---
title: "Powtórzenie ze szkoły średniej"
lecture_number: 1
has_solutions: true
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Powtórzenie ze szkoły średniej

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-01
:class: [exercise]

Zaznacz na płaszczyźnie punkty o współrzędnych $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ odpowiadające
kątom skierowanym $\alpha$ z poniższej tabeli.

:::{list-table}
:header-rows: 1
:align: center

* - $\alpha$
  - $-\dfrac \pi 2$
  - $-\dfrac \pi 3$
  - $-\dfrac \pi 4$
  - $-\dfrac \pi 6$
  - $0$
  - $\dfrac \pi 6$
  - $\dfrac \pi 4$
  - $\dfrac \pi 3$
  - $\dfrac \pi 2$
* - $\cos\alpha$
  - $\dfrac {\sqrt 0} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 1} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 2} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 3} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 4} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 3} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 2} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 1} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 0} 2$
* - $\sin\alpha$
  - $- \dfrac {\sqrt 4} 2$
  - $- \dfrac {\sqrt 3} 2$
  - $- \dfrac {\sqrt 2} 2$
  - $- \dfrac {\sqrt 1} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 0} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 1} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 2} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 3} 2$
  - $\dfrac {\sqrt 4} 2$

:::

Dla każdego z tych punktów:

- zaznacz półprostą wychodzącą z punktu $(0,0)$ przechodzącą przez ten punkt
- następnie zaznacz (i odczytaj współrzędne) punktu przecięcia zaznaczonej półprostej
  z okręgami o środku w $(0,0)$ i promieniach $2$ i $4 .$

Analogiczne ćwiczenie można powtórzyć dla kątów skierowanych z II i III
ćwiartki układu współrzędnych.

Wyniki zanotuj na późniejsze zajęcia.

::::

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-02
:class: [exercise]

Korzystając z wyników graficznych powyższego zadania rozwiąż
(bez zbędnych czynności, jak na przykład korzystanie z tablic,
czy rysowanie wykresów funkcji trygonometrycznych)
następujące układy równań.

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \cos\alpha = - \frac {\sqrt 3} 2,\quad \sin\alpha = \frac {1} 2$
2. $\displaystyle \cos\alpha = - \frac {\sqrt 2} 2,\quad \sin\alpha = -\frac {\sqrt 2} 2$
3. $\displaystyle 2\cos\alpha =  1,\quad 2\sin\alpha = -{\sqrt 3}$
4. $\displaystyle \sqrt 2 \cos\alpha =  -1,\quad \sqrt 2 \sin\alpha = 1  .$

:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-03
:class: [exercise]

Dla $n\in\Set{2,3,4,5,6}$ zaznacz na płaszczyźnie wierzchołki
$n$-kąta foremnego
wpisanego w okrąg o środku w $(0,0)$ i promieniu $1$,
którego jeden z wierzchołków jest punktem $(1,0) .$

Jakie kąty skierowane (liczone miarą łukową) odpowiadają tym wierzchołkom?
::::

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-04
:class: [exercise]

Dla $n\in\Set{2,3,4,6}$ zaznacz na płaszczyźnie wierzchołki
$n$-kąta foremnego
wpisanego w okrąg o środku w $(0,0)$ (i odpowiednim promieniu),
którego jednym z wierzchołków jest $P .$

:::{container} columns-2-auto

1. $P = \left(0,\, -1 \right)$
2. $P = \left(1,\, 1 \right) .$

:::

Jakie kąty skierowane (liczone miarą łukową) odpowiadają tym wierzchołkom?
::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-05
:class: [exercise]

Korzystając z wyników graficznych {ref}`prob-01-ex-01` rozwiąż
(bez zbędnych czynności, jak na przykład korzystanie z tablic,
czy rysowanie wykresów funkcji trygonometrycznych)
następujące układy równań.

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \cos\alpha =  \frac {\sqrt 3} 2,\quad \sin\alpha = - \frac {1} 2$
2. $\displaystyle \cos\alpha = - \frac {\sqrt 2} 2,\quad \sin\alpha = \frac {\sqrt 2} 2$
3. $\displaystyle \sqrt{3}\cos\alpha =  3,\quad \sqrt{3}\sin\alpha = -{\sqrt 3}$
4. $\displaystyle 2\pi \cos\alpha =  -\pi,\quad 2\pi \sin\alpha = -\sqrt{3\pi^2}  .$

:::

::::

``` {raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
c, s = sqrt(3)/2, -1/2
a = arctan2(s, c) # zwróć uwagę, na nieintuicyjną kolejność argumentów
show("cos=", c, ", sin=", s, ", daje alpha =", a, " (mod 2*pi)")
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-06
:class: [exercise]

Dla $n\in\Set{7,9,12}$ zaznacz na płaszczyźnie wierzchołki
$n$-kąta foremnego
wpisanego w okrąg o środku w $(0,0)$ i promieniu $1$,
którego jeden z wierzchołków jest punktem $(1,0) .$

Jakie kąty skierowane (liczone miarą łukową) odpowiadają tym wierzchołkom?

::::

``` {raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
for n in [7, 9, 12]:
    katy = [2*pi*k/n for k in range(n)]
    show("n =", n, ", daje katy:", katy)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-07
:class: [exercise]

Dla $n\in\Set{2,3,4,5,6,12}$ zaznacz na płaszczyźnie wierzchołki
$n$-kąta foremnego
wpisanego w okrąg o środku w $(0,0)$,
którego jednym z wierzchołków jest $P .$

:::{container} columns-2-auto

1. $P = \left(-\sqrt 3,\, 1 \right)$
2. $P = \left(-\sqrt 3,\, -\sqrt 3 \right)$
3. $P = \left(2,\, 2\sqrt 3 \right)$
4. $P = \left(-3,\, 0 \right) .$

:::

Jakie kąty skierowane odpowiadają tym wierzchołkom?
::::

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-08
:class: [exercise]

Wyznacz i zaznacz na prostej kilka spośród zbiorów $A_t$, dla $t\in T .$

1. $A_t = \Set{x\in \rr : x^2 + 3x - 2tx - 6t = 0 }$, $T = \nn$
2. $\displaystyle A_t = \Set{x\in \rr : 1+\frac{1}{t} \leq x \leq 3+\frac{2}{t}}$, $T = \nn$
3. $A_t = \Set{x\in \rr : \sin x < t}$, $T = \nn_0$
4. $A_t = \Set{x\in \rr : \cos x = t}$, $T = \rr_+ .$
::::

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-09
:class: [exercise]

Wyznacz i narysuj na płaszczyźnie kilka spośród zbiorów $A_t$, dla $t\in T .$
Wyobraź sobie jak wyglądałyby pozostałe z tych zbiorów.

1. $A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : x^2 + (y+1)^2 \geq t^2}$, $T = \nn_0$
2. $A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : y<tx+1}$, $T = \rr_+$
3. $A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : y\leq tx(x-2)}$, $T = \nn_0 .$
::::

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-10
:class: [exercise]

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów spełniających podane warunki:

:::{container} columns-2-auto

1. $\left\{\begin{array}{l}
(y-3)(x-2)
  \leq 0 \\
  y \leq -x^2 + 2x + 3
\end{array}\right.$

2. $\left\{\begin{array}{l}
y^2-x^2> 0 \\
x^2-2x+y^2-6y+6\leq 0
   \end{array}\right.$

3. $\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{3-x}\geq 0 \\
\sqrt{x-2y}>y
   \end{array}\right.$

:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-12
:class: [exercise]

Oblicz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu $f$ przez $g$:

1. $f(x)=3x^4+2x^3-5x^2-3,\quad g(x)=x^2+x-1$
2. $f(x)=x^4+3x^3-26x^2+11x-21,\quad g(x)=x+7.$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-01`.
:::

::::

``` {raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
R.<x> = QQ[]
f1 = 3*x^4 + 2*x^3 - 5*x^2 - 3
g1 = x^2 + x - 1
q1, r1 = f1.quo_rem(g1)
show("iloraz: ", q1)
show("reszta: ", r1)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-11
:class: [exercise]

Zapisz wielomiany w postaci iloczynowej:

:::{container} columns-2-auto

1. $w(x) = x^3 - 3x^2 - x +3$
2. $w(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$
3. $w(x) = x^6 - 8$
4. $w(x) = x^4 + 324$
5. $w(x) = x^4 +3x^3 + 4x^2 - 6x -12$
6. $w(x) = 4x^3 + 2x^2 -8x + 3$
7. $w(x) = 24x^3 -10x^2 - 3x +1$
8. $w(x)= 16x^3 - 28x^2 + 4x + 3.$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-06`.
:::

::::

``` {raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
wielomiany = [x^3 - 3*x^2 - x + 3,
               x^3 + 2*x^2 - 5*x - 6,
               x^6 - 8,
               x^4 + 324,
               x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 - 6*x - 12,
               4*x^3 + 2*x^2 - 8*x + 3,
               24*x^3 - 10*x^2 - 3*x + 1,
               16*x^3 - 28*x^2 + 4*x + 3]
for w in wielomiany:
    show(w, "=", factor(w))
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-01-ex-13
:class: [exercise]

Oblicz sumę wszystkich współczynników wielomianu
$w(x)=4(x^2+x-3)^{74} + 2(2x-3)^{81} .$
::::

``` {raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
w(x) = 4*(x^2 + x - 3)^74 + 2*(2*x - 3)^81
show(w(1))
</script>
</div>
```