--- title: "Lecture 6: Liczby zespolone II" lecture_number: 6 has_solutions: true has_exercises: true file_format: mystnb kernelspec: name: sagemath display_name: SageMath --- ```{include} ../_includes/sagecell-loader.md ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math glue("sageglue_6_26", Math(r'''z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2\cdot\left(\cos \Paren{\varphi_1 + \varphi_2} + j \sin \Paren{\varphi_1 + \varphi_2}\right)'''), display=False) glue("sageglue_6_27", Math(r'''\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac {r_1} {r_2}\cdot\left(\cos \Paren{\varphi_1 - \varphi_2} + j \sin \Paren{\varphi_1 - \varphi_2}\right)'''), display=False) glue("sageglue_6_28", Math(r'''\overline{z} = r\cdot\left(\cos \Paren{-\varphi} + j \sin \Paren{-\varphi}\right)'''), display=False) glue("sageglue_6_29", Math(r'''-z = r\cdot\left(\cos \Paren{\varphi + \pi} + j \sin \Paren{\varphi + \pi}\right)'''), display=False) glue("sageglue_6_30", Math(r'''z^ n = r^n\cdot\left(\cos \Paren{n \cdot\varphi} + j \sin \Paren{n \cdot\varphi}\right) \quad'''), display=False) glue("sageglue_6_31", Math(r'''z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2\cdot e^{\, \Paren{\varphi_1 + \varphi_2} j}'''), display=False) glue("sageglue_6_32", Math(r'''\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac {r_1} {r_2}\cdot e^{\, \Paren{\varphi_1 - \varphi_2} j}'''), display=False) glue("sageglue_6_33", Math(r'''\overline{z} = r\cdot e^{\, -\varphi j}'''), display=False) glue("sageglue_6_34", Math(r'''-z = r\cdot e^{\, \Paren{\varphi + \pi} j}'''), display=False) glue("sageglue_6_35", Math(r'''z^ n = r^n\cdot e^{\, n \cdot\varphi j}'''), display=False) glue("sageglue_6_36", Math(r'''0 \neq z = r\cdot e^{\, \varphi j}, \ r\in \rr_+, \ \varphi\in [0, 2\pi)'''), display=False) glue("sageglue_6_37", Math(r'''0 \neq z = r\cdot e^{\, \varphi j}, \ r\in \rr_+, \ \varphi\in [0, 2\pi)'''), display=False) glue("sageglue_6_38", Math(r'''0 \neq z = r\cdot e^{\, \varphi j}, \ r\in \rr_+, \ \varphi\in \rr'''), display=False) glue("sageglue_6_39", Math(r'''0 \neq z = r\cdot e^{\, \varphi j}, \ r\in \rr_+, \ \varphi\in \rr'''), display=False) glue("sageglue_6_40", Math(r'''\Quad{8j = 8\cdot\left(\cos \frac \pi 2 + j \sin \frac \pi 2\right), }'''), display=False) glue("sageglue_6_41", Math(r'''\Quad{\frac {-1 + \sqrt {3} j} 2 = 1\cdot\left(\cos \frac {2} 3 \pi + j \sin \frac {2} 3 \pi\right) ,}'''), display=False) glue("sageglue_6_42", Math(r'''\Quad{ -64 = 64\cdot\left(\cos \pi + j \sin \pi\right) ,}'''), display=False) glue("sageglue_6_43", Math(r'''\omega_1 = e^{\, \frac \pi 2 j} = j '''), display=False) ``` # Liczby zespolone II ## Argument :::{prf:proposition} :label: stw:Argument [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/affwptx3) Dla każdej liczby zespolonej $z\neq 0$ istnieje dokładnie jedna liczba $\alpha\in\rr$ spełniająca zależności: ```{math} \begin{aligned} \cos\alpha =\frac{\RealPart z}{|z|}, \quad \sin\alpha =\frac{\ImagPart z}{|z|}, \quad -\pi< \alpha \leq \pi. \end{aligned} ``` ::: :::{prf:definition} **Argumentem głównym** {index}`liczba zespolona; argument główny` liczby $z\in\cc\setminus\Set{0}$ nazywamy kąt $\alpha$ z powyższego stwierdzenia i oznaczmy go przez ```{math} \ArgPrincipal z = \alpha \in (-\pi, \pi]. ``` **Argumentem** {index}`liczba zespolona; argument` liczby $z\in\cc\setminus\Set{0}$ nazywamy dowolny kąt $\varphi\in\rr$ spełniający równania: ```{math} \begin{aligned} \cos\varphi =\frac{\RealPart z}{|z|}, \quad \sin\varphi =\frac{\ImagPart z}{|z|}. \end{aligned} ``` ::: :::{narration} **Zbiór wszystkich argumentów** liczby $z\in\cc\setminus\Set{0}$ oznaczamy przez $\ArgSet z\subseteq \rr.$ Jest jasne, że ```{math} \ArgSet z = \Set{\ArgPrincipal z + 2k\pi : k \in \zz}. ``` ::: :::{prf:remark} 1. Argument liczby zespolonej $0$ nie jest określony. 2. [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/affwptx3) W celu znalezienia argumentu liczby zespolonej można posłużyć się równaniami z {prf:ref}`stw:Argument`. Najłatwiej skorzystać z tego, że argument liczby $z\in\cc\setminus\Set{0}$ jest miarą $\varphi$ kąta skierowanego na płaszczyźnie zespolonej utworzonego przez rzeczywistą dodatnią półoś oraz półprostą wychodzącą z $0$ przechodzącą przez $z .$ ::: ::::{exercise} :label: lec-06-ex-01 :class: [exercise] Znajdźmy argument główny i zbiór argumentów liczb: ```{math} \begin{aligned} 1,\quad -j,\quad -2,\quad -2 - 2j,\quad 3- 4j,\quad -4- 2j,\quad -1+2j. \end{aligned} ``` :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-07-ex-04`, {numref}`prob-07-ex-10`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Zaznaczamy na płaszczyźnie zespolonej podane liczby i odczytujemy, że: ```{math} \begin{aligned} \ArgPrincipal 1 & = 0, & \ArgSet 1 & = \Set{ 2k\pi : k \in \zz}, \\ \ArgPrincipal(- j) & = -\tfrac \pi 2, & \ArgSet(-j)& = \Set{-\tfrac \pi 2 + 2k\pi : k \in \zz}, \\ \ArgPrincipal(-2) & = \pi, & \ArgSet(-2)& = \Set{(2k+1)\pi : k \in \zz}, \\ \ArgPrincipal(- 2 -2j) & = -\tfrac {3\pi} 4, & \ArgSet(-2 -2j)& = \Set{-\tfrac {3\pi} 4 + 2k\pi : k \in \zz}. \\ \end{aligned} ``` Dla 3. ostatnich liczb musimy użyć funkcji cyklometrycznych: ```{math} \begin{aligned} \ArgPrincipal(3-4j) & = -\arctan \tfrac 4 3, & \ArgSet(3-4j)& = \Set{-\arctan \tfrac 4 3 + 2k\pi : k \in \zz}, \\ \ArgPrincipal(-4-2j) & = -\pi+\arctan \tfrac 1 2, & \ArgSet(-4-2j) & = \Set{\arctan \tfrac 1 2 + (2k-1)\pi : k \in \zz}, \\ \ArgPrincipal(-1+2j) & = \pi-\arctan 2, & \ArgSet(-1+2j) & = \Set{-\arctan 2 + (2k+1)\pi : k \in \zz}. \end{aligned} ``` ::: ## Postać trygonometryczna ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z = \RealPart z + j\, \ImagPart z =|z|\left(\frac{{\RealPart z}}{{|z|}} + j \frac{{\ImagPart z}}{{|z|}} \right) = {TrigForm('|z|', '\\varphi')}, """ glue("sageglue_6_01", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{narration} Zauważmy, że liczbę zespoloną $z\neq 0$ można zapisać jako ```{glue} sageglue_6_01 ``` gdzie $\varphi \in \ArgSet z .$ ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z= {TrigForm('r', '\\varphi')}, """ glue("sageglue_6_02", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{prf:definition} **Postacią trygonometryczną** {index}`postać; trygonometryczna` liczby zespolonej $z\in \cc\setminus\Set 0$ nazywamy zapis ```{glue} sageglue_6_02 ``` gdzie $r=|z|\in\rr_+$, $\varphi\in\ArgSet z .$ ::: :::{narration} Postać trygonometryczna liczby zespolonej nie jest określona jednoznacznie. ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z_1 = {TrigForm('r_1', '\\varphi_1')}, \qquad z_2 = {TrigForm('r_2', '\\varphi_2')}, \qquad r_1,\, r_2 >0, \qquad \varphi_1,\, \varphi_2 \in \rr. """ glue("sageglue_6_03", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{prf:proposition} Niech ```{glue} sageglue_6_03 ``` Wówczas ```{math} z_1 = z_2 \qlq r_1 = r_2 \ \wedge \ \exists k\in\zz \ \,\varphi_1 = \varphi_2 +2k\pi. ``` ::: ::::{exercise} :label: lec-06-ex-02 :class: [exercise] Znajdźmy postać trygonometryczną liczb: ```{math} \begin{aligned} 1,\quad -j,\quad -2,\quad -1+2j. \end{aligned} ``` :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-07-ex-04`, {numref}`prob-07-ex-10`, {numref}`prob-08-ex-01`, {numref}`prob-08-ex-05`. ::: :::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" |1| & = 1 && \Quad{{\imply}} & 1 & = {TrigForm('1', '0')}, \\ |-j|& = 1 && \Quad{{\imply}} & -j& = {TrigForm('1', '\\Paren{-\\tfrac {\\pi} 2}')}, \\ |-2|& = 2 && \Quad{{\imply}} & -2& = {TrigForm('2', '\\pi')}, \\ |-1+2j| & = \sqrt{{5}} && \Quad{{\imply}} & -1+2j & = {TrigForm('\\sqrt{5}', '\\Paren{\\pi-\\arctan 2}')}. """ glue("sageglue_6_04", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Korzystając z wyników poprzedniego ćwiczenia i obliczonych modułów otrzymujemy: ```{glue} sageglue_6_04 ``` Podkreślmy, że co prawda zachodzi równość ```{math} -1+2j = \sqrt{5}\Paren{-\cos \Paren{\arctan 2} + j\sin\Paren{\arctan 2}}, ``` ale **prawa strona nie jest postacią trygonometryczną liczby $-1+2j$**. ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z_1z_2 & = {TrigForm('r_1', '\\varphi_1')} \cdot {TrigForm('r_2', '\\varphi_2')} \\ & = r_1r_2\cdot [(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2) + j(\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2)] \\ & = {TrigForm('r_1 r_2', '\\Paren{\\varphi_1 + \\varphi_2}')}. """ glue("sageglue_6_06", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z_1 = {TrigForm('r_1', '\\varphi_1')}, \quad z_2 = {TrigForm('r_2', '\\varphi_2')} """ glue("sageglue_6_05", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{prf:remark} [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/pjf9ptet) Postać trygonometryczna pozwala dobrze zinterpretować mnożenie liczb zespolonych na płaszczyźnie zespolonej. Dla ```{glue} sageglue_6_05 ``` mamy ```{glue} sageglue_6_06 ``` To oznacza, że: ```{math} \begin{aligned} |z_1z_2| = r_1r_2, \qquad \ArgPrincipal z_1 + \ArgPrincipal z_2 \in \ArgSet (z_1 z_2). \end{aligned} ``` ::: :::{prf:proposition} Dla dowolnych liczb zespolonych $z_1, z_2 \in \cc \setminus\Set{0}$ zachodzą zależności: 1. $\exists k\in\zz\quad \ArgPrincipal(z_1\cdot z_2) = \ArgPrincipal z_1 + \ArgPrincipal z_2 + 2k\pi\ ;$ 2. $\ArgSet(z_1\cdot z_2) = \Set{\ArgPrincipal z_1 + \ArgPrincipal z_2 + 2k\pi : k\in\zz} .$ ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z = {TrigForm('r', '\\varphi')}, \quad z_1 = {TrigForm('r_1', '\\varphi_1')}, \quad z_2 = {TrigForm('r_2', '\\varphi_2')}, """ glue("sageglue_6_07", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{prf:proposition} Niech liczby $z_1,\, z_2,\, z \in \cc\setminus \Set{0}$ mają postaci trygonometryczne: ```{glue} sageglue_6_07 ``` dla pewnych $r,\, r_1, \, r_2 \in \rr_+$ oraz $\varphi,\, \varphi_1,\, \varphi_2 \in \rr .$ Wówczas: 1. {glue:}`sageglue_6_26` 2. {glue:}`sageglue_6_27` 3. {glue:}`sageglue_6_28` 4. {glue:}`sageglue_6_29` 5. {glue:}`sageglue_6_30` dla $n\in\zz \quad$ -- wzór de Moivre'a. ::: ::::{exercise} :label: lec-06-ex-03 :class: [exercise] Obliczmy (czyli znajdźmy postać kanoniczną) liczby $ \dfrac {(1 + j)^{22}}{\Paren{\sqrt 3 - j}^{21}} . $ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-08-ex-01`, {numref}`prob-08-ex-05`. ::: :::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" |1+j| & = \sqrt{{2}},\ \ArgPrincipal(1+j) = \tfrac \pi 4 & & \Quad{{\imply}} & 1+j & = {TrigForm('\\sqrt 2', '\\tfrac \\pi 4')}, \\ |\sqrt 3 - j| & = 2,\ \ArgPrincipal(\sqrt 3 - j) = -\tfrac \pi 6 & & \Quad{{\imply}} & \sqrt 3 - j & = {TrigForm(' 2', '\\Paren{-\\tfrac \\pi 6}')}. """ glue("sageglue_6_08", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" \dfrac {{(1 + j)^{{22}}}}{{\Paren{{\sqrt 3 - j}}^{{21}}}} & = \dfrac {{\Paren{{{TrigForm('\\sqrt 2', '\\tfrac \\pi 4')}}}^{{22}}}} {{\left({TrigForm(' 2', '\\Paren{{-\\tfrac \\pi 6}}')}\right)^{{21}}}} =\dfrac {{{TrigForm('{\\sqrt 2}^{22}', '\\Paren{{22\\cdot\\tfrac \\pi 4}}')}}} {{{TrigForm(' 2^{21}', '\\Paren{{21\\cdot\\Paren{{-\\tfrac \\pi 6}}}}')}}} \\ & =\dfrac {{{TrigForm('2^{11}', '\\Paren{{\\tfrac {11} 2 \\pi}}')}}} {{{TrigForm('2^{21}', '\\Paren{{-\\tfrac {7} 2 \\pi}}')}}} = {TrigForm('2^{{-10}}', '\\Paren{{\\tfrac {{11}} 2 \\pi + \\tfrac {{7}} 2 \\pi}}')} \\ & = {TrigForm('2^{-10}', '9 \\pi')} = {TrigForm('2^{-10}', ' \\pi')} = -2^{{-10}}. """ glue("sageglue_6_09", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Zaczynamy od znalezienia postaci trygonometrycznych liczb w podstawach licznika i mianownika: ```{glue} sageglue_6_08 ``` Korzystając ze wzoru de Moivre'a i wzoru na dzielenie otrzymujemy: ```{glue} sageglue_6_09 ``` ::: ## Postać wykładnicza :::{narration} Potrzeba dość zaawansowanej analizy matematycznej by dowieść (i zrozumieć) jeszcze jednej, niezwykle użytecznej, postaci liczb zespolonych. Mówiąc w ogromnym skrócie, funkcję wykładniczą $z \mapsto e^{\ z}$ można rozpatrywać dla wszystkich liczb zespolonych $z\in\cc .$ Następnie pokazuje się, że dla $\Quad{z = x + yj \in \cc}$ mamy ```{math} e^{\, z} = e^{\, x + yj} = e^x(\cos y + j \sin y). ``` W szczególności biorąc $x=0$ otrzymujemy {index}`wzór Eulera` (dla $y\in \rr$) ```{math} e^{\, yj} =\cos y + j \sin y. ``` ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z={PolarForm('r', '\\varphi')}, \qquad \text{{gdzie }} r=|z|\in \rr_+,\, \varphi\in\ArgSet z. """ glue("sageglue_6_10", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{prf:definition} **Postacią wykładniczą** {index}`postać; wykładnicza` liczby zespolonej $z\in\cc\setminus\Set 0$ nazywamy zapis ```{glue} sageglue_6_10 ``` ::: :::{prf:remark} Po wstawieniu $y=\pi$ do wzoru Eulera dostaniemy jego szczególny przypadek ```{math} e^{\, j\pi} + 1 = 0. ``` Proszę zauważyć, że w piękny sposób wiąże on $5$ fundamentalnych stałych matematycznych! ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z = {PolarForm('r', '\\varphi')}, \quad z_1 = {PolarForm('r_1', '\\varphi_1')}, \quad z_2 = {PolarForm('r_2', '\\varphi_2')}, """ glue("sageglue_6_11", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{prf:proposition} Załóżmy, że: ```{glue} sageglue_6_11 ``` dla pewnych $r,\, r_1, \, r_2 \in \rr_+$ oraz $\varphi,\, \varphi_1,\, \varphi_2 \in \rr .$ Wówczas: 1. {glue:}`sageglue_6_31` 2. {glue:}`sageglue_6_32` 3. {glue:}`sageglue_6_33` 4. {glue:}`sageglue_6_34` 5. {glue:}`sageglue_6_35` dla $n\in\zz \qquad$ -- wzór de Moivre'a. ::: ::::{exercise} :label: lec-06-ex-04 :class: [exercise] Zilustrujmy zbiór liczb zespolonych spełniających warunek: :::{container} columns-2-auto 1. $z \cdot |z| + \overline{z}^{2} = 0 $ 2. $-{\pi} < \ArgPrincipal \Paren{-3 z^4} \leq \dfrac \pi 2 $ 3. $\RealPart \Paren{\left(j + 1\right)\cdot \overline{z}^5} < 0 .$ ::: :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-08-ex-02`, {numref}`prob-08-ex-07`. ::: :::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" \RealPart \Paren{{\left(j + 1\right)\cdot \overline{{z}}^5}} < 0 \qlq \tfrac \pi 2 & < \ArgPrincipal\Paren{{\left(j + 1\right)\cdot \overline{{z}}^5}} - 2k\pi< \tfrac {{3\pi}} 2 \\ \tfrac \pi 2 & < \ArgPrincipal \Paren{{ {PolarForm('\\sqrt 2', '\\frac \\pi 4')} }} + \ArgPrincipal\Paren{{ {PolarForm('r^5', '-5\\varphi')} }} -2k\pi< \tfrac {{3\pi}} 2 \\ r\in \rr_+ \Quad{{ \wedge}} \tfrac \pi 2 & < \tfrac \pi 4 - 5\varphi - 2k\pi < \tfrac {{3\pi}} 2, \quad k\in\zz \\ r\in \rr_+ \Quad{{ \wedge}} \tfrac \pi 4 + 2k\pi & < - 5\varphi < \tfrac {{5\pi}} 4 + 2k\pi, \quad k\in\zz \\ r\in \rr_+ \Quad{{ \wedge}} -\tfrac \pi {{20}} + \tfrac{{2\pi}} 5\cdot k & > \varphi > -\tfrac {{\pi}} 4 + \tfrac{{2\pi}} 5\cdot k, \quad k\in\zz \ . """ glue("sageglue_6_14", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" j + 1 = {PolarForm('|1 + j|', '\\ArgPrincipal(1+j)')} = {PolarForm('\\sqrt 2', '\\frac \\pi 4')}. """ glue("sageglue_6_13", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z \cdot |z| + \overline{{z}}^{{2}} = 0 & \qlq z \cdot |z| = - \overline{{z}}^{{2}} \\ {PolarForm('r^2', '\\varphi')} = {PolarForm('r', '\\varphi')} \cdot r & = - \Paren{{\overline{{ {PolarForm('r', '\\varphi')} }} }}^{{2}} = -1 \cdot \Paren{{{PolarForm('r', '-\\varphi')}}}^{{2}} \\ & = {PolarForm('1', '\\pi')}\cdot {PolarForm('r^2', '-2\\varphi')} = {PolarForm('r^2', '(\\pi-2\\varphi)')} \\ r^2 = r^2 \Quad{{ & \wedge}} \varphi = \pi - 2\varphi + 2k\pi, \quad k\in\zz \\ 1 = 1 \Quad{{ & \wedge}} 3\varphi = \pi + 2k\pi, \quad k\in\zz \\ r\in\rr_+ \Quad{{ & \wedge}} \varphi = \tfrac \pi 3 + \tfrac {{2\pi}} 3 \cdot k, \quad k\in\zz \ . """ glue("sageglue_6_12", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown 1. Widać, że jednym z rozwiązań jest $z=0 .$ Przyjmując {glue:}`sageglue_6_36` obliczamy: ```{glue} sageglue_6_12 ``` Rozwiązaniem są 3 półproste wychodzące z $0$ (wraz z punktem $0$) pod kątami $\tfrac \pi 3,\ \pi,\ \tfrac {5\pi} 3$ przedstawione na stronie [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/cwnsamd2). 2. $z=0$ nie jest rozwiązaniem, bo nie jest określony dla niego argument. Przyjmując {glue:}`sageglue_6_37` obliczamy: ```{math} \begin{aligned} -{\pi} & < \ArgPrincipal \Paren{-3\cdot z^4} \leq \tfrac \pi 2 \\ -{\pi} & < \ArgPrincipal \Paren{3 e^{j\pi}} + \ArgPrincipal \Paren{r^4 e^{4\varphi j}} - 2(k+1)\pi \leq \tfrac \pi 2 \\ r\in \rr_+ \Quad{ \wedge} -{\pi} & < \pi + 4\varphi - 2(k+1)\pi \leq \tfrac \pi 2, \quad k\in\zz \\ r\in \rr_+ \Quad{ \wedge} -{\pi} & < -\pi + 4\varphi - 2k\pi \leq \tfrac \pi 2, \quad k\in\zz \\ r\in \rr_+ \Quad{ \wedge} 2k\pi & < 4\varphi \leq \tfrac {3\pi} 2 + 2k\pi, \quad k\in\zz \\ r\in \rr_+ \Quad{ \wedge} \tfrac \pi 2\cdot k & < \varphi \leq \tfrac {3\pi} 8 + \tfrac \pi 2\cdot k, \quad k\in\zz\ . \end{aligned} ``` Rozwiązaniem są 4 obszary między półprostymi wychodzącymi z $0$ (bez punktu $0$) przedstawiona na stronie [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/qp3dqqpn). 3. $z=0$ nie jest rozwiązaniem, bo $\RealPart 0 = 0.$ Obliczamy postać wykładniczą liczby ```{glue} sageglue_6_13 ``` Przyjmując {glue:}`sageglue_6_38` obliczamy: ```{glue} sageglue_6_14 ``` Rozwiązaniem jest 5 obszarów między półprostymi wychodzącymi z $0$ (bez punktu $0$) przedstawionych na stronie [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/yxejnf9d). ::: ## Pierwiastki kwadratowe :::{prf:definition} **Pierwiastkiem kwadratowym** {index}`pierwiastek; kwadratowy` z liczb $w\in\cc$ nazywamy każdą liczbę zespoloną $z\in\cc$, dla której ```{math} z^2 = w. ``` ::: :::{narration} **Zbiór wszystkich pierwiastków** oznaczamy symbolem ```{math} \displaystyle \sqrt{w} = \Set{z\in\cc : z^2 = w} . ``` ::: :::{prf:example} Dla $a > 0$ mamy: 1. $\sqrt a = \Set{\pm \sqrt {a}}$, gdyż $ \qquad z^2 = a \qlq (z+\sqrt{a})(z-\sqrt{a})=0$ 2. $\sqrt {-a} = \Set{\pm \sqrt {a} j}$, gdyż $ \qquad z^2 = -a \qlq z^2 - \left(\sqrt{a}j\right)^2 = 0 \qlq (z+\sqrt{a} j)(z-\sqrt{a} j)=0 .$ ::: :::{prf:remark} Z definicji, w celu znalezienia pierwiastków kwadratowych $z = x + yj$ z liczby $w = a + b j$ należy rozwiązać równanie: $ (x + yj)^2 = a + b j. $ Porównanie części rzeczywistych i urojonych obu stron tego równania daje układ równań: ```{math} \begin{aligned} x^2 - y^2 = a, \qquad 2xy = b, \qquad x,y \in \rr. \end{aligned} ``` Można też dodać trzecie równanie: $ \quad x^2 + y^2 = |z|^2 = \Absolute{z^2} = |w| = \sqrt{a^2 + b^2}. $ W nietrywialnym przypadku $b\neq 0$ (co implikuje, że $x\neq 0$) otrzymujemy: 1. sumę pierwszego i trzeciego równania: $\quad 2x^2 = a + \sqrt{a^2 + b^2}$, 2. (item:y-kwadrat)= z trzeciego równania: $\quad\displaystyle y = \frac b {2x} .$ Rozwiązaniem pierwszego równania jest $ x = \pm \sqrt{\frac { a + \sqrt{a^2 + b^2 }} 2}. $ Po wstawieniu tych wartości do równania drugiego otrzymujemy pierwiastki kwadratowe. ::: ::::{exercise} :label: lec-06-ex-05 :class: [exercise] Wyznaczmy $\sqrt{-5 + 12j}.$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-08-ex-03`, {numref}`prob-08-ex-08`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Rozwiązujemy układ równań: ```{math} \begin{aligned} \begin{cases} (x + jy)^2 = -5 + 12 j \\ x^2 + y^2 = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} \end{cases} & \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2 - y^2 = -5 \\ 2xy = 12 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 2x^2 = -5+13 \\ y = \dfrac 6 x \Quad{\wedge} x \neq 0 \end{cases} & \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2 = 4 \\ y = \dfrac 6 x \\ \end{cases}. \end{aligned} ``` Otrzymujemy rozwiązania: $x=2,\ y= 3$ lub $x=-2, \ y=-3 .$ Zatem $\sqrt{-5 +12j} = \Set{2 + 3j,\ -2 -3j}.$ Rozwiązanie przedstawione jest na stronie [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/wthgva7z). ::: ## Pierwiastki naturalnego stopnia :::{prf:definition} **Pierwiastkiem stopnia $n \in \nn$** {index}`pierwiastek; stopnia $n$` z liczb $w\in\cc$ nazywamy każdą liczbę zespoloną $z\in\cc$, dla której ```{math} z^n = w. ``` ::: :::{narration} **Zbiór wszystkich pierwiastków** $n$-tego stopnia oznaczamy symbolem ```{math} \displaystyle \sqrt[n]{w} = \{z\in\cc : z^n = w\} . ``` ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z_k = {PolarForm('\\sqrt[n]{R}', '\\frac{\\alpha + 2k\\pi}{n}')} = {TrigForm('\\sqrt[n]{R}', '\\dfrac{\\alpha + 2k\\pi}{n}')} . """ glue("sageglue_6_16", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" 0 \neq w = {PolarForm('R', '\\alpha')} = {TrigForm('R', '\\alpha')} , \quad R\in\rr_+,\, \alpha\in\rr, """ glue("sageglue_6_15", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{prf:proposition} :label: prop:Pierwiastki Jedynym pierwiastkiem $n$-tego stopnia z $0$ jest $0 .$ Jeśli $n\in\nn$ to istnieje dokładnie $n$ pierwiastków stopnia $n$ z liczby $w .$ Co więcej, dla: ```{glue} sageglue_6_15 ``` mamy $\sqrt[n]{w} = \Set{z_0,z_1,\ldots, z_{n-1}},$ gdzie: ```{glue} sageglue_6_16 ``` ::: :::{prf:definition} **Pierwiastkiem głównym** {index}`pierwiastek; główny` stopnia $n$ z liczby $z$ nazywamy pierwiastek stopnia $n$ z liczby zespolonej $z\neq 0 $, który ma najmniejszy nieujemny argument. ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z_0 & = {TrigForm('\\sqrt R', '\\frac \\alpha 2')}, & z_1 & = - {TrigForm('\\sqrt R', '\\frac {\\alpha} 2')} = -z_0. """ glue("sageglue_6_19", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z_0 & = {TrigForm('\\sqrt R', '\\frac \\alpha 2')}, & z_1 & = {TrigForm('\\sqrt R', '\\frac {\\alpha + 2\\pi} 2')}. """ glue("sageglue_6_18", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z^n = w \qlq \Paren{{r\cdot e^{{\, \varphi j}} }}^n & = {PolarForm('R', '\\alpha')} \\ {PolarForm('r^n', 'n\\varphi')} & = {PolarForm('R', '\\alpha')} \\ r^n = R \quad & \wedge \quad n\varphi = \alpha + 2k\pi,\quad k \in \zz \\ r = \sqrt[n]{{R}} \quad & \wedge \quad \varphi = \frac{{\alpha + 2k\pi}} n,\quad k \in \zz . """ glue("sageglue_6_17", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{prf:remark} 1. Stwierdzenie wynika z rozwiązania równania na {glue:}`sageglue_6_39`: ```{glue} sageglue_6_17 ``` 2. Dla $n = 2$ stwierdzenie daje pierwiastki kwadratowe. Istotnie, biorąc $k= 0, 1$ dostajemy z powyższego wzoru: ```{glue} sageglue_6_18 ``` Korzystając z faktu, że $\cos\left(\frac \alpha 2 + \pi\right) = -\cos\frac \alpha 2$ oraz $\sin\left(\frac \alpha 2 + \pi\right) = -\sin\frac \alpha 2$ otrzymujemy: ```{glue} sageglue_6_19 ``` Rozwiązanie przedstawione jest na stornie [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/wthgva7z) ::: ::::{exercise} :label: lec-06-ex-06 :class: [exercise] Znajdźmy pierwiastki 3-ciego stopnia z liczby $w=8j .$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-08-ex-03`, {numref}`prob-08-ex-08`. ::: :::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" z_0 & = {TrigForm('\\sqrt[3]{8}', '\\frac{\\frac \\pi 2 + 2\\cdot 0\\cdot \\pi} 3')} = {TrigForm('2', '\\tfrac \\pi 6')} = \sqrt 3 + j , \\ z_1 & = {TrigForm('\\sqrt[3]{8}', '\\frac{\\frac \\pi 2 + 2\\cdot 1\\cdot \\pi} 3')} = {TrigForm('2', '\\tfrac {5\\pi} 6')} = -\sqrt 3 + j , \\ z_2 & = {TrigForm('\\sqrt[3]{8}', '\\frac{\\frac \\pi 2 + 2\\cdot 2\\cdot \\pi} 3')} = {TrigForm('2', '\\tfrac {9\\pi} 6')} = - 2j . """ glue("sageglue_6_20", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Ponieważ {glue:}`sageglue_6_40` to: ```{glue} sageglue_6_20 ``` Rozwiązanie przedstawione jest na stornie [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/eggqpx7h). ::: ::::{exercise} :label: lec-06-ex-07 :class: [exercise] Znajdźmy pierwiastki 4-tego stopnia z liczby $\displaystyle w = \frac {-1 + \sqrt {3} j} 2 .$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-08-ex-03`, {numref}`prob-08-ex-08`. ::: :::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" {ComplexRootTrig('1', '2*pi/3', '4', '0')} \\ {ComplexRootTrig('1', '2*pi/3', '4', '1')} \\ {ComplexRootTrig('1', '2*pi/3', '4', '2')} \\ {ComplexRootTrig('1', '2*pi/3', '4', '3')} . """ glue("sageglue_6_21", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" {ComplexRootTrig('64', 'pi', '6', '0')} \\ {ComplexRootTrig('64', 'pi', '6', '1')} \\ {ComplexRootTrig('64', 'pi', '6', '2')} \\ {ComplexRootTrig('64', 'pi', '6', '3')} \\ {ComplexRootTrig('64', 'pi', '6', '4')} \\ {ComplexRootTrig('64', 'pi', '6', '5')} . """ glue("sageglue_6_22", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Ponieważ {glue:}`sageglue_6_41` to: ```{glue} sageglue_6_21 ``` Rozwiązanie przedstawione jest na stornie [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/eggqpx7h) ::: ::::{exercise} :label: lec-06-ex-08 :class: [exercise] Znajdźmy pierwiastki 6-tego stopnia z liczby $w=-64 .$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-08-ex-03`, {numref}`prob-08-ex-08`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Ponieważ {glue:}`sageglue_6_42` to: ```{glue} sageglue_6_22 ``` Rozwiązanie przedstawione jest na stornie ::: :::{prf:remark} [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/eggqpx7h) Interpretacja geometryczna {prf:ref}`prop:Pierwiastki` jest następująca. Pierwiastki stopnia $n\geq 2$ z liczby $w\in \cc\setminus\Set{0}$ - leżą na okręgu o środku $0$ i promieniu równym $\sqrt[n]{|w|}$, - są wierzchołkami $n$-kąta foremnego. ::: :::{prf:example} Z pomocą [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/eggqpx7h) możemy przedstawić wyniki rozwiązań: {ref}`lec-06-ex-06`, {ref}`lec-06-ex-07`, {ref}`lec-06-ex-08` na płaszczyźnie zespolonej. ::: ## Pierwiastki z jedności ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" \omega_k = {TrigForm('', '\\frac{2k\\pi}{n}')} = {PolarForm('', '\\frac{2k\\pi}{n}')} = \Paren{{ {PolarForm('', '\\frac{2\\pi}{n}')} }}^k = \omega_1^k, """ glue("sageglue_6_23", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" \omega_1 = {PolarForm('', '\\frac {2\\pi} n')} = {TrigForm('', '\\frac {2\\pi} n')}. """ glue("sageglue_6_24", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input] from myst_nb import glue from IPython.display import Math content = rf""" \omega_0 + \omega_1 + \ldots + \omega_{{n-1}} & = \omega_1^0 + \omega_1^1 + \ldots + \omega_1^{{n-1}} = \frac{{1 - \omega_1^n}}{{1 - \omega_1}} = \frac{{1 - 1}}{{1 - \omega_1}} = 0 , \\ \omega_0 \cdot \omega_1 \cdot \ldots \cdot \omega_{{n-1}} & = \omega_1^{{0 + 1 + \ldots + (n-1)}} = \omega_1^{{\frac{{(n-1)n}} 2}} = {PolarForm('', '(n-1)\\pi')} = (-1)^{{n-1}}. """ glue("sageglue_6_25", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{narration} Zauważmy, że pierwiastki stopnia $n$ z liczby $1$ mają postać ```{glue} sageglue_6_23 ``` dla $k\in \Set{0,\ldots n-1}$, gdzie główny pierwiastek z jedności, to ```{glue} sageglue_6_24 ``` Oczywiście wartości $\omega_k$ zależą od wyboru liczby $n\in\nn .$ Mimo tego, przy ustalonym $n\in \nn$, pierwiastki $n$-tego stopnia z 1 będziemy, tak jak powyżej, oznaczać symbolami $\omega_k .$ ::: :::{prf:remark} 1. Podkreślmy, że $\omega_0 = 1$, więc na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki z jedności są wierzchołkami $n$-kąta foremnego, którego jednym z wierzchołków jest $1 .$ 2. Dla pierwiastków z jedności stopnia $n \geq 2$ zachodzą następujące własności: ```{glue} sageglue_6_25 ``` ::: :::{prf:proposition} Niech $z_\circ\in\cc$ będzie dowolnym pierwiastkiem stopnia $n$ z liczby $w\in \cc.$ Wówczas ```{math} \sqrt[n]{w} = \Set{z_\circ \cdot \omega_k : k\in \Set{0,\ldots, n-1}}, ``` gdzie $\omega_k,$ $k\in \Set{0,\ldots, n-1}$, są pierwiastkami $n$-tego stopnia z $1 .$ ::: ::::{exercise} :label: lec-06-ex-09 :class: [exercise] Podajmy i zilustrujmy na płaszczyźnie zespolonej rozwiązanie zespolone równania $(z+j-1)^4 = (2 + j)^8 .$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-08-ex-04`, {numref}`prob-08-ex-09`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Zauważmy, że ```{math} \begin{aligned} (2 + j)^8 = ((2 + j)^2)^4 = (4 + 4j - 1)^4 = (3+4j)^4. \end{aligned} ``` Z tego wynika, że $z_\circ = 3+4j$ jest pierwiastkiem 4-tego stopnia z $(2 + j)^8 .$ Ponieważ dla $n=4$, główny pierwiastek z jedności to {glue:}`sageglue_6_43`, czyli $\omega_k = j^{\, k}$, to ```{math} \begin{aligned} (z+j-1)^4 & = (2 + j)^8 \\ (z+j-1)^4 & = (3+4j)^4 \\ z+j-1 & \in \Set{(3+4j) \cdot j^{\, k} : k\in \Set{0,\ldots, 3}} \\ z & \in \Set{1-j + (3+4j) \cdot j^{\, k} : k\in \Set{0,\ldots 3}} \\ z & \in \Set{1-j + 3+4j,\ 1-j + 3j-4,\ 1-j - 3-4j,\ 1-j - 3j+4 } \\ z & \in \Set{4+3j,\ -3+2j,\ -2-5j,\ 5-4j } . \end{aligned} ``` Rozwiązanie przedstawione jest na stornie [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/nnhjhthh). :::