---
title: "Formy zdaniowe"
lecture_number: 3
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Formy zdaniowe

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-03-ex-01
:class: [exercise]

Zapisz symbolicznie zdania lub formy zdaniowe:

1. - $n$ jest całkowitą liczbą nieparzystą.
   - $m$ jest sumą dwóch różnych liczb nieparzystych.

2. - Istnieje liczba, która jest kwadratem liczby całkowitej nieparzystej.
   - $x$ jest wspólną wielokrotnością liczb $a$ i $b .$

3. - Dla dowolnych dwóch liczb naturalnych istnieje ich wspólna wielokrotność.
   - $x$ przy dzieleniu przez $5$ daje parzystą resztę.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-02-ex-08`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-03-ex-02
:class: [exercise]

Określ wartość logiczną zdań i zapisz ich zaprzeczenia:

:::{container} columns-2-auto

1. - $\Forall {x\in \rr} |x|\leq 0 \Rightarrow x \leq 0$
   - $\Forall {n\in \nn} \Exists {m\in \nn} m>n$

2. - $\Exists {x\in (0,1] } \Forall {n\in \nn} n\cdot x > 1$
   - $\Forall {x\in (0,1] } \Exists {n\in \nn } n\cdot x > 1 .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-02-ex-03`, {numref}`lec-02-ex-04`, {numref}`lec-02-ex-09`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-03-ex-03
:class: [exercise]

Wyznacz wykres formy zdaniowej
$\varphi(x)$ określonej na zbiorze $X$, jeśli:

:::{container} columns-2-auto

1. $X = \rr_+,$

   $ \varphi(x): \ x<7 \Rightarrow x \leq 3$

2. $X = \rr,$

   $ \varphi(x): \ (x<7 \Leftrightarrow x \leq 3) \Rightarrow |x| < 5  .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-02-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-03-ex-04
:class: [exercise]

Zaznacz na płaszczyźnie $\rr^2$ wykres formy
$\varphi((x,y))$ określonej na zbiorze $X$, jeśli:

:::{container} columns-2-auto

1. $X = \rr^2,$

   $\varphi((x,y)): \ x\cdot y < 1 \imply x \geq 1$

2. $X = \Set{(x,y)\in\rr^2 : y\in\Set{-1,1}}, $

   $\varphi((x,y)): \ x\cdot y < 1 \Leftrightarrow x \geq 1 .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-02-ex-02`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-03-ex-05
:class: [exercise]

Zapisz symbolicznie zdania i formy zdaniowe:

1. $x$ jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb $a$ i $b .$
2. $x$ jest wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b .$
3. $x$ jest największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b .$
4. $x$ jest liczbą pierwszą.
5. Nie istnieje największa liczba pierwsza.
6. Między dwoma różnymi liczbami naturalnymi istnieje trzecia liczba naturalna, różna od nich.
7. Funkcja $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
8. W zbiorze $A$ istnieje element najmniejszy.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-02-ex-08`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-03-ex-06
:class: [exercise]

Określ wartość logiczną zdań i zapisz ich zaprzeczenia:

:::{container} columns-2-auto

1. $\Exists {m\in \nn} \Forall {n\in \nn} m>n$
2. $\Exists {m\in \nn} \Forall {n\in \nn} m\leq n$
3. $\Forall {x\in \rr} (x<1 \vee (\Exists {y \in \rr} x = |y|))$
4. $\Forall {m,n\in\nn} \Exists {k\in\nn} (m<n \Rightarrow (m<k \wedge k<n))$
5. $\Forall {n\in \nn} \Exists {x\in (0,1]} n\cdot x > 1$
6. $\Exists {n\in \nn} \Forall {x\in (0,1]} n\cdot x > 1 .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-02-ex-03`, {numref}`lec-02-ex-04`, {numref}`lec-02-ex-09`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-03-ex-07
:class: [exercise]

Wyznacz wykres formy zdaniowej
$\varphi(x)$ określonej na zbiorze $X$, jeśli:

:::{container} columns-2-auto

- $X = \rr$
- $X = \rr_+$
- $X = \nn$
- $X = [-10,10)$,

:::

oraz

:::{container} columns-2-auto

1. $\varphi(x): \ x = x$
2. $\varphi(x): \ \Negation (x<3 \Leftrightarrow x \leq 7)$
3. $\varphi(x): \ (x^2 + 3x-4 >0 \wedge x<1) \vee x > 0$
4. $\varphi(x): \ x^2 + 3x-4 >0 \wedge (x<1 \vee x > 0)$
5. $\varphi(x): \ x>0 \Rightarrow x>5$
6. $\varphi(x): \ \Negation (x^2 \geq 1 \imply |x - 3| < 2)$
7. $\varphi(x): \ (\Negation x^2 \geq 1) \imply |x - 3| < 2 .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-02-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-03-ex-08
:class: [exercise]

Zaznacz na płaszczyźnie $\rr^2$ wykres formy
$\varphi((x,y))$ określonej na zbiorze $X$, jeśli:

:::{container} columns-2-auto

- $X = \rr^2$
- $X = \rr\times\rr_+$
- $X = \nn\times \rr$
- $X = \left([-2,2)^2 \right)'$,

:::

oraz

:::{container} columns-2-auto

1. $ \varphi((x,y)): \ \Negation (x \geq 1 \imply x\cdot y < 1)$
2. $ \varphi((x,y)): \ \Negation 2x^2 + y - 1 > 0$
3. $ \varphi((x,y)): \ \Negation x + y - 5 \geq 0$
4. $ \varphi((x,y)): \ 2x^2 + y - 1 > 0 \wedge x + y \geq 5$
5. $ \varphi((x,y)): \ 2x^2 + y - 1 > 0 \vee x + y \geq 5$
6. $ \varphi((x,y)): \ 2x^2 + y - 1 > 0 \imply x + y \geq 5$
7. $ \varphi((x,y)): \ 2x^2 + y - 1 > 0 \Leftrightarrow x + y \geq 5$
8. $ \varphi((x,y)): \ \Negation |x|+ | y| < 2$
9. $ \varphi((x,y)): \ \Negation |x| \geq |y|$
10. $ \varphi((x,y)): \ |x|+ | y| < 2 \,\wedge\, |x| \geq |y|$
11. $ \varphi((x,y)): \ |x|+ | y| < 2 \,\vee\, |x| \geq |y|$
12. $ \varphi((x,y)): \ |x|+ | y| < 2 \Rightarrow |x| \geq |y|$
13. $ \varphi((x,y)): \ |x|+ | y| < 2 \Leftrightarrow |x| \geq |y|$
14. $ \varphi((x,y)): \ (y > x \Rightarrow y > -x) \Rightarrow (x \geq 3)$
15. $ \varphi((x,y)): \ y > x \Rightarrow ( y > -x \Rightarrow x \geq 3) .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-02-ex-02`.
:::

::::