---
title: "Lecture 7: Wielomiany i funkcje wymierne"
lecture_number: 7
has_solutions: true
has_exercises: true
file_format: mystnb
kernelspec:
  name: sagemath
  display_name: SageMath
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```


```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = PolarForm('27', '\\pi')

content = rf"""
   -27 = {body_01}
"""
glue('sageglue_7_02', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = PolarForm('4', '\\pi')

content = rf"""
   -4 = {body_01}
"""
glue('sageglue_7_03', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = rf"""
{ComplexRootPolar('27', 'pi', '3', '0')} \\
{ComplexRootPolar('27', 'pi', '3', '1')} \\
{ComplexRootPolar('27', 'pi', '3', '2')} ."""

glue("sageglue_7_09", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

# Wielomiany i funkcje wymierne

## Algebra wielomianów

:::{narration}

Niech $\kk$ będzie jednym z ciał (czyli zbiorów z działaniami $+$ i $\cdot$):
$\qq, \rr, \cc .$
:::

:::{prf:definition}

**Wielomianem stopnia $n\in\nn_0$** {index}`wielomian`
nad ciałem $\kk$ (lub o
współczynnikach z ciała $\mathbb{K}$) nazywamy funkcję
$w:\mathbb{K}\to \mathbb{K}$ określoną wzorem

```{math}
\begin{aligned}
w(t) = a_0 + a_1 t+ \ldots + a_n t^n,
\end{aligned}
```

gdzie $a_0, a_1,\ldots, a_n \in \kk$, $a_n \neq 0 .$

**Współczynnikami** {index}`wielomian; współczynniki` wielomianu $w$
nazywamy liczby:
$
\quad
a_0, a_1, ..., a_n.$

**Stopień** {index}`wielomian; stopień`
wielomianu $w\in\kk[t]$ oznaczmy przez
$
\quad
\deg w.$

**Wielomianem zerowym** {index}`wielomian; zerowy`
nazywamy wielomian tożsamościowo równy $0$, czyli $w(t)\equiv 0$,
co oznacza, że

```{math}
\forall t\in \kk\, w(t) = 0.
```

Przyjmujemy, że stopień wielomianu zerowego jest równy $-\infty .$

**Wielomianami stałymi** {index}`wielomian; stały`
nazywamy  wielomiany stopnia mniejszego niż 1.

:::

:::{prf:definition}

**Sumę** {index}`wielomian; suma`
wielomianów $w_1,w_2\in\kk[t]$ definiujemy jako wielomian
$w_1+w_2\in\kk[t]$, taki że

```{math}
\forall t \in \kk\, (w_1+w_2)(t)=w_1(t) + w_2(t).
```

**Iloczyn** {index}`wielomian; iloczyn`
wielomianów $w_1,w_2\in\kk[t]$ definiujemy jako wielomian
$w_1\cdot w_2\in\kk[t]$, taki że

```{math}
\forall t \in \kk\, (w_1 \cdot w_2)(t)=w_1(t) \cdot w_2(t).
```

**Zbiór wszystkich wielomianów** nad ciałem $\kk$ oznaczamy przez
$\kk[t].$
:::

:::{prf:proposition}

Dla dowolnych wielomianów $w_1, w_2\in \kk[t]$ zachodzi

```{math}
\begin{aligned}
\deg(w_1\cdot w_2) & = \deg w_1 + \deg w_2 ,  &
  \deg(w_1 + w_2)& \leq \max\{\deg w_1, \deg w_2\}.
\end{aligned}
```

:::

:::{prf:remark}

Widać, że:

1. $+$ jest działaniem łącznym i przemiennym
2. $\cdot$ jest działaniem łącznym i przemiennym
3. $\cdot$ jest rozdzielne względem $+ .$
:::

## Rozkład wielomianów

:::{prf:proposition}

Dla dowolnych wielomianów $w, p \in \kk[t]$, gdzie $p$ nie jest wielomianem zerowym,
istnieją jednoznacznie określone wielomiany $q, r\in \kk[t]$, takie że dla
każdego $t\in\kk$ zachodzi równość

```{math}
w(t) = p(t)\cdot q(t) + r(t) \qquad \text{oraz} \qquad \deg r < \deg p.
```

:::

:::{prf:definition}

**Resztą z dzielenia** {index}`wielomian; reszta z dzielenia`
wielomianu $w\in\kk[t]$ przez wielomian $p\in\kk[t]$
nazywamy wielomian $r\in\kk[t]$ z powyższego stwierdzenia.
:::

::::{exercise}
:label: lec-07-ex-01
:class: [exercise]

Znajdźmy resztę z dzielenie wielomianu $w(x) = {4x^3 + 5x^2 + 2x - 2}$
przez wielomian $p(x) = {x^2 + 1} .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-01-ex-12`, {numref}`prob-09-ex-02`, {numref}`prob-09-ex-07`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Wykonujemy dzielenie wielomianów:

$$
\begin{aligned}
4x^3 + 5x^2 + 2x - 2 & = \left(x^2 + 1\right)\left(4x + 5\right) - 2x - 7 \\
\underline{-4x^3 \phantom{{}+5x^2} - 4x \phantom{{}-2}} & \\
5x^2 - 2x - 2 & \\
\underline{-5x^2 \phantom{{}+2x} - 5} & \\
-2x - 7 &
\end{aligned}
$$

Stąd wniosek, że reszta z dzielenia jest równa $r(x) = -2x-7$,
zaś $q(x) = 4x+5 .$

:::

:::{prf:theorem} o dzieleniu z resztą

Dla dowolnych: wielomianu $w\in\kk[t]$ i stałej $a\in \kk$, reszta z dzielenia
$w$ przez
wielomian $p(t)= t-a$ jest równa $r(t) = w(a)$, czyli istnieje $ q\in\kk[t]$ taki, że

```{math}
w(t) = (t-a)\cdot q(t) + w(a).
```

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = CanonicalForm(i ^ 2026)
body_02 = CanonicalForm(i ^ 2026 - 1)
content = rf"""
r(z)
= w(-1 + j)
= & j^{{{{2026}}}} - \Paren{{(-1 + j)^2 -2j(-1 + j) - 1}}^{{{{2026}}}}
\\ &
= j^{{{{2026}}}} - \Paren{{(-1 + j)^2 -2j(-1 + j) + j^2}}^{{{{2026}}}}
\\ &
= j^{{{{2026}}}} - \Paren{{(-1 + j - j)^2}}^{{{{2026}}}}
= j^{{{{2026}}}} - 1
= {body_01} - 1
= {body_02}.
"""
glue('sageglue_7_0', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

```

:::{prf:example}

Reszta z dzielenia wielomianu $w(z) = (z + 1)^{{2026}} - (z^2 -2jz - 1)^{{2026}}$
przez $p(z) = z + 1 -j$ jest, zgodnie z tym twierdzeniem, równa

```{glue} sageglue_7_0
```

:::

:::{prf:definition}

**Pierwiastkiem wielomianu** {index}`wielomian; pierwiastek`
   $w\in\kk[t]$ nazywamy
   element $t_0\in\kk$, jeśli $w(t_0) = 0$
:::

:::{prf:definition}

Wielomian $w\in \kk[t]$ jest **podzielny** {index}`wielomian; podzielny`
   przez wielomian
   $p\in\kk[t]$, jeśli reszta z dzielenia $w$ przez $p$ jest wielomianem zerowym.
:::

:::{prf:theorem} Bézout

Dla każdego $w\in\kk[t]$ następujące zdania są równoważne:

1. $t_0\in\kk$ jest pierwiastkiem $w .$
2. $w$ jest podzielny przez $t-t_0 .$
3. Istnieje $ q\in\kk[t]$ taki, że $ w(t) = (t-t_0)\cdot q(t).$
:::

:::{prf:definition}

Niech $k \in \nn.$
   $k$-**krotnym pierwiastkiem wielomianu** {index}`wielomian; krotność pierwiastka`
   $w\in\kk[t]$  nazywamy
   element $t_0\in\kk$, jeśli istnieje wielomian
   $q\in\kk[t]$, taki że dla każdego $t\in\kk$ zachodzi

```{math}
w(t)= (t-t_0)^k\cdot q(t) \qquad \text{oraz} \qquad q(t_0)\neq 0.
````

:::

:::{prf:remark}

Pierwiastki wielomianu kwadratowego nad ciałem $\cc$ znajdujemy analogicznie
jak nad ciałem $\rr$ z uwzględnieniem faktu, że $\sqrt \Delta$ jest zawsze zbiorem niepustym.
Zatem dla $a\in \cc\setminus\Set{0}, b,c\in\cc$, pierwiastkami wielomianu $az^2 + bz + c$ są liczby zespolone

```{math}
\frac{-b + \delta} {2a}, \qquad \text{gdzie } \delta \in \sqrt{b^2 - 4ac}.
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-07-ex-02
:class: [exercise]

Znajdźmy pierwiastki zespolone wielomianu $w(z) =  z^2 + 2z + 2 .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-01`, {numref}`prob-09-ex-06`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Liczymy wyróżnik $\Quad{ \Delta = 4 - 4\cdot 2 = -4}$,
zatem $\quad \sqrt{\Delta} = \Set{2j,\ -2j} .$

```{math}
\begin{aligned}
z_1 & = \frac{-2 + 2j} 2 = -1 + j,
  &
  z_2 & = \frac{-2 - 2j} 2 = -1 - j
\end{aligned}
```

Z twierdzenia Bézout wynika, że

```{math}
\begin{aligned}
w(z) =
  \Paren{z + 1 - j}
  \Paren{z + 1 + j}
\end{aligned}
```

więc każdy z tych pierwiastków jest 1-krotny.

:::

::::{exercise}
:label: lec-07-ex-03
:class: [exercise]

Znajdźmy pierwiastki zespolone wielomianu
$w(z) = \Paren{z^4 + 4}^2 .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-01`, {numref}`prob-09-ex-06`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = rf"""
{ComplexRootPolar('4', 'pi', '4', '0')}, \\
{ComplexRootPolar('4', 'pi', '4', '1')}, \\
{ComplexRootPolar('4', 'pi', '4', '2')}, \\
{ComplexRootPolar('4', 'pi', '4', '3')}.
"""

glue("sageglue_7_01", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Zgodnie z definicją należy rozwiązać równanie

```{math}
\begin{aligned}
\Paren{z^4 + 4}^2 = 0
  \qlq
  z^4 + 4 = 0
  \qlq
  z^4 = -4,
\end{aligned}
```

którego rozwiązaniem są pierwiastki 4-tego stopnia z $-4.$
Zapisując {glue:}`sageglue_7_03` otrzymamy
4 pierwiastki:

```{glue} sageglue_7_01
```

Z twierdzenia Bézout wynika, że

```{math}
\begin{aligned}
w(z) =
  \Paren{z - 1 - j}^2
  \Paren{z + 1 - j}^2
  \Paren{z + 1 + j}^2
  \Paren{z - 1 + j}^2,
\end{aligned}
```

więc każdy z tych pierwiastków jest 2-krotny.

:::

:::{prf:definition}

**Rozkładalnym** {index}`wielomian; rozkładalny` (nad ciałem $\kk$) nazywamy
wielomian $w\in\kk[t]$,
jeśli
$\exists\, w_1, w_2\in \kk[t]$ o
dodatnich stopniach, takie że

```{math}
w= w_1 \cdot w_2.
```

**Nierozkładalnym** {index}`wielomian; nierozkładalny`
nazywamy wielomian $w\in\mathbb{K}[t]$, który nie jest rozkładalny.

:::

:::{prf:example}

1. $w_1(t) = t^2 + 2t + 2$ ma wyróżnik $\Delta = -4 < 0$,
   więc nie jest rozkładalny nad $\qq$, ani nad $\rr .$
   Jednak jest rozkładalny nad $\cc$, gdyż
   $\quad w_1(z) =
   \Paren{t + 1 - j}
   \cdot
   \Paren{t + 1 + j}.$
2. $w_2(t) = t^2 - 2 = \Paren{t-\sqrt 2}\cdot\Paren{t+ \sqrt 2},$
   więc nie jest rozkładalny nad $\qq$, ale jest rozkładalny nad $\rr$ i nad $\cc .$
3. $w_3(t) = t^3 - 8 = (t-2)\cdot(t^2 + 2t + 4),$ więc jest rozkładalny
   nad każdym z ciał $\qq,\ \rr,\ \cc.$
4. $w_4(t) = \Paren{t^4 + 4}^2 = \Paren{t^4 + 4}\cdot \Paren{t^4 + 4}$
   jest rozkładalny nad każdym z ciał $\qq,\ \rr,\ \cc .$
:::

:::{prf:theorem} Zasadnicze twierdzenie algebry

Każdy wielomian $w\in\cc[z]$ dodatniego stopnia ma pierwiastek $z_0\in\cc .$
:::

:::{prf:corollary}

Każdy wielomian $w\in\cc[z]$ stopnia $\deg w \geq 2$ jest rozkładalny nad $\cc .$
:::

:::{prf:corollary}

Każdy wielomian $w\in\cc[z]$ stopnia $n\in\nn$ ma
dokładnie $n$ pierwiastków zespolonych (uwzględniając
pierwiastki wielokrotne),
więc można go rozłożyć na czynniki liniowe
(które mogą wystąpić w rozkładzie więcej niż raz),
czyli zapisać w postaci

```{math}
\begin{aligned}
w(z) = a_n(z - z_1)(z- z_2)\cdots(z - z_n),
\end{aligned}
```

gdzie, $a_n, z_1, \ldots, z_n \in \cc .$

:::

:::{prf:proposition}

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu $w\in\cc[z]$ są
liczbami rzeczywistymi i $z_0\in\cc$ jest pierwiastkiem
wielomianu $w$, to $\overline{z}_0$ jest również pierwiastkiem
wielomianu $w .$
:::

:::{prf:remark}

Zauważmy, że biorąc $z_0\in\cc$, otrzymamy

```{math}
\begin{aligned}
(z - z_0)(z - \overline{z}_0)
  = z^2 - (z_0 + \overline{z}_0)z + z_0\overline{z}_0
  = z^2 - 2\RealPart z_0 \cdot z + |z_0|^2,
\end{aligned}
```

czyli wielomian o współczynnikach rzeczywistych nierozkładalny nad $\rr .$

:::

:::{prf:corollary}

Jeśli wielomian $w\in \rr[x]$ jest nierozkładalny, to
jest albo stopnia 1, albo stopnia 2
dla którego wyróżnik $\Delta < 0 .$
:::

:::{prf:corollary}

Każdy wielomian $w\in \rr[x]$ stopnia $\deg w \geq 3$
jest rozkładalny (nad $\rr$).
:::

::::{exercise}
:label: lec-07-ex-04
:class: [exercise]

Znajdźmy rozkład wielomianu
$z^4 + 4$
nad ciałem $\rr .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-03`, {numref}`prob-09-ex-08`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

**Metoda 1.**

Zauważmy, że

```{math}
\begin{aligned}
z^4 + 4
 = \Paren{z^4 + 4z^2 + 4} - 4z^2
 = \Paren{z^2 + 2}^2 - \Paren{2z}^2
 = \Paren{z^2 -2z + 2}\Paren{z^2 + 2z + 2}.
\end{aligned}
```

Ponieważ dla obu czynników wyróżnik $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0,$
to są nierozkładalne nad $\rr.$

**Metoda 2.**

Przypomnijmy, że znaleźliśmy już rozkład tego wielomianu nad $\cc$:

```{math}
\begin{aligned}
z^4 + 4 =
 \Paren{z - 1 - j}
 \Paren{z - 1 + j}
 \Paren{z + 1 - j}
 \Paren{z + 1 + j}
 .
\end{aligned}
```

   Zauważmy, że pierwiastki występujące w czynnikach 1. i 2. oraz 3. i 4.
   są wzajemnie do siebie sprzężone. Zatem po ich wymnożeniu dostaniemy
   wielomiany o współczynnikach rzeczywistych:

```{math}
\begin{aligned}
z^4 + 4
  & = \Paren{z^2 + (-1 -j -1 + j)z + (-1-j)(-1+j)}
 \Paren{z^2 + (1 -j + 1 + j)z + (1-j)(1+j)}
 \\
  & = \Paren{z^2 -2z + 2}\Paren{z^2 + 2z + 2}.
\end{aligned}
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-07-ex-05
:class: [exercise]

Znajdźmy rozkład wielomianów $w$
nad $\rr$ (jeśli ma to sens) i $\cc$, jeśli:

:::{container} columns-2-auto

1. $w(z) = z^3 + jz^2 - z - j$
2. $w(z) = z^4 + 3z^2 -4$
3. $w(z) = z^4 - z^3 + 27z - 27 .$

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-03`, {numref}`prob-09-ex-08`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Ponieważ wielomian ma współczynniki nierzeczywiste, to
   nie rozkłada się nad $\rr .$ Nad $\cc$ mamy

   ```{math}
   \begin{aligned}
   w(z)
   = z^3 + jz^2 - z - j
   = z^2(z + j) - (z+j)
   = (z^2 -1)(z+j)
   = (z -1)(z+1)(z+j).
   \end{aligned}
   ```

   Wielomian ma 3 pierwiastki zespolone, w tym 2 rzeczywiste.

2. Rozpoznajemy wielomian dwukwadratowy, więc przyjmujemy $t = z^2 \in \cc$
   i rozwiązujemy równanie:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   t^2 + 3t -4   & = 0 ,
   &
   \Delta& = 9 +16 = 25
   \\
   z^2 = t_+= \frac {-3 + 5} 2 = 1
   \Quad{& \vee}
   z^2 = t_-= \frac {-3 - 5} 2 = -4
   &
   \sqrt{\Delta} & = \Set{\pm 5}
   \\
   z = 1 \Quad{\vee } z = -1
   \Quad{& \vee}
   z = 2j \Quad{\vee} z = -2j
   \ .
   \end{aligned}
   ```

   Wnioskujemy, że
   nad $\rr$ wielomian rozkłada się do postaci:

   ```{math}
   w(z) = (z-1)(z+1)(z^2 + 4),
   ```

   zaś
   nad $\cc$ wielomian rozkłada się do postaci:

   ```{math}
   w(z) = (z-1)(z+1)(z-2j)(z+2j).
   ```

   Wielomian ma 4 pierwiastki zespolone, w tym 2 rzeczywiste.

3. Zauważmy, że

   ```{math}
   \begin{aligned}
   w(z) = z^4 - z^3 + 27z - 27
   = z^3(z-1) + 27(z-1)
   = (z^3 + 27)(z-1).
   \end{aligned}
   ```

   W celu rozłożenia pierwszego czynnika znajdujemy rozwiązania równania:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   z^3 + 27 = 0
   \qlq
   z^3 = -27
   \qlq
   z \in \sqrt[3]{-27} = \Set{z_0,\ z_1,\ z_2},
   \end{aligned}
   ```

   gdzie {glue:}`sageglue_7_02` oraz

   ```{glue} sageglue_7_09
   ```

   Ponieważ $\Quad{ z_2 = \overline{z}_0 ,}$ to
   $\Quad{ (z-z_0)(z-z_2) = z^2 - 3z + 9 .}$
   Wnioskujemy, że
   nad $\rr$ wielomian rozkłada się do postaci:

   ```{math}
   w(z) = \Paren{z^2 - 3z + 9}(z+3)(z-1),
   ```

   zaś
   nad $\cc$ wielomian rozkłada się do postaci:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   w(z) =
   \Paren{z-\tfrac 3 2 - \tfrac 3 2 \sqrt 3 j}
   (z+3)
   \Paren{z-\tfrac 3 2 + \tfrac 3 2 \sqrt 3 j}
   (z-1).
   \end{aligned}
   ```

    Wielomian ma 4 pierwiastki zespolone, w tym 2 rzeczywiste.
:::

::::{exercise}
:label: lec-07-ex-09
:class: [exercise]

Znajdźmy pozostałe pierwiastki wielomianu
$w(z) = z^4 - 2z^3 - z^2 + 2z + 10$,
wiedząc, że jednym z nich jest liczba $z_0 = 2 + j .$
Podaj rozkład tego wielomianu na czynniki nierozkładalne
nad $\rr$ i nad $\cc .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-02`, {numref}`prob-09-ex-07`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Ponieważ wszystkie współczynniki wielomianu $w$ są liczbami rzeczywistymi,
z twierdzenia o sprzężonych pierwiastkach wynika, że liczba sprzężona
$\overline{z}_0 = 2 - j$ również jest pierwiastkiem $w .$
Zatem $w$ dzieli się przez iloczyn

```{math}
\begin{aligned}
(z - z_0)(z - \overline{z}_0)
  & = \Paren{z - 2 - j}\Paren{z - 2 + j} \\
  & = z^2 - (z_0 + \overline{z}_0)z + z_0\overline{z}_0
   = z^2 - 4z + 5.
\end{aligned}
```

Wykonujemy dzielenie wielomianów:

```{math}
\begin{aligned}
z^4 - 2z^3 - z^2 + 2z + 10 = \Paren{z^2 - 4z + 5}\Paren{z^2 + 2z + 2}.
\end{aligned}
```

Czynnik $z^2 - 4z + 5$ ma wyróżnik
$\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$, więc jest nierozkładalny nad $\rr$;
nad $\cc$ daje pierwiastki

```{math}
\begin{aligned}
z = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2j}{2} = 2 \pm j,
\end{aligned}
```

czyli $z^2 - 4z + 5 = \Paren{z - 2 - j}\Paren{z - 2 + j} .$

Czynnik $z^2 + 2z + 2$ ma wyróżnik
$\Delta = 4 - 8 = -4 < 0$, więc również jest nierozkładalny nad $\rr$;
nad $\cc$ daje pierwiastki

```{math}
\begin{aligned}
z = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2j}{2} = -1 \pm j,
\end{aligned}
```

czyli $z^2 + 2z + 2 = \Paren{z + 1 - j}\Paren{z + 1 + j} .$

Zatem pozostałe pierwiastki wielomianu $w$ to
$z_1 = 2 - j,\ z_2 = -1 + j,\ z_3 = -1 - j$
(pierwiastek $z_0 = 2 + j$ był dany w treści);
wszystkie cztery pierwiastki są 1-krotne.

Rozkład nad $\rr$:

```{math}
\begin{aligned}
w(z) = \Paren{z^2 - 4z + 5}\Paren{z^2 + 2z + 2}.
\end{aligned}
```

Rozkład nad $\cc$:

```{math}
\begin{aligned}
w(z) = \Paren{z - 2 - j}\Paren{z - 2 + j}\Paren{z + 1 - j}\Paren{z + 1 + j}.
\end{aligned}
```

:::

## Funkcje wymierne

:::{prf:definition}

**Funkcją wymierną** {index}`funkcja; wymierna`
nad ciałem $\kk$ (lub o współczynnikach z ciała $\kk$) nazywamy funkcję zadaną przez

```{math}
t \mapsto\dfrac{f(t)}{g(t)},
```

gdzie $f,g\in\kk[t]$ i $\deg g \geq 0$,
określoną dla wszystkich $t\in\kk$, takich że
$g(t)\neq 0 .$
:::

:::{narration}

**Zbiór wszystkich funkcji wymiernych** nad ciałem $\kk$ oznaczamy przez $\kk(t).$
:::

:::{prf:definition}

**Właściwą** {index}`funkcja; wymierna właściwa`
nazywamy funkcję wymierną, jeśli stopień
wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w
mianowniku.
:::

:::{prf:proposition}

Każda funkcja wymierna jest sumą wielomianu oraz funkcji
wymiernej właściwej. Co więcej dla każdej funkcji $f/ g \in \kk(t)$ istnieją
$r, q\in\kk[t]$ takie, że

```{math}
\frac {f(t)} {g(t)} = \frac {r(t)} {g(t)} + q(t) \qquad \text{oraz} \qquad \deg r < \deg g.
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-07-ex-06
:class: [exercise]

Znajdźmy rozkład funkcji $\displaystyle\frac{x^5 -3x^4 + 5x^2 + x - 1}{x^2 + x -1}$ na wielomian i funkcję wymierną właściwą.

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-01-ex-11`, {numref}`prob-09-ex-05`, {numref}`prob-09-ex-09`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

f = x^5 - 3*x^4 + 5*x^2 + x - 1
g = x^2 + x - 1

q, r, division_latex = PolynomialLongDivision(f, g, x)
content = rf"""
   {division_latex}
"""
glue('poly_division_x5', Math(content), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Wykonujemy dzielenie wielomianów:

```{glue:} poly_division_x5
```

Stąd wniosek, że

```{math}
\begin{aligned}
\frac{x^5 -3x^4 + 5x^2 + x - 1}{x^2 + x -1} = x^3 -4x^2 + 5x -4
  + \frac{10x - 5}{x^2 + x -1}
  .
\end{aligned}
```

:::

::::{prf:definition}

**Ułamkiem prostym** {index}`ułamek prosty`
nad $\kk$
nazywamy
funkcję wymierną postaci

```{math}
\begin{aligned}
  \displaystyle\frac{f(t)}{(h(t))^k},
\end{aligned}
```

dla której:

:::{container} columns-2-auto

1. $f,h \in \kk[t],$ $k\in\nn$
2. $h$ jest nierozkładalny nad ciałem $\kk$
3. $\deg f < \deg h .$

:::

::::

:::{prf:example}

1. Funkcja wymierna
   $\displaystyle \frac{t-2}{2t^2 +4}$

   - JEST ułamkiem prostym nad $\rr$,
     mianownik jest nierozkładalny ($\Delta = -32 < 0$) i jego stopień
     jest większy niż licznika,
   - NIE JEST ułamkiem prostym nad $\cc$,
     bo $2t^2 + 4 = 2(t-\sqrt 2 j)\cdot(t + \sqrt 2 j) ;$

2. Funkcja wymierna
   $\displaystyle \frac{3t^2-t+1}{t^2 +1}$

   - NIE JEST ułamkiem prostym ani nad $\rr$, ani nad $\cc$,
     bo stopień wielomianu w liczniku nie jest mniejszy niż tego w mianowniku ;

3. Funkcja wymierna
   $\displaystyle \frac{1}{t^2 -3t + 1}$

   - NIE JEST ułamkiem prostym ani nad $\rr$, ani nad $\cc$,
     bo wyróżnik mianownika $\Delta = 9-4=5 > 0$, więc
     ma on 2 rózne pierwiastki rzeczywiste;

4. Funkcja wymierna
   $\displaystyle \frac{2t}{t^2 -6t + 9}$

   - NIE JEST ułamkiem prostym ani nad $\rr$, ani nad $\cc$,
     bo $t^2 -6t + 9 = (t-3)^2$,
     więc stopnie wielomianów $h(t) = t-3$ i $f(t) = 2t$
     są sobie równe;

5. Funkcja wymierna
   $\displaystyle \frac{3}{4t^2 -4t +1}$

   - JEST ułamkiem prostym nad $\rr$ oraz nad $\cc$,
     bo
     $4t^2 -4t +1 = (2t - 1)^2$
     i stopień wielomianu $h(t) = 2t-1$
     jest większy niż stopień $f(t) = 3$;

6. Funkcja wymierna
   $\displaystyle \frac{3t}{\Paren{t^4+ 2t^2+ 1}^2} = \frac {3t}{\Paren{t^2+1}^4}$

   - JEST ułamkiem prostym nad $\rr .$
   - NIE JEST ułamkiem prostym nad $\cc .$
:::

:::{prf:theorem}

Każda właściwa funkcja wymierna nad ciałem $\kk$ rozkłada się
w sposób jednoznaczny na sumę ułamków prostych nad ciałem $\kk .$
:::

## Rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste nad $\cc$

:::{narration}

Z warunków narzuconych na ułamki proste wynika, że w liczniku musi być wielomian stopnia $0$,
zaś w mianowniku $n$-ta potęga wielomianu stopnia $1 .$
:::

:::{prf:definition}

**Zespolonym ułamkiem prostym** {index}`ułamek prosty; zespolony`
nazywamy zespoloną funkcję wymierną postaci

```{math}
\displaystyle\frac{A}{(z+a)^n}\ ,
```

gdzie $A,a\in\cc$ oraz $n\in\nn .$
:::

:::{prf:theorem}

Zespolona funkcja wymierna właściwa

```{math}
\displaystyle\frac{P(z)}{c_n(z-z_1)^{k_1}(z-z_2)^{k_2}\ldots  (z-z_m)^{k_m}}
```

jest sumą $k_1+k_2+\ldots +k_m$ zespolonych ułamków prostych, przy czym czynnikowi
$(z-z_i)^{k_i}$ odpowiada suma $k_i$ ułamków prostych postaci

```{math}
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{A_{i1}}{z-z_i}+\frac{A_{i2}}{(z-z_i)^2}+\ldots +\frac{A_{ik_i}}{(z-z_i)^{k_i}}
   \ ,
\end{aligned}
```

gdzie stałe $A_\Box$ są liczbami zespolonymi.

:::

:::{prf:remark}

Niech
$
\quad
g(z) = (z-z_1) \cdot \ldots \cdot (z-z_n),
\quad
$
gdzie
$n\in\nn$
oraz
$z_1, \ldots, z_n$ są różnymi liczbami zespolonymi.
Współczynniki rozkładu

```{math}
\begin{aligned}
\dfrac{f(z)}{g(z)} = \dfrac{a_1}{z-z_1} +
  \ldots + \dfrac{a_n}{z-z_n}
\end{aligned}
```

wyrażają się wzorami

```{math}
\begin{aligned}
a_i = \dfrac{f(z_i)}{g'(z_i)}
  \qquad \text{dla } i = 1, \ldots, n.
\end{aligned}
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-07-ex-07
:class: [exercise]

Znajdźmy rozkład na ułamki proste zespolonej funkcji wymiernej
$\displaystyle\frac{z^2 - j}{z^3 + jz^2}.$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-04`, {numref}`prob-09-ex-10`, {numref}`prob-09-ex-11`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Mianownik rozkłada się jako $z^3 + j z^2 = z^2(z+j)$,
więc funkcja wymierna rozłoży się na ułamki proste:

```{math}
\begin{aligned}
\frac{z^2 - j}{z^3 + jz^2}
 & = \frac A {z-0} + \frac B {\Paren{z-0}^2} + \frac C {z+j}
  = \frac A {z} + \frac B {{z}^2} + \frac C {z+j} & & \Big| \cdot z^2 (z+j)
  \\
  z^2 -j & =  A z (z+j) +  B (z+j) +  C z^2 \ ,
\end{aligned}
```

gdzie współczynniki $A,B,C \in \cc$ musimy teraz wyznaczyć.

- **Metoda 1.**

  Porządkujemy składniki z prawej strony względem potęg zmiennej $z$:

  ```{math}
  \begin{aligned}
  z^2 -j = (A+C) z^2 + (Aj + B)z + Bj \ ,
  \end{aligned}
  ```

  i porównując wspołczynniki przy odpowiadających sobie potęgach
  z obu stron, otrzymujemy układ równań:

  ```{math}
  \begin{aligned}
  \Uklad{
  A + C = 1  \\
  Aj + B = 0 \\
  Bj = -j
   }
   \Leftrightarrow \quad
   \begin{cases}
  C = 1 - A = 1 + j   \\
  A = -B\cdot j^{-1} = -j \\
  B = -1
   \end{cases}
   .
  \end{aligned}
  ```

- **Metoda 2.**

  Obliczamy wartości tej tożsamości dla:

  ```{math}
  \begin{aligned}
  z=0  & : & -j & = B\cdot j \Quad{\Rightarrow} B = -1\ ,
   \\
   z=-j & : & -1 - j & = C\cdot (-1) \Quad{\Rightarrow} C = 1+j \ ,
   \\
   z=j  & : & -1 - j & = A j \cdot 2j +  (-1)\cdot 2j +  (1 + j)\cdot(-1)
   \\
    &   & 0  & = -2 A -2j \Quad{\Rightarrow} A = -j \ .
  \end{aligned}
  ```

Konkludując,

```{math}
\begin{aligned}
\frac{z^2 - j}{z^3 + jz^2}
  = \frac {-j} z + \frac {-1} {z^2} + \frac {1+j} {z+j}
  .
\end{aligned}
```

:::

## Rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste nad $\rr$

:::{narration}

Z warunków narzuconych na ułamki proste wynika, że istnieją dwa ich rodzaje.
:::

:::{prf:definition}

**Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju** {index}`ułamek prosty; rzeczywisty`
nazywamy
rzeczywistą funkcję wymierną postaci

```{math}
\displaystyle\frac{A}{(x+a)^n} \ ,
```

gdzie $A,a\in\rr$ oraz $n\in\nn .$

**Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju** {index}`ułamek prosty; rzeczywisty`
nazywamy
rzeczywistą funkcję wymierną postaci

```{math}
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}
   \ ,
\end{aligned}
```

gdzie $A,B,p,q\in\rr$ oraz $n\in\nn$, przy czym $\Delta=p^2-4q<0 .$

:::

:::{prf:theorem}

Rzeczywista funkcja wymierna właściwa

```{math}
\begin{aligned}
\frac{P(x)}{a_n(x-x_1)^{k_1}\ldots  (x-x_m)^{k_m}
 (x^2+p_1x+q_1)^{l_1}\ldots  (x^2+p_s+q_s)^{l_s}}
\end{aligned}
```

jest sumą $k_1+\ldots +k_m$ rzeczywistych ułamków prostych I rodzaju oraz $l_1+\ldots +l_s$
rzeczywistych ułamków prostych II rodzaju, przy czym czynnikowi $(x-x_i)^{k_i}$
odpowiada suma $k_i$ ułamków prostych I rodzaju postaci

```{math}
\begin{aligned}
\frac{A_{i1}}{x-x_i}+\frac{A_{i2}}{(x-x_i)^2}+\ldots +\frac{A_{ik_i}}{(x-x_i)^{k_i}}
   \ ,
\end{aligned}
```

zaś czynnikowi $(x^2+p_jx+q_j)^{l_j}$ odpowiada suma $l_j$ ułamków prostych II rodzaju postaci

```{math}
\begin{aligned}
\frac{B_{j1}x+C_{j1}}{x^2+p_jx+q_j}
  +\frac{B_{j2}x+C_{j2}}{(x^2+p_jx+q_j)^2}
  +\ldots
  +\frac{B_{jl_j}x+C_{jl_j}}{(x^2+p_jx+q_j)^{l_j}}
  \ ,
\end{aligned}
```

gdzie stałe $A_\Box, B_\Box, C_\Box$ są liczbami rzeczywistymi.

:::

::::{exercise}
:label: lec-07-ex-08
:class: [exercise]

Znajdźmy rozkład na ułamki proste rzeczywistej funkcji wymiernej
$\displaystyle\frac{ x^2 + 2}{x^4 + x^2}.$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-04`, {numref}`prob-09-ex-05`, {numref}`prob-09-ex-09`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Mianownik rozkłada się jako $x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)$,
więc funkcja wymierna rozłoży się na ułamki proste:

```{math}
\begin{aligned}
\frac{ x^2 + 2}{x^4 + x^2}
  & = \frac A x + \frac B {x^2} + \frac {Cx + D} {x^2+1} & & \Big| \cdot x^2 (x^2 + 1)
  \\
  x^2 + 2 & =  A x(x^2 + 1) + B (x^2 + 1) + (Cx + D) x^2 \ ,
\end{aligned}
```

gdzie współczynniki $A,B,C,D \in \rr$ musimy teraz wyznaczyć.
Porządkujemy składniki z prawej strony względem potęg zmiennej $x$:

```{math}
\begin{aligned}
x^2 + 2 & =  (A + C) x^3 + (B+D) x^2 + A x + B \ ,
\end{aligned}
```

i porównując wspołczynniki przy odpowiadających sobie potęgach
z obu stron, otrzymujemy układ równań:

```{math}
\begin{aligned}
\Uklad{
 A + C = 0 \\
 B + D = 1 \\
 A = 0 \\
 B = 2
  }
  \Leftrightarrow \quad
  \begin{cases}
 C = -A = 0 \\
 D = 1 - B = -1 \\
 A = 0  \\
 B = 2
  \end{cases}
  .
\end{aligned}
```

Konkludując,

```{math}
\begin{aligned}
\frac{ x^2 + 2}{x^4 + x^2}
  = \frac 2 {x^2} + \frac {-1} {x^2 + 1}
  .
\end{aligned}
```

:::