---
title: "Lecture 9: Wyznacznik i rząd macierzy"
lecture_number: 9
has_solutions: true
has_exercises: true
file_format: mystnb
kernelspec:
  name: sagemath
  display_name: SageMath
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Wyznacznik i rząd macierzy


## Permutacje

:::{prf:definition}

**Permutacją $n$-elementową** {index}`permutacja`
lub **permutacją** zbioru $ \{1,\ldots,n\}$
nazywamy bijekcję

```{math}
\sigma : \{1,\ldots,n\} \to \{1, \ldots,n\}.
```

:::

:::{narration}

**Zbiór wszystkich permutacji** $n$-elementowych oznaczamy
symbolem $S_n .$

Permutację $\sigma$ zapisujemy jako \qquad

```{math}
\begin{aligned}
\Permutacja{
 1 & 2 & \ldots & n \\
 \sigma(1) & \sigma (2) & \ldots & \sigma (n)
  }.
\end{aligned}
```

:::

:::{prf:remark}

Istnieje dokładnie $n!$ różnych permutacji $n$-elementowych.
:::

:::{prf:example}

Przypomnijmy, że $6$ różnych permutacji 3-elementowych ma postać

```{math}
\begin{aligned}
\sigma_1 & = \Permutacja{1 & 2   & 3 \\ 1 & 2 & 3}
& \sigma_2& = \Permutacja{1 & 2 & 3 \\  2 & 3 & 1}
& \sigma_3& = \Permutacja{1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2}
\\ \sigma_4 &= \Permutacja{1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1}
& \sigma_5& = \Permutacja{1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3}
& \sigma_6& = \Permutacja{1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2}
\end{aligned}
```

:::

:::{narration}

Niech $\sigma$ będzie permutacją zbioru $ \{1,\ldots,n\} .$ Niech $k,m\in
  \{1,\ldots,n\} .$
:::

:::{prf:definition}

**Inwersją** {index}`permutacja; inwersja`
lub **transpozycją** {index}`permutacja; transpozycja`
permutacji $\sigma$ nazywamy parę
$(\sigma(k),\ \sigma(m))$, jeśli

```{math}
k<m \qquad\wedge\qquad \sigma(k)> \sigma(m).
```

:::

:::{prf:example}

1. Dla permutacji 3-elementowych mamy następujące inwersje:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   \sigma_1: & \quad \text{BRAK}&
   \sigma_2: & \quad (2, \ 1),\ (3, \ 1)&
   \sigma_3: & \quad (3, \ 1),\ (3, \ 2)  \\
   \sigma_4: & \quad (3, \ 2),\ (3, \ 1),\ (2, \ 1) &
   \sigma_5: & \quad (2, \ 1)   &
   \sigma_6: & \quad (3, \ 2)
   \end{aligned}
   ```

2. Dla permutacji
   $\sigma_7=\Permutacja{
   1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 \\
   3 & 5 & 1 & 6 & 2 & 4
   }\in S_6$
   inwersje to:

   ```{math}
   (3,\ 1),\  (3,\ 2),\  (5,\ 1),\  (5,\ 2),\  (5,\ 4),\  (6,\ 2),\  (6,\ 4).
   ```

:::

:::{prf:definition}

**Znakiem permutacji** {index}`permutacja; znak` $\sigma$ nazywamy liczbę

```{math}
\sgn \sigma = (-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)},
```

gdzie ${\operatorname{inv}(\sigma)}$ jest liczbą inwersji permutacji $\sigma .$

**Parzystą** {index}`permutacja; parzysta`
nazwiemy permutację $\sigma$, jeśli $\mathrm{sgn\,} (\sigma) =1  .$

**Nieparzystą** {index}`permutacja; nieparzysta`
nazwiemy permutację $\sigma$, jeśli $\mathrm{sgn\,} (\sigma) =-1  .$

:::

:::{prf:example}

Permutacje parzyste to:
$\sigma_1, \ \sigma_2, \ \sigma_3 \ ;$
zaś nieparzyste to:
$\sigma_4, \ \sigma_5, \ \sigma_6, \ \sigma_7 \ .$
:::

## Wyznacznik macierzy kwadratowej

:::{prf:definition}

**Wyznacznikiem macierzy** {index}`macierz; wyznacznik`
$[a_{ij}]\in\MSet{n}{n}{\kk}$
nazywamy element ciała $\kk$ zdefiniowany jako

```{math}
\begin{aligned}
\det [a_{ij}] =
  \sum_{\sigma\in S_n} \mathrm{sgn} (\sigma)\cdot
  a_{1, \sigma(1)} \cdot a_{2, \sigma(2)} \cdot \ldots \cdot a_{n,
\sigma(n)}.
\end{aligned}
```

:::

:::{narration}

Wyznacznik macierzy $[a_{ij}]_{n\times n}$ oznaczamy też przez
\qquad
$\Det{
 a_{11} &  \ldots & a_{1n} \\
 \vdots &   & \vdots \\
 a_{n1} &   \ldots & a_{nn}
  }.$
:::

:::{prf:remark}

1. W definicji wyznacznika sumujemy $n!$ składników;
   połowa ze znakiem $\sgn(\sigma) = 1$,
   połowa z $\sgn(\sigma) = -1.$

2. Każdy składnik jest iloczynem $n+1$ czynników:
   znaku permutacji oraz elementów macierzy,
   po jednym z każdego wiersza i kolumny.
:::

:::{prf:example}

Wyznaczniki macierzy stopnia mniejszego niż $4$ dane są wzorami:

1. $\det [a] = \Det{a} = a$\,
   (jak widać oznaczenie $\Det{a}$ jest w tym przypadku mylące dla $a<0$)

2. $
   \det \Macierz{
   a_{11} &  a_{12} \\
   a_{21} &  a_{22}} =
   \Det{
   a_{11} &  a_{12} \\
   a_{21} &  a_{22}} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$

3. $
   \Det{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}} =a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}- (a_{13} a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32})\, .$

4. Przy obliczaniu wyznacznika macierzy
   $\MalaMacierz{1 & -1 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & \pi \\ 9 & 10 & e & 12 \\ j & 14 & 15 &16}$
   należałoby dodać 4! składników.
   Jednym z nich byłby iloczyn

   $$
   \operatorname{sgn}
   \left(
   \begin{smallmatrix}
   1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1
   \end{smallmatrix}
   \right)
   \cdot
   a_{12}\cdot a_{24}\cdot a_{33} \cdot a_{41}
   = 1\cdot (-1)\cdot \pi\cdot e\cdot j = -\pi e j.
   $$

:::

:::{prf:proposition}

1. Jeśli $A\in\MSet{n}{n}{\kk}$ jest macierzą górną/ dolną trójkątną,
   to $\det A$
   jest równy iloczynowi elementów na diagonali.

2. Jeśli $A = \Macierz{ B & C   \\ D & E} \in\MSet{n}{n}{\kk}$
   jest macierzą blokową
   ($C=\oo$ lub $D=\oo$),
   to
   $
   \det A = \det B \cdot \det E.
   $
:::

:::{prf:example}

Dla przykładu:

```{math}
\begin{aligned}
\Det{-1 & -7& 9  \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 6}
  & = -12,
  &
  \Det{1  & 0 & 0  \\ -2 & -\pi & 0 \\ -e & 2j & -j}
  & =  \pi j,
  &
  \Det{
  1   & 0 & 0 & 2  \\
  4   & \pi   & 3 & e  \\
  0   & 0 & 1 & -2 \\
  0   & 0 & j & 0}
  & = \Det{1  & 0  \\ 4 & \pi}
  \cdot
  \Det{1  & -2 \\ j & 0}
= 2\pi j.
\end{aligned}
```

:::

## Własności wyznacznika macierzy

:::{prf:definition}

**Kombinację liniową** {index}`kombinacja liniowa`
wierszy (lub kolumn) $v_1, v_2, \ldots, v_k$ macierzy $A\in\MSet{m}{n}{\kk}$
o współczynnikach $\alpha_1, \alpha_2, \ldots,\alpha_k \in \kk$ definiujemy jako
macierz

```{math}
\begin{aligned}
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_k v_k \in \MSet{1}{n}{\kk}\quad
  ( \text{lub } \MSet{m}{1}{\kk}).
\end{aligned}
```

Oznaczmy $i$-ty wiersz przez $w_i$, zaś $j$-tą kolumnę przez $k_j .$

:::

:::{prf:example}

Dla macierzy $A = \Macierz{1 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -1}$ mamy na przykład:

- $w_1 -2 w_2 = \Macierz{1 & 2 & 3} - 2\cdot\Macierz{-3 & -2 & -1} = \Macierz{7 &   6 & 5}$,
- $k_1 - 2k_2 + k_3 = \Macierz{1 \\ -3} - 2\cdot\Macierz{2 \\ -2} + \Macierz{3 \\ -1} = \Macierz{0 \\ 0} .$
:::

:::{prf:theorem}

Wyznacznik macierzy kwadratowej ma następujące własności:

1. Jeśli dla macierzy $A\in\MSet{n}{n}{\kk}$:

   - jeden z wierszy (lub kolumn) $A$ jest macierzą zerową
   - w $A$ występują dwa proporcjonalne  do siebie (np. jednakowe) wiersze (lub kolumny)
   - jeden wiersz (lub kolumna) w $A$ jest kombinacją liniową \emph{innych} wierszy (kolumn) w $A$,

   to $\det A = 0 .$

2. Jeśli macierz $A_{(\alpha)}$ jest wynikiem pomnożenia przez $\alpha \in \kk$,
   pewnego wybranego wiersza (lub kolumny) macierzy $A\in\MSet{n}{n}{\kk}$,
   to $\det A_{(\alpha)} = \alpha \det A .$

3. Wyznacznik macierzy jest addytywną funkcją wierszy i kolumn macierzy.

4. Wartość wyznacznika nie zmienia się, jeśli do dowolnego wiersza (lub kolumny) dodamy
   wielokrotność **innego** wiersza (odpowiednio kolumny).

5. Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) powoduje, że
   wyznacznik zmienia znak na przeciwny.

6. Permutacja wierszy (kolumn) zmienia wyznacznik o czynnik będący znakiem tej permutacji.
:::

:::{prf:remark}

Punktu 1. można uogólnić, ale potrzebne jest pojęcie liniowej zależności
(wierszy lub kolumn), które pojawi
się już niebawem, gdy będziemy mówić o przestrzeniach liniowych.
Niemniej jednak już w tym miejscu sformułujmy następującą własność:

7. Wyznacznik macierzy, w której wiersze (kolumny) są liniowo
zależne jest równy 0.
:::

:::{prf:example}

Poprzyjmy przykładem każde z powyższych zdań:

1. mamy następujące możliwości:

   $$
   \begin{aligned}
   \Det{1 & 2  & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 7 & 8 & 9} &= 0 &
   \Det{1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 3 & 8 & 9}  &= 0 &
   \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 3 & 3}  &= 0 &
   \end{aligned}
   $$

2. $ \Det{1 & 2 & 3 \\ 4\pi & 5\pi & 6\pi \\ 7 & 8 & 9}
   = \pi \cdot \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} $

3. $ \Det{1 & 2 & 3 + 2j \\ 4 & 5 & 6 -j  \\ 7 & 8 & 9 + 3j}
   = \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} +
   \Det{1 & 2 &  2j \\ 4 & 5 &  -j  \\ 7 & 8 & 3j} $

4. $ \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -\pi & 2\pi & \pi}
   = \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -\pi +2 & 2\pi + 4 & \pi + 6 } $

5. $ \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}
   = - \Det{1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 }
   = \Det{ 7 & 8 & 9 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }.$

:::

:::{prf:corollary}

Niech $A\in \MSet n n \kk$, $\alpha\in\kk .$ Z punktu 2. powyższego twierdzenia wynika, że

```{math}
\det (\alpha\cdot A) = \alpha^n\cdot \det A.
```

:::

:::{prf:proposition}

Dla dowolnych $n\in\nn$ i macierzy $A\in\MSet{n}{n}{\kk}$ zachodzi równość

```{math}
\det A = \det A^T.
```

:::

:::{prf:theorem}

[Cauchy'ego]
Dla dowolnych $n\in \nn$ i $A,B\in \MSet{n}{n}{\kk}$ zachodzi równość

```{math}
\det (A\cdot B) = \det A \cdot \det B.
```

:::

:::{prf:corollary}

Dla dowolnych $n,m\in\nn$ i macierzy $A\in\MSet{n}{n}{\kk}$ zachodzi równość

```{math}
\begin{aligned}
\det
  (A^m) = (\det A)^m.
\end{aligned}
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-09-ex-01
:class: [exercise]

Niech $A,B\in \MSet{5}{5}{\cc}$,\ $\det A = \pi,\ \det B = j.$
Obliczmy

```{math}
\det \left(\left(B^T\right)^{22} \cdot \pi^{-1}\cdot\left(A^7\cdot B^{13}\right)^T\right).
```

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-02`, {numref}`prob-10-ex-07`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

- $a = \det\left(\left(B^T\right)^{22}\right) = \left(\det B^T\right)^{22} = \left(\det B\right)^{22} = j^2 = -1 .$

- $b = \det \left(A^7\cdot B^{13}\right)^T = \det A^7\cdot B^{13} =\det A^7\cdot \det B^{13} = \pi^7\cdot j^{13} = \pi^7 j .$

- $\det \left(\left(B^T\right)^{22} \cdot \pi^{-1}\cdot\left(A^7\cdot B^{13}\right)^T\right) = a\cdot \det\left(\pi^{-1}\cdot\left(A^7\cdot B^{13}\right)^T\right) = a\cdot \pi^{-5}\cdot b = -\pi^2 j.$
:::

## Metoda redukcji obliczania wyznacznika macierzy

:::{narration}

Możemy całkiem szybko obliczyć wyznacznik macierzy
przekształcając ją do postaci,
w której wyznacznik obliczyć jest łatwo, np.: blokowej lub trójkątnej.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A =  matrix([[8, -12, -15 ],[9, 9, 9 ],[3 + x , 16 + x , 18 + x]])
A1 = matrix([[8, -12, -15 ],[9, 9, 9 ],[   x ,  x ,  x]])
A2 = matrix(QQ, [[8, -12, -15 ],[9, 9, 9 ],[3 , 16 , 18]])
A3 = matrix(QQ, [[-20, -23],[13, 15]])
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A)
content = rf"""
{body_01}.
"""
glue('sageglue_9_0', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

::::{exercise}
:label: lec-09-ex-02
:class: [exercise]

Obliczmy wyznacznik macierzy {glue:}`sageglue_9_0`

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-03`, {numref}`prob-10-ex-08`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

m1 = RescaleRowDetLatex(A2, 2, 1/9)
m2 = AddMultipleOfRowDetLatex(A2, 1, 2, -8, '9')
m3 = AddMultipleOfRowDetLatex(A2, 3, 2, -3, '9')
m4 = SwapRowsDetLatex(A2, 1, 2, '9')
m5 = AddMultipleOfRowDetLatex(A3, 1, 2, 2, '-9')
m6 = AddMultipleOfRowDetLatex(A3, 2, 1, -2, '-9')

body_01 = DisplayDet(A)
body_02 = DisplayDet(A1)
body_03 = DisplayDet(A2)
body_04 = DisplayDet(A2)
body_05 = latex(A3)
body_06 = latex(A.determinant())
content = rf"""
{body_01}
 &
\overset{{\text{{własność 3.}}}}{{=}}
{body_02} + {body_03}
\overset{{w_3 = \frac x 9\cdot w_2}}{{=}}
 0 +
{body_04}
\\ &
{m1}
{m2}
\\ &
{m3}
{m4}
\\ &
\overset{{blokowa}}{{=}}
-9\cdot{body_05}
{m5}
{m6}
= {body_06}
"""
glue('sageglue_9_1', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Wykonujemy kolejno operacje: {glue:}`sageglue_9_1`
:::

## Rozwinięcie Laplace'a

:::{prf:definition}

**Dopełnienie algebraiczne wyrazu** {index}`dopełnienie algebraiczne`
   $a_{ij}$ macierzy
   $A = [a_{ij}]\in \MSet n n \kk $ to skalar

```{math}
A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det B_{ij} \in \kk,
````

gdzie  $B_{ij}$
to macierz $A$ z usuniętym
$i$-tym wierszem oraz $j$-tą kolumną.

:::

::::{prf:example}

Dla macierzy
$A = \Macierz{1 & 1 & 1 \\  -1 & -3 & -2 \\ 3 & 4 & 3}$
dopełnienia algebraiczne to:

:::{container} columns-3-auto

$$
A_{11} = \Det{-3 & -2 \\ 4 & 3} = -1
$$

$$
A_{12} = -\Det{-1 & -2 \\ 3 & 3} = -3
$$

$$
A_{13} = \Det{-1 & -3 \\ 3 & 4} = 5
$$

$$
A_{21} = -\Det{1  & 1  \\ 4 & 3} = 1
$$

$$
A_{22} = \Det{1  & 1  \\ 3 & 3} = 0
$$

$$
A_{23} = -\Det{1  & 1  \\ 3 & 4} = -1
$$

$$
A_{31} = \Det{1  & 1  \\ -3 & -2} = 1
$$

$$
A_{32} = -\Det{1  & 1  \\ -1 & -2} = 1
$$

$$
A_{33} = \Det{1  & 1  \\ -1 & -3} = -2.
$$

:::

::::

:::{prf:theorem}

[Laplace'a]
Dla dowolnej macierzy $A \in \MSet{n}{n}{\kk}$ oraz $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ zachodzą równości

```{math}
\begin{aligned}
\det A = a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in}
  \cdot A_{in}
\end{aligned}
```

co nazywamy rozwinięciem Laplace'a względem $i$-tego wiersza;

```{math}
\begin{aligned}
\det A = a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj}
  \cdot A_{nj}
\end{aligned}
```

co nazywamy rozwinięciem Laplace'a względem $j$-tej kolumny.

:::

:::{prf:example}

Wyznacznik $A = \Macierz{1 & 1 & 1 \\  -1 & -3 & -2 \\ 3 & 4 & 3}$
z rozwinięcia Laplace'a względem:

- 1-szego wiersza $\det A = 1\cdot(-1) + 1\cdot(-3)+1\cdot 5 = 1$

- 2-go wiersza $\det A = (-1)\cdot 1 + -3\cdot 0 + (-2)\cdot (-1) = 1$

- 3-go wiersza $\det A = 3\cdot 1 + 4\cdot 1 + 3\cdot (-2) = 1$

- 1-szej kolumny $\det A = 1\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 + 3\cdot 1 = 1$

- 2-giej kolumny $\det A = 1\cdot(-3) + (-3)\cdot 0 + 4\cdot 1 = 1$

- 3-ciej kolumny $\det A = 1\cdot 5 + (-2)\cdot (-1) + 3\cdot (-2) = 1.$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A = matrix([[5,0,-6,0],[0,1,0,1],[0,0,-2,2],[1,3,4,3]]).transpose()
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = latex(A)
content = rf"""
A = {body_01}.
"""
glue('sageglue_9_2', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

```

::::{exercise}
:label: lec-09-ex-03
:class: [exercise]

Obliczmy wyznacznik macierzy {glue:}`sageglue_9_2`

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-03`, {numref}`prob-10-ex-08`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

m1 = AddMultipleOfRowDetLatex(A, 3, 4, 1)
body_01 = latex(A)
body_02 = latex(A.determinant())
content = rf"""
\det A
&
= \det {body_01}
{m1} = 2\cdot(-1)^{{3+4}}\cdot \Det{{5 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ -6 & 1 & 7}}
\\ &
= -2\cdot \Paren{{
5\cdot (-1)^{{1+1}}\Det{{1 & 3 \\ 1 & 7}}
-6\cdot (-1)^{{1+3}}\Det{{0 & 1 \\ 1 & 3}}
}}
= -2\cdot\Paren{{20 +6}}
=  {body_02}.
"""
glue('sageglue_9_3', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Na początku wykonujemy jedną operację elementarną,
po czym korzystamy z rozwinięcia Laplace'a w względem 3. kolumny: {glue:}`sageglue_9_3`
:::

## Rząd macierzy

:::{prf:definition}

**Minorem stopnia** {index}`macierz; minor`
$k$ macierzy $A\in\MSet{m}{n}{\kk}$ nazywamy
wyznacznik macierzy kwadratowej otrzymanej z $A$ poprzez
wykreślenie $m-k$ wierszy i $n-k$ kolumn.
:::

:::{prf:example}

Minory macierzy
$A = \Macierz{1 & 1 & 1 \\  -1 & -3 & -2 \\ 3 & 4 & 3}$:

1. stopnia 1 to elementy tej macierzy, czyli:
   $1, 1,  1 , -1 , -3 , -2 , 3 , 4 , 3.$

2. stopnia 2 to w tym przypadku
   dopełnienia algebraiczne $A_{ij}$
   podzielone przez $(-1)^{i+j}$, czyli:

   ```{math}
   \begin{aligned}
   \Det{-3 & -2 \\ 4 & 3} & = -1, &
   \Det{-1 & -2 \\ 3 & 3} & = 3, &
   \Det{-1 & -3 \\ 3 & 4} & = 5,
   \\
   \Det{1  & 1  \\ 4 & 3} & = -1, &
   \Det{1  & 1  \\ 3 & 3} & = 0, &
   \Det{1  & 1  \\ 3 & 4} & = 1,
   \\
   \Det{1  & 1  \\ -3 & -2} & = 1, &
   \Det{1  & 1  \\ -1 & -2} & = -1, &
   \Det{1  & 1  \\ -1 & -3} & = -2.
   \end{aligned}
   ```

3. stopnia 3 to wyznacznik tej macierzy, czyli $\det A = 1 .$

:::

:::{prf:definition}

**Rząd** {index}`macierz; rząd`
niezerowej macierzy $A\in\MSet{m}{n}{\kk}\setminus\Set{\oo_{m\times n}}$
definiujemy jako największy stopień jej niezerowego minora i
oznaczamy symbolem

```{math}
\rank A  \qquad \text{lub} \qquad \operatorname{rz} A \qquad \text{lub} \qquad \operatorname{r} A.
```

Dodatkowo przyjmujemy, że **rząd macierzy zerowej jest równy $0$**, czyli
$\quad \rank \oo = 0.$

:::

:::{prf:proposition}

Niech $A\in\MSet{m}{n}{\kk} .$
Wówczas:

1. $ 0 \leq \rank A \leq \min\Set{m, n} .$
2. $\rank A = \rank A^T .$
3. $\rank A = k$ wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie:

   - wszystkie minory macierzy $A$ stopnia
     większego niż $k$ są zerowe,
   - istnieje różny od zera minor stopnia $k$ macierzy $A .$
:::

:::{prf:example}

1. Znalezienie zerowego minora stopnia $k$ **nie oznacza**, że $\rank A <k .$
   Dla
   macierzy $A$ z poprzedniego przykładu istnieje minor zerowy stopnia 2,
   jej rząd
   jest równy 3, bo:

   - z powyższej uwagi $\rank A \leq 3$;
   - $\det A = 1 \neq 0$, więc jest to niezerowy minor stopnia 3,
     co oznacza, że $\rank A \geq 3.$

2. Rząd macierzy $A = \Macierz{1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 5 & 0 & 1}$ jest równy 2
   ponieważ:

   - jedyny minor stopnia 3, czyli $\det A = 0$, co implikuje $\rank A < 3$;
   - na przykład minor $\Det{1 & 2 \\ 2 & -1} = -5 \neq 0$
     co oznacza, że $\rank A \geq 2.$
:::

## Metoda redukcji wyznaczania rzędu macierzy

:::{prf:theorem}

Rząd macierzy nie zmienia się po wykonaniu
**operacji elementarnych** {index}`operacje elementarne`:

- dodania do wiersza (lub kolumny) wielokrotności innego wiersza (odpowiednio kolumny);
- pomnożenia wiersza (lub kolumny) przez stałą różną od zera;
- zamiany wierszy (lub kolumn) miejscami;
- skreślenia zerowego wiersza (lub zerowej kolumny);
- skreślenia wiersza będącego kombinacja liniową innych wierszy
  (lub kolumny będącej kombinacją liniową innych kolumn).
:::

:::{narration}

**Metoda redunkcji** wyznaczania rzędu macierzy
polega na przekształcaniu macierzy
przy pomocy powyższych operacji elementarnych
do postaci,
w której łatwo znaleźć niezerowy minor maksymalnego stopnia.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A = matrix([
 [3 , 6 , 7 , 11, 10 ],
 [1 , 2 , 3 , 4 ,5 ],
 [1 , 3 , 5 , 5 ,10],
 [-1 , -2 , 1 , -2 ,5 ]
  ])
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A)
content = rf"""
A = {body_01}
"""
glue('sageglue_9_4', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

```

::::{exercise}
:label: lec-09-ex-04
:class: [exercise]

Wyznaczmy rząd macierzy {glue:}`sageglue_9_4`.

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-04`, {numref}`prob-10-ex-09`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math
m1 = AddMultipleOfRowLatex(A, 1, 2, -3)
m2 = AddMultipleOfRowLatex(A, 3, 2, -1)
m3 = AddMultipleOfRowLatex(A, 4, 2, 1)
m4 = RemoveRowLatex(A, 1)
body_01 = DisplayMatrix(A)
content = rf"""
{body_01}
&
{m1}
\\ &
{m2}
\\ &
{m3}
{m4} = B.
"""
glue('sageglue_9_5', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Wykonujemy operacje elementarne, które nie zmieniają rzędu macierzy:

```{glue} sageglue_9_5
```

Stąd wniosek, że $\rank A = 3,$ ponieważ:

- $\rank A = \rank B \leq 3 = \min\Set{3,5}$;
- $\rank B \geq 3,$ gdyż
  $\MalyDet{1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4} = 4\neq 0$
  jest niezerowym minorem macierzy $B$ stopnia 3.

:::

## Metoda rzędu macierzy schodkowej

:::::{container} side-by-side
::::{container} column-two-third
:::{prf:definition}

Niech $W \subseteq \Set{1,\ldots,m}$ będzie podzbiorem indeksów
niezerowych wierszy macierzy $A\in\MSet{m}{n}{\kk} .$

Dla $i\in W$, niech $K_i\in \Set{1,\ldots,n}$ będzie indeksem kolumny
pierwszego niezerowego wyrazu w $i$-tym wierszu macierzy $A .$

**Macierzą schodkową** {index}`macierz; schodkowa`
(lub **w postaci schodkowej**) {index}`macierz; w postaci schodkowej`
nazywamy macierz $A$,
dla której ciąg $(K_i)_{i\in W}$ jest rosnący.
:::
::::

::::{container} column-one-thirds
:::{prf:example}

$$
\begin{aligned}
\Macierz{
-1 & 0 & 1 & 0  \\
0  & 0 & 0 & 0  \\
0  & 0 & 3 & -4
}
\end{aligned}
$$
:::
::::
:::::

::::{prf:example}

Przykłady macierzy, które nie są w postaci schodkowej:

:::{container} columns-3-auto

$$
A_1 = \Macierz{
0 & 2 & 3\\
0 & 2 & 3
}
$$

$$
A_2 = \Macierz{
0 & 0 & 1\\
1 & 3 & 4
}
$$

$$
A_3 = \Macierz{
0 & 2 & -2 \\
0 & -2& -1 \\
0 & 0 & 3
}
$$

$$
A_4 = \Macierz{
1 & 0 & -3 & 2 \\
0 & 0 & 0& 1 \\
0 & -2& 4& 0
}.
$$

:::

::::

:::{prf:proposition}

Każdą macierz
można przekształcić do postaci schodkowej
wykonując pewną liczbę operacji elementarnych
na wierszach.
:::

::::{prf:example}

Po wykonaniu pewnych operacji elementarnych na macierzach
z poprzedniego przykładu otrzymujemy macierze w postaci schodkowej:

:::{container} columns-3-auto

$$
B_1 = \Macierz{
0 & 2 & 3\\
0 & 0 & 0
}
$$

$$
B_2 = \Macierz{
1 & 3 & 4\\
0 & 0 & 1
}
$$

$$
B_3 = \Macierz{
0 & 2 & -2 \\
0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0
}
$$

$$
B_4 & = \Macierz{
1 & 0 & -3 & 2 \\
0 & -2& 4& 0 \\
0 & 0 & 0& 1
}.
$$

:::

::::

:::{prf:proposition}

Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej niezerowych wierszy.
:::

:::{prf:example}

Wnioskujemy, że dla macierzy z poprzednich
przykładów:

```{math}
\begin{aligned}
\rank A_1 & = \rank B_1 = 1,
&
  \rank A_2 & = \rank B_2 = 2,
  \\
  \rank A_3 & = \rank B_3 = 2,
&
  \rank A_4 & = \rank B_4 = 3.
\end{aligned}
```

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
var('p')
M = matrix([
[1 , 1 , 1 , p],
[1 , 1 , p , p],
[1 , p , p , p]
])
Mminor = matrix([
[1 , 1 , 1],
[1 , 1 , p],
[1 , p , p]
])
Mdet = Mminor.determinant()
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(M)
content = rf"""
A_p = {body_01}
"""
glue('sageglue_9_6', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

::::{exercise}
:label: lec-09-ex-05
:class: [exercise]

Obliczmy rząd {glue:}`sageglue_9_6`
   w zależności od parametru $p\in \rr .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-05`, {numref}`prob-10-ex-10`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(Mminor)
body_02 = latex(Mdet)
body_03 = latex(factor(Mdet, p))
content = rf"""
\det {body_01} = {body_02} = {body_03}.
"""
glue('sageglue_9_7', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(M(p=1))
body_02 = latex(matrix([1, 1, 1, 1]))
content = rf"""
\rank A_1 = \rank {body_01}
=\rank {body_02} = 1
"""
glue('sageglue_9_8', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Weźmy minor maksymalnego stopnia $3$ powstały z 3. pierwszych kolumn równy

```{glue} sageglue_9_7
```

1. Dla $p\in \rr \setminus \Set{1}$ jest to maksymalny niezerowy minor stopnia $3$, zatem $\rank A_p = 3 .$
2. Dla $p=1$ mamy {glue:}`sageglue_9_8`, bo ostatnia macierz jest niezerowa i ma jeden wiersz.
:::