---
title: "Zdania logiczne"
lecture_number: 2
has_solutions: true
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Zdania logiczne

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-02-ex-01
:class: [exercise]

Sprawdź metodą zero-jedynkową, czy formuła

$$
(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow ((p \imply q) \wedge (q \imply p))
$$

jest prawem rachunku zdań.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-01-ex-06`.
:::

::::

::::{exercise} Test Wasona
:label: prob-02-ex-02
:class: [exercise]

Na stole leżą 4 karty.
Każda z nich ma liczbę na jednej stronie i kolor na drugiej stronie.
Na widocznych stronach widać odpowiednio:

:::{container} center-text
liczbę 5, kolor żółty, kolor biały, liczbę 9.
:::

Które karty należy **koniecznie** obrócić, by znaleźć te z nich,
dla których prawdziwe jest zdanie:

:::{container} center-text
Jeśli karta ma liczbę podzielną przez 3 z jednej strony,
to jest żółta z drugiej.
:::

::::

::::{prf:remark}

Badania pokazują, że
dużo łatwiejsza do rozwiązania jest wersja tego zdania,
w której:

- karty zawierają po jednej stronie wiek osoby, a po drugiej stronie napój, który ona pije;

- rozważane zdanie jest treści:

  :::{container} center-text
  Jeśli ktoś pije alkohol, to ma co najmniej 18 lat.

- widzimy cztery karty na których napisane jest:

  :::{container} center-text
  "13", "21", "wino", "oranżada".
  :::

::::

::::{exercise}
:label: prob-02-ex-03
:class: [exercise]

Oto fragment raportu policji sporządzony przez młodego aspiranta:

- Świadek był zastraszony lub też, jeśli Henry popełnił samobójstwo, to testament odnaleziono.
- Jeśli świadek był zastraszony, to Henry nie popełnił samobójstwa.
- Jeśli testament odnaleziono, to Henry popełnił samobójstwo.
- Jeśli Henry nie popełnił samobójstwa, to testament odnaleziono.

Co komendant policji może wywnioskować z powyższego raportu?
::::

::::{exercise}
:label: prob-02-ex-04
:class: [exercise]

Sprawdź metodą uproszczoną, czy następująca formuła jest
tautologią:

1. $[(p \Rightarrow q) \wedge (r \Rightarrow s)] \Rightarrow[(p \vee r) \Rightarrow (q \vee s)]$
2. $[(p \wedge q) \Rightarrow r]\Rightarrow[(p\Rightarrow r) \wedge (q \Rightarrow r)] .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-01-ex-06`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-02-ex-05
:class: [exercise]

Korzystając ze znanych praw logiki (podanych na wykładzie)
sprawdź, czy następująca formuła jest
tautologią:

:::{container} columns-2-auto

1. $p \Rightarrow [(\Negation q \wedge q)\Rightarrow r]$
2. $p \vee [(q \wedge p) \Rightarrow (q \Leftrightarrow \Negation p)]$
3. $(p \vee q \vee r) \imply [\Negation p \imply ((q \vee r)\wedge \Negation p)] .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-01-ex-07`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-02-ex-06
:class: [exercise]

Sprawdź wybraną metodą, czy podana formuła jest tautologią:

1. $\Negation p \Rightarrow (p \Rightarrow q) \quad$  -- prawo Dunsa-Scotusa;
2. $(p\Rightarrow q) \Leftrightarrow [(\Negation p) \vee q]$
3. $(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow ((p \wedge q) \vee (\Negation p \wedge \Negation q))$
4. $[(p \wedge q) \Rightarrow p ] \Rightarrow [(\Negation q) \vee p] $
5. $[((p \wedge q)\Rightarrow q) \wedge ((p \vee q) \Rightarrow p)] \Leftrightarrow (q \Rightarrow p)$
6. $p \Leftrightarrow [q \Rightarrow (q \Rightarrow p)]$
7. $p \wedge [q \vee (\Negation p \wedge r)]$
8. $p\Rightarrow [q \wedge (\Negation p \Leftrightarrow q)]$
9. $((p \wedge q) \Rightarrow r)\Leftrightarrow ((p \Rightarrow q) \Rightarrow r)$
10. $[((t\Rightarrow r)\vee (s\Rightarrow \Negation p))\Rightarrow \Negation s] \Rightarrow [(p\wedge \Negation r)\vee (s\Rightarrow (p \wedge t))]$
11. $[(p\Rightarrow r)\wedge(s \wedge (\Negation p \vee \Negation t))]\Rightarrow [((r \Rightarrow t)\vee(p \Rightarrow \Negation s))\wedge s] .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-01-ex-06`, {numref}`lec-01-ex-07`.
:::

::::