--- title: "Lecture 5: Liczby zespolone I" lecture_number: 5 has_solutions: true has_exercises: true --- ```{include} ../_includes/sagecell-loader.md ``` # Liczby zespolone I ## Ciało liczb zespolonych :::{narration} Niech $\cc = \rr^2 .$ Zdefiniujmy dwa działania w $\cc .$ ::: :::{prf:definition} **Dodawanie** {index}`liczba zespolona; dodawanie` $+ : \cc^2 \to \cc$ zdefiniowane jest przez ```{math} (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2). ``` ::: :::{prf:remark} 1. Łatwo widać, że działanie $+$ jest łączne i przemienne. 2. $\forall (x,y)\in \cc \; (0,0) + (x,y) = (x,y) = (x,y)+ (0,0),$ czyli $(0,0)$ jest tzw. elementem neutralnym $+ .$ 3. $\forall (x,y)\in \cc$ istnieje element przeciwny $-(x,y) = (-x,-y)$, tzn. $(x,y) + (-x,-y) = (0,0).$ ::: :::{prf:definition} **Mnożenie** {index}`liczba zespolona; mnożenie` $\cdot : \cc^2 \to \cc$ zdefiniowane jest przez ```{math} (x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=(x_1 x_2 - y_1 y_2,\,x_1y_2 +x_2 y_1). ``` ::: :::{prf:example} Dla przykładu $(2,3) \cdot (1,4) = (2\cdot 1 - 3 \cdot 4,\, 2\cdot 4 + 3\cdot 1 ) = (-10,11) .$ ::: :::{prf:remark} 1. Można pokazać, że działanie $\cdot$ jest łączne i przemienne. 2. $\forall (x,y)\in\cc \; (x,y)\cdot(1,0) = (1,0)\cdot(x,y) = (1\cdot x - 0\cdot y, 1\cdot y + 0\cdot x)=(x,y), \quad$ czyli $(1,0)$ jest tzw. elementem neutralnym $\cdot\ .$ 3. $\forall (x,y)\in \cc\setminus\Set{(0,0)}$ istnieje element odwrotny $(x,y)^{-1} = \left(\dfrac x {x^2 + y^2}, \dfrac {-y} {x^2 + y^2} \right)$, tzn. $(x,y)\cdot(x,y)^{-1} = (1,0).$ 4. Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. ::: :::{prf:definition} **Ciałem liczb zespolonych** {index}`ciało; liczb zespolonych` nazywamy zbiór $\cc$ z działaniami $+, \cdot\ .$ **Liczbą zespoloną** {index}`liczba; zespolona` nazywamy każdy element zbioru $\cc .$ **Płaszczyzną zespoloną** {index}`płaszczyzna zespolona` nazywamy model ciała liczb zespolonych $\cc$, w którym elementy $(x,y) \in \cc$ odpowiadają punktom na płaszczyźnie z układem współrzędnych. ::: ## Liczby rzeczywiste :::{narration} Rozważmy zbiór ```{math} \rrr = \{(x,0):x\in\rr\} \subseteq \cc, ``` czyli elementy na osi poziomej na płaszczyźnie zespolonej. Zauważmy, że dla $(x_1,0), (x_2,0) \in \rrr$ mamy ```{math} \begin{aligned} (x_1,0) + (x_2,0) & = (x_1 + x_2, 0) \in \rrr, \\ (x_1,0) \cdot (x_2,0) & = (x_1 \cdot x_2 - 0\cdot 0, x_1 \cdot 0 + 0 \cdot x_2) = (x_1x_2, 0) \in \rrr, \end{aligned} ``` czyli na elementach tego zbioru działamy tak jak na elementach zbioru liczb rzeczywistych. Przyjmijmy zatem konwencję, w której ```{math} \begin{aligned} \rrr & = \rr, \qquad \text{czyli $\rr\subseteq \cc$} \\ (x,0) & = x \in \rr \subseteq \cc. \end{aligned} ``` ::: :::{prf:definition} **Liczbami rzeczywistymi** {index}`liczba; rzeczywista` nazywamy wszystkie elementy zbioru $\rr \subseteq \cc .$ ::: :::{narration} Zauważmy, że elementy neutralne dodawania i mnożenia są rzeczywiste: ```{math} 0 = (0,0) \in \rr, \qquad 1 = (1,0) \in \rr. ``` ::: ## Liczby urojone :::{prf:definition} **Jednostką urojoną** {index}`jednostka urojona` nazywamy liczbę zespoloną ```{math} j =(0,1). ``` ::: :::{prf:remark} 1. Zauważmy, że $j \notin \rr .$ Nazwa jednostki urojonej pochodzi stąd, że ```{math} j^2=(0,1)\cdot(0,1) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 0\cdot 1 + 1\cdot 0) = (-1,0) =- 1, ``` czyli $j$ jest pierwiastkiem kwadratowym z $-1\in \rr.$ 2. Ogólniej, dla każdych $a,b\in \rr$ mamy \quad $ (a\cdot j)\cdot(b\cdot j) = j^2 \cdot a\cdot b = -ab \in \rr.$ 3. Zauważmy też, że dla każdej liczby $y\in \rr$ mamy ```{math} \begin{aligned} j\cdot y = y \cdot j & = (y,0)\cdot(0,1) = (y\cdot 0 - 0\cdot 1, y\cdot 1 + 0\cdot 0) = (0,y), \end{aligned} ``` czyli $yj$ są elementami z osi pionowej na płaszczyźnie zespolonej. ::: :::{prf:definition} **Liczbami urojonymi** {index}`liczba; urojona` nazywamy wszystkie elementy zbioru $\Set{yj : y\in \rr} \subseteq \cc .$ ::: ## Postać kanoniczna :::{narration} Korzystając z poprzedniej uwagi otrzymujemy ```{math} (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)\cdot(0,1)=x+y\cdot j. ``` ::: :::{prf:definition} **Postacią kanoniczną** {index}`postać; kanoniczna` lub **algebraiczną** {index}`postać; algebraiczna` liczby zespolonej $z = (x,y)$ nazywamy zapis ```{math} z=x+yj \qquad \text{lub} \qquad z = x + jy. ``` Liczbę **$x = \RealPart z \in \rr$** nazywamy **częścią rzeczywistą** {index}`część; rzeczywista` liczby $z$ Liczbę **$y = \ImagPart z \in \rr$** nazywamy **częścią urojoną** {index}`część; urojoną` liczby $z .$ ::: :::{narration} Zatem każdą liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci ```{math} z = \RealPart z + j\cdot\ImagPart z ``` ::: :::{prf:example} Dla przykładu: 1. dla $z_1 = -3j + 2$, $\quad \RealPart z_1 = 2, \ \ImagPart z_1 = -3$ 2. dla $z_1 = -6j$, $\quad \RealPart z_1 = 0, \ \ImagPart z_1 = -6 .$ ::: :::{prf:remark} 1. Działania w postaci kanonicznej wykonuje się jak na rzeczywistych wyrażeniach algebraicznych z uwzględnieniem faktu, że $j^2 = -1 .$ Dla $z_1 = x_1 + y_1j,\; z_2 = x_2 +y_2 j \in \cc$\, mamy: - $z_1 +z_2 = (x_1 +x_2) + (y_1+y_2)j $ - $z_1 -z_2 = (x_1 -x_2) + (y_1-y_2) j $ - $z_1 \cdot z_2 = (x_1+y_1 j)(x_2+y_2 j) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2+x_2 y_1) j $ - jeśli $z_2\neq 0$, to $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{x_1+y_1 j}{x_2+y_2 j}= \dfrac{(x_1+y_1 j)(x_2-y_2 j)}{(x_2+y_2 j)(x_2-y_2 j)}= \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x^2_2 + y^2_2}+ \dfrac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x^2_2 + y^2_2} j\, .$ 2. We wzorze na dzielenie, wstawiając liczby $z_1 = 1$ i $z_2 = x + yj \neq 0$, otrzymujemy, że elementem odwrotnym do $z = x + yj$ względem mnożenia jest ```{math} z^{-1} = \dfrac 1 z = \dfrac{x}{x^2 + y^2}+ \dfrac{- y}{x^2 + y^2} j. ``` ::: ::::{exercise} :label: lec-05-ex-01 :class: [exercise] Wykonajmy wszystkie działania podstawowe dla: $ z_1 = -2 + 3j,\, z_2 = -2 -3j .$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-07-ex-01`, {numref}`prob-07-ex-05`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown 1. $ z_1 + z_2 = -2 + 3j + (-2 -3j) = -4 $ 2. $ z_1 - z_2 = -2 + 3j - (-2 -3j) = 6j $ 3. $ z_1 \cdot z_2 = (-2 + 3j)(-2 -3j) = (-2)^2 - (3j)^2 = 4 - (-9) = 13 $ 4. $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{-2 + 3j}{-2 -3j} = \dfrac{(-2 + 3j)(-2 + 3j)}{(-2 -3j)(-2 + 3j)} = \dfrac{(-2)^2 + 2(-2)(3j) + (3j)^2}{13} = \dfrac{4 -12j - 9}{13} = -\dfrac{5}{13} -\dfrac{12}{13} j $ 5. $ z_1^{-1} = \dfrac 1 {-2 + 3j} = \dfrac{-2 - 3j}{(-2 + 3j)(-2 - 3j)} = \dfrac{-2 - 3j}{13} = -\dfrac{2}{13} -\dfrac{3}{13} j \ .$ ::: :::{prf:proposition} Dla dowolnych $z_1, z_2\in\cc$ oraz $\alpha \in \rr$ zachodzi: 1. $z_1 = z_2 \qlq \RealPart z_1 = \RealPart z_2\, \wedge\, \ImagPart z_1 = \ImagPart z_2$ 2. $\RealPart (z_1+z_2) = \RealPart z_1 + \RealPart z_2 $ 3. $\ImagPart (z_1+z_2) = \ImagPart z_1 + \ImagPart z_2$ 4. $\RealPart (\alpha\, z_1) = \alpha\,\RealPart (z_1)$ 5. $\ImagPart (\alpha\, z_1) = \alpha\,\ImagPart (z_1)\,.$ ::: :::{prf:example} Zauważmy, że: ```{math} \begin{aligned} \RealPart ((2+j)(3-j)) & = 6+1 = 7, & (2+j)\cdot\RealPart (3-j)& = 6 + 3j, & \RealPart (2+j)\cdot \RealPart (3-j) & = 6. \end{aligned} ``` Zatem część rzeczywista nie ma dobrych własności ze względu na mnożenie. Analogicznie dla części urojonej. ::: ::::{exercise} :label: lec-05-ex-02 :class: [exercise] Rozwiążmy równanie: $\quad z^2 = j\RealPart z.$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-07-ex-03`, {numref}`prob-07-ex-09`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Niech $z = x + yj .$ Wówczas $ \Quad{ z^2 = x^2 + 2xy j + (y j)^2 = x^2 - y^2 + 2xy j. } $ Stąd ```{math} \begin{aligned} z^2 = j \RealPart z \qlq x^2 - y^2 + 2xy j = j x \qlq \begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = x \end{cases} \qlq \begin{cases} (x-y)(x+y) = 0 \\ 2xy = x \end{cases} . \end{aligned} ``` Korzystając z pierwszego równania mamy dwa przypadki: ```{math} \begin{aligned} \begin{cases} y=x \\ 2x^2 = x \end{cases} \vee\quad \begin{cases} y=-x \\ -2x^2 = x \end{cases} \qlq \begin{cases} y=x \\ x(2x-1) = 0 \end{cases} \vee\quad \begin{cases} y=-x \\ x(2x+1) = 0 \end{cases}. \end{aligned} ``` Otrzymujemy rozwiązania $$ x=y=\tfrac 1 2 \Quad\vee x=y=0 \Quad\vee x=-y=-\tfrac 1 2, $$ co w zapisie kanonicznym daje rozwiązanie: $$ z\in \Set{\tfrac 1 2 + \tfrac 1 2 j,\ 0,\ -\tfrac 1 2 + \tfrac 1 2 j}. $$ ::: ## Sprzężenie :::{prf:definition} **Sprzężenie** {index}`liczba zespolona; sprzężenie` liczby zespolonej $z=x+yj \in \cc$, definiujemy jako liczbę ```{math} \overline{z}=x-yj. ``` Mówimy, że liczba $\overline z$ jest **sprzężona** {index}`liczba zespolona; sprzężona` do liczby $z .$ ::: :::{prf:example} Dla przykładu: 1. $\overline{ -4} = -4 $ 2. $\overline{ 6j } = -6j $ 3. $\overline{ -3j + 2} = 2 + 3j .$ ::: :::{prf:remark} [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/affwptx3) Na płaszczyźnie zespolonej sprzężenie liczby zespolonej $z$, jest odbiciem $z$ względem osi rzeczywistej. ::: :::{prf:proposition} Dla dowolnych $z_0\neq 0,\, z_1,\, z_2,\, z\in\cc$ oraz $n \in \zz$ zachodzi: 1. $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z}_1+\overline{z}_2 $ 2. $\overline{z_1 - z_2} = \overline{z}_1-\overline{z}_2 $ 3. $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z}_1\cdot \overline{z}_2 $ 4. $\displaystyle \overline{\left(\frac{z_1}{z_0}\right)} = \frac{\overline{z}_1}{\overline{z}_0} $ 5. $\overline{(\overline{z})}=z $ 6. $\overline{z}\,^n = \overline{z^n} $ 7. $z + \overline z = 2 \RealPart (z) $ 8. $z - \overline z = 2j\, \ImagPart (z) .$ ::: ::::{exercise} :label: lec-05-ex-03 :class: [exercise] Rozwiążmy równania: 1. $\overline{\Paren{\dfrac{z + 1}{\overline z - j}}} = 1 $ 2. $\overline{z + 2 \overline{z}} - z = 2 .$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-07-ex-01`, {numref}`prob-07-ex-03`, {numref}`prob-07-ex-05`, {numref}`prob-07-ex-09`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown 1. Przekształcamy równanie korzystając z własności ze stwierdzenia: ```{math} \begin{aligned} \overline{\Paren{\dfrac{z + 1}{\overline z - j}}} & = 1 \\ \dfrac{\ \overline{z + 1} \ }{\overline{\overline z - j}} & = 1 & & \text{z własności 4.} \\ \dfrac{\ \overline{z} + 1 \ }{\overline{\overline z} + j} & = 1 & & \text{z własności 1. i 2.} \\ {\overline{z} + 1} = {z + j} \Quad{ & \wedge } z + j \neq 0 & & \text{z własności 5.} \\ z - \overline{z} = 1 - j \Quad{ & \wedge } z \neq -j \\ 2j \ImagPart z = 1 - j \Quad{ & \wedge } z \neq -j & & \text{z własności 8.}. \end{aligned} ``` Porównując części rzeczywiste z obu stron równości otrzymamy $0 = 1$, czyli sprzeczność. Zatem to równanie nie ma rozwiązań. 2. Przekształcamy równanie korzystając z własności działań: ```{math} \begin{aligned} \overline{z + 2 \overline{z}} - z = 2 & \qlq \overline{z} + 2 \overline{\overline{z}} - z = 2 \qlq \overline{z} + 2 z - z = 2 \\ & \qlq \overline{z} + z = 2 \qlq 2\RealPart{z} = 2 \qlq \RealPart{z} = 1. \end{aligned} ``` Zatem rozwiązniem jest zbiór ```{math} \begin{aligned} \Set{ z \in \cc : \RealPart z = 1} = \Set{ 1 + y \in \cc : y\in \rr}. \end{aligned} ``` ::: ## Moduł :::{prf:definition} **Moduł** {index}`liczba zespolona; moduł` liczby zespolonej $z=x+yj \in \cc$, definiujemy jako liczbę ```{math} \displaystyle|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\in \rr. ``` ::: :::{prf:example} Dla przykładu: 1. $|{-14}| = 14 $ 2. $|{- 6j}| = 6 $ 3. $|{ -3j + 2}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13} .$ ::: :::{prf:remark} [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/affwptx3) Na płaszczyźnie zespolonej moduł liczby $z\in \cc$ jest odległością $z$ od $0\in \cc .$ ::: :::{prf:proposition} Dla dowolnych $z_0\neq 0,\, z_1,\, z_2,\, z\in\cc$ oraz $n \in \zz$ zachodzi: 1. $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$ 2. $|z|^2 = z\cdot \overline{z}$ 3. $|z| = |\overline{z}|$ 4. $|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|$ 5. $\displaystyle \left|\frac{z_1}{z_0}\right| = \frac{|z_1|}{|z_0|}$ 6. $\left|z^n\right| = |z|^n .$ ::: :::{prf:remark} Zauważmy, że z punktu 2. wynika iż $\quad z^{-1} = \dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}} {|z|^2} .$ ::: ::::{exercise} :label: lec-05-ex-04 :class: [exercise] Dla $z = 1-2j$ obliczmy (czyli znajdźmy postać kanoniczną) $\Absolute{\Paren{\dfrac {z - j} {\overline z + 1 -j}}^{21}}.$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-07-ex-01`, {numref}`prob-07-ex-03`, {numref}`prob-07-ex-05`, {numref}`prob-07-ex-09`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Korzystając z własności ze stwierdzenia zauważmy, że ```{math} \begin{aligned} \Absolute{\Paren{\dfrac {z - j} {\overline z + 1 -j}}^{21}} = \Absolute{\dfrac { z - j } {\ \overline {z + 1 +j} \ } }^{21} = \Paren{\dfrac {\Absolute{z - j}} {\Absolute{z + 1 +j}}}^{21} = \Paren{\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}}^{21} = 2^{\frac {21} 2} = 2^{10} \sqrt{2} , \end{aligned} ``` gdzie skorzystaliśmy z równości: ```{math} \begin{aligned} \Absolute{z - j}& = |1 - 3j| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}, & \Absolute{z +1 + j} & = |2 - j| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}. \end{aligned} ``` ::: :::{prf:example} [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/r6bw4uzg) Zauważmy, że $\quad |z_1-z_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \quad$ jest odległością między liczbami $z_1 = x_1 + y_1 j$ i $z_2 = x_2 + y_2 j .$ Stąd warunki na $z\in\cc$: 1. $|z-z_1| = R$, $\quad |z-z_1| \leq R$, $\quad |z-z_1| > R \quad$ opisujące odpowiednio: okrąg, $\quad$ koło, $\quad$ dopełnienie koła $\quad$ o środku w $z_1\in\cc$ i promieniu $R\geq 0$ 2. $|z-z_1| = |z-z_2|$, $\quad |z-z_1| \leq |z-z_2| \quad$ opisujące odpowiednio: symetralną odcinka łączącego $z_1,\, z_2\in\cc$, półprzestrzeń zawierającą $z_1$ wyznaczoną przez tą symetralną. ::: ::::{exercise} :label: lec-05-ex-05 :class: [exercise] Zilustrujmy na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb $z\in\cc$ spełniających: :::{container} columns-2-auto 1. $|jz - 2j -1| = 3$ 2. $|z - 2j -1| - |\overline{z} -2 -3j| < 0$ 3. $|z - 2| + |z+2| = 2.$ ::: :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-07-ex-03`, {numref}`prob-07-ex-09`. ::: :::: ::::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown 1. Zacznijmy od przekształcenia tej równości: ```{math} \begin{aligned} |jz - 2j -1| & = 3 \\ \Absolute{j\Paren{z - \dfrac{2j +1}{j}}} & = 3 \\ |j|\cdot\Absolute{z - 2 +j} & = 3 \\ \Absolute{z - 2 +j} & = 3 . \end{aligned} ``` Zatem jest to okrąg o środku w $z_1 = 2-j$ i promieniu 3. 2. Zacznijmy od przekształcenia tej nierówności: ```{math} \begin{aligned} |z - 2j -1| - |\overline{z} -2 -3j| & < 0 \\ |z - 2j -1| & < \Absolute{\overline{z -2 +3j}} \\ |z - 2j -1| & < \Absolute{z -2 +3j} . \end{aligned} ``` Zatem jest półprzestrzeń zawierającą $z_2$ wyznaczona przez symetralną odcinka łączącego $$ z_2 = 1 + 2j \quad \text{i} \quad z_3 = 2 - 3j. $$ Symetralna: - przechodzi przez środek odcinka $\quad s = \tfrac{z_2 + z_3} 2 = \tfrac 3 2 - \tfrac 1 2 j$ - jest prostopadła do wektora $\quad z_2 - z_3 = -1 + 5j, \quad$ czyli wzdłuż wektora $\quad v = 5 + j .$ 3. Rozważmy trójkąt o wierzchołkach -2, 2, $z .$ Zauważmy, że: :::{container} center-text $|z \pm 2|$ jest długością boku tego trójkąta łączącego $z$ i $\mp 2 .$ ::: Zatem z nierówności trójkąta otrzymamy ```{math} |z - 2| + |z+2| \geq |2 - (-2)| = 4. ``` Z tego wniosek, że nie istnieje $z\in\cc$, dla którego $|z - 2| + |z+2| \geq |2 - (-2)| = 2$, czyli rozwiązaniem jest zbiór pusty. Rozwiązania przedstawione są na stronie [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/gxmcddu2). ::::