---
title: "Lecture 13: Przestrzenie liniowe II"
lecture_number: 13
has_solutions: true
has_exercises: true
file_format: mystnb
kernelspec:
  name: sagemath
  display_name: SageMath
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Przestrzenie liniowe II

## Liniowa niezależność

:::{narration}

Niech $v_1, v_2, \ldots, v_n$ będą wektorami w przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $\kk .$
:::

:::{prf:definition}

**Liniowo niezależnym** {index}`układ wektorów; liniowo niezależny`
(w skrócie **LN**) {index}`układ wektorów; LN`
nazywamy układ wektorów
$(v_1, v_2, \ldots , v_n)$ (w przestrzeni liniowej $V$), dla którego zachodzi warunek

```{math}
\begin{aligned}
\forall \alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_n \in \kk\quad
  \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n = \oo
  \Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_n = 0.
\end{aligned}
```

**Liniowo zależnym** {index}`układ wektorów; liniowo zależny`
(**LZ**) {index}`układ wektorów; LZ`
nazywamy układ $(v_1, v_2, \ldots , v_n)$, który nie jest
liniowo niezależny.
:::

::::{prf:example}


Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $\kk .$

1. Jeśli w układzie wektorów $\uu A = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$
   występuje wektor $\oo$,
   to $\uu A$ jest on **LZ**.

   Istotnie, jeśli na przykład $v_k = \oo$ (dla pewnego $1\leq k \leq n$), to

   ```{math}
   \begin{aligned}
   0\cdot v_1 + \ldots 0\cdot v_{k-1} +  1\cdot \oo +
   0\cdot v_{k+1} + \ldots + 0\cdot v_n = \oo.
   \end{aligned}
   ```

2. Każdy podukład układu liniowo niezależnego jest **LN**.
3. Układ pusty $\emptyset$ jest **LN**.
4. Jeśli $v\in V$, to układ $(v)$ jest **LN** $\qlq v \neq \oo .$
5. Jeśli $u,v\in V$, to układ $(u,v)$ jest **LZ**
   $\qlq \Exists {\alpha\in\kk} u = \alpha\cdot  v \,  \vee v = \alpha\cdot u.$

6. Ogólnie dla układu $n\in\nn_2$ wektorów mamy następującą zależność:

   :::{container} center-text
   układ $(v_1, v_2, \ldots , v_n)$ w przestrzeni liniowa $V$
   jest **LN**

   wtedy i tylko wtedy, gdy

   ```{math}
   \begin{aligned}
   v_1 \neq \oo \qquad \text{oraz} \qquad
   \forall k\in \Set{1,\ldots, n-1} \quad
   v_{k+1} \notin \Lin (v_1,\ldots,v_k).
   \end{aligned}
   ```

   :::

7. [GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/mtn9dty8)

    Wykorzystując powyższe fakty i korzystając z wykresu 3D, możemy wywnioskować, że:

    - $\uu A_1 = ((1,1,1))$ jest układem **LN**
    - $\uu A_2 = ((1,1,1), (-2,-2,-2))$ jest układem **LZ**
    - $\uu A_3 = ((1,1,1), (-2,1,0))$ jest układem **LN**
    - $\uu A_4 = ((1,1,1), (-2,1,0), (10,-2,2))$ jest układem **LZ**
    - $\uu A_5 = ((1,1,1), (-2,1,0), (10,2,2))$ jest układem **LN** .

::::

::::{exercise}
:label: lec-13-ex-01
:class: [exercise]

Czy układ $\uu A$ jest liniowo niezależny w $\rr^3$ dla:

:::{container} columns-2-auto

1. $\uu A = ((1,2,0), (0,1,2), (1,1,-2))$
2. $\uu A = ((1,2,0), (1,1,2), (1,1,-2))$?

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-14-ex-03`, {numref}`prob-14-ex-07`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A1 = matrix([[1,2,0],[0,1,2],[1,1,-2]]).transpose()
AB1 = AugmentMatrixWithZeros(matrix([[1,2,0],[0,1,2],[1,1,-2]]).transpose())
A2 = matrix([[1,2,0],[1,1,2],[1,1,-2]]).transpose()
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(AugmentMatrixWithZeros(A1), 'a', latex_label='\\alpha'))
content = rf"""
\alpha_1 (1,2,0) + \alpha_2 (0,1,2) + \alpha_3 (1,1,-2) & = \oo
\\
{body_01} & .
"""
glue('sageglue_13_0', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A1)
content = rf"""
A = {body_01}
"""
glue('sageglue_13_1', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = latex(A1.determinant())
content = rf"""
\det A = {body_01}
"""
glue('sageglue_13_2', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

m1 = AddMultipleOfRowLatex(A1, 2, 1, -2)
m2 = RemoveRowLatex(A1, 3)
body_01 = DisplayMatrix(A1)
content = rf"""
A & = {body_01}
{m1}
{m2}.
"""
glue('sageglue_13_3', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(matrix([[1, 0, 1, 0], [0, 1, -1, 0]]), 'a', latex_label='\\alpha'))
content = rf"""
{body_01}.
"""
glue('sageglue_13_4', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayAnswer(LinearEqsAnswer(matrix([[1, 0, 1, 0], [0, 1, -1, 0]]), 'a', latex_label='\\alpha'))
content = rf"""
{body_01}, t_1 \in \rr .
"""
glue('sageglue_13_5', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(AugmentMatrixWithZeros(A2), 'a', latex_label='\\alpha'))
content = rf"""
\alpha_1 (1,2,0) + \alpha_2 (1,1,2) + \alpha_3 (1,1,-2) & = \oo
\ \\
{body_01}& .
"""
glue('sageglue_13_6', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A2)
content = rf"""
A = {body_01}
"""
glue('sageglue_13_7', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = latex(A2.determinant())
content = rf"""
\det A = {body_01}
"""
glue('sageglue_13_8', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Skorzystamy z definicji, sprawdzając,
czy jedynym rozwiązaniem równania
$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = \oo$
jest
$ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0.$

1. Rozwiązujemy równanie

   ```{glue} sageglue_13_0
   ```

   Macierz współczynników tego układu to

   ```{glue} sageglue_13_1
   ```

   Ponieważ {glue:}`sageglue_13_2`
   to $\rank A \leq 2$, więc liczba parametrów rozwiązania
   jest co najmniej $3-2 = 1 .$
   Czyli istnieje rozwiązanie niezerowe.

   Zatem $\uu{A}$ jest **LZ**.

   Można również rozwiązać ten układ:

   ```{glue} sageglue_13_3
   ```

   Otrzymujemy układ

   ```{glue} sageglue_13_4
   ```

   Rozwiązanie to

   ```{glue} sageglue_13_5
   ```

2. Rozwiązujemy równanie

   ```{glue} sageglue_13_6
   ```

   Macierz współczynników tego układu to

   ```{glue} sageglue_13_7
   ```

   Ponieważ {glue:}`sageglue_13_8`
   więc to jest jednorodny układ Cramera,
   mający dokładnie jedno rozwiązanie
   $ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0.$

   Zatem $\uu{A}$ jest **LN**.
:::

:::{prf:proposition}

Układ wektorów w przestrzeni $V$ jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy,
gdy jeden z wektorów układu jest kombinacją
liniową pozostałych.
:::

:::{prf:example}

Dowiedliśmy, że $\uu A = ((1,2,0), (0,1,2), (1,1,-2))$ jest **LZ** ,
więc jeden z wektorów jest kombinacją liniową pozostałych.
W istocie, rozwiązanie z ostatniego ćwiczenia wskazuje nam zależność:

```{math}
\begin{aligned}
t_1 (1,2,0) - t_1 (0,1,2) - t_1 (1,1,-2) = \oo
  \quad
  \text{dla } t_1 \in \rr .
\end{aligned}
```

Biorąc $t_1 = 1$ otrzymamy

```{math}
\begin{aligned}
(1,2,0) & = (0,1,2) + (1,1,-2),
\end{aligned}
```

zaś dla $t_1 = -1$ otrzymamy:

```{math}
\begin{aligned}
(0,1,2)  & = (1,2,0) - (1,1,-2),
   &
  (1,1,-2) & = (1,2,0) - (0,1,2).
\end{aligned}
```

:::

## Baza i wymiar

:::{narration}

Niech $v_1, v_2, \ldots, v_n$ będą wektorami w przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $\kk .$
:::

:::{prf:definition}

**Bazą**
{index}`baza`
przestrzeni $V$ nazywamy układ $(v_1, \ldots,v_n)$ wektorów z przestrzeni $V$, jeśli:

- układ $(v_1, \ldots,v_n)$ jest **LN**
- $\Lin (v_1, \ldots,v_n) = V$ (mówimy, że układ $(v_1, \ldots,v_n)$ rozpina przestrzeń $V$).

Przyjmujemy dodatkowo, że **bazą przestrzeni zerowej jest układ pusty**.

:::

:::{prf:example}

[GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/mtn9dty8)
Wykorzystując dotychczasowe rozważania (z pomocą wykresu 3D)
można pokazać, że:

1. $\uu A_2 = ((1,1,1), (-2,-2,-2))$
   nie jest bazą w przestrzeni $\rr^3$
2. $\uu A_3 = ((1,1,1), (-2,1,0))$
   nie jest bazą w przestrzeni $\rr^3$
3. $\uu A_4 = ((1,1,1), (-2,1,0), (10,-2,2))$
   nie jest bazą w przestrzeni $\rr^3$
4. $\uu A_5 = ((1,1,1), (-2,1,0), (10,2,2))$
   jest bazą w przestrzeni $\rr^3$
5. $\uu A_6 = ((1,1,1), (-2,1,0), (10,2,2), (-1,2-3))$
   nie jest bazą w przestrzeni $\rr^3 .$

:::

:::{prf:theorem}

Jeśli układy $(v_1, \ldots, v_n)$ oraz $(w_1, \ldots , w_m)$ są
bazami przestrzeni $V$, to $n = m .$
:::

:::{prf:definition}

**Skończenie wymiarową** {index}`przestrzeń liniowa; skończenie wymiarowa`
nazywamy przestrzeń liniową mającą skończoną bazę.

W takim przypadku **wymiar przestrzeni** {index}`przestrzeń liniowa; wymiar`
$V$ definiujemy jako liczbę elementów bazy
przestrzeni $V$ i oznaczamy symbolem

```{math}
\dim_\kk V \qquad \text{lub} \qquad \dim V.
```

**Nieskończenie wymiarową** {index}`przestrzeń liniowa; nieskończenie wymiarowa`
nazywamy niezerową przestrzeń liniową,
jeśli żaden skończony układ wektorów tej przestrzeni jej nie rozpina.
:::

:::{prf:theorem}

Niech $V$ będzie niezerową p. liniową. Następujące warunki są równoważne:

1. Układ $(v_1, \ldots, v_n)$ jest bazą przestrzeni $V .$
2. Układ $(v_1, \ldots, v_n)$ jest liniowo niezależny i $\dim V = n .$
3. $\Lin(v_1, \ldots, v_n) = V$ i $\dim V = n .$
4. Układ $(v_1, \ldots, v_n)$ jest maksymalnym liniowo niezależnym
   układem w przestrzeni $V .$

:::

:::{prf:example}

1. Dla ustalonego $n\in \nn$, podstawowym przykładem $n$-wymiarowej
   przestrzeni liniowej nad ciałem $\kk$ jest $V = \kk^n .$

   Istotnie, niech 0 oraz 1 oznaczają odpowiednio zero oraz jedynkę ciała $\kk .$

   **Bazą kanoniczną** {index}`baza; kanoniczna`
   lub **standardową** {index}`baza; standardowa`
   w $\kk^n$ nazywamy układ wektorów

   ```{math}
   \St[n] = (\ee 1 = (1,0,\ldots,0), \ee 2 = (0,1,0,\ldots,0),\ldots, \ee n = (0,0,\ldots,1)).
   ```

   Nazwa jest adekwatna, bo łatwo sprawdzić, że układ ten jest bazą w $\kk^n .$

   **Wersorami** {index}`wersor` (**wektorami jednostkowymi** {index}`wektor; jednostkowy`)
   w $\kk^n$ nazywamy elementy bazy kanonicznej.

2. W przestrzeni liniowej $\kk_n[t]$ nad ciałem $\kk$,
   **bazą kanoniczną** {index}`baza; kanoniczna`
   (**standardową** {index}`baza; standardowa`)
   jest układ

   $$
   (t^n,t^{n-1},\ldots,t,1).
   $$

   Zatem $\dim \kk_n[t] = n+1 .$

3. W przestrzeni liniowej $\MSet{m}{n}{\kk}$ nad ciałem $\kk$,
   **bazą kanoniczną** {index}`baza; kanoniczna`
   (**standardową** {index}`baza; standardowa`)
   jest układ

   $$
   (\EE {ij}: i\in \Set{1,\ldots, m}, j\in \Set{1,\ldots, n}),
   $$
   gdzie tablice macierzy $\EE {ij}$ mają postać

   $$
   \begin{aligned}
   & \phantom{= \Macierz{0 & 0 & 0}} j
   \\
   \EE{ij} &=  \Macierz{
   0 & & \cdots & & 0 \\
   & \ddots & 0 & \iddots &  \\
   \vdots & 0 &  1 & 0 & \vdots  \\
   & \iddots & 0 & \ddots &  \\
   0 & & \cdots & & 0
   } \; i
   \end{aligned}
   $$

   Zatem $\dim \MSet{m}{n}{\kk} = m\cdot n .$

4. W przestrzeni liniowej $\kk[t]$ nad ciałem $\kk$ nie istnieje skończony układ wektorów
   rozpinający całą przestrzeń.

   Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa.
:::

::::{exercise}
:label: lec-13-ex-02
:class: [exercise]

Który z podanych układów jest bazą przestrzeni $\rr^3$:

:::{container} columns-2-auto

1. $\uu A_3 = ((1,1,1), (-2,1,0))$
2. $\uu A_5 = ((1,1,1), (-2,1,0), (10,2,2))$

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-14-ex-03`, {numref}`prob-14-ex-07`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A1 = matrix([[1,1,1],[-2,1,0],[10,2,2]]).transpose()
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(AugmentMatrixWithZeros(A1), 'a', latex_label='\\alpha'))
content = rf"""
\alpha_1 (1,1,1) + \alpha_2 (-2,1,0) + \alpha_3 (10,2,2) & = \oo
\ \\
{body_01}& .
"""
glue('sageglue_13_9', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A1)
content = rf"""
A= {body_01}
"""
glue('sageglue_13_10', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = latex(A1.determinant())
content = rf"""
\det A = {body_01}
"""
glue('sageglue_13_11', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. $\uu A_3$ nie jest bazą $\rr^3$,
   ponieważ zawiera 2 wektory, zaś $\dim \rr^3 = 3 .$

2. Wiemy, że $\dim \rr^3 = 3$, więc liczba wektorów $\uu A_5$ się zgadza.

   Wystarczy sprawdzić, czy układ $\uu A_5$ jest liniowo niezależny.

   Skorzystamy z definicji sprawdzając czy jedynym rozwiązaniem równania
   $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = \oo$
   jest
   $ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0.$

   Rozwiązujemy równanie

   ```{glue} sageglue_13_9
   ```

   Macierz współczynników tego układu to

   ```{glue} sageglue_13_10
   ```

   Ponieważ

   ```{glue} sageglue_13_11
   ```

   to mamy układ Cramera i jedynym rozwiązaniem jest
   $ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0.$

   Zatem $\uu{A}_5$ jest **LN**
   i jest bazą $\rr^3 .$

:::

## Układy równań liniowych

:::{prf:proposition}

Niech $\kk$ będzie ciałem i rozważmy $\kk^n$ jako przestrzeń liniową nad $\kk$ z wektorami
o współrzędnych $x_1,\ldots, x_n$ w bazie kanonicznej.
Niech $\Solutions{} \subseteq \kk^n .$
Następujące warunki są równoważne:

1. $\Solutions{}$ jest zbiorem rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych
   ze zmiennymi $x_1,\ldots, x_n.$
2. $\Solutions{}$ jest podprzestrzenią liniową w $\kk^n .$
   Ponadto,
   jeśli
   $A\in\MSet{m}{n}{\kk}$ jest macierzą współczynników
   jednorodnego układu $\EqLin$, to

   ```{math}
   \dim\Solutions{\EqLin} = n- \rank A,
   ```

   gdzie $\Solutions{\EqLin}$ jest zbiorem rozwiązań układu $\EqLin .$
:::

::::{prf:corollary}

Niech $\EqLin$ będzie jednorodnym układem $m\in\nn$ równań liniowych
z macierzą współczynników $A\in\MSet{m}{n}{\kk} .$

Jeśli $\rank A = m$, to

:::{container} center-text
$\dim\Solutions{\EqLin} =$ (***liczba zmiennych***) $-$ (***liczba równań***).
:::

::::

:::{prf:example}

Rozważmy przestrzeń liniową $\kk^n .$

1. **Podprzestrzeń zerowa** {index}`podprzestrzeń liniowa; zerowa`
   $V=\Set{\oo_n}$ jest zbiorem rozwiązań jednorodnego układu Cramera i

   ```{math}
   \dim \Set{\oo_n} = n - n=0.
   ```

2. **Cała przestrzeń $\kk^n$** jest zbiorem rozwiązań równania
   $0\, x_1 + \ldots + 0\, x_n = 0$ i

   ```{math}
   \dim \kk^n = n-\rank \oo_{1\times n} = n.
   ```

3. Dla $\oo\neq (a_1,\ldots,a_n)\in \kk^n$, zbiorem rozwiązań równania
   $a_1x_1 + \ldots + a_n x_n = 0$
   jest podprzestrzeń liniowa wymiaru
   $n-\rank \Macierz{a_1 & \ldots & a_n} = n-1.$

:::

::::{exercise}
:label: lec-13-ex-03
:class: [exercise]

[GEOGEBRA3D](https://www.geogebra.org/3d/pubys497)

Wyznaczmy bazę i wymiar przestrzeni liniowej

```{math}
V = \Set{(x_1, x_2, x_3) : x_1+x_2-x_3 = x_2 + x_3 =0} \subseteq \rr^3 .
```

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-14-ex-04`, {numref}`prob-14-ex-08`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A = matrix(QQ,[[1,1,-1],[0,1,1]])
AB = AugmentMatrixWithZeros(A)
m0 = matrix(QQ,[[1,1,-1],[0,1,1]])
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A)
content = rf"""
\rank A = \rank {body_01} = 2
"""
glue('sageglue_13_12', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(AB))
content = rf"""
{body_01}
"""
glue('sageglue_13_13', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)

```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math
m1 = AddMultipleOfRowLatex(m0, 1, 2, -1)
body_01 = DisplayMatrix(A)
content = rf"""
A = {body_01}
{m1}.
"""
glue('sageglue_13_14', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Obliczamy

   ```{glue} sageglue_13_12
   ```

   bo to jest postać schodkowa.
   Zatem $\dim V = 3 - 2 = 1.$
   Stąd wnosimy, że baza składała z 1. wektora.


2. W celu znalezienia bazy rozwiązujemy układ równań

   ```{glue} sageglue_13_13
   ```

   przy pomocy operacji

   ```{glue} sageglue_13_14
   ```

   Otrzymujemy rozwiązanie

   $$
    \left\{
    \begin{array}{l}
   x_1 = 2t \\
   x_2 = -t \\
   x_3 = t
    \end{array}
    \right.
    , t \in \rr,
   $$

   które zapiszemy jako

   ```{math}
   \begin{aligned}
   (x_1, x_2, x_3) = (2t, -t, t) = t\cdot (2,-1,1),
    \quad t \in \rr.
   \end{aligned}
   ```

   To oznacza, że

   $$
    V = \Lin \Paren{(2,-1,1)},
   $$

   zaś $\uu B = \Paren{(2,-1,1)}$ jest bazą tej przestrzeni,
   bo rozpina przestrzeń $V$ i składa się z jednego wektora.

:::

:::{prf:corollary}

Jeśli
$A\in\MSet{m}{n}{\kk}$ jest macierzą współczynników,
$B\in\MSet{m}{n}{\kk}$ jest macierzą wyrazów wolnych
niejednorodnego układu równań liniowych $\EqLin$, to

```{math}
\begin{aligned}
\SolutionsMatrix{A,B}& = S_0 + \SolutionsMatrix{A,\oo},
   &
  \SolutionsMatrix{\EqLin} & = s_0 + \SolutionsMatrix{\EqLin_\oo},
\end{aligned}
```

gdzie $S_0$ jest dowolnie wybranym elementem $\SolutionsMatrix{A,B},$
$s_0$ jest dowolnie wybranym elementem $\SolutionsMatrix{\EqLin},$
$\EqLin_0$ jest jednorodnym układem równań liniowych o macierzy współczynników $A.$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A1 = matrix([
 [2, -2, 1,0 ],
 [0,  2, 4, -1 ],
 [2,  0, 5, -1 ]
  ])
B1 = matrix([-1,3,2]).transpose()
AB1 = A1.augment(B1)
AB1b = matrix(QQ, [[2,-2,1,0,-1],[0,2,4,-1,3]])
m0 = A1.augment(B1)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(AB1))
content = rf"""
\EqLin: {body_01}.
"""
glue('sageglue_13_15', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

m1 = AddMultipleOfRowLatex(m0, 3, 1, -1)
m2 = RemoveRowLatex(m0, 3)
m3 = AddMultipleOfRowLatex(AB1b, 1, 2, 1)
m4 = RescaleRowLatex(AB1b, 1, 2^(-1))
m5 = RescaleRowLatex(AB1b, 2, 2^(-1))
body_01 = DisplayMatrix(AB1)
content = rf"""
A|B & = {body_01}\\ &
{m1}\\ &
{m2}
\\ &
{m3}\\ &
{m4}\\ &
{m5} ,
"""
glue('sageglue_13_16', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(matrix(QQ, [[1, 0, 5 / 2, -1 / 2, 1], [0, 1, 2, -1 / 2, 3 / 2]])))
content = rf"""
{body_01}.
"""
glue('sageglue_13_17', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{prf:example}

Rozważmy układ równań

```{glue} sageglue_13_15
```

Przypomnijmy, że
wykonując operacje elementarne na wierszach
macierzy rozszerzonej tego układu:

```{glue} sageglue_13_16
```

otrzymujemy układ

```{glue} sageglue_13_17
```

Rozwiązanie to

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1 = 1-\frac 5 2 t_1 + \frac 1 2 t_2 \\
x_2 = \frac 3 2 -2t_1 + \frac 1 2 t_2 \\
x_3 = t_1 \\
x_4 = t_2
\end{array}\right. ,
t_1, t_2 \in \rr.
$$

Można to zapisać jako

```{math}
\begin{aligned}
\Paren{x_1, x_2, x_3, x_4}
   &
  = \Paren{
 1-\tfrac 5 2 t_1 + \tfrac 1 2 t_2,\
 \tfrac 3 2 -2t_1 + \tfrac 1 2 t_2,\
 t_1 ,\
 t_2
  }
  \\ &
  = \Paren{
 1,\
 \tfrac 3 2,\
 0 ,\
 0
  }
  + t_1\cdot \Paren{
 -\tfrac 5 2,\
 -2,\
 1,\
 0
  }
  + t_2\cdot \Paren{
 \tfrac 1 2,\
 \tfrac 1 2,\
 0 ,\
 1
  }.
\end{aligned}
```

Przyjmując

$$
\begin{aligned}
s_0
& = \Paren{
   1,\
 \tfrac 3 2,\
 0 ,\
 0
  },
\\
\SolutionsMatrix{\EqLin_0}
& = \Lin
\Paren{ \Paren{
-\tfrac 5 2,\
 -2,\
 1,\
 0
},
\Paren{
   \tfrac 1 2,\
 \tfrac 1 2,\
 0 ,\
 1
}
},
\end{aligned}
$$

otrzymamy

```{math}
\begin{aligned}
\SolutionsMatrix{\EqLin}
& = s_0 + \SolutionsMatrix{\EqLin_\oo}
\\
&  = \Set{   \Paren{
1,\
\tfrac 3 2,\
0 ,\
0
 }
 + t_1\cdot \Paren{
-\tfrac 5 2,\
-2,\
1,\
0
 }
 + t_2\cdot \Paren{
\tfrac 1 2,\
\tfrac 1 2,\
0 ,\
1
 } : t_1, t_2 \in \rr}.
\end{aligned}
```

:::

## Jądro macierzy

:::{narration}

Przypomnijmy, że **jądro** {index}`macierz; jądro`
macierzy $A \in \MSet{m}{n}{\kk}$ definiujemy
jako zbiór

```{math}
\ker A = \Set{X\in \MSet{n}{1}{\kk}: \quad A\cdot X = \oo} \subseteq \MSet{n}{1}{\kk}.
```

:::

:::{prf:proposition}

Niech $\kk$ będzie ciałem i niech $A\in \MSet{m}{n}{\kk} .$ Wówczas

1. $\ker A$ jest podprzestrzenią liniową $\MSet{n}{1}{\kk}$
2. $\dim \ker A = n- \rank(A).$

:::

:::{prf:remark}

Ponieważ $\ker A$ jest podprzestrzenią liniową w $\MSet{n}{1}{\kk}$, to istnieje baza tej podprzestrzeni
$(u_1,\ldots,u_d)$, gdzie $d=\dim\ker A$ i z definicji bazy

```{math}
\ker A = \Lin (u_1,\ldots,u_d).
```

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
A2 = matrix([
 [1  , 1 , 3 , 2],
 [2  , 0 , 4 , 2],
 [0 , 1 , 1 , 1]
  ])
A2b = matrix([
 [1  , 1 , 3 , 2],
 [0  , 1 , 1 , 1]
  ])
m0 = matrix([
 [1  , 1 , 3 , 2],
 [2  , 0 , 4 , 2],
 [0 , 1 , 1 , 1]
  ])
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(A2)
content = rf"""
A = {body_01}.
"""
glue('sageglue_13_18', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

::::{exercise}
:label: lec-13-ex-04
:class: [exercise]

Znajdźmy wymiar i bazę jądra
macierzy {glue:}`sageglue_13_18`

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-13-ex-02`, {numref}`prob-13-ex-03`, {numref}`prob-13-ex-08`, {numref}`prob-14-ex-04`, {numref}`prob-14-ex-08`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(AugmentMatrixWithZeros(A2)))
content = rf"""
{body_01}.
"""
glue('sageglue_13_19', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

m1 = AddMultipleOfRowLatex(m0, 2, 1, -2)
m2 = RemoveRowLatex(m0, 2)
m3 = AddMultipleOfRowLatex(A2b, 1, 2, -1)
body_01 = DisplayMatrix(A2)
content = rf"""
A & = {body_01}\\ &
{m1}\\ &
{m2}\\ &
{m3}
"""
glue('sageglue_13_20', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplaySystem(LinearEqs(matrix([[1, 0, 2, 1, 0], [0, 1, 1, 1, 0]])))
content = rf"""
{body_01},
"""
glue('sageglue_13_21', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Przypomnijmy, że w celu znalezienia $\ker A$
rozwiązaliśmy równanie macierzowe $A\cdot X = \oo$
odpowiadające układowi równań liniowych

```{glue} sageglue_13_19
```

W tym celu wykonaliśmy operacje elementarne na wierszach $A$:

```{glue} sageglue_13_20
```

Z ostatniej macierzy otrzymaliśmy układ równań

```{glue} sageglue_13_21
```

którego rozwiązanie to

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1 = -2 t_1 - t_2 \\
x_2 = - t_1 - t_2 \\
x_3 = t_1 \\
x_4 = t_2
\end{array}\right. ,
t_1, t_2 \in \rr.
$$

Stąd

```{math}
\begin{aligned}
\ker A
& = \Set{
 \Macierz{
-2 t_1 - t_2 \\
- t_1 - t_2  \\
t_1  \\
t_2
 } : t_1,t_2 \in \rr}
\\   & = \Set{
 t_1 \cdot \Macierz{
-2 \\
-1 \\
1  \\
0
 } +
 t_2 \cdot \Macierz{
-1 \\
-1 \\
0  \\
1
 }
 : t_1, t_2 \in \rr}
\\   & =
  \Lin \Paren{
 \Macierz{
-2 \\
-1 \\
1  \\
0
 },\
 \Macierz{
-1 \\
-1 \\
0  \\
1
 }
  }.
\end{aligned}
```

Ponieważ $\dim \ker A = n - \rank A = 4-2 = 2$,
oraz układ

$$
\uu B =
  \Paren{
 \Macierz{
-2 \\
-1 \\
1  \\
0
 },\
 \Macierz{
-1 \\
-1 \\
0  \\
1
 }
  }
$$

składa się z dwóch wektorów i
rozpina przestrzeń $\ker A$, to $\uu B $ jest bazą tej przestrzeni.
:::

## Podprzestrzenie własne

:::{narration}

Przypomnijmy, że **podprzestrzenią własną** {index}`macierz; podprzestrzeń własna`
macierzy $A\in \MSet{n}{n}{\kk}$
odpowiadającą wartości własnej $\lambda\in \kk$ nazywamy zbiór

```{math}
V_\lambda = \Set{X : (A-\lambda I) \cdot X = \oo} \subseteq \MSet{n}{1}{\kk}.
```

Ponieważ jest to jądro macierzy $A - \lambda I$, to mamy następujące stwierdzenie.
:::

:::{prf:proposition}

Dla danej macierzy $A\in \MSet{n}{n}{\kk}$ i $\lambda \in \kk$:

1. zbiór $V_\lambda$
   jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $\MSet{n}{1}{\kk}$,
   przy czym

   ```{math}
   \dim V_\lambda = \dim \ker (A-\lambda I) = n - \rank (A-\lambda I)
   ```

2. jeśli $\lambda$ jest $k$-krotnym
   pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego $\chi_A$,
   to

   ```{math}
   1\leq \dim V_{\lambda} \leq  k.
   ```

W szczególności, jeśli $\lambda$ jest pierwiastkiem jednokrotnym,
to $\dim V_{\lambda}  = 1.$
:::

:::{prf:example}

Jak już wiemy, dla każdej z macierzy:

```{math}
\begin{aligned}
A_1 & = \Macierz{2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2}, &
  A_2 & = \Macierz{2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}, &
  A_3 & = \Macierz{2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}
\end{aligned}
```

$\chi_{A_i}(\lambda) = -(\lambda - 2)^3$,
więc wszystkie mają jedną wartość własną równą $2 .$
W każdym z tych przypadków
\quad
$ \dim V_2 = 3 - \rank(A_i - 2I) .$
\quad
Ponieważ:

```{math}
\begin{aligned}
A_1- 2I & = \Macierz{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}, &
  A_2- 2I & = \Macierz{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}, &
  A_3- 2I & = \Macierz{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
\end{aligned}
```

są w postaci schodkowej zredukowanej, to dochodzimy do wniosku,
że podprzestrzenie własne to odpowiednio:

```{math}
\begin{aligned}
V_2 = \ker (A_1- 2I) & = \Set{\Macierz{ t   & 0 & 0}^T : t\in \rr }
  = \Lin \Paren{\Macierz{ 1 & 0& 0}^T},
  \\
  V_2 = \ker (A_2- 2I) & = \Set{\Macierz{ t   & 0 & s}^T : t, s\in \rr }
  = \Lin \Paren{\Macierz{ 1 & 0& 0}^T, \Macierz{ 0 & 0   & 1}^T },
  \\
  V_2 = \ker (A_3- 2I) & = \Set{\Macierz{ t_1 & t_2   & t_3}^T : t_1, t_2, t_3\in \rr }
  = \MSet{3}{1}{\rr}.
\end{aligned}
```

Ich wymiary to odpowiednio: 1, 2 i 3.
:::

## Współrzędne wektora

:::{prf:proposition}

Układ wektorów $(v_1, \ldots,v_n)$ w przestrzeni liniowej $V$
jest bazą wtedy i tylko wtedy, gdy

```{math}
\begin{aligned}
\forall v\in V \quad \exists!\, \alpha_1, \ldots, \alpha_n\in\kk
  \ v = \alpha_1 v_1 +  \ldots  +\alpha_n v_n
\end{aligned}
```

(symbol $\exists!$ oznacza istnienie dokładnie jednej $n$-ki liczb).
:::

:::{narration}

To oznacza, że jeśli układ $\uu B = (v_1, \ldots,v_n)$
w przestrzeni $V$ jest bazą, to
dla każdego wektora $v \in V$ istnieją **jednoznacznie wyznaczone**
elementy $\alpha_1, \ldots, \alpha_n\in\kk$ takie, że

```{math}
:label: eq:Rozklad

\begin{aligned}
v = \alpha_1 v_1 +  \ldots + \alpha_n v_n.
\end{aligned}
```

:::

:::{prf:definition}

**Współrzędnymi wektora** $v\in V$ w bazie
{index}`wektor; współrzędne w bazie`
$\uu B$ przestrzeni liniowej $V$
nazywamy skalary $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ występujące w rozkładzie {eq}`eq:Rozklad`.

**Macierz współrzędnych wektora**
{index}`macierz; współrzędnych wektora`
$v\in V$ w bazie
$\uu{B}$ nazywamy
$
\quad
\MU{B} v = \Macierz{ \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n} \in \MSet{n}{1}{\kk}.
$
:::

::::{exercise}
:label: lec-13-ex-05
:class: [exercise]

Wyznaczmy współrzędne wektora $v\in V$ w bazie $\uu B$
i zapiszmy macierz współrzędnych $\MU B v$ , jeśli:

1. $V=\rr^2, \quad \uu{B} = ((5,-3),(7,-5)), \quad v = (1, \quad 1)$
2. $V=\Lin \uu B, \quad \uu{B} = ((1,5,-1),(2,4,0)), \quad v = (-1,7,-3) .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-15-ex-01`, {numref}`prob-15-ex-05`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Bierzemy wektory bazowe $v_1 = (5,-3), v_2 = (7,-5)$ i szukamy
   $\alpha, \beta \in \rr$, dla których
   $v=(1,1) = \alpha v_1 + \beta v_2$,
   czyli

   ```{math}
   (1,1) = (5\alpha + 7\beta, -3\alpha -5\beta).
   ```

   Dostajemy układ równań liniowych o macierzy rozszerzonej

   $$
   A|B= \Macierz{5 & 7 & 1\\ -3 & -5 & 1},
   $$

   którego rozwiązanie to
   $\alpha = 3, \beta = -2 .$

   Współrzędne wektora $v$ w bazie $\uu{B}$ to $3,-2$
   macierz współrzędnych to

   $$
   \MU B v = \Macierz{3 \\ -2}.
   $$

2. Bierzemy wektory bazowe $v_1 = (1,5,-1), v_2 = (2,4,0)$ i szukamy
   $\alpha, \beta \in \rr$, dla których
   $v=(-1,7,-3) = \alpha v_1 + \beta v_2$,
   czyli

   ```{math}
   (-1,7,-3) = (\alpha + 2\beta, 5\alpha +4\beta, -\alpha).
   ```

   Dostajemy układ równań liniowych o macierzy rozszerzonej

   $$
   A|B= \Macierz{1 & 2 & -1 \\ 5 & 4 & 7 \\ -1 & 0 & -3},
   $$

   którego rozwiązanie to
   $\alpha = 3, \beta = -2 .$

   Współrzędne wektora $v$ w bazie $\uu{B}$ to $3,-2$
   macierz współrzędnych to

   $$
   \MU B v = \Macierz{3 \\ -2}.
   $$

:::

## Współrzędne układu wektorów

:::{narration}

Niech $\uu A = (v_1, \ldots, v_m)$ będzie układem wektorów
w przestrzeni lin. $V$ z wyróżnioną bazą $\uu B .$
:::

:::{prf:definition}

**Macierz współrzędnych układu wektorów**
{index}`macierz; współrzędnych układu wektorów`
$\uu A$ w bazie $\uu{B}$
nazywamy

```{math}
\MU{B} {\uu A} = \Macierz{\MU{B} {v_1} & \ldots & \MU{B}{v_m}}\in \MSet{n}{m}{\kk}.
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-13-ex-06
:class: [exercise]

Znajdźmy macierz współrzędnych wektorów układu

```{math}
\uu A = ((2,0,-1), (3,-1,-2), (0,2,1))
```

w bazie kanonicznej
$(\ee 1 =(1,0,0), \ee 2 =(0,1,0), \ee 3 =(0,0,1)) .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-15-ex-02`, {numref}`prob-15-ex-06`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
BA4 = matrix([[2,0,-1],[3,-1,-2],[0,2,1]]).transpose()
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(BA4)
content = rf"""
   \MUSt{{\St[3]}} {{\uu A}} = {body_01}.
"""
glue('sageglue_14_0', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Musimy znaleźć macierze współrzędnych wektorów układu $\uu A$
w bazie $\uu B$ i zapisać je w kolejnych kolumnach macierzy $\MU{B}{\uu A} .$
Zauważmy, że:

```{math}
\begin{aligned}
v_1 = (2,0,-1)  & = 2\cdot e_1 + 0 \cdot e_2 -1\cdot e_3,
  \\
  v_2 = (3,-1,-2) & = 3\cdot e_1 - 1 \cdot e_2 - 2\cdot e_3,
  \\
  v_3 = (0,2,1)   & = 0\cdot e_1 + 2 \cdot e_2 + 1\cdot e_3.
\end{aligned}
```

Zatem $\MUSt{\St[3]}  {v_1} = \Macierz{2 \\ 0 \\ -1}$,
$\MUSt{\St[3]} = \Macierz{3 \\ -1 \\ -2}$
oraz $\MUSt{\St[3]} {v_3} = \Macierz{0 \\ 2 \\ 1},$
więc

```{glue} sageglue_14_0
```

:::

:::{prf:proposition}

Niech $\uu{B}$ będzie bazą przestrzeni liniowej $V .$
Dla dowolnego układu
wektorów
$\uu{A}=(v_1, \ldots, v_m)$
z przestrzeni $V$,
następujące warunki są równoważne:

1. $\uu{A}$ jest bazą przestrzeni $V .$
2. $\dim V = m = \rank \MU{B}{\uu{A}} .$
3. $\MU{B}{\uu{A}}$ jest macierzą kwadratową oraz $\det \MU{B}{\uu{A}} \neq 0.$

:::

::::{exercise}
:label: lec-13-ex-07
:class: [exercise]

Czy układ $\uu A = ((2,0,-1), (3,-1,-2), (0,2,1))$ z {numref}`lec-13-ex-06`
jest bazą $\rr^3$?

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-14-ex-03`, {numref}`prob-14-ex-07`, {numref}`prob-15-ex-02`, {numref}`prob-15-ex-06`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(BA4)
body_02 = latex(BA4.determinant())
content = rf"""
\det \MUSt{{\St[3]}}{{\uu A}} =
\det {body_01}
= -2-6+8
= {body_02}
"""
glue('sageglue_14_1', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Ponieważ

```{glue} sageglue_14_1
```

to $\uu A$ nie jest bazą przestrzeni $\rr^3.$
:::

:::{prf:proposition}

Niech $\uu{B}$ będzie bazą przestrzeni liniowej
$V .$ Wówczas:

1. dla dowolnego układu $\uu{A}$ wektorów z przestrzeni $V$ zachodzi równość

   ```{math}
   \dim \Lin \uu A = \rank \MU{B}{\uu{A}};
   ```

2. układ $\uu{A} = (u_1,\ldots, u_m)$ wektorów z $V$ jest **LN**
   wtedy i tylko wtedy, gdy

   ```{math}
   \rank \MU{B}{\uu{A}} = m.
   ```

:::

::::{exercise}
:label: lec-13-ex-08
:class: [exercise]

Weźmy układ wektorów
$\uu A = ((2,0,-1), (3,-1,-2), (0,2,1))$ z {numref}`lec-13-ex-06`.

Czy układ $\uu A$ jest liniowo niezależny?

Znajdźmy wymiar i bazę przestrzeni $\Lin \uu A .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-14-ex-03`, {numref}`prob-14-ex-04`, {numref}`prob-14-ex-07`, {numref}`prob-14-ex-08`, {numref}`prob-15-ex-02`, {numref}`prob-15-ex-03`, {numref}`prob-15-ex-06`, {numref}`prob-15-ex-07`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

- Ponieważ $\det \MUSt{\St[3]} {\uu A} = 0$, to $\rank \MUSt{\St[3]} {\uu A} < 3 .$
  Zatem układ tych 3. wektorów jest **LZ**.

- $\dim \Lin \uu A = \rank \MUSt{\St[3]}{\uu A} = 2$
  (możemy sprowadzić macierz do postaci schodkowej, lub zauważyć, że
  istnieje niezerowy minor $\Det{2 & 3 \\ 0 & -1} = -2$ stopnia 2).

- Z wymiaru przestrzeni wiemy, że jej baza będzie się składać
  z 2. wektorów **LN**.
  Mogą to być na przykład

  $$
  v_1 = (2,0,-1), v_2 = (3,-1,-2).
  $$

  Układ $\uu B = (v_1, v_2)$ jest **LN**, ponieważ

  $$
  \rank \MUSt{\St[3]} {\uu B} = \rank \Macierz{2 & 3 \\ 0 & -1 \\ -1 & -2} = 2
  $$

  (z tych samych powodów co w poprzednim punkcie).

  Zatem $\uu B$ jest bazą $\Lin \uu A .$
  :::

## Zamiana bazy

:::{narration}

Niech $\uu A$ i $\uu B$ będą bazami w przestrzeni liniowej $V .$
:::

:::{prf:definition}

**Macierzą zmiany bazy $\uu B$ na bazę $\uu A$** {index}`macierz; zmiany bazy`
lub
**macierzą przejścia od bazy $\uu{B}$ do bazy
$\uu{A}$** {index}`macierz; przejścia`
nazywamy

```{math}
\MU{B}{\uu{A}},
```

czyli macierz współrzędnych wektorów z bazy $\uu A$ przedstawionych w bazie $\uu B .$
:::

:::{prf:proposition}

Niech $\uu{A}$ i $\uu{B}$ będą bazami
przestrzeni $V .$ Wówczas:

- $\MU{B}{\uu{A}} = (\MU{A}{\uu{B}})^{-1}$

- dla każdego wektora $v\in V$ zachodzi

  $$
  \MU{B} v =\MU{B}{\uu{A}}\cdot \MU{A} v
  $$

- dla każdego układu $\uu C$ wektorów z $V$ zachodzi

  $$
  \MU{B}{\uu C} =\MU{B}{\uu{A}}\cdot \MU{A} {\uu C} .
  $$

:::

:::{prf:corollary}

Niech $\kk$ będzie ciałem i niech $\uu{B}$ będzie bazą
przestrzeni $V = \kk^n .$ Wówczas:

- dla każdego wektora $v\in V$ zachodzi

  $$
  \MU{B} v =
  (\MUSt{\St[n]}{\uu B})^{-1} \cdot \MUSt{\St[n]} v
  $$

- dla każdego układu $\uu C$ wektorów z $V$ zachodzi

  $$
  \MU{B} {\uu C} = (\MUSt{\St[n]}{\uu B})^{-1} \cdot \MUSt{\St[n]} {\uu C} .
  $$

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
MB = matrix(QQ,[[-5,1],[6,-1]]).transpose()
MC = matrix(QQ,[[1,-5],[-1,6]]).transpose()
MCv = matrix(QQ,[[1,3]]).transpose()
```

::::{exercise}
:label: lec-13-ex-09
:class: [exercise]

Dla
baz

$$
\begin{aligned}
\uu B & =  ((-5,1), (6, -1)),
&
\uu C & =  ((1,-5), (-1, 6))
\end{aligned}
$$

przestrzeni $\rr^2$,
znajdźmy macierz $\MU{B}{\uu{C}} .$

Jakie są współrzędne wektora
$v = (1,-5) + 3\cdot(-1, 6)$
w bazie $\uu B .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-15-ex-04`, {numref}`prob-15-ex-08`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(MB)
body_02 = DisplayMatrix(MB ^ -1)
body_03 = DisplayMatrix(MC)
content = rf"""
(\MUSt{{\St[n]}}{{\uu B}})^{{-1}}
 & =
{body_01}^{{-1}}
=
{body_02},
 \\  \MUSt{{\St[n]}} {{\uu C}}
 & =
{body_03},
"""
glue('sageglue_14_2', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(MB ^ -1)
body_02 = DisplayMatrix(MC)
body_03 = DisplayMatrix(MB ^ -1 * MC)
content = rf"""
\MU{{B}} {{\uu C}}
= {body_01}
\cdot  {body_02}
=  {body_03}
.
"""
glue('sageglue_14_3', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(MCv)
content = rf"""
\MU{{C}} v = {body_01}
"""
glue('sageglue_14_4', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(MB ^ -1 * MC)
body_02 = DisplayMatrix(MCv)
body_03 = DisplayMatrix(MB ^ -1 * MC * MCv)
content = rf"""
\MU{{B}} v = \MU{{B}} {{\uu C}}\cdot \MU{{C}} v
= {body_01} \cdot {body_02}
= {body_03}.
"""
glue('sageglue_14_5', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Zastosujemy wzór

$$
\MU{B} {\uu C} = (\MUSt{\St[n]}{\uu B})^{-1} \cdot \MUSt{\St[n]} {\uu C}.
$$

Ponieważ

```{glue} sageglue_14_2
```

to

```{glue} sageglue_14_3
```

Z treści wnioskujemy, że

```{glue} sageglue_14_4
```

więc

```{glue} sageglue_14_5
```

Zatem współrzędne $v$ w bazie $\uu B$ to 76, 63.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
MB = matrix(QQ,[[6,5],[7,6]]).transpose()
MC = matrix(QQ,[[1,-1],[1,4],[-3,2],[4,5]]).transpose()
```

::::{exercise}
:label: lec-13-ex-10
:class: [exercise]

Niech $\uu B =  ((6,5), (7, 6))$ będzie bazą przestrzeni $\rr^2 .$

Znajdźmy macierz współrzędnych wektorów
$
(1,-1), (1,4), (-3,2), (4,5)
$
w bazie $\uu B .$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-15-ex-04`, {numref}`prob-15-ex-08`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(MB)
body_02 = DisplayMatrix(MB ^ -1)
body_03 = DisplayMatrix(MC)
content = rf"""
(\MUSt{{\St[n]}}{{\uu B}})^{{-1}}
 & =
{body_01}^{{-1}}
=
{body_02},
 &
\MUSt{{\St[n]}} {{\uu C}}
 & =
{body_03},
"""
glue('sageglue_14_6', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = DisplayMatrix(MB ^ -1)
body_02 = DisplayMatrix(MC)
body_03 = DisplayMatrix(MB ^ -1 * MC)
content = rf"""
\MU{{B}} {{\uu C}}
= {body_01}
\cdot  {body_02}
=  {body_03}
.
"""
glue('sageglue_14_7', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Zastosujemy wzór

$$
\MU{B} {\uu C} =
(\MUSt{\St[n]}{\uu B})^{-1} \cdot \MUSt{\St[n]} {\uu C},
$$

przyjmując

```{math}
\uu C = \Paren{(1,-1), (1,4), (-3,2), (4,5)}.
```

Ponieważ

```{glue} sageglue_14_6
```

to

```{glue} sageglue_14_7
```

Stąd wniosek, że:

```{math}
\begin{aligned}
\MU{B} {(1, -1)} & = \Macierz{13  \\ -11},
&
\MU{B} {(1, 4)}  & = \Macierz{-22 \\ 19},
\\
\MU{B} {(-3, 2)} & = \Macierz{-32 \\ 27},
&
\MU{B} {(4,5)}   & = \Macierz{-11 \\ 10}.
\end{aligned}
```

:::