, 1]^2$ w [GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/qpac7ufy).

:::

### Podłoga i sufit

:::{narration}

**Część całkowita**, {index}`funkcja; część całkowita`
**cecha** {index}`funkcja; cecha`
lub
**podłoga** {index}`funkcja; podłoga` liczby
to funkcja

$$
\rr \to \rr, \qquad
x \mapsto [x] = \lfloor x \rfloor
= \max \Set{n \in \zz : n \leq x},
$$

czyli największa liczba całkowita nie większą niż $x .$

Zbiorem wartości jest $\zz .$

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[floor(x)],
(x, -3, 3),
thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=-2, ymax=2,
legend_label='automatic',
color=PWRed
),
transparent=True, frame=False)
```

:::{narration}

**Cecha górna** {index}`funkcja; cecha górna`
lub
**sufit** {index}`funkcja; sufit` liczby
to funkcja

$$
\rr \to \rr, \qquad
 x \mapsto \lceil x \rceil
 = \min \Set{n \in \zz : x \leq n},
$$

czyli najmniejsza liczba całkowita nie mniejszą niż $x .$

Zbiorem wartości jest $\zz .$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[ceil(x)],
(x, -3, 3),
thickness=3, aspect_ratio=1,  ymin=-2, ymax=2,
legend_label='automatic',
color=PWRed
),
transparent=True, frame=False)
```

:::{prf:example}

$$
\begin{aligned}
[7] = \lceil 7 \rceil & = 7,
 &
[-7] = \lceil -7 \rceil & = -7,
\\
[1.2]  & = 1 ,
 &
[-1.2] & = -2 ,
 &
\left[-\pi \right] = -4,
\\
\lceil 1.2 \rceil  & = 2 ,
 &
\lceil -1.2 \rceil & = -1 ,
 &
\lceil -\pi \rceil = -3.
\end{aligned}
$$

:::

## Obraz zbioru wyznaczony przez funkcję

:::{narration}

Niech $f:X\to Y$ i weźmy zbiór $A\subseteq X .$
:::

:::::{prf:definition}

::::{container} side-by-side

:::{container} column-two-third

**Obraz zbioru** {index}`funkcja; obraz zbioru`
$A$ wyznaczony przez funkcję $f$
definiujemy jako zbiór

```{math}
f(A) = \{f(x) : x\in A\} = \bigcup_{x \in A}\Set{f(x)} \subseteq Y.
```

Innymi słowy

```{math}
y\in f(A)\qlq \exists x\in A\;\;y=f(x).
```

:::

:::{container} column-one-third

```{include} ../_includes/graf-funkcji-A.md
```

```{math}
\begin{aligned}
f(\Set{a,b}) & = \Set{q}   \\
f(\Set{a,c}) & = \Set{q,r}
\end{aligned}
```

:::

::::

:::::

:::{prf:example}

1. Dla zbiorów jednoelementowych mamy $f(\Set{a}) = \Set{f(a)}.$
2. Analogicznie, dla zbiorów skończonych mamy

   ```{math}
   f(\Set{a_1, a_2, \ldots, a_k}) = \Set{f(a_1), f(a_2), \ldots, f(a_k)}.
   ```

3. Zbiór wartości $R_f = f(X)$ funkcji $f:X\to Y$ jest obrazem $X$ wyznaczonym przez $f .$

   Stąd takie oznaczenie!
:::

:::{prf:definition}

**Obcięcie funkcji** {index}`funkcja; obcięcie` $f: X \to Y$ do zbioru $A$ definiujemy jako
funkcję $f|_A : A\to Y$, zadaną wzorem

```{math}
f|_A(x) = f(x) \qquad \text{dla każdego } x \in A.
```

Innymi słowy, zmniejszamy jedynie dziedzinę tej funkcji nie zmieniając jej wartości na argumentach.
:::

:::{prf:remark}

Znajdowanie obrazu zbioru $A\subseteq X$ przez funkcję $f:X\to Y$
polega na znalezieniu zbioru wartości obcięcia $f|_A:A\to Y.$
:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-01
:class: [exercise]

[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/vsgwzfep)

Dla funkcji $f : \rr \to \rr$ danej wzorem
$f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x,$ znajdźmy:

:::{container} columns-2-auto

1. $f([-1,2)) $
2. $f([-3,4)) .$

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-01`, {numref}`prob-05-ex-04`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Należy zbadać przebieg zmienności funkcji i wspomóc się wykresem.
Ponieważ

```{math}
\Quad{f'(x) = x^2 -4 < 0} \Leftrightarrow \Quad{x\in (-2,2),}
```

to funkcja jest:
rosnąca na $(-\infty, -2)$; $\quad$
malejąca na $(-2, 2)$; $\quad$
rosnąca na $(2, + \infty) .$

1. Na przedziale $[-1,2)$ funkcja maleje, więc przyjmuje wartość największą
   w punkcie $x=-1$ równą $f(-1) = \frac {11} 3 ,$
   i maleje do wartości $f(2) = - \frac {16} 3 .$
   Stąd

   ```{math}
   f([-1,2)) = \IntOC{- \frac {16} 3, \frac {11} 3}.
   ```

2. Na przedziale $[-3,4)$ funkcja ma
   maksimum lokalne w punkcie $x = -2$ ($f(-2) =  \frac {16} 3$)
   i minimum lokalne w punkcie $x = 2$ ($f(2) = - \frac {16} 3$).
   Ponadto musimy policzyć wartości na brzegu:
   $f(-3) = 3,\ f(4) = \frac {16} 3.$
   Zatem

   ```{math}
   f([-3,4)) = \Brack{- \frac {16} 3, \frac {16} 3}.
   ```

:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-02
:class: [exercise]

[GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/pj7ujmva)
[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/nwvhxx4q)

Dla $f : \rr^2 \to \rr$ danej wzorem
$f(x,y) = y\cdot \cos x,$
znajdźmy:

:::{container} columns-2-auto

1. $
   f\Paren{\IntCO{-\pi,\frac \pi 2}\times\Set{\frac \pi 3}}
   $

2. $
   f\left( \IntCO{-\frac \pi 3,\pi}^2 \right).
   $

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-01`, {numref}`prob-05-ex-04`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Wartość $y = \frac \pi 3$ jest ustalona,
   więc wprowadźmy funkcję

   ```{math}
   \begin{aligned}
   g: \rr \to \rr,
   \quad
   g(x) = f\Paren{x,\tfrac \pi 3} = \tfrac \pi 3 \cos x.
   \end{aligned}
   ```

   Ponieważ $x \in \IntCO{-\pi,\tfrac \pi 2}$, to

   ```{math}
   \begin{aligned}
   f\Paren{\IntCO{-\pi,\tfrac \pi 2}\times\Set{\tfrac \pi 3}}
   = g\Paren{\IntCO{-\pi,\tfrac \pi 2}}
   = \Brack{-\tfrac \pi 3, \tfrac \pi 3}.
   \end{aligned}
   ```

   Ostatnia równość wynika z analizy przebiegu zmienności funkcji $g$
   na zbiorze $\IntCO{-\pi,\tfrac \pi 2} .$

2. Zauważmy, że $f(x,y) = f_1(x)\cdot f_2 (y)$, gdzie

   ```{math}
   \begin{aligned}
   f_1(x) = \cos x,
   \quad
   f_2(y) = y.
   \end{aligned}
   ```

   Dla $x\in \IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi}$ funkcja $f_1$ przyjmuje wartości z przedziału $(-1,1] .$

   Dla $y\in \IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi}$ funkcja $f_2$ przyjmuje wartości z przedziału $\IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi} .$

   Funkcja $f$ na $\IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi}^2$ będzie przyjmować wartości będące
   iloczynami liczb z tych przedziałów.
   Zatem

   ```{math}
   \begin{aligned}
   f\left( \IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi}^2 \right)
   = \Set{a \cdot b \in \rr : a \in (-1,1],\ b\in \IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi}}
   = (-\pi, \pi).
   \end{aligned}
   ```

:::

## Przeciwobraz zbioru wyznaczony przez funkcję

:::{narration}

Niech $f:X\to Y$ i weźmy zbiór $B\subseteq Y .$
:::

:::::{prf:definition}

::::{container} side-by-side

:::{container} column-two-third

**Przeciwobraz zbioru** {index}`funkcja; przeciwobraz zbioru`
$B$ wyznaczony przez funkcję
$f$ definiujemy jako zbiór

```{math}
f^{-1}(B) = \{x\in X : f(x) \in B\} = \bigcup_{b \in B}\Set{x\in X : f(x) = b}.
```

Innymi słowy

```{math}
\begin{aligned}
x\in f^{-1}(B)
  \qlq
  f(x)\in B.
\end{aligned}
```

:::

:::{container} column-one-third

```{include} ../_includes/graf-funkcji-A.md
```

```{math}
\begin{aligned}
f^{-1}(\Set{p})   & = \emptyset   \\
f^{-1}(\Set{q})   & = \Set{a,b}   \\
f^{-1}(\Set{q,r}) & = \Set{a,b,c}
\end{aligned}
```

:::

::::

:::::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-03
:class: [exercise]

Czy dla $f: \rr \to \rr$, $f(x) = 2x + \sin x $, zachodzi $1 \in f^{-1}([1,2))?$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-01`, {numref}`prob-05-ex-04`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Ponieważ $f(1) = 2 + \sin 1 \geq 2 + 0  =2,$
to $f(1) \notin [1,2),$
więc $1 \notin f^{-1}([1,2)).$
:::

:::{prf:example}

W poniższych przykładach rozpatrujemy funkcję $f : X \to \rr .$

1. Dla zbiorów jednoelementowych mamy **poziomice funkcji** {index}`funkcja; poziomica`

   ```{math}
   f^{-1}(\Set{b}) = \Set{x \in X : f(x) = b}.
   ```

2. Dla zbiorów skończonych mamy

   ```{math}
   \begin{aligned}
   f^{-1}(\Set{b_1, b_2, \ldots, b_k})
   & = \Set{x \in X : f(x) = b_1}\cup \cdots\cup \Set{x \in X : f(x) = b_k} \\
   & = \Set{x \in X : f(x) = b_1\vee \cdots\vee f(x) = b_k}.
   \end{aligned}
   ```

3. Dla połprostych w $\rr$ mamy:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   f^{-1}((-\infty, b)) & = \Set{x \in X : f(x) < b},&
   f^{-1}((-\infty, b]) & = \Set{x \in X : f(x) \leq b},\\
   f^{-1}((b, +\infty)) & = \Set{x \in X : f(x) > b},&
   f^{-1}([b, +\infty)) & = \Set{x \in X : f(x) \geq b}.
   \end{aligned}
   ```

4. Dla przedziałów w $\rr$ mamy:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   f^{-1}((b_1, b_2)) & = \Set{x \in X : b_1 < f(x) < b_2},   &
   f^{-1}((b_1, b_2]) & = \Set{x \in X : b_1 < f(x) \leq b_2},   \\
   f^{-1}([b_1, b_2)) & = \Set{x \in X : b_1 \leq f(x) < b_2},&
   f^{-1}([b_1, b_2]) & = \Set{x \in X : b_1 \leq f(x) \leq b_2}.
   \end{aligned}
   ```

5. Dla każdej funkcji $f:X\to Y$ widać, że $f^{-1}(Y) = X .$

:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-04
:class: [exercise]

[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/jumkyd4x)

Dla funkcji $f : \rr \to \rr$ danej wzorem
$f(x) = x^3-x^2-x+1,$
znajdźmy:

:::{container} columns-3-auto

1. $f^{-1}(\Set{0}) $
2. $f^{-1}(\Set{0,1})$
3. $f^{-1}((0,1]) .$

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-01`, {numref}`prob-05-ex-04`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. $
   f^{-1}(\Set{0})
   = \Set{x\in \rr : x^3-x^2-x+1 = 0 }
   = \Set{x\in \rr : (x+1) (x-1)^2  = 0 }
   = \Set{-1,1}.
   $

2. $
   f^{-1}(\Set{0,1})
   = f^{-1}(\Set{0}) \cup f^{-1}(\Set{1})
   = \Set{-1,1} \cup \Set{x\in \rr : x^3-x^2-x+1 = 1 }.
   $

   Rozwiązujemy równanie:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   x^3-x^2-x+1 = 1
   \qlq   &
   x(x^2 - x -1)  = 0,
   \\
   \Delta & = 1 + 4 = 5
   \Quad{\imply}
   x_\pm = \tfrac{1 \pm\sqrt 5} 2.
   \end{aligned}
   ```

   Zatem
   $
   f^{-1}(\Set{0,1}) =
   \Set{-1,1, 0, \tfrac{1-\sqrt 5} 2, \tfrac{1+\sqrt 5} 2}.
   $

3. $
   f^{-1}((0,1])
   = \Set{x\in \rr : 0< x^3-x^2-x+1 \leq 1 }.
   $
   Ponieważ

   ```{math}
   \begin{aligned}
   0 < x^3-x^2-x+1
   & \qlq
   x \in (-1, +\infty)\setminus\Set{1} ,
   \\
   x^3-x^2-x+1 \leq 1
   & \qlq
   x \in \IntOC{-\infty, \tfrac{1-\sqrt 5} 2}
   \cup \Brack{0, \tfrac{1+\sqrt 5} 2} ,
   \end{aligned}
   ```

   to
   $
   f^{-1}((0,1])
   = \IntOC{-1, \tfrac{1-\sqrt 5} 2}
   \cup
   \IntCO{0, 1}
   \cup
   \IntOC{1, \tfrac{1+\sqrt 5} 2}.
   $

:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-05
:class: [exercise]

[GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/wf6rvvmf)
[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/mgvp7psr)

Dla funkcji
$f : \rr^2 \to \rr$ danej wzorem
$f(x,y) = |x+y|,$
znajdźmy:

:::{container} columns-3-auto

1. $f^{-1}(\Set{0}) $
2. $f^{-1}(\Set{-2,0,1}) $
3. $f^{-1}((-\infty,1]) .$

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-01`, {numref}`prob-05-ex-04`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. $f^{-1}(\Set{0})
= \Set{(x,y)\in \rr^2 : |x+y| = 0}
= \Set{(x,y)\in \rr^2 : x+y = 0},$
   czyli jest to prosta $y=-x .$

2. $
   f^{-1}(\Set{-2,0,1})
   = \Set{(x,y)\in \rr^2 : |x+y| = -2 \vee |x+y| = 0 \vee |x+y| = 1 }
   $

   Pierwsza równość nie ma rozwiązań, więc daje zbiór pusty.
   Druga to znaleziona już prosta $y=-x .$
   Trzecia równość daje

   ```{math}
   \begin{aligned}
   |x+y| = 1
   & \qlq
   x+y = 1
   \vee
   -x-y = 1
   \\ & \qlq
   x+y = 1
   \vee
   x+y = -1
   .
   \end{aligned}
   ```

   Ostatecznie

   ```{math}
   \begin{aligned}
   \Quad{f^{-1}(\Set{-2,0,1})
   = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x+y \in \Set{-1,0,1} }}
   \end{aligned}
   ```

   jest sumą trzech prostych o równaniach:
   $
   y = -x - 1,
   \quad
   y = -x,
   \quad
   y = -x + 1.
   $

3. $
   f^{-1}((-\infty,1])
   = \Set{(x,y)\in \rr^2 : |x+y| \leq 1}
   .$
   Ponieważ

   ```{math}
   \begin{aligned}
   |x+y| \leq 1
   \qlq
   -1 \leq x+y \leq 1
   \qlq
   -x-1 \leq y \leq -x + 1,
   \end{aligned}
   ```

   to $ f^{-1}((-\infty,1])$ jest obszarem między
   prostymi o równaniach:
   $
   y = -x - 1,
   \quad
   y = -x + 1.
   $

:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-06
:class: [exercise]

[GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/wf6rvvmf)
[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/rrzh2wbb)

Dla funkcji
$f : [-2,2)\times[-2,2) \to \rr$ danej wzorem
$f(x,y) = |x+y|,$
znajdźmy:

:::{container} columns-3-auto

1. $f^{-1}(\Set{0}) $
2. $f^{-1}(\Set{-2,0,1}) $
3. $f^{-1}((-\infty,1]) .$

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-01`, {numref}`prob-05-ex-04`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Rozwiązanie będzie analogiczne do poprzedniego z dodaniem warunku
$(x,y) \in [-2,2)\times[-2,2)$, czyli $x,y \in [-2,2).$

1. $f^{-1}(\Set{0})
   = \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 : |x+y| = 0}
   = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x+y = 0 \wedge x,y \in [-2,2) }.$

2. Obliczamy

   ```{math}
   \begin{aligned}
   f^{-1}(\Set{-2,0,1})
   & = \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 : |x+y| \in \Set{-2,0,1}}
   \\
   & = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x+y \in \Set{-1,0,1} \wedge x,y \in [-2,2) }.
   \end{aligned}
   ```

3. Obliczamy

   ```{math}
   \begin{aligned}
   f^{-1}((-\infty,1])
   & = \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 : |x+y| \leq 1}
   \\
   & = \Set{(x,y)\in \rr^2 : -x-1 \leq y \leq -x + 1 \wedge x,y \in [-2,2) }.
   \end{aligned}
   ```

:::

## Własności obrazów i przeciwobrazów

::::{prf:theorem}

Niech $f: X\to Y$ oraz $A,B\subseteq X$ oraz $C,D\subseteq Y .$ Wówczas:

:::{container} columns-2-auto

1. $f(\emptyset) = \emptyset$
2. $f(A\cup B) = f(A)\cup f(B)$
3. $f(A\cap B) \subseteq f(A)\cap f(B)$
4. $f(A)\setminus f(B) \subseteq f(A\setminus B)$
5. $A\subseteq f^{-1}(f(A))$
6. $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$
7. $f^{-1}(C\cup D) = f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)$
8. $f^{-1}(C\cap D) = f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)$
9. $f^{-1}(C\setminus D) = f^{-1}(C)\setminus f^{-1}(D)$
10. $f(f^{-1}(C))\subseteq C .$

:::

Ponadto, jeśli $(A_t)_{t\in T}$ jest indeksowaną rodziną zbiorów w $X$
oraz $(C_t)_{t\in T}$ jest indeksowaną rodziną zbiorów w $Y$, wówczas:

:::{container} columns-2-auto

11. $\displaystyle f\big(\bigcup_{t\in T} A_t\big) = \bigcup_{t\in T} f( A_t)$
12. $\displaystyle f\big(\bigcap_{t\in T} A_t\big) \subseteq \bigcap_{t\in T} f( A_t)$
13. $\displaystyle f^{-1}\big(\bigcup_{t\in T} C_t\big) = \bigcup_{t\in T} f^{-1}( C_t)$
14. $\displaystyle f^{-1}\big(\bigcap_{t\in T} C_t\big) = \bigcap_{t\in T} f^{-1}( C_t) .$

:::

::::

:::{prf:example}

1. Z powyższego twierdzenia widzimy jak znaleźć
   przeciwobraz sumy dwóch przedziałów. Na przykład

   ```{math}
   f^{-1}([a,b)\cup(c,d))  = f^{-1}([a,b))\cup f^{-1}((c,d)).
   ```

2. Punktu 3. nie można wzmocnić. Zobaczymy to biorąc funkcję $f(x) = 0$
   i dowolne dwa zbiory $A, B$ takie, że $A\cap B = \emptyset.$
   Wówczas $f(A\cap B) = \emptyset \nsupseteq \Set{0} = f(A) \cap f(B).$

:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-07
:class: [exercise]

[GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/wf6rvvmf)
[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/rrzh2wbb)

Dla $f : [-2,2)\times[-2,2) \to \rr$ danej wzorem
$f(x,y) = |x+y|,$
znajdźmy
$f^{-1}([2,3]\cup\Set{0}) .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-01`, {numref}`prob-05-ex-04`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Korzystając z wyników poprzednich ćwiczeń otrzymamy

```{math}
\begin{aligned}
f^{-1}([2,3]\cup\Set{0})
   & = f^{-1}([2,3])\cup f^{-1}(\Set{0})
  \\
   & = \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 : 2 < |x+y| < 3}
  \cup \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 : x+y = 0 }.
\end{aligned}
```

Ponieważ

```{math}
\begin{aligned}
2 < |x+y| < 3
  \qlq
  |x+y| > 2
  \  & \wedge \
  |x+y| < 3
  \\
(x+y < -2 \vee x+y > 2)
  \  & \wedge \
  -3 < x+y < 3
  \\
  x+y \in (-3,-2) \cup (2,3),
\end{aligned}
```

to

```{math}
\begin{aligned}
f^{-1}([2,3]\cup\Set{0})
   & = \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 :x+y \in (-3,-2) \cup (2,3)}
  \cup \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 : x+y = 0}
  \\
   & = \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 :x+y \in (-3,-2)\cup \Set{0} \cup (2,3)}
  \\
   & = \Set{(x,y)\in \rr^2 :x+y \in (-3,-2)\cup \Set{0} \cup (2,3)} \cap [-2,2)^2.
\end{aligned}
```

:::

## Funkcje injektywne

:::{prf:definition}

**Różnowartościową** {index}`funkcja; różnowartościowa`
lub **injektywną** {index}`funkcja; injektywna`
nazywamy funkcję $f: X\to Y$ jeśli

```{math}
\begin{aligned}
\forall x_1, x_2
  \in X \quad x_1\neq x_2
  \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2).
\end{aligned}
```

**Injekcją** {index}`funkcja; injekcja` nazywamy funkcję, która jest injektywna.

:::

:::{narration}

Na mocy prawa kontrapozycji warunek ten jest równoważny warunkowi

```{math}
\begin{aligned}
\forall x_1, x_2
  \in X \quad f(x_1) = f(x_2)
  \Rightarrow x_1 = x_2.
\end{aligned}
```

Innymi słowy, funkcja $f$ jest injektywna pod warunkiem, że każda wartość zbioru $Y$
jest przyjmowana dla co najwyżej jednego argumentu ze zbioru $X .$
:::

::::::{prf:remark}

Graf funkcji injektywnej ma własność, że groty strzałek dochodzą do różnych punktów.

:::::{container} side-by-side

::::{container} column-half

```{include} ../_includes/graf-funkcji-B.md
```

:::{container} center-text
To jest graf injekcji.
:::

::::

::::{container} column-half

```{include} ../_includes/graf-funkcji-A.md
```

:::{container} center-text
To nie jest graf injekcji.
:::

::::

:::::

::::::

:::{prf:example}

Injekcjami są:

1. Funkcja $\zz \to \rr,\; x\ \mapsto [x] .$
2. Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ pod warunkiem, że $a\neq 0 .$
3. Dla każdego zbioru $X$, identyczność $\id_X :X \to X .$
4. Dla $X \subseteq Y$,
   funkcja $f: X \to Y$, $f(x) = x .$

Injekcjami nie są:

1. Część całkowita liczby $[\cdot] : \rr \to \rr .$
2. Funkcja charakterystyczna podzbioru $A\subseteq \rr$,
   $\mathbb{1}_{A}: \rr \to \rr .$

:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-08
:class: [exercise]

Sprawdźmy z definicji, czy różnowartościowa jest funkcja

```{math}
\begin{aligned}
f: \rr\setminus\Set{\tfrac 1 2}\to\rr,\qquad
  f(x) = \frac{x+1}{2x-1}?
\end{aligned}
```

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-02`, {numref}`prob-05-ex-05`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Wykonujemy przekształcenia:

```{math}
\begin{aligned}
f(x_1) = f(x_2)
   & \qlq
  \frac{x_1+1}{2x_1-1} = \frac{x_2+1}{2x_2-1}
  \\
   & \qlq
  (x_1 + 1)(2x_2 -1) =
  (x_2 + 1)(2x_1 -1)
  \\
   & \qlq
  2x_1x_2 - x_1 + 2x_2 -1 =
  2x_1x_2 - x_2 + 2x_1 -1
  \\
   & \qlq
  x_2 = x_1.
\end{aligned}
```

W szczególności to oznacza, że $f(x_1) = f(x_2) \imply x_1 = x_2, $
czyli funkcja jest różnowartościowa.
:::

::::{prf:remark}

Dla $X, Y \subseteq \rr$ warto znać interpretację geometryczną:

:::{container} center-text

wykres różnowartościowej funkcji $f: X \to Y$ przecina dowolną prostą poziomą
$\Set{(x,y): y = constans}$ w **co najwyżej** jednym punkcie.

:::

::::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-09
:class: [exercise]

[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/vsgwzfep)

Niech
$f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x.$
Posiłkując się powyższą uwagą
sprawdźmy,
które z funkcji są injektywne:

:::{container} columns-3-auto

1. $f: \rr \to \rr$
2. $f: [-3,4) \to \rr$
3. $f: (-1,2] \to \left[-\frac {16} 3, \frac {16} 3\right]$ ?

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-02`, {numref}`prob-05-ex-05`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Zapiszmy $f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x = \frac 1 3 x\Paren{x^2 - 12}$
oraz $f'(x) = x^2 - 4 = (x-2)(x+2) .$

1. Funkcja $f:\rr\to\rr$ **nie jest** injektywna, bo
   $f(x) = 0 \qlq x\in\Set{-2\sqrt 3,\, 0,\, 2\sqrt 3}.$
   Na przykład $f(0) = f(2\sqrt 3) = 0,$ choć $0 \neq 2\sqrt 3 .$
   Inaczej: pozioma prosta $y = 0$ przecina wykres w trzech punktach.

2. Funkcja $f:[-3,4)\to\rr$ **nie jest** injektywna.
   Ponieważ $2\sqrt 3 \approx 3{,}46 < 4,$ więc oba argumenty
   $0$ i $2\sqrt 3$ należą do dziedziny, a $f(0) = f(2\sqrt 3) = 0 .$

3. Funkcja $f:(-1,2]\to\Brack{-\frac {16} 3, \frac {16} 3}$ **jest** injektywna.
   Dla $x\in(-2,2)$ mamy $f'(x) < 0,$
   więc $f$ jest ściśle malejąca na $[-2,2] \supseteq (-1,2] .$
   Zatem dla $x_1 < x_2$ z $(-1,2]$ mamy $f(x_1) > f(x_2),$ czyli $f(x_1)\neq f(x_2).$
   Każda pozioma prosta przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie.
:::

::::{prf:remark}

Dla $X \subseteq \rr^2$, $Y \subseteq \rr$ warto znać interpretację geometryczną:

:::{container} center-text

wykres różnowartościowej funkcji $f: X \to Y$ przecina dowolną płaszczyznę poziomą
$\Set{(x,y,z): z = constans}$ w **co najwyżej** jednym punkcie.

:::

::::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-10
:class: [exercise]

[GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/wf6rvvmf)

Niech
$f((x,y)) = |x+y|.$
Posiłkując się powyższą uwagą
sprawdźmy,
które z funkcji są injektywne:

:::{container} columns-3-auto

1. $f: \rr\times\rr \to \rr$
2. $f: [-2,2)^2  \to \rr$
3. $f: (0,4)\times\Set{0} \to \rr$ ?

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-02`, {numref}`prob-05-ex-05`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Funkcja $f:\rr\times\rr \to \rr$ **nie jest** injektywna,
   bo $f((1,0)) = f((0,1)) = 1,$ choć $(1,0)\neq(0,1) .$
   Inaczej: pozioma płaszczyzna $z = 0$ przecina wykres w całej prostej $y = -x .$

2. Funkcja $f:[-2,2)^2 \to \rr$ **nie jest** injektywna,
   bo punkty $(1,0)$ i $(0,1)$ należą do $[-2,2)^2$ oraz $f((1,0)) = f((0,1)) = 1 .$

3. Funkcja $f:(0,4)\times\Set{0} \to \rr$ **jest** injektywna.
   Mamy $f((x,0)) = |x + 0| = x$ dla $x\in(0,4),$ więc
   $f((x_1,0)) = f((x_2,0)) \imply x_1 = x_2 ,$
   czyli $(x_1,0) = (x_2,0) .$
   Poziome płaszczyzny przecinają wykres (odcinek) w co najwyżej jednym punkcie.
:::

:::{prf:remark}

Załóżmy, że zbiór $Y$ jest skończony.
Jeśli $f: X \to Y$ jest różnowartościowa,
to $Y$ ma co najmniej tyle elementów co $X .$
:::

::::{prf:example}
:label: examp:injekcje

Istnieje injekcja $f : (0,1)^2 \to (0,1) .$
Co prawda nie da się jej zapisać przy pomocy prostego wzoru analitycznego,
ale można

:::{container} center-text
**parze liczb $(a,b)$ przyporządkować liczbę,
której nieparzyste cyfry w rozwinięciu dwójkowym
są cyframi rozwinięcia dwójkowego liczby $a$,
zaś parzyste -- liczby $b .$**
:::

Na przykład:

```{math}
\begin{aligned}
 f(0.111,\ 0.000) & = 0.101010,
 \\
 f\left(0.1010010001 \ldots,\ {\color{PWRed}0.111} \right)
  & = 0.1{\color{PWRed}1}0{\color{PWRed}1}1{\color{PWRed}1}0
 {\color{PWRed}0}0{\color{PWRed}0}1{\color{PWRed}0}0
 {\color{PWRed}0}0{\color{PWRed}0}0{\color{PWRed}0}1 \ldots
  \end{aligned}
```

::::

:::{prf:proposition}

Niech $f:X\to Y$ będzie injekcją. Wówczas to dla dowolnych
$A, B\subseteq X$

```{math}
\begin{aligned}
f(A\cap B) & = f(A)\cap f(B),   &
  f(A)\setminus f(B) & = f(A\setminus B), &
  A  & = f^{-1}(f(A)).
\end{aligned}
```

:::

## Funkcje surjektywne

:::{prf:definition}

**Funkcją "na"** {index}`funkcja; na`
lub **surjektywną** {index}`funkcja; surjektywna`
nazywamy funkcję $f: X\to Y$, jeśli

```{math}
\forall y\in Y \; \exists x\in X \quad y = f(x).
```

**Surjekcją** {index}`funkcja; surjekcja`
nazywamy funkcję, która jest surjektywna.

:::

:::{narration}

Innymi słowy funkcja $f: X \to Y$ jest surjektywna jeśli jej zbiór wartości pokrywa się z przeciwdziedziną,
czyli $f(X) = Y$
:::

::::::{prf:remark}

Graf funkcji surjektywnej ma własność, że do każdego punktu ze zbioru $Y$ dochodzi jakaś strzałka.

:::::{container} side-by-side

::::{container} column-half

```{include} ../_includes/graf-funkcji-C.md
```

:::{container} center-text
To jest graf surjekcji.
:::

::::

::::{container} column-half

```{include} ../_includes/graf-funkcji-B.md
```

:::{container} center-text
To nie jest graf surjekcji.
:::

::::

:::::

::::::

:::{prf:example}

Surjekcjami są:

1. Funkcja $\rr \to \zz,\; x\ \mapsto [x] .$
2. Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ pod warunkiem, że $a\neq 0 .$
3. Dla każdego zbioru $X$, identyczność $\id_X .$

Surjekcjami nie są:

1. Część całkowita liczby $[\cdot] : \rr \to \rr .$
2. Jeśli $X \subsetneq Y$,
   funkcja $f: X \to Y$, $f(x) = x .$

:::

:::{prf:remark}

Dowolna funkcja $f: X\to Y$ zadaje funkcję surjektywną $f: X \to f(X)$ na swój zbiór wartości,
zdefiniowaną tym samym przyporządkowaniem $x \mapsto f(x) .$
:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-11
:class: [exercise]

Sprawdźmy z definicji, czy surjekcją jest funkcja

```{math}
\begin{aligned}
f: \rr\setminus\Set{\tfrac 1 2}\to\rr,\qquad
  f(x) = \frac{x+1}{2x-1}?
\end{aligned}
```

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-02`, {numref}`prob-05-ex-05`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

**Metoda 1.**

Ponieważ jest to funkcja holograficzna, to w szczególności wiemy jak znaleźć asymptotę poziomą.
Należy przekształcić funkcją do postaci kanonicznej:

$$
\frac{x+1}{2x-1}
= \frac{\frac{1}{2} (2x - 1) + \frac 1 2 + 1}{2x-1}
= \frac{1}{2} + \frac{\frac 3 2}{2x-1}.
$$

Zatem asymptota pozioma to $y = \frac 1 2 .$ Ta wartość nie jest przyjmowana przez funkcję,
bo

$$
f(x) = \frac 1 2
\qlq
0 = \frac{\frac 3 2}{2x-1},
$$

co jest wykluczone.
Stąd, nie istnieje $x\in \rr \setminus \Set{\tfrac 1 2}$ takie, że $f(x) = \tfrac 1 2,$
więc $f$ nie jest surjekcją.

**Metoda 2.**

Sprawdźmy,
czy dla każdego $y\in \rr$ istnieje $x\neq \tfrac 1 2$
takie, że
$y = \dfrac{x+1}{2x-1} .$
Wykonajmy przekształcenia:

```{math}
\begin{aligned}
y & = \dfrac{x+1}{2x-1} & & & & \Big| \cdot (2x-1)\neq 0
  \\
  y(2x-1)   & = x+1
  \qlq
& 2xy-y   & = x+1 & & \Big| -x+y
  \\
& & 2xy-x& = y+1
  \\
& & x(2y-1)  & = y+1 & & \Big| : (2y-1)\neq 0
  \\
& & x& = \frac{y+1}{2y-1}.
\end{aligned}
```

Musieliśmy założyć $y \neq \tfrac 1 2 .$
Nie istnieje $x\in \rr \setminus \Set{\tfrac 1 2}$ takie, że $f(x) = \tfrac 1 2,$
więc $f$ nie jest surjekcją.

:::

::::{prf:remark}
:label: rem:Three

Dla $X, Y \subseteq \rr$ warto znać interpretację geometryczną:

:::{container} center-text

dla każdej liczby $c\in Y$ wykres surjektywnej funkcji $f: X \to Y$ przecina prostą poziomą
$\Set{(x,y): y = c}$ w **co najmniej** jednym punkcie.

:::

::::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-12
:class: [exercise]

[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/vsgwzfep)

Niech
$f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x.$
Posiłkując się powyższą uwagą
sprawdźmy,
które z funkcji są surjektywne:

:::{container} columns-3-auto

1. $f: \rr \to \rr$
2. $f: [-3,4) \to \rr$
3. $f: [-3,4) \to \left[-\frac {16} 3, \frac {16} 3\right]$ ?

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-02`, {numref}`prob-05-ex-05`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Wartości w punktach charakterystycznych:
$f(-3) = 3,$ $f(-2) = \frac {16} 3,$ $f(2) = -\frac {16} 3,$ $f(4) = \frac {16} 3 .$
Ponieważ $f'(x) = (x-2)(x+2),$ funkcja jest rosnąca na $(-\infty,-2],$
malejąca na $[-2,2]$ i rosnąca na $[2,+\infty) .$

1. Funkcja $f:\rr\to\rr$ **jest** surjektywna.
   Dla dowolnego $c\in\rr$ równanie $\frac 1 3 x^3 - 4x = c$
   jest równaniem wielomianowym stopnia nieparzystego,
   więc ma rozwiązanie rzeczywiste.
   Inaczej: każda pozioma prosta przecina wykres w co najmniej jednym punkcie.

2. Funkcja $f:[-3,4)\to\rr$ **nie jest** surjektywna.
   Z monotoniczności $f$ na przedziałach $[-3,-2],$ $[-2,2],$ $[2,4)$
   wynika, że dla $x\in[-3,4)$ mamy $-\frac {16} 3 \leq f(x) \leq \frac {16} 3 ,$
   więc na przykład $10$ nie jest przyjmowana.

3. Funkcja $f:[-3,4)\to\Brack{-\frac {16} 3, \frac {16} 3}$ **jest** surjektywna.
   Jak wyżej, wszystkie wartości $f$ leżą w $\Brack{-\frac {16} 3, \frac {16} 3}.$
   Ponadto $f$ jest ciągła i malejąca na $[-2,2] \subseteq [-3,4)$
   od wartości $\frac {16} 3$ do $-\frac {16} 3,$
   więc przyjmuje na nim każdą wartość pośrednią.
:::

::::{prf:remark}

Dla $X \subseteq \rr^2$, $Y \subseteq \rr$ warto znać interpretację geometryczną:

:::{container} center-text

dla każdej liczby $c\in Y$ wykres surjektywnej funkcji $f: X \to Y$ przecina płaszczyznę poziomą
$\Set{(x,y,z): z = c}$ w **co najmniej** jednym punkcie.

:::

::::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-13
:class: [exercise]

[GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/wf6rvvmf)

Niech
$f(x,y) = |x+y|.$
Posiłkując się powyższą uwagą
sprawdźmy,
które z funkcji są surjektywne:

:::{container} columns-3-auto

1. $f: \rr\times\rr \to [0,+\infty)$
2. $f: [-2,2)^2  \to [0,+\infty)$
3. $f: (0,4)\times\Set{0} \to (0,4)$ ?

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-02`, {numref}`prob-05-ex-05`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Funkcja $f:\rr\times\rr \to [0,+\infty)$ **jest** surjektywna.
   Dla $c\in[0,+\infty)$ mamy $(c,0)\in\rr\times\rr$ oraz $f(c,0) = |c| = c .$
   Inaczej: każda pozioma płaszczyzna $z = c\geq 0$ przecina wykres.

2. Funkcja $f:[-2,2)^2 \to [0,+\infty)$ **nie jest** surjektywna.
   Dla $(x,y)\in[-2,2)^2$ mamy $-4 \leq x + y < 4,$
   więc $f(x,y) = |x+y| \leq 4 .$
   Na przykład wartość $5$ nie jest przyjmowana.

3. Funkcja $f:(0,4)\times\Set{0} \to (0,4)$ **jest** surjektywna.
   Dla $c\in(0,4)$ mamy $(c,0)\in(0,4)\times\Set{0}$ oraz $f(c,0) = |c| = c .$
:::

:::{prf:remark}

Załóżmy, że zbiór $X$ jest skończony.
Jeśli $f: X \to Y$ jest "na",
to $Y$ ma co najwyżej tyle elementów co $X .$
:::

::::{prf:example}

Istnieje surjekcja $f : (0,1) \to (0,1)^2 .$
Co prawda nie da się jej zapisać przy pomocy prostego wzoru analitycznego,
ale można odwrócić rozumowanie z {prf:ref}`examp:injekcje`:

:::{container} center-text
**liczbie $a$ przyporządkować
parę liczb $(b,c)$
w ten sposób, że
cyfry $b$ w rozwinięciu dwójkowym
są cyframi nieparzystymi rozwinięcia dwójkowego liczby $a$,
zaś
cyfry $c$
-- parzystymi liczby $a .$**
:::

Na przykład:

```{math}
\begin{aligned}
 f(0.101010) & = (0.111,\ 0.000)\ ,
 \\
 f(0.1{\color{PWRed}1}0{\color{PWRed}1}1{\color{PWRed}1}0
 {\color{PWRed}0}0{\color{PWRed}0}1{\color{PWRed}0}0
 {\color{PWRed}0}0{\color{PWRed}0}0{\color{PWRed}0}1 \ldots)
 & = (0.1010010001 \ldots,\ {\color{PWRed}0.111}).
  \end{aligned}
```

::::

:::{prf:proposition}

Niech $f:X\to Y$ będzie surjektywna.
Wówczas dla dowolnego zbioru $C\subseteq Y$

```{math}
f(f^{-1}(C))=C.
```

:::

## Funkcje bijektywne

:::{prf:definition}

**Wzajemnie jednoznaczną** {index}`funkcja; wzajemnie jednoznaczna`
lub **bijektywną** {index}`funkcja; bijektywna` nazywamy funkcję $f: X \to Y$,
jeśli jest injekcją i surjekcją.

**Bijekcją** {index}`funkcja; bijekcja` nazywamy funkcję, która jest bijektywna.

**Bijekcją zbioru** {index}`funkcja; bijekcja zbioru` $X$ nazywamy każdą bijekcję $f:X \to X .$
:::

::::::{prf:remark}

Graf funkcji bijektywnej ma własność, że z każdego punktu zbioru $X$ wychodzi dokładnie jedna strzałka
i do każdego punku zbioru $Y$ dochodzi dokładnie jedna strzałka.

:::::{container} side-by-side

::::{container} column-one-third

```{include} ../_includes/graf-funkcji-D.md
```

:::{container} center-text
To jest graf bijekcji.
:::

::::

::::{container} column-one-third

```{include} ../_includes/graf-funkcji-C.md
```

:::{container} center-text
To nie jest graf bijekcji.
:::

::::

::::{container} column-one-third

```{include} ../_includes/graf-funkcji-B.md
```

:::{container} center-text
To nie jest graf bijekcji.
:::

::::

:::::

::::::

:::{prf:example}

Bijekcjami są:

1. Funkcja $\zz \to \zz,\; x\ \mapsto [x] .$
2. Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ pod warunkiem, że $a\neq 0 .$
3. Dla każdego zbioru $X$, identyczność $\id_X :X \to X .$

:::

:::{prf:remark}

1. Sprawdzenie, czy dana funkcja jest bijekcją sprowadza się
   do sprawdzenia, czy jest injekcją i surjekcją.
2. Interpretacja geometryczna bijekcji
   w przypadku gdy $f:X \to Y$, $X\subseteq \rr$ lub $X\subseteq \rr^2$
   oraz $Y\subseteq \rr$ wynika z interpretacji geometrycznych injekcji i surjekcji.
   Słowa **co najwyżej** i **co najmniej** trzeba zamienić na
   **dokładnie**.

:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-14
:class: [exercise]

Które funkcje z wcześniejszych ćwiczeń tego wykładu są bijekcjami?

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-02`, {numref}`prob-05-ex-05`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest injekcją i surjekcją.
Przeglądamy ćwiczenia:

- **Ćwiczenie 1.** $f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x$ na $\rr$ nie jest injekcją,
  bo $f(0) = f(2\sqrt 3) = 0$ (zob. ćwiczenie 9).
- **Ćwiczenie 2.** $f(x,y) = y\cos x$ nie jest injekcją,
  bo $f(0,1) = f(2\pi,1) = 1 .$
- **Ćwiczenie 3.** $f(x) = 2x + \sin x$ **jest bijekcją** $\rr\to\rr .$
  Jest injekcją, bo $f'(x) = 2 + \cos x \geq 1 > 0,$ więc $f$ jest ściśle rosnąca.
  Jest surjekcją, bo jest ciągła oraz $2x - 1 \leq f(x) \leq 2x + 1,$
  więc $f(x)\to\pm\infty$ przy $x\to\pm\infty$
  i $f$ przyjmuje każdą wartość rzeczywistą.
- **Ćwiczenie 4.** $f(x) = x^3 - x^2 - x + 1$ nie jest injekcją,
  bo $f(-1) = f(1) = 0 .$
- **Ćwiczenia 5, 6, 7.** $f(x,y) = |x+y|$ nie jest injekcją,
  bo $f(1,0) = f(0,1) = 1$ (punkty te leżą w obu dziedzinach).
- **Ćwiczenia 8 i 11.** $f(x) = \frac{x+1}{2x-1}$ jest injekcją, ale nie surjekcją,
  więc nie jest bijekcją.
- **Ćwiczenie 9.** Tylko $f:(-1,2]\to\Brack{-\frac {16} 3, \frac {16} 3}$ jest injekcją,
  ale nie jest surjekcją (jej wartości leżą w $\IntCO{-\frac {16} 3, \frac {11} 3},$ więc np. $4$ nie jest przyjmowana),
  więc nie jest bijekcją.
  Pozostałe nie są injekcjami.
- **Ćwiczenie 10.** Tylko $f:(0,4)\times\Set{0}\to\rr$ jest injekcją,
  ale nie jest surjekcją (np. $-1$ nie jest przyjmowana).
  Pozostałe nie są injekcjami.
- **Ćwiczenie 12.** Funkcje 1 i 3 są surjekcjami, ale nie injekcjami
  (bo $f(0) = f(2\sqrt 3) = 0$); funkcja 2 nie jest surjekcją.
- **Ćwiczenie 13.** Funkcje 1 i 2 nie są injekcjami ($f(1,0) = f(0,1)$).
  Funkcja 3, $f:(0,4)\times\Set{0}\to(0,4),$ jest injekcją i surjekcją
  (ćwiczenia 10 i 13), więc **jest bijekcją**.

Zatem bijekcjami są: $f(x) = 2x + \sin x$ z ćwiczenia 3
oraz $f(x,y) = |x+y|$ na $(0,4)\times\Set{0}\to(0,4)$ z ćwiczenia 13.
:::

::::{prf:remark}

1. Zbiory $X$ i $Y$ nazywamy
   równolicznymi jeśli istnieje bijekcja $f: X \to Y .$
   W ogólnym przypadku, gdy $X$ lub $Y$ ma nieskończoną liczbę elementów,
   istnieją injekcje, które nie są surjekcjami i _vice versa_.
2. Jeśli zbiory $X$ i $Y$ są skończone oraz **mają tę samą liczbę elementów**, to $f: X \to Y$

   :::{container} center-text
      jest injekcją
      $\qqlqq$
      jest surjekcją
      $\qqlqq$
      jest bijekcją.
   :::

3. Dla $n$-elementowych zbiorów $X$ i $Y$ istnieje $n!$
   różnych injekcji/ surjekcji/ bijekcji $X\to Y .$

::::

:::{prf:example}

Bijekcje zbioru skończonego $X=\Set{1,2,\ldots,n}$ nazywamy
**permutacjami**. {index}`permutacja`
Permutację $f:X\rightarrow X$ zapisujemy:

```{math}
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{cccc}
1& 2& \cdots & n\\
f(1) & f(2) & \cdots & f(n)
 \end{array}
  \right).
\end{aligned}
```

Na przykład dla $X=\Set{1,2,3}$ mamy
$6$ różnych permutacji:

```{math}
\begin{aligned}
\sigma_1 & = \Permutacja{1 & 2   & 3 \\ 1 & 2 & 3} ,
   & \sigma_2& = \Permutacja{1 & 2 & 3 \\  2 & 3 & 1} ,
   & \sigma_3& = \Permutacja{1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2} ,
  \\ \sigma_4 &= \Permutacja{1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1} ,
   & \sigma_5& = \Permutacja{1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3} ,
   & \sigma_6& = \Permutacja{1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2} .
\end{aligned}
```

:::

## Superpozycja funkcji

:::{prf:definition}

**Superpozycję** {index}`funkcja; superpozycja`
lub **złożenie** {index}`funkcja; złożenie`
funkcji $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$
definiujemy jako funkcję

```{math}
\begin{aligned}
g\circ f : X\to Z,
  \qquad
  g\circ f (x) =
  g(f(x)).
\end{aligned}
```

Funkcję $g$ nazywamy **zewnętrzną**, zaś $f$ -- **wewnętrzną**.
:::

:::{prf:remark}

1. W przypadku funkcji $f: X\to Y$ i $g: W \to Z$, superpozycję $g\circ f$ definiujemy
   jedynie pod warunkiem, że $Y=W .$
2. Jeśli w powyższej definicji $X=Z$,
   to możemy rozważać superpozycję $f\circ g : W \to Y .$
   Jeśli dodatkowo $X=Y$, to $f\circ g, g\circ f : X \to X .$ Należy wyraźnie podkreślić, że
   w takiej sytuacji superpozycja funkcji nie jest (na ogół) operacją przemienną, tzn.

```{math}
f\circ g \neq g\circ f.
```

:::

:::{prf:proposition}

Superpozycja funkcji jest operacją łączną, tzn. dla dowolnych
funkcji $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$, $h:Z\to W$ zachodzi

```{math}
h\circ(g\circ f)= (h\circ g)\circ f.
```

:::

:::{prf:example}

Weźmy funkcje $f,g : \rr \to \rr$ i $h: \rr_+ \to \rr$ dane wzorami

```{math}
\begin{aligned}
f(x) & = x^3, & g(x) & = \sqrt[3] x, & h(x) & = \ln x.
\end{aligned}
```

- $f\circ g :\rr \to \rr \to \rr$ jest dana wzorem
  $f \circ g(x) = f\Paren{\sqrt[3] x} = \Paren{\sqrt[3] x}^3  =x $

- $g\circ h :\rr_+ \to \rr \to \rr$ jest dana wzorem
  $g \circ h(x) = g\Paren{\ln x} = \sqrt[3]{\ln x} $
- Nie można złożyć $h\circ g$, gdyż $R_g = \rr \neq \rr_+ = D_h $
- $f\circ f\circ f :\rr \to \rr$ jest dana wzorem
  $f \circ f \circ f(x) = f\circ f \Paren{x^3}
  = f\Paren{\Paren{x^3}^3}
  = f\Paren{x^9}
  = \Paren{x^9}^3
  = x^{27} .$
:::

:::{prf:example}

Funkcję
$f(x) = \ln^5(\sin(e^{2x+1}))$ można przedstawić jako złożenie funkcji
$f = f_5\circ f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1$, gdzie funkcje:

```{math}
\begin{aligned}
f_1(x) = 2x+1, \quad
  f_2(x) = e^x, \quad
  f_3(x) = \sin x, \quad
  f_4(x) = \ln x, \quad
  f_5(x) =  x^5,
\end{aligned}
```

należy określić na odpowiednich dziedzinach.
:::

:::{prf:proposition}

Niech $f: X \to Y$, $g: Y \to Z$ będą funkcjami. Wówczas:

1. jeśli $f, g$ są injektywne, to $g\circ f$ jest injektywna;
2. jeśli $f, g$ są surjektywne, to $g\circ f$ jest surjektywna.

:::

## Funkcja odwrotna

:::{prf:definition}

**Funkcją odwrotną** {index}`funkcja; odwrotna` do
funkcji $f:X\to Y$ nazywamy funkcję $g:Y\to X$ jeśli

```{math}
g\circ f = \id_X \quad \wedge \quad f\circ g = \id_Y.
```

:::

:::{narration}

Innymi słowy, funkcja $g:Y\to X$ jest odwrotna do funkcji $f:X\to Y$ jeśli

```{math}
\begin{aligned}
(\forall x\in X\; g\circ f(x)=x) \quad \wedge \quad
  (\forall y\in Y\; f\circ g(y)=y).
\end{aligned}
```

Jeśli funkcja odwrotna do funkcji $f$ istnieje, to oznaczamy ją symbolem

```{math}
f^{-1}.
```

:::

:::{prf:definition}

**Odwracalną** {index}`funkcja; odwracalna`
nazywamy funkcję, do której istnieje funkcja odwrotna.
:::

:::{prf:remark}

Jeśli $f$ jest odwracalna, to $f^{-1}$ jest również odwracalna
i co więcej $f$ jest funkcją odwrotną do $f^{-1} .$
Stąd mówimy, że funkcje $f$ i $f^{-1}$ są wzajemnie (do siebie) odwrotne.
:::

::::::{prf:remark}

Grafy funkcji wzajemnie odwrotnych różnią się jedynie kierunkami strzałek.

:::::{container} side-by-side

::::{container} column-half

```{include} ../_includes/graf-funkcji-D.md
```

:::{container} center-text
 To jest graf funkcji $f .$
:::

::::

::::{container} column-half

```{include} ../_includes/graf-funkcji-E.md
```

:::{container} center-text
 To jest  graf funkcji $f^{-1} .$
:::

::::

:::::

::::::

:::{prf:example}

1. Jak już pokazaliśmy funkcje $x \mapsto x^3$ i $y\mapsto \sqrt[3] y$
   są wzajemnie do siebie odwrotne.
2. Analogicznie pokazujemy, że dla dowolnej ustalonej liczby $k\in \nn,$
   funkcje

   ```{math}
   f: \rr \to \rr,\; x \mapsto x^{2k-1} \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr \to \rr,\; y \mapsto \sqrt[2k-1] y
   ```

   są wzajemnie odwrotne. Podobnie po zawężeniu dziedzin
   i przeciwdziedzin dla każdego $\alpha \neq 0$ funkcje

   ```{math}
   f: \rr_+ \to \rr_+,\; x \mapsto x^{\alpha} \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr_+ \to \rr_+,\; y \mapsto y^{1/\alpha}
   ```

   są wzajemnie odwrotne.

3. Inną parą funkcji wzajemnie odwrotnych jest

   ```{math}
   f: \rr \to \rr_+,\; x \mapsto e^x \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr_+ \to \rr,\; x \mapsto \ln x
   ```

4. Funkcje cyklometryczne są odwrotne do funkcji trygonometrycznych;
   pary funkcji wzajemnie odwrotnych to:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   f : \left[-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right] \to [-1,1],\; x \mapsto \sin x \qquad & \text{oraz} \qquad
   f^{-1}: [-1,1] \to \left[-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right],\; x \mapsto \arcsin x  \\
   f: \left[0, \pi \right] \to [-1,1],\; x \mapsto \cos x \qquad   & \text{oraz} \qquad
   f^{-1}: [-1,1] \to \left[0,  \pi \right],\; x \mapsto \arccos x  \\
   f: \left(-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right) \to \rr,\; x \mapsto \tg x \qquad  & \text{oraz} \qquad
   f^{-1}: \rr \to \left(-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right),\; x \mapsto \arctan x
   \end{aligned}
   ```

:::

:::{prf:remark}

Należy podkreślić, że dla $f: \rr \to \rr$ zazwyczaj zachodzi $\displaystyle f^{-1}(x) \neq \frac 1 {f(x)}.$
:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-15
:class: [exercise]

Pokażmy z definicji, że funkcja
$f : \rr\setminus\Set{\frac 1 2}\to \rr\setminus\Set{\frac 1 2}$, $f(x) = \dfrac{x+1}{2x-1}$,
jest wzajemnie odwrotna do siebie samej, czyli $f \circ f = \id.$
::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
   (x+1)*(2*x-1)^(-1),
   (x, -4, 4),
   thickness=3, color = PWRed, aspect_ratio=1,
   detect_poles='show',
   ymin=-4, ymax=4
   )
   +
   plot(
   x,
   (x, -4, 4),
   thickness=1, color = PWGreen,
   linestyle="--"
   ),
transparent=True)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Wystarczy pokazać, że $f \circ f = \id$, czyli:

```{math}
\begin{aligned}
f\circ f (x)
   & = f\Paren{\tfrac{x+1}{2x-1}}
  = \frac{\tfrac{x+1}{2x-1}+1}{2\cdot\tfrac{x+1}{2x-1}-1}
  \\
   & = \frac {{x+1}+{2x-1}}{2x-1}\cdot \frac {2x-1}{2\cdot(x+1)-(2x-1)}
  \\
   & = \frac{3x}{3} = x,
  \quad \text{dla } x \neq \tfrac 1 2.
\end{aligned}
```

Zatem $f$ jest odwrotna do siebie samej.
:::

:::{prf:theorem}

Funkcja jest **odwracalna** wtedy i tylko wtedy, gdy jest **bijektywna**.

Ponadto w takim przypadku funkcja odwrotna jest wyznaczona jednoznacznie.
:::

::::{prf:remark}

Dla $X, Y \subseteq \rr$ warto znać interpretację geometryczną:

:::{container} center-text

wykres funkcji $f^{-1}: Y \to X$ jest odbiciem wykresu $f: X \to Y$
względem prostej $y=x .$

:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
   2*x-2,
   (x, -4, 4),
   thickness=3, color = PWBlue, aspect_ratio=1,
   ymin=-4, ymax=4
) +
   plot(
   x/2 +1,
   (x, -4, 4),
   thickness=3, color = PWRed,
   ymin=-4, ymax=4
   ) +
   plot(
   x,
   (x, -4, 4),
   thickness=1, color = PWGreen,
   linestyle="--"
   ),
transparent=True)
```

:::{prf:example}

Niech
$f : \rr \to \rr,\; f(x) = 2x-2 .$
Szkicujemy jej wykres
i odbijamy go względem prostej $y=x .$
Bez trudu odczytamy, że wspołczynnik
nachylenia odbitej prostej jest równy $\frac 1 2$
oraz przechodzi ona przez punkt $(0,1) .$
Stąd

```{math}
f^{-1}(x) = \frac 1 2 x + 1.
```

Możemy sprawdzić, że

```{math}
\begin{aligned}
f^{-1}\circ f(x) = f^{-1}\left( 2x-2 \right)
  = \frac 1 2(2x-2) + 1 = x.
\end{aligned}
```

:::

:::{prf:remark}

Załóżmy, że funkcja $f:X \to Y$ jest injektywna. Wówczas $f : X \to R_f$ jest
dodatkowo surjektywna, a zatem bijektywna i istnieje funkcja odwrotna $f^{-1}: R_f \to X .$
:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-16
:class: [exercise]

Znajdźmy funkcję odwrotną do
$
  f: \rr\setminus\Set{1}\to\rr\setminus\Set{2},\;
  f(x) = \dfrac{1}{x -1} + 2.
$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-03`, {numref}`prob-05-ex-06`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
   (1)*(x-1)^(-1) + 2,
   (x, -2, 6),
   thickness=3, color = PWBlue, aspect_ratio=1,
   detect_poles='show',
   ymin=-2, ymax=6
   )
   +
   plot(
   (1)*(x-2)^(-1) + 1,
   (x, -2, 6),
   thickness=3, color = PWRed, aspect_ratio=1,
   detect_poles='show',
   ymin=-2, ymax=6
   )
   +
   plot(
   x,
   (x, -2, 6),
   thickness=1, color = PWGreen,
   linestyle="--"
   ),
transparent=True)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Przyjmujemy $y = f(x) = \tfrac{1}{x -1} + 2$ i wykonujemy przekształcenia,
które doprowadzą do zależności $x$ od $y$:

```{math}
\begin{aligned}
y& = \frac{1}{x -1} + 2 & & \Big| -2
  \\
  y- 2 & = \frac{1}{x -1} & & \Big| \cdot (y-2)^{-1}(x-1)\neq 0
  \\
  x- 1 & = \frac{1}{y -2} & & \Big| + 1
  \\
  x& = \frac{1}{y -2} + 1
\end{aligned}
```

Wnioskujemy, że
$f^{-1}:\rr\setminus\Set{2} \to \rr\setminus\Set{1} ,$
$f^{-1}(y) = \frac{1}{y -2} + 1$
czyli $f^{-1}(x) = \frac{1}{x -2} + 1 .$
:::

:::{prf:theorem}

Jeśli funkcje $f:X\rightarrow Y$ i $g:Y\rightarrow Z$ są **odwracalne**, to
$g\circ f$ jest również odwracalna i zachodzi

```{math}
(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-04-ex-17
:class: [exercise]

Pokażmy, że funkcja $f(x)= e^{2x -2}$ jest odwracalna
i znajdźmy funkcję do niej odwrotną.

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-05-ex-03`, {numref}`prob-05-ex-06`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Funkcja $f = f_2 \circ f_1$ jest złożeniem funkcje odwracalnych
$f_1(x) = 2x-2$ i $f_2(x) = e^x$
(na odpowiednich dziedzinach). Funkcje do nich odwrotne to:

```{math}
\begin{aligned}
f_1^{-1}(x) = \tfrac 1 2 x + 1,
  \quad
  f_2^{-1}(x) = \ln x .
\end{aligned}
```

Zatem $f$ jest odwracalna i odwrotna do niej to

```{math}
\begin{aligned}
f^{-1}(x)
  = f_1^{-1} \circ f_2^{-1}(x)
  = f_1^{-1} \Paren{\ln x} = \tfrac 1 2 \ln x + 1.
\end{aligned}
```

:::

:::{prf:remark}

Jeśli $f:X \to Y$ jest odwracalna, to $f^{-1}(B)$ zdaje się mieć podwójne znaczenie:

- obraz zbioru $B$ wyznaczony przez funkcję $f^{-1}$

- przeciwobraz zbioru $B$ wyznaczony przez $f .$
  Można pokazać, że w tym przypadku obie interpretacje wyznaczają ten sam zbiór.

:::