--- title: "Lecture 12: Przestrzenie liniowe I" lecture_number: 12 has_solutions: true has_exercises: true file_format: mystnb kernelspec: name: sagemath display_name: SageMath --- ```{include} ../_includes/sagecell-loader.md ``` # Przestrzenie liniowe I ## Definicja :::{prf:example} Niech $V = \rr^2$ i niech $\kk = \rr$ będzie ciałem liczb rzeczywistych z dodawaniem zapisywanym jako $\oplus$ i mnożeniem zapisywanym jako $\odot .$ Niech $+ : V^2 \to V$ będzie działaniem ```{math} (u,\ v) = ((u_1,\ u_2),\ (v_1,\ v_2)) \mapsto (u_1 \oplus v_1,\ u_2 \oplus v_2) = u + v. ``` Niech $\cdot: \kk \times V \to V$ będzie działaniem zewnętrznym ```{math} \begin{aligned} (\alpha,\ (v_1,\ v_2)) \mapsto (\alpha\odot v_1,\ \alpha\odot v_2)= \alpha\cdot v . \end{aligned} ``` Sprawdźmy, że spełnione są następujące warunki: 1. $(V, +)$ jest grupą przemienną, czyli istnieje **wektor zerowy** $\oo\in V$ oraz - $+$ jest łączne, czyli dla dowolnych $u,v,w \in V$ zachodzi ```{math} \begin{aligned} (u + v) + w & = ((u_1,\ u_2) + (v_1,\ v_2)) + (w_1,\ w_2) = (u_1 \oplus v_1 \oplus w_1,\ u_2 \oplus v_2 \oplus w_2) \\ & = (u_1,\ u_2) + ((v_1,\ v_2) + (w_1,\ w_2)) = u + (v + w) \end{aligned} ``` - $\oo$ jest elementem neutralnym $+$, czyli dla każdego $u\in V$ zachodzi ```{math} \begin{aligned} u + \oo = (u_1,\ u_2) + (0,\ 0) & = (u_1 \oplus 0,\ u_2 \oplus 0) = (u_1,\ u_2) = u \\ & = (0 \oplus u_1,\ 0 \oplus u_2) = (0,\ 0) + (u_1,\ u_2) = \oo + u \end{aligned} ``` - dla każdego $u\in V$ istnieje **wektor przeciwny** $-u\in V$ taki, że ```{math} \begin{aligned} u + (-u) & = (u_1,\ u_2) + (\ominus u_1,\ \ominus u_2) = (u_1 \ominus u_1,\ u_2 \ominus u_2) = (0,\ 0) = \oo \end{aligned} ``` - $+$ jest przemienne, czyli dla dowolnych $u,v \in V$ zachodzi ```{math} \begin{aligned} u + v & = (u_1,\ u_2) + (v_1,\ v_2) = (u_1 \oplus v_1,\ u_2 \oplus v_2) = (v_1 \oplus u_1,\ v_2 \oplus u_2) \\ & = (v_1,\ v_2) + (u_1,\ u_2) = v + u \ . \end{aligned} ``` 2. Dla dowolnych $\alpha,\ \beta\in\kk$ i dowolnych $u,\ v\in V$ zachodzi: - rozdzielność mnożenia $\cdot$ względem dodawania $\oplus$ i $+$ ```{math} \begin{aligned} (\alpha\oplus \beta) \cdot v & = ((\alpha\oplus \beta) \odot v_1,\ (\alpha\oplus \beta) \odot v_2) = ( \alpha \odot v_1 \oplus \beta \odot v_1,\ \alpha \odot v_2 \oplus \beta \odot v_2 ) \\ & = ( \alpha \odot v_1 ,\ \alpha \odot v_2 ) + ( \beta \odot v_1,\ \beta \odot v_2 ) = \alpha\cdot v + \beta \cdot v \, \end{aligned} ``` - rozdzielność mnożenia $\cdot$ względem dodawania $+$ ```{math} \begin{aligned} \alpha\cdot (u+v) & = \alpha\cdot (u_1 \oplus v_1,\ u_2 \oplus v_2) = (\alpha\odot (u_1 \oplus v_1),\ \alpha\odot (u_2 \oplus v_2)) \\ & = ( \alpha \odot u_1 \oplus \alpha \odot v_1,\ \alpha \odot u_2 \oplus \alpha \odot v_2 ) \\ & = ( \alpha \odot u_1 ,\ \alpha \odot u_2 ) + ( \alpha \odot v_1,\ \alpha \odot v_2 ) = \alpha\cdot u + \alpha\cdot v \, \end{aligned} ``` - $\alpha\cdot (\beta\cdot v) = \alpha\cdot (\beta \odot v_1,\ \beta \odot v_2) = (\alpha\odot\beta \odot v_1,\ \alpha\odot\beta \odot v_2) = (\alpha\odot \beta)\cdot v \, $ - $ 1 \cdot v = (1 \odot v_1 ,\ 1 \odot v_2) = v ,\ \quad $ gdzie 1 oznacza jedynkę ciała $\kk .$ Są to warunki definiujące przestrzeń liniową. ::: :::{narration} Niech $\kk$ będzie ciałem z działaniami dodawania $\oplus$ i mnożenia $\odot .$ ::: :::{prf:definition} **Przestrzenią liniową** {index}`przestrzeń liniowa` lub **wektorową** {index}`przestrzeń wektorowa` $V$ {nad $\kk$} nazywamy niepusty zbiór $V$ z działaniami: - **dodawania wektorów** $+ : V^2 \to V,$ \quad $(u,\ v) \mapsto u + v $ - **mnożenia przez skalar** $\cdot: \kk \times V \to V,$ \quad $ (\alpha, v) \mapsto \alpha\cdot v $ jeśli spełnione są następujące warunki: 1. $(V,+)$ jest grupą przemienną, czyli istnieje **wektor zerowy** $\oo\in V$ oraz - dla dowolnych $u,v,w \in V$ zachodzi $(u + v) + w = u + (v + w) $ - dla każdego $u\in V$ zachodzi $u + \oo = \oo + u = u $ - dla każdego $u\in V$ istnieje **wektor przeciwny** $-u\in V$ taki, że $u + (-u) = \oo $ - dla dowolnych $u,v \in V$ zachodzi $u + v = v + u \, .$ 2. dla dowolnych $\alpha,\beta\in\kk$ i dowolnych $u,v\in V$: - $(\alpha\oplus \beta) \cdot v = \alpha\cdot v + \beta \cdot v$ - $\alpha\cdot (u+v) = \alpha\cdot u + \alpha\cdot v$ - $\alpha\cdot (\beta\cdot v) = (\alpha\odot \beta)\cdot v$ - $1 \cdot v = v$ (gdzie 1 oznacza jedynkę ciała $\kk$). **Wektorami** {index}`wektor` nazywamy elementy zbioru $V .$ **Skalarami** {index}`skalar` nazywamy elementy zbioru $\kk .$ **Różnicę wektorów** {index}`wektor; różnica` $u\in V$ i $v\in V$ definiujemy jako \quad $u-v = u + (-v).$ ::: :::{narration} Od tego momentu działania $\oplus, \odot$ będziemy na powrót zapisywać jako odpowiednio $+, \cdot .$ ::: :::{prf:proposition} Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad $\kk .$ Dla $v\in V$ oraz $\alpha \in \kk$ zachodzi: 1. $\alpha\cdot v = \oo \qlq \alpha = 0 \vee v=\oo $ 2. $(-\alpha)\cdot v = \alpha \cdot (-v) = - (\alpha\cdot v) \ .$ ::: :::{prf:example} 1. Dla ustalonego $n \in \nn$, podstawowymi przykładami przestrzeni liniowych nad ciałem $\kk$ są przestrzenie $V = \kk^n$ z działaniami: - $+ : \kk^n\times\kk^n \to \kk^n$ ```{math} \begin{aligned} (u,v) = ((u_1,u_2,\ldots, u_n), (v_1,v_2,\ldots,v_n)) \mapsto (u_1 + v_1, u_2 + v_2, \ldots, u_n + v_n) = u + v \end{aligned} ``` - $\cdot: \kk \times \kk^n \to \kk^n$ ```{math} \begin{aligned} (\alpha, (v_1,v_2,\ldots,v_n)) \mapsto (\alpha\cdot v_1, \alpha\cdot v_2, \ldots, \alpha\cdot v_n) = \alpha\cdot v . \end{aligned} ``` W szczególności: - $\rr^n$ jest przestrzenią linową nad $\rr$ [GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/cmywhafy) - $\cc^n$ jest przestrzenią linową nad $\cc .$ 2. Kolejne przestrzenie liniowe to: - $\kk[t]$ nad $\kk$ $\quad$ z działaniem dodawania wielomianów $+$ i mnożeniem ich przez skalary z ciała $\kk$ - $\kk_n[t]$ nad $\kk$ (dla ustalonego $n\in\nn_0$) $\quad$ z działaniem dodawania wielomianów $+$ i mnożeniem ich przez skalary z ciała $\kk$ - $\MSet{m}{n}{\kk}$ nad $\kk$ $\quad$ z działaniem dodawania $+$ macierzy i mnożeniem ich przez skalary z ciała $\kk .$ ::: ## Podprzestrzeń liniowa :::{narration} Przypomnijmy, że **obcięcie funkcji** {index}`funkcja; obcięcie` $f: X \to Y$ do zbioru $A\subseteq X$ definiujemy jako funkcję $f|_A : A\to Y$, zadaną wzorem ```{math} f|_A(x) = f(x) \qquad \text{dla każdego } x \in A. ``` ::: :::{prf:definition} W przestrzeni liniowej $V$ (z działaniami dodawania wektorów $+$ i mnożenia przez skalar $\cdot$), podzbiór $W \subseteq V$ nazywamy **podprzestrzenią liniową** {index}`podprzestrzeń liniowa` przestrzeni $V$ jeśli $W$ jest przestrzenią liniową w działaniami dodawania wektorów $+|_{W}$ oraz mnożenia przez skalar $\cdot|_{W} .$ ::: :::{prf:proposition} [GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/djwefgzy) Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad $\kk .$ Niech $W\subseteq V$ będzie dowolnym podzbiorem. Następujące warunki są równoważne: 1. $W$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej $V .$ 2. $\forall v,w \in W \,\, v+w \in W \quad $ oraz $ \quad \forall \alpha \in\kk \,\, \forall v \in W \,\, \alpha\cdot v \in W .$ 3. $\forall \alpha \in\kk \,\, \forall v,w \in W \,\, v+\alpha\cdot w \in W .$ ::: ::::{exercise} :label: lec-12-ex-01 :class: [exercise] W przestrzeni liniowej $V = \rr^2$ sprawdźmy, że następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi: :::{container} columns-2-auto 1. $W_1 = \Set{\oo}$ 2. $W_2 = \Set{(x, 0) : x\in\rr}$ 3. $W_3 = \Set{(x, 2x) : x\in \rr }$ 4. $W_4 = \Set{(x, y) : x - 2y = 0 } .$ ::: :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-14-ex-01`, {numref}`prob-14-ex-05`. ::: :::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show( point((0,0), size = 40, aspect_ratio=1, xmin = -4, xmax = 4, ymin = -4, ymax = 4, color = PWRed ), transparent=True ) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show( plot( 0, (-4,4), thickness=2, aspect_ratio=1, ymin = -4, ymax = 4, color=PWRed ), transparent=True ) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show( plot( 2*x, (-4,4), thickness=2, aspect_ratio=1, ymin = -4, ymax = 4, color=PWRed ), transparent=True ) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show( plot( x/2, (-4,4), thickness=2, aspect_ratio=1, ymin = -4, ymax = 4, color=PWRed ), transparent=True ) ``` :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Będziemy korzystać z drugiego punktu stwierdzenia. 1. Niech $v, w \in W_1 = \Set{\oo}$, czyli $v = w = \oo .$ Niech $\alpha \in \rr .$ Wówczas: ```{math} \begin{aligned} v + w & = \oo + \oo = \oo \in W_1 \ , & \alpha \cdot v & = \alpha\cdot \oo = \oo \in W_1 \ . \end{aligned} ``` 2. Niech $v, w \in W_2 = \Set{(x, 0) : x\in\rr}$, czyli: $v = (x_1, 0),\ w = (x_2, 0) .$ Niech $\alpha \in \rr .$ Wówczas: ```{math} \begin{aligned} v + w & = (x_1, 0) + (x_2, 0) = (x_1 + x_2, 0) \in W_2 \ , & \alpha \cdot v & = \alpha\cdot (x_1, 0) = (\alpha\cdot x_1, 0) \in W_2 \ . \end{aligned} ``` 3. Niech $v, w \in W_3 = \Set{(x, 2x) : x\in \rr }$, czyli: ```{math} v = (x_1, 2x_1),\quad w = (x_2, 2x_2). ``` Niech $\alpha \in \rr .$ Wówczas: ```{math} \begin{aligned} v + w & = (x_1, 2x_1) + (x_2, 2x_2) = (x_1 + x_2, 2 (x_1 + x_2)) = (x_3, 2 x_3) \in W_3 \ , \\ \alpha \cdot v & = \alpha\cdot (x_1, 2x_1) = (\alpha\cdot x_1, 2(\alpha\cdot x_1)) = (x_4, 2 x_4) \in W_3 \ , \end{aligned} ``` gdzie przyjęliśmy: $\quad x_3 = x_1 + x_2$, \ $x_4 = \alpha\cdot x_1 .$ 4. Niech $v=(x_1,y_1),\ w = (x_2, y_2) \in W_4 = \Set{(x, y) : x - 2y = 0 }$, czyli: ```{math} \begin{aligned} x_1 - 2y_1 = 0, \quad x_2 - 2y_2 = 0 . \end{aligned} ``` Niech $\alpha \in \rr .$ Wówczas: - $v + w = (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_3, y_3) $ i sprawdzamy, że ```{math} \begin{aligned} x_3 - 2y_3 = x_1 + x_2 - 2( y_1 + y_2) = (x_1 -2 y_1) + (x_2 - 2y_2) = 0 + 0 = 0, \end{aligned} ``` więc $v+w \in W_4 $ - $\alpha \cdot v = \alpha\cdot (x_1,y_1) = (\alpha\cdot x_1 ,\alpha\cdot y_1) = (x_4, y_4) $ i sprawdzamy, że ```{math} \begin{aligned} x_4 - 2y_4 = \alpha\cdot x_1 -2\alpha\cdot y_1 = \alpha\cdot (x_1 -2 y_1) = \alpha \cdot 0 = 0, \end{aligned} ``` więc $\alpha\cdot v \in W_4 .$ ::: ::::{exercise} :label: lec-12-ex-02 :class: [exercise] [GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/c2xgtxys) Sprawdźmy, czy podany zbiór jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $V=\rr^3$ nad $\rr$: :::{container} columns-2-auto 1. $W_5 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : x - y - z = 0} $ 2. $W_6 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : xy = 0} $ 3. $W_7 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : x - y - z = 1} . $ ::: :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-14-ex-01`, {numref}`prob-14-ex-05`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown 1. Zbiór $W_5 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : x - y - z = 0}$ jest podprzestrzenią liniową $V$, gdyż przyjmując $v=(x_1,y_1,z_1),\ w = (x_2, y_2,z_2) \in W_5$, czyli zakładając: ```{math} \begin{aligned} x_1 - y_1 - z_1 = 0, \quad x_2 - y_2 - z_2 = 0, \end{aligned} ``` oraz $\alpha \in \rr$: - obliczamy $$ \begin{aligned} v + w & = (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) \\ & = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = (x_3, y_3, z_3) \end{aligned} $$ i sprawdzamy, że ```{math} \begin{aligned} x_3 - y_3 - z_3 & = x_1 + x_2 - ( y_1 + y_2) - (z_1 + z_2) \\ & = (x_1 - y_1 - z_1) + (x_2 - y_2 - z_2) \\ & = 0 + 0 = 0, \end{aligned} ``` więc $v+w \in W_5 $ - obliczamy $$ \begin{aligned} \alpha \cdot v & = \alpha\cdot (x_1,y_1,z_1) \\ & = (\alpha\cdot x_1 ,\alpha\cdot y_1, \alpha\cdot z_1) = (x_4, y_4, z_4) \end{aligned} $$ i sprawdzamy, że ```{math} \begin{aligned} x_4 - y_4 - z_4 & = \alpha\cdot x_1 - \alpha\cdot y_1 - \alpha\cdot z_1 \\ & = \alpha\cdot (x_1 - y_1 - z_1) \\ & = \alpha \cdot 0 = 0, \end{aligned} ``` więc $\alpha\cdot v \in W_5 .$ 2. Patrząc na wykres $W_6 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : xy = 0}$ widzimy, że nie jest to podprzestrzeń liniowa. Dla przykładu: - wektory $v=(3, 0, 1), \ w=(0, 2, -1)\in W_6$, gdyż $\quad 3\cdot 0 = 0,\quad0\cdot 2 = 0,$ - ale $v + w =(3, 2, 0)\notin W_6$, gdyż $\quad 3\cdot 2 = 6 \neq 0.$ 3. Patrząc na wykres $W_7 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : x - y - z = 1}$ widzimy, że nie jest to podprzestrzeń liniowa. Dla przykładu: - wektor $v=(1, 1, -1)\in W_7$ , gdyż \quad $1 - 1 + 1 = 1,$ - ale $5\cdot v=(5, 5, -5)\notin W_7$, gdyż $\quad 5 - 5 + 5 = 5 \neq 1. $ ::: :::{prf:proposition} Niech $V$ będzie przestrzenią liniową. 1. $\{\oo\}$ jest podprzestrzenią liniową $V$ (zwaną **podprzestrzenią zerową** {index}`podprzestrzeń liniowa; zerowa`). 2. Jeśli $U, W$ są podprzestrzeniami liniowymi $V$, to $U\cap W$ jest podprzestrzenią liniową $V .$ ::: ::::{exercise} :label: lec-12-ex-03 :class: [exercise] [GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/zg4hpak8) Czy zbiór $W_8 = \Set{(x,y, z) : z = x -y,\ x - 2y = 0 }$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $V=\rr^3$ nad $\rr$? :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-14-ex-01`, {numref}`prob-14-ex-05`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Zauważmy, że $\quad W_8 = W_5 \cap W_{9}, \quad $ gdzie: ```{math} \begin{aligned} W_{9} & = \Set{(x,y, z)\in \rr^3 : x - 2y = 0 }, & W_{5} & = \Set{(x,y, z)\in \rr^3 : x- y - z = 0 }. \end{aligned} ``` Dowiedliśmy już, że $W_{5}$ jest podprzestrzenią liniową $V .$ $W_9$ jest podprzestrzenią liniową $V$, gdyż przyjmując $v=(x_1,y_1,z_1),\ w = (x_2, y_2,z_2) \in W_9$, czyli: ```{math} \begin{aligned} x_1 - 2y_1 = 0, \quad x_2 - 2y_2 = 0, \end{aligned} ``` oraz $\alpha \in \rr$: - obliczamy $$ \begin{aligned} v + w & = (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) \\ & = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = (x_3, y_3, z_3) \end{aligned} $$ i sprawdzamy, że ```{math} \begin{aligned} x_3 - 2y_3 & = x_1 + x_2 - 2( y_1 + y_2) \\ & = (x_1 -2 y_1) + (x_2 - 2y_2) \\ & = 0 + 0 = 0, \end{aligned} ``` więc $v+w \in W_9 $ - obliczamy $$ \begin{aligned} \alpha \cdot v & = \alpha\cdot (x_1,y_1,z_1) \\ & = (\alpha\cdot x_1 ,\alpha\cdot y_1, \alpha\cdot z_1) = (x_4, y_4, z_4) \end{aligned} $$ i sprawdzamy, że ```{math} \begin{aligned} x_4 - 2y_4 & = \alpha\cdot x_1 -2\alpha\cdot y_1 \\ & = \alpha\cdot (x_1 -2 y_1) \\ & = \alpha \cdot 0 = 0, \end{aligned} ``` więc $\alpha\cdot v \in W_9 .$ Zatem $W_8$, jako iloczyn podprzestrzeni liniowych, jest podprzestrzenią liniową $V .$ ::: ## Przestrzeń rozpięta przez układ wektorów :::{narration} Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $\kk .$ Niech $n\in \nn .$ ::: :::{prf:definition} **Kombinację liniową** {index}`kombinacja liniowa` wektorów $v_1, v_2, \ldots, v_n \in V$ o współczynnikach $\alpha_1, \alpha_2, \ldots,\alpha_n \in \kk$ definiujemy jako wektor ```{math} \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n \in V. ``` ::: :::{prf:example} [GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/jgvzqzjb) Dla wektorów $v_1 = \Paren{1, 1, 0},\ v_2 = \Paren{0, -1, 1}$ mamy na przykład ```{math} \begin{aligned} 3v_1 -2 v_2 = 3\cdot\Paren{1, 1, 0} - 2\cdot\Paren{0, -1, 1} = \Paren{3, 5, -2} . \end{aligned} ``` ::: ::::{exercise} :label: lec-12-ex-04 :class: [exercise] [GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/jgvzqzjb) Czy wektor $w_2 = (-2,3,0)\in \rr^3$ jest kombinacją liniową wektorów $v_1 = (1,1,0)$ i $v_2 = (0,-1,1)$? :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-14-ex-02`, {numref}`prob-14-ex-06`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Musimy sprawdzić czy istnieją $\alpha_1, \alpha_2 \in \rr^3$ takie, że ```{math} \begin{aligned} \alpha_1\cdot (1,1,0) + \alpha_2 \cdot (0,-1,1) & = (-2,3,0) \\ (\alpha_1, \alpha_1 - \alpha_2, \alpha_2) & = (-2,3,0) \\ \Uklad{ \alpha_1 = -2 \\ \alpha_1 - \alpha_2 = 3 \\ \alpha_2 = 0 } & . \end{aligned} ``` Układ tych równań nie ma rozwiązań, ponieważ z 1. i 3. wynika, że $\alpha_1 = -2,\ \alpha_2 = 0$, zaś 2. równanie daje wtedy sprzeczność $-2 - 0 = 3.$ To oznacza, że $w_2$ nie jest kombinacją liniową $v_1$ i $v_2 .$ ::: :::{prf:proposition} Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $\kk .$ **Zbiór wszystkich kombinacji liniowych** wektorów $v_1, v_2, \ldots ,v_n$, czyli ```{math} \begin{aligned} \Set{\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n: \alpha_1, \alpha_2, \ldots,\alpha_n \in\kk}, \end{aligned} ``` jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $V .$ ::: :::{narration} Niech $v_1, v_2, \ldots, v_n$ będą wektorami w przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $\kk .$ ::: :::{prf:definition} **Układem wektorów** {index}`układ wektorów` w przestrzeni $V$ nazywamy ciąg ```{math} (v_1, v_2, \ldots, v_n). ``` **Podukładem wektorów** {index}`podukład wektorów` układu $(v_1, v_2, \ldots, v_n)$ nazywamy układ ```{math} \begin{aligned} (v_{i_1}, v_{i_2}, \ldots, v_{i_k}) \text{, \qquad gdzie } 1\leq i_1 < \ldots