---
title: "Lecture 11: Jeszcze o macierzach"
lecture_number: 11
has_solutions: true
has_exercises: true
file_format: mystnb
kernelspec:
  name: sagemath
  display_name: SageMath
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Jeszcze o macierzach

## Odwracalność macierzy

### Definicja

:::{narration}

Niech $\kk$ będzie ciałem, $n\in\nn .$ Rozważmy przestrzenie macierzy kwadratowych $\MSet{n}{n}{\kk} .$
:::

:::{prf:definition}

**Macierzą odwrotną** {index}`macierz; odwrotna`
do macierzy $A\in M_{n\times n}(\kk)$ nazywamy
macierz $B\in M_{n\times n}(\kk)$,
jeśli

```{math}
A \cdot B = B \cdot A = I_n.
```

Jeżeli macierz $B$ istnieje to
oznaczamy ją przez $A^{-1},$
zaś $A$ nazywamy macierzą
**odwracalną** {index}`macierz; odwracalna`.
:::

:::{prf:remark}

1. Pomimo, że mnożenie macierzy nie jest przemienne, to
   można przyjąć równoważnie,
   że macierz $B\in M_{n\times n}(\kk)$ jest odwrotna do macierzy $A\in M_{n\times n}(\kk)$,
   jeśli
   $A \cdot B = I_n.$

2. Nie każda macierz kwadratowa jest odwracalna, o czym przekonamy się w poniższym przykładzie.

3. Jeśli $A$ jest odwracalna to:

   - $A^{-1}$ jest wyznaczona jednoznacznie
   - $A$ jest odwrotna do macierzy $A^{-1}$, czyli $A^{-1}$ jest odwracalna
     i mamy parę macierzy wzajemnie do siebie odwrotnych.

:::

:::{prf:example}

1. Macierze $ A = \Macierz{4 & 3 \\ 3 & 2} $
   i $ C = \Macierz{-2 &  3 \\ 3 & -4} $
   są wzajemnie do siebie odwrotne,
   ponieważ

   ```{math}
   \begin{aligned}
   A\cdot C =
   \Macierz{
   4 \cdot (-2) + 3\cdot 3 & 4 \cdot 3 + 3\cdot(-4) \\
   3 \cdot (-2) + 2\cdot 3 & 3 \cdot 3 + 2\cdot(-4)
   }
   =   \Macierz{ 1 & 0 \\ 0 & 1}.
   \end{aligned}
   ```

   Możemy napisać $A^{-1} = C$ oraz $C^{-1} = A .$

2. Macierz
   $ A = \Macierz{1 & -1 \\ -1 & 1} $
   nie jest odwracalna.
   Istotnie, gdyby $A$ była odwracalna, to z definicji istniałaby macierz
   $B = \Macierz{a & b \\ c & d}$ taka, że

   ```{math}
   \begin{aligned}
   A\cdot B = \Macierz{1 & -1 \\ -1 & 1}\cdot \Macierz{a & b \\ c & d} =
   \Macierz{a-c & b-d \\ -a + c & -b+d}
   = \Macierz{ 1 & 0 \\ 0 & 1} = I_2,
   \end{aligned}
   ```

   dla pewnych $a, b, c, d \in \cc .$ Z ostatniej równości otrzymujemy
   układ 4. równań, w tym $a-c = 1$ i $-a+c = 0$, które są sprzeczne.
   Brak rozwiązań tego układu dowodzi, że macierz odwrotna do $A$
   nie istnieje.
   :::

### Macierze nieosobliwe

:::{prf:definition}

**Nieosobliwą** {index}`macierz; nieosobliwa`
nazywamy macierz kwadratową $A\in\MSet{n}{n}{\kk}$, jeśli

```{math}
\det A \neq 0.
```

**Osobliwą** {index}`macierz; osobliwa`
nazywamy macierz kwadratową, jeśli nie jest nieosobliwa.
:::

:::{prf:definition}

**Macierzą dołączoną** {index}`macierz; dołączona`
macierzy $A\in \MSet{n}{n}{\kk}$ nazywamy
macierz

```{math}
A^D = [A_{ij}]^T = [A_{ji}],
```

gdzie $A_{ij}$ jest dopełnieniem algebraicznym wyrazu $a_{ij}$ macierzy $A .$
:::

:::{prf:example}
:label: examp:AddjointMatrix

Macierz dołączona macierzy
$A = \Macierz{1 & 1 & 1 \\  -1 & -3 & -2 \\ 3 & 4 & 3}$ to

```{math}
\begin{aligned}
A^D = \Macierz{
 \Det{ -3 & -2 \\ 4 & 3} &
 -\Det{ -1 & -2 \\ 3 & 3} &
 \Det{ -1 & -3 \\ 3 & 4} \\
 -\Det{ 1 & 1 \\ 4 & 3} &
 \Det{ 1 & 1 \\ 3 & 3} &
 -\Det{ 1 & 1 \\ 3 & 4} \\
 \Det{ 1 & 1 \\ -3 & -2} &
 -\Det{ 1 & 1 \\ -1 & -2} &
 \Det{ 1 & 1 \\ -1 & -3}
  } ^T
  = \Macierz{
 -1 & -3 & 5 \\
 1 & 0 & -1 \\
 1 & 1 & -2
  }^T
  = \Macierz{
 -1 & 1 & 1 \\
 -3 & 0 & 1 \\
 5 & -1 & -2
  }.
\end{aligned}
```

:::

:::{prf:theorem}

Dla dowolnej macierzy kwadratowej $A\in\MSet{n}{n}{\kk}$ zachodzi równość

```{math}
A\cdot A^D = A^D \cdot A = (\det A) \cdot I_n.
```

:::

:::{prf:corollary}

Macierz $A\in\MSet{n}{n}{\kk}$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
W takim przypadku:

1. $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\cdot A^D $
2. $\det (A^{-1}) = \displaystyle \frac{1}{\det A} = (\det A)^{-1}.$

:::

:::{prf:example}

Zauważmy, że dla macierzy $A = \Macierz{a & b \\ c & d}$,
mamy $\det A = ad - bc$,
zaś macierz dołączona
to

$$
A^D = \Macierz{d & -c \\ -b & a}^T = \Macierz{d & -b \\ -c & a}.
$$

Stąd $A$ jest odwracalna pod warunkiem, że
$ad - bc\neq 0$ i wówczas

```{math}
\begin{aligned}
\Macierz{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac 1 {ad - bc}\Macierz{d & -b \\ -c & a}.
\end{aligned}
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-01
:class: [exercise]

Jeśli to możliwe, wyznaczmy macierz odwrotną do macierzy:

:::{container} columns-2-auto

1. $A_1 = \Macierz{1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1}$
2. $A_2 = \Macierz{1 & 1 & 1 \\  -1 & -3 & -2 \\ 3 & 4 & 3}.$

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-13-ex-01`, {numref}`prob-13-ex-07`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Ponieważ $\det A_1 = 0$ (gdyż suma dwóch pierwszych wierszy daje wiersz 3.),
   to $A_1$ jest osobliwa, więc nieodwracalna.

2. Z rozwinięcia Laplace'a obliczamy
   $\det A_2 = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot(-3) + 1\cdot 5 = 1 \neq 0 .$
   Z ostatniego wniosku i obliczeń w {prf:ref}`examp:AddjointMatrix`
   wnioskujemy, że

   ```{math}
   \begin{aligned}
   A_2^{-1} = \frac 1 {\det A_2}\cdot A_2^D
   = \Macierz{
   -1 & 1 & 1 \\
   -3 & 0 & 1 \\
   5 & -1 & -2
   }.
   \end{aligned}
   ```

:::

### Metoda eliminacji

:::{narration}

**Metoda eliminacji** wyznaczania macierzy odwrotnej, polega na
przekształceniu macierzy

```{math}
\begin{aligned}
A|I_n = \Macierz{
 a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \ldots &  a_{mn} & 0 & 0 & \ldots & 1
  }
  \qquad \text{do postaci} \qquad
  I_n|A^{-1}
\end{aligned}
```

przy
pomocy następujących operacji elementarnych **na wierszach**:

1. pomnożenie wiersza przez stałą różną od $0$
2. zamiana wierszy miejscami
3. dodanie do wiersza kombinacji liniowej innych wierszy.

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A1 = matrix(QQ,[[1,1,1],[-1,-3,-2],[3,4,3]])
A1I = A1.augment(identity_matrix(3))
m0 = A1.augment(identity_matrix(3))
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A1)
content = rf"""
   A = {body_01}.
"""
glue('sageglue_11_0', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-02
:class: [exercise]

Znajdźmy macierz odwrotną do {glue:}`sageglue_11_0`

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-13-ex-01`, {numref}`prob-13-ex-07`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = latex(A1.determinant())
content = rf"""
   \det A = {body_01} \neq 0
"""
glue('sageglue_11_1', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

m1 = AddMultipleOfRowLatex(m0, 2, 1, 1)
m2 = AddMultipleOfRowLatex(m0, 3, 1, -3)
m3 = SwapRowsLatex(m0, 2, 3)
m4 = AddMultipleOfRowLatex(m0, 1, 2, -1)
m5 = AddMultipleOfRowLatex(m0, 3, 2, 2)
m6 = AddMultipleOfRowLatex(m0, 1, 3, 1)
m7 = RescaleRowLatex(m0, 3, -1)
body_01 = DisplayMatrix(A1I)
body_02 = DisplayMatrix(A1 ^ -1)
content = rf"""
 {body_01}
  &
 {m1}
\\ & {m2}
 \\ &
 {m3}
\\ & {m4}
 \\ &
 {m5}
\\ & {m6}
 \\ &
 {m7}
 \qquad
\\ & \Longrightarrow
 \qquad
 A^{{-1}} = {body_02}.
"""
glue('sageglue_11_2', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Obliczamy {glue:}`sageglue_11_1`
więc $A^{-1}$ istnieje.
Wykonujemy wierszowe operacje na $A|I$:

```{glue} sageglue_11_2
```

:::

### Własności

:::{prf:theorem}

Dla dowolnych macierzy odwracalnych $A, B \in \MSet{n}{ n}{\kk}$:

1. $(A^{-1})^{-1} =A$
2. $A\cdot B$ jest macierzą odwracalną; co więcej $\qquad (A\cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^ {-1}$
3. $A^T$ jest macierzą odwracalną; co więcej $\qquad (A^T)^{-1} =(A^{-1})^T$
4. dla dowolnych macierzy $X, Y\in \MSet{n}{m}{\kk}$ mamy
   $\qquad A\cdot X = A \cdot Y \LR X = Y $
5. dla dowolnych macierzy $X, Y\in \MSet{m}{n}{\kk}$ mamy
   $\qquad X\cdot A = Y \cdot A \LR X = Y .$

:::

:::{prf:example}

1. Dla osobliwej macierzy $A = \Macierz{1 &-1 \\ -1 & 1}$ oraz
   $X = \Macierz{-2 & 3 \\ 1 & -2}, \,Y = \Macierz{-1 & 6 \\ 2 & 1}$
   mamy

   $$
   A\cdot X = A\cdot Y = \Macierz{-3 & 5 \\ 3 & -5}.
   $$

   Zatem
   $A\cdot X = A \cdot Y$ nie implikuje, że $X = Y .$

2. Przypomnijmy, że z układem równań liniowych $\EqLin$ związane jest równanie
   macierzowe

   ```{math}
   A\cdot X = B,
   ```

   gdzie $A$ jest macierzą współczynników $\EqLin$;
   $B$ macierzą wyrazów wolnych $\EqLin .$
   W przypadku gdy jest to układ Cramera, macierz $A$ jest nieosobliwa i
   możemy rozwiązać je
   mnożąc obie strony przez $A^{-1}$ z lewej strony. Otrzymamy

   ```{math}
   X= A^{-1}\cdot B.
   ```

   Opisana procedura, to **metoda macierzowa** rozwiązywania
   układu równań liniowych.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A  = matrix([[3 , 2 ],[ 2 , 1]])
B  = matrix([[1 , -1],[ 1 , 2]])
C  = matrix([[2 , 0 ],[ 3 , 4]])
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A)
body_02 = DisplayMatrix(B)
body_03 = DisplayMatrix(C)
content = rf"""
A & = {body_01}, &
B & = {body_02},&
C & ={body_03}.
"""
glue('sageglue_11_3', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-03
:class: [exercise]

Znajdźmy rozwiązanie równania macierzowego $A^T X^T + B = C$ dla
macierzy

```{glue:} sageglue_11_3
```

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-13-ex-04`, {numref}`prob-13-ex-09`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = latex(A.determinant())
content = rf"""
   \det A = {body_01} \neq 0
"""
glue('sageglue_11_4', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(C)
body_02 = DisplayMatrix(B)
body_03 = DisplayMatrix(A)
body_04 = DisplayMatrix((C - B).transpose())
body_05 = DisplayMatrix(A ^ -1)
body_06 = DisplayMatrix((C - B).transpose() * A ^ -1)
content = rf"""
X & =
\left({body_01} - {body_02} \right)^T
\cdot {body_03}^{{-1}}
\\ & =
{body_04}
\cdot {body_05}
=
{body_06}.
"""
glue('sageglue_11_5', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Na początek zauważmy, że {glue:}`sageglue_11_4`,
więc $A$ jest odwracalna.
Przekształćmy równanie macierzowe:

```{math}
\begin{aligned}
A^T X^T + B & = C
\\
(X A)^T & = C - B
\\
X A & = (C - B)^T
\\
X & = (C - B)^T \cdot A^{-1}.
\end{aligned}
```

Po wstawieniu danych macierzy, otrzymamy

```{glue:} sageglue_11_5
```

:::

:::{prf:remark}

Jeśli w powyższym ćwiczeniu macierz $A$ byłaby osobliwa,
równanie należałoby rozwiązać metodą bezpośrednią, tzn.
przyjmując macierz $X = \Macierz{a & b \\ c & d}$, gdzie
$a, b, c, d \in \rr$ są szukanymi zmiennymi.
Z braku czasu, nie będziemy zajmować się tego typu równaniami
(poza przypadkiem, gdy $X$ jest macierzą jednokolumnową,
co odpowiada zwykłemu układowi równań liniowych).
:::

## Jądro macierzy

:::{prf:definition}

**Jądro** {index}`macierz; jądro` macierzy $A \in \MSet{m}{n}{\kk}$ definiujemy
jako zbiór rozwiązań $X \in \MSet{n}{1}{\kk}$ równania macierzowego

```{math}
A\cdot X = \oo_{m\times 1}.
```

Jądro macierzy $A$ oznaczamy symbolem $\ker A.$ Innymi słowy,

```{math}
\ker A = \Set{X\in \MSet{n}{1}{\kk}: \quad A\cdot X = \oo} \subseteq \MSet{n}{1}{\kk}.
```

:::

:::{prf:example}

Dla **nieosobliwej** macierzy $A$, równanie $A\cdot X = \oo$, ma
rozwiązanie $X = A^{-1}\cdot \oo = \oo .$ Zatem $\ker A = \Set{\oo} .$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A2 = matrix([
 [1  , 1 , 3 , 2],
 [2  , 0 , 4 , 2],
 [0 , 1 , 1 , 1]
  ])
m0 = matrix([
 [1  , 1 , 3 , 2],
 [2  , 0 , 4 , 2],
 [0 , 1 , 1 , 1]
  ])
A2b = matrix([
 [1  , 1 , 3 , 2],
 [0  , 1 , 1 , 1]
  ])
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A2)
content = rf"""
   A = {body_01}.
"""
glue('sageglue_11_6', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-04
:class: [exercise]

Znajdźmy jądro macierzy {glue:}`sageglue_11_6`

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-13-ex-02`, {numref}`prob-13-ex-03`, {numref}`prob-13-ex-08`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(AugmentMatrixWithZeros(A2)))
content = rf"""
   {body_01}.
"""
glue('sageglue_11_7', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

m1 = AddMultipleOfRowLatex(m0, 2, 1, -2)
m2 = RemoveRowLatex(m0, 2)
m3 = AddMultipleOfRowLatex(A2b, 1, 2, -1)
body_01 = DisplayMatrix(A2)
content = rf"""
A & = {body_01}
{m1}
\\ &
{m2}
{m3}
"""
glue('sageglue_11_8', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(matrix([[1, 0, 2, 1, 0], [0, 1, 1, 1, 0]])))
content = rf"""
{body_01},
"""
glue('sageglue_11_9', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Rozwiążmy równanie macierzowe $A\cdot X = \oo$
odpowiadające jednorodnemu układowi równań liniowych

```{glue} sageglue_11_7
```

W tym celu wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy $A$:

```{glue} sageglue_11_8
```

Z ostatniej macierzy otrzymujemy układ równań

```{glue} sageglue_11_9
```

którego rozwiązanie to

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1 = -2 t_1 - t_2 \\
x_2 = - t_1 - t_2 \\
x_3 = t_1 \\
x_4 = t_2
\end{array}\right. ,
t_1, t_2 \in \rr.
$$

Stąd wniosek, że

$$
X =
\Macierz{
-2 t_1 - t_2 \\ - t_1 - t_2 \\
t_1 \\
t_2
}, t_1,t_2 \in \rr,
$$

czyli

```{math}
\begin{aligned}
\ker A
  = \Set{
 \Macierz{
-2 t_1 - t_2 \\
- t_1 - t_2  \\
t_1  \\
t_2
 } : t_1,t_2 \in \rr}
  = \Set{
 t_1 \cdot \Macierz{
-2 \\
-1 \\
1  \\
0
 } +
 t_2 \cdot \Macierz{
-1 \\
-1 \\
0  \\
1
 }
 : t_1, t_2 \in \rr}.
\end{aligned}
```

:::

## Zagadnienie własne macierzy

### Wartości i wektory własne

:::{prf:definition}

**Wartością własną** {index}`macierz; wartość własna`
macierzy kwadratowej $A\in M_{n\times n}(\kk)$ nazywamy skalar $\lambda\in\kk$,
jeśli istnieje **niezerowy** wektor $X\in M_{n\times 1}(\kk)$, taki że

```{math}
A \cdot X= \lambda X.
```

**Wektorem własnym** {index}`macierz; wektor własny`
macierzy $A$ odpowiadającym wartości własnej $\lambda$ nazywamy wektor
$X$ z powyższej definicji.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A3 = matrix([
 [-5 , 3 , 0 ],
 [-6 , 4 , 0 ],
 [-3 , 3 , -2]
  ])
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A3)
content = rf"""
   A = {body_01}
"""
glue('sageglue_11_10', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{prf:example}

Wektorami własnymi
macierzy {glue:}`sageglue_11_10`
(odpowiadającymi różnym wartościom własnym)
są na przykład:
$X_1 = \Macierz{-1 \\ -2 \\ -1}$,
$X_2 = \Macierz{\pi \\ \pi \\ \pi}$,
gdyż

```{math}
\begin{aligned}
A \cdot X_1
   & = \Macierz{5 -6 \\ 6 - 8 \\ 3 - 6 + 2}
  = \Macierz{-1  \\ -2 \\ -1}
  = 1\cdot X_1,
   \\
  A \cdot X_2
   & = \Macierz{-5\pi + 3\pi \\ -6\pi + 4\pi \\ -3\pi + 3\pi - 2\pi}
  = -2 \Macierz{\pi  \\ \pi \\ \pi}
  = -2 X_2.
\end{aligned}
```

Za to $Y = X_1 + X_2$ nie jest wektorem własnym $A .$ Istotnie,

```{math}
\begin{aligned}
X_1 + X_2 & = \Macierz{\pi-1   \\ \pi-2 \\ \pi-1},
\\
A\cdot(X_1 + X_2)
& = A\cdot X_1 + A \cdot X_2
\\
& = X_1 - 2X_2
= \Macierz{-2\pi-1 \\ -2\pi-2 \\ -2\pi-1}
\end{aligned}
```

i nie istnieje $\lambda\in\rr$, dla którego
$A\cdot Y = \lambda Y$, gdyż
sprzeczny jest
układ równań:

```{math}
\Uklad{
-2\pi-1 = \lambda (\pi-1) \\
-2\pi-2 = \lambda (\pi-2)
}.
```

:::

:::{prf:definition}

**Wielomianem charakterystycznym** {index}`macierz; wielomian charakterystyczny`
macierzy $A\in \MSet{n}{n}{\kk}$ nazywamy
$\chi_A\in\kk_n[\lambda]$ dany wzorem

```{math}
\chi_A (\lambda)=\det(A-\lambda I).
```

:::

:::{prf:theorem}

Wielomian charakterystyczny macierzy $A\in \MSet{n}{n}{\kk}$ jest postaci

```{math}
\begin{aligned}
\chi_A(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + a_1
  \lambda^{n-1}+\ldots +a_{n-1}  \lambda + \det A,
\end{aligned}
```

z pewnymi współczynnikami $a_1,\ldots, a_{n-1}\in \kk .$
W szczególności $\deg \chi_A = n.$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math
D = diagonal_matrix(QQ, [3, -1])
body_01 = DisplayMatrix(D - l * matrix(QQ, 2, 2, 1))
body_02 = latex(((-1) ** 2 * D.charpoly('lambda')).factor())
content = rf"""
\chi_{{D}}(\lambda) & = \det \left(D - \lambda I\right) \\
& = \det {body_01} \\
& = (-\lambda + 3)\cdot(-\lambda -1) \\
& = {body_02}
"""
glue('sageglue_11_20', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
body_03 = DisplayMatrix(A3 - l * matrix(QQ, 3, 3, 1))
body_04 = latex(((-1) ** 3 * A3.charpoly('lambda')).factor())
content = rf"""
\chi_{{A}}(\lambda) & = \det \left(A - \lambda I\right) \\
& = \det {body_01} \\
& = [(-\lambda - 5 )(-\lambda + 4) + 18]\cdot(-\lambda -2) \\
& = {body_04}
"""
glue('sageglue_11_21', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{prf:example}

1. Wielomian charakterystyczny macierzy $D = \diag(3,-1)$ to

   ```{glue} sageglue_11_20
   ```

2. Wielomian charakterystyczny macierzy {glue:}`sageglue_11_10` to

   ```{glue} sageglue_11_21
   ```

:::

:::{prf:theorem}

Zbiór wartości własnych macierzy $A\in M_{n\times n}(\kk)$ pokrywa się ze
zbiorem pierwiastków wielomianu charakterystycznego $\chi_A\in\kk_n[\lambda] .$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
B = matrix(QQ,[
[2 , -1],
[1 ,  2]
])
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(B)
content = rf"""
   B = {body_01}
"""
glue('sageglue_11_11', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(B - l * matrix(QQ, 2, 2, 1))
body_02 = latex(((-1) ** 2 * B.charpoly('lambda')).factor())
content = rf"""
\chi_{{B}}(\lambda) & = \det \left(B - \lambda I\right) \\
& = \det {body_01} \\
& = {body_02}
"""
glue('sageglue_11_22', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{prf:example}

1. Dla macierzy z poprzedniego przykładu
   wartości własne to:
   $-1$ i $3$ dla $D$;
   $1$ i $-2$ dla $A .$

2. Nie bez znaczenia jest ciało $\kk$, nad którym rozpatrujemy daną macierz.
   Dla przykładu
   wielomian charakterystyczny
   macierzy {glue:}`sageglue_11_11` to

   ```{glue} sageglue_11_22
   ```

   Ponieważ ten wielomian o wyznaczniku $\Delta = -4$
   nie ma pierwiastków rzeczywistych,
   to $B\in \MSet{2}{2}{\rr}$ nie ma wartości własnych.
   Z drugiej storny wielomian ten
   ma pierwiastki zespolone $2 -j$, $2+j$
   i są to wartości własne
   $B\in \MSet{2}{2}{\cc} .$
:::

### Podprzestrzenie własne

:::{narration}

W definicji wartości i wektora własnych
występuje równanie

```{math}
\begin{aligned}
A\cdot X = \lambda X
  \qlq
  A\cdot X = \lambda I \cdot X
  \qlq
  (A-\lambda I) \cdot X = \oo.
\end{aligned}
```

Dla ustalonego $\lambda\in\kk$,
oznaczymy zbiór rozwiązań tego równania macierzowego przez

```{math}
\begin{aligned}
V_\lambda = \Set{X\in \MSet{n}{1}{\kk} :
 (A-\lambda I) \cdot X = \oo} \subseteq \MSet{n}{1}{\kk}.
\end{aligned}
```

:::

:::{prf:proposition}

Niech $A\in \MSet{n}{n}{\kk} .$

1. $\lambda$ jest wartością własną $A \Leftrightarrow V_\lambda \neq \Set{\oo}$
2. $X$ jest wektorem własnym $A$ odpowiadającym
   wartości własnej $\lambda \Leftrightarrow X \in V_\lambda \setminus \Set{\oo}$
3. $V_0 = \ker A$, więc $0$ jest wartością własną $A$ $\Leftrightarrow$ macierz $A$ jest osobliwa
4. Jeśli $\lambda_1 \neq \lambda_2$, to $V_{\lambda_1}\cap V_{\lambda_2} = \Set{\oo}.$

:::

:::{prf:definition}

**Podprzestrzenią własną** {index}`macierz; podprzestrzeń własna`
macierzy $A\in \MSet{n}{n}{\kk}$
odpowiadającą wartości własnej $\lambda$ nazywamy
wyżej zdefiniowany zbiór $V_\lambda .$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A31 = A3 - (1)*matrix(QQ,(A3).ncols(), (A3).ncols(),1)
A31b = A31.matrix_from_rows([1,2])
A32 = A3 - (-2)*matrix(QQ,(A3).ncols(), (A3).ncols(),1)
A32a = A32.matrix_from_rows([2])
A32b = A32.matrix_from_rows([2])
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A32b)
content = rf"""
{body_01}
"""
glue('sageglue_11_12', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

m1 = RemoveRowLatex(A31, 1)
m2 = RescaleRowLatex(A31b, 2, -1/3)
m3 = AddMultipleOfRowLatex(A31b, 1, 2, 6)
m4 = RescaleRowLatex(A31b, 1, -1/3)
m5 = AddMultipleOfRowLatex(A31b, 2, 1, 1)
m6 = SwapRowsLatex(A31b, 1, 2)
m7 = RescaleRowLatex(A32b, 1, -1/3)

content = rf"""
{m1}
"""
glue('sageglue_11_13', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
content = rf"""
{m2}
"""
glue('sageglue_11_14', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
content = rf"""
{m3}
"""
glue('sageglue_11_15', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
content = rf"""
{m4}
"""
glue('sageglue_11_16', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
content = rf"""
{m5}
"""
glue('sageglue_11_17', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
content = rf"""
{m6}
"""
glue('sageglue_11_18', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
content = rf"""
{m7}
"""
glue('sageglue_11_19', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A31)
content = rf"""
   A_{{1}} = A - (1\cdot I) = {body_01}.
"""
glue('sageglue_11_30', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

content = rf"""
A_{{1}} & {m1}
{m2}
{m3}
\\ & {m4}
{m5}
{m6}
"""
glue('sageglue_11_31', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

answer_1 = LinearEqsAnswer(A31.augment(matrix(QQ, A31.nrows(), 1, 0)))
params_1 = LinearEqsParameters(A31.augment(matrix(QQ, A31.nrows(), 1, 0)))
M1 = A31.right_kernel().basis_matrix().transpose() * matrix(LinearEqsParameters(A31.augment(matrix(QQ, A31.nrows(), 1, 0)))).transpose()

body_02 = DisplayAnswer(answer_1)
body_03 = DisplayInLine(params_1)
content = rf"""
   {body_01},\ {body_03}\in \rr.
"""
glue('sageglue_11_32', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

body_04 = DisplayMatrix(M1)
body_05 = DisplayInLine(params_1)
content = rf"""
   V_{{1}} = \Set{{{body_01} : {body_05}\in \rr.}}
"""
glue('sageglue_11_33', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

body_06 = DisplayMatrix(A32)
content = rf"""
   A_{{-2}} = A - ((-2)\cdot I) = {body_06}.
"""
glue('sageglue_11_34', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

body_07 = DisplayMatrix(A32a)
content = rf"""

   A_{{-2}} & \longrightarrow
    {body_07}
    {m7}
"""
glue('sageglue_11_35', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

answer_2 = LinearEqsAnswer(A32.augment(matrix(QQ, A32.nrows(), 1, 0)))
params_2 = LinearEqsParameters(A32.augment(matrix(QQ, A32.nrows(), 1, 0)))
M2 = A32.right_kernel().basis_matrix().transpose() * matrix(LinearEqsParameters(A32.augment(matrix(QQ, A32.nrows(), 1, 0)))).transpose()

body_08 = DisplayAnswer(answer_2)
body_09 = DisplayInLine(params_2)
content = rf"""
   {body_01},\ {body_09}\in \rr.
"""
glue('sageglue_11_36', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

body_10 = DisplayMatrix(M2)
body_11 = DisplayInLine(params_2)
content = rf"""
   V_{{-2}} = \Set{{{body_01} : {body_11}\in \rr.}}
"""
glue('sageglue_11_37', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{prf:example}

Dla macierzy {glue:}`sageglue_11_10` znamy wartości własne 1 i -2,
wśród których nie ma 0,
więc jest to macierz nieosobliwa i $\ker A = \Set{\oo} .$

Możemy policzyć podprzestrzenie własne:

- Dla $\lambda=1$ mamy

  ```{glue:} sageglue_11_30
  ```

  Wykonujemy operacje elementarne na wierszach:

  ```{glue} sageglue_11_31
  ```

  Otrzymujemy rozwiązanie

  ```{glue} sageglue_11_32
  ```

  Stąd

  ```{glue} sageglue_11_33
  ```

- Dla $\lambda=-2$ mamy

  ```{glue} sageglue_11_34
  ```

  Wykonujemy operacje elementarne na wierszach:

  ```{glue} sageglue_11_35
  ```

  Otrzymujemy rozwiązanie

  ```{glue} sageglue_11_36
  ```

  Stąd

  ```{glue} sageglue_11_37
  ```

  W szczególności dla $t_1 = t_2 = \pi$ dostaniemy wcześniej znaleziony wektor własny.

:::

:::{prf:proposition}

Jeśli $\lambda$ jest $m$-krotnym pierwiastkiem $\chi_A$ macierzy
$A\in \MSet{n}{n}{\kk},$
to $V_\lambda$ jest parametryzowana przez $k\in\Set{1,\ldots,m}$ parametrów.
:::

:::{prf:corollary}

Jeśli $\lambda$ jest jednokrotnym pierwiastkiem $\chi_A$ macierzy
$A\in \MSet{n}{n}{\kk},$
to $V_{\lambda}$ jest parametryzowany przez 1 parametr.
:::

:::{prf:example}

Dla każdej z macierzy:

```{math}
\begin{aligned}
A_1 & = \Macierz{2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2}, &
A_2 & = \Macierz{2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}, &
A_3 & = \Macierz{2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}
\end{aligned}
```

$\chi_{A_i}(\lambda) = -(\lambda - 2)^3$,
więc wszystkie mają jedną wartość własną równą $2 .$

Liczba parametrów w rozwiązaniu równania $(A_i - 2 I)\cdot X = 0$
jest równa $k_i = 3 - \rank(A_i - 2I) .$ Ponieważ:

```{math}
\begin{aligned}
A_1- 2I & = \Macierz{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}, &
A_2- 2I & = \Macierz{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}, &
A_3- 2I & = \Macierz{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
\end{aligned}
```

są w postaci schodkowej to widzimy, że:
$\quad k_1 = 3 - 2 = 1,\ k_2 = 3 - 1 = 2,\ k_3 = 3 - 0 = 3 .$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A7 = matrix([
 [   2, 0, 0 ],
 [ -1, 1, 1],
 [   3,-1, -1]
  ])
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A7)
content = rf"""
   A = {body_01}
"""
glue('sageglue_11_23', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-05
:class: [exercise]

Niech dana będzie macierz {glue:}`sageglue_11_23`.

1. Znajdźmy wartości własne $A .$
2. Czy jest ona nieosobliwa?
3. Znajdźmy podprzestrzenie własne $A .$
4. Dla każdej wartości własnej macierzy $A$ podajmy przykładowy wektor własny.
5. Znajdźmy jądro macierzy $A .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-13-ex-05`, {numref}`prob-13-ex-06`, {numref}`prob-13-ex-10`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A7 - l * matrix(QQ, 3, 3, 1))
body_02 = latex((-1) ** 3 * A7.charpoly('lambda'))
body_03 = latex(((-1) ** 3 * A7.charpoly('lambda')).factor())
content = rf"""
\chi_{{A}}(\lambda) & = \det \left(A - \lambda I\right) \\
& = \det {body_01} \\
& = {body_02}
 = {body_03},
"""
glue('sageglue_11_38', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

body_04 = DisplayInLine(solve((A7 - l * matrix(QQ, 3, 3, 1)).determinant() == 0, l))
content = rf"""
   {body_04}
"""
glue('sageglue_11_39', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

A7_0 = A7 - 0*matrix(QQ,3,3,1)
A7_2 = A7 - 2*matrix(QQ,3,3,1)
answer_0 = LinearEqsAnswer(A7_0.augment(matrix(QQ, A7_0.nrows(), 1, 0)))
params_0 = LinearEqsParameters(A7_0.augment(matrix(QQ, A7_0.nrows(), 1, 0)))
M0 = A7_0.right_kernel().basis_matrix().transpose() * matrix(LinearEqsParameters(A7_0.augment(matrix(QQ, A7_0.nrows(), 1, 0)))).transpose()
answer_2 = LinearEqsAnswer(A7_2.augment(matrix(QQ, A7_2.nrows(), 1, 0)))
params_2 = LinearEqsParameters(A7_2.augment(matrix(QQ, A7_2.nrows(), 1, 0)))
M2 = A7_2.right_kernel().basis_matrix().transpose() * matrix(LinearEqsParameters(A7_2.augment(matrix(QQ, A7_2.nrows(), 1, 0)))).transpose()

body_05 = DisplayMatrix(A7_0)
content = rf"""
   A_{{0}} = A - (0\cdot I) = {body_05}.
"""
glue('sageglue_11_40', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

body_06 = DisplayAnswer(answer_0)
body_07 = DisplayInLine(params_0)
content = rf"""
   {body_01},\ {body_07}\in \rr.
"""
glue('sageglue_11_41', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

body_08 = DisplayMatrix(M0)
body_09 = DisplayInLine(params_0)
content = rf"""
   V_{{0}} = \Set{{{body_01} : {body_09}\in \rr.}}
"""
glue('sageglue_11_42', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

body_10 = DisplayMatrix(A7_2)
content = rf"""
   A_{{2}} = A - (2\cdot I) = {body_10}.
"""
glue('sageglue_11_43', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

body_11 = DisplayAnswer(answer_2)
body_12 = DisplayInLine(params_2)
content = rf"""
   {body_01},\ {body_12}\in \rr.
"""
glue('sageglue_11_44', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

body_13 = DisplayMatrix(M2)
body_14 = DisplayInLine(params_2)
content = rf"""
   V_{{2}} = \Set{{{body_01} : {body_14}\in \rr.}}
"""
glue('sageglue_11_45', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Wartości własne $A$ to pierwiastki wielomianu charakterystycznego

   ```{glue} sageglue_11_38
   ```

   czyli {glue:}`sageglue_11_39`.

2. Ponieważ $0$ jest wartością własną $A$, to macierz jest osobliwa.

3. Dla $\lambda=0$ mamy

   ```{glue} sageglue_11_40
   ```

   Po wykonaniu operacji elementarnych na wierszach $A_{0}$
   otrzymujemy

   ```{glue} sageglue_11_41
   ```

   Stąd

   ```{glue} sageglue_11_42
   ```

   Przykładowo,
   wektorem własnym jest
   $\Macierz{0 \\ \pi \\ -\pi} .$

4. Dla $\lambda=2$ mamy

   ```{glue} sageglue_11_43
   ```

   Po wykonaniu operacji elementarnych na wierszach $A_{2}$
   otrzymujemy

   ```{glue} sageglue_11_44
   ```

   Stąd

   ```{glue} sageglue_11_45
   ```

   Przykładowo,
   wektorem własnym jest
   $\Macierz{-1 \\ 0 \\ -1} .$

5. Jądro macierzy to $\ker A = V_0 .$
:::