---
title: "Algebra zbiorów"
lecture_number: 4
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Algebra zbiorów

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-04-ex-01
:class: [exercise]

Wykaż metodą indukcji matematycznej, że

```{math}
\begin{aligned}
\displaystyle\forall n\in\nn\quad
1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} .
\end{aligned}
```

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-02-ex-10`.
:::

::::

:::{prf:definition}

**Różnicę symetryczną zbiorów** {index}`zbiór; różnica symetryczna` $A$ i $B$ definiuje się jako zbiór

```{math}
A\div B = (A\setminus B)\cup (B\setminus A).
```

:::

::::{exercise}
:label: prob-04-ex-02
:class: [exercise]

Sprawdź, czy zbiory $A=\Set{\emptyset,2}$, $B=\emptyset$ i
$C=\Set{\emptyset,\Set{\emptyset}}$ spełniają równość

```{math}
A\div (C\setminus B) = (B\setminus A) \cup [(A\cup C)\setminus B]\cup(B\cap C).
```

::::

::::{exercise}
:label: prob-04-ex-03
:class: [exercise]

Wyznacz

```{math}
\begin{aligned}
A\setminus \rr,\quad
B\setminus \rr, \quad
(B\cup C)\setminus  A, \quad
(A\div C)\cap \rr, \quad
2^A, \quad
A^2, \quad
A\times C
\end{aligned}
```

dla $A = \Set{\emptyset, \rr}$, $B=\Set{0,\emptyset}$,
$C=\Set{\rr, \rr^2} .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-03-ex-01`, {numref}`lec-03-ex-02`, {numref}`lec-03-ex-06`, {numref}`lec-03-ex-07`, {numref}`lec-03-ex-08`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-04-ex-04
:class: [exercise]

Dla indeksowanej rodziny podzbiorów
$A_t = \Set{x\in \rr : 1+\dfrac{1}{t} \leq x \leq 3+\dfrac{2}{t}} \subseteq \rr ,\ T = \nn$ wyznacz:

```{math}
\begin{aligned}
\displaystyle
\bigcup_{t\in T} A_t \ ,\quad
\bigcap_{t\in T} A_t \ ,\quad
\bigcup_{t\in T} A'_t \ ,\quad
\bigcap_{t\in T} A'_t \ .
\end{aligned}
```

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-03-ex-12`, {numref}`lec-03-ex-03`, {numref}`lec-03-ex-04`, {numref}`lec-03-ex-05`, {numref}`lec-03-ex-10`, {numref}`lec-03-ex-11`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-04-ex-05
:class: [exercise]

Dla indeksowanej rodziny podzbiorów $\Set{A_t}_{t\in T}$ w przestrzeni $\rr$ znajdź:

```{math}
\begin{aligned}
\displaystyle
\bigcup_{t\in T} A_t \ ,\quad
\bigcap_{t\in T} A_t \ ,\quad
\bigcup_{t\in T} [0, 4] \setminus A_t \ ,\quad
\bigcap_{t\in T} [0, 4] \setminus A_t \ ,
\end{aligned}
```

jeśli:

1. $A_t = \Set{x\in \rr : x^2 + 3x - 2tx - 6t = 0 },\qquad T = \nn$

   Uwaga! Koniecznie znajdź pierwiastki wielomianu zmiennej $x$ z parametrem $t .$

2. $A_t = \Set{x\in \rr : \sin \Paren{\tfrac \pi 2 t} < x < 4 - \tfrac 1 t},\qquad T = \nn$
3. $A_t = \Set{x\in \rr : |x -t| \leq t},\qquad T = \rr_+ .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-03-ex-12`, {numref}`lec-03-ex-03`, {numref}`lec-03-ex-04`, {numref}`lec-03-ex-05`, {numref}`lec-03-ex-10`, {numref}`lec-03-ex-11`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-04-ex-06
:class: [exercise]

Naszkicuj

```{math}
\begin{aligned}
\bigcup_{t\in T} A_t \ , \
\bigcap_{t\in T} A_t
,
\end{aligned}
```

jeśli:

1. $A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : x^2 + (y+1)^2 \geq t^2},\qquad T = \nn_0$
2. $A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : y<tx+1},\qquad T = \rr_+ .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-03-ex-12`, {numref}`lec-03-ex-10`, {numref}`lec-03-ex-11`, {numref}`lec-03-ex-09`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-04-ex-07
:class: [exercise]

Wykaż metodą indukcji matematycznej:

1. $\forall n\in\nn\quad 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \ldots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)} 3$
2. $\forall n\in\nn\quad \dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{2\cdot 3} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac n {n+1}$
3. $\forall n\in\nn\quad \dfrac{1}{1\cdot 3} + \dfrac{1}{3\cdot 5} + \ldots + \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac n {2n+1} .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-02-ex-10`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-04-ex-08
:class: [exercise]

Wyznacz

```{math}
\begin{aligned}
A\setminus \Set{\rr},\quad
(A\cup B)\setminus  C,\quad
(A\div B)\cap \rr,\quad
2^B,\quad
B^2,\quad
A\times B\times C
\end{aligned}
```

dla
$A = \Set{\pi, \Set{\rr}}$, $B=\Set{\Set{\rr}\times \Set{\nn},\emptyset}$,
$C=\Set{\rr \times \emptyset, (\rr, \nn)} .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-03-ex-01`, {numref}`lec-03-ex-02`, {numref}`lec-03-ex-06`, {numref}`lec-03-ex-07`, {numref}`lec-03-ex-08`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-04-ex-09
:class: [exercise]

Dla indeksowanej rodziny podzbiorów $\Set{A_t}_{t\in T}$ zbioru $\rr$ wyznacz:

```{math}
\begin{aligned}
\displaystyle
\bigcup_{t\in T} A_t \ ,\quad
\bigcap_{t\in T} A_t \ ,\quad
\bigcup_{t\in T} A'_t \ ,\quad
\bigcap_{t\in T} A'_t \ ,\quad
\bigcup_{t\in T} \rr_+ \setminus A_t \ ,\quad
\bigcap_{t\in T} \nn \setminus A_t \ ,
\end{aligned}
```

jeśli:

:::{container} columns-2-auto

1. $A_t = \left[-2 - \dfrac 1 t,\, \dfrac{\sin\tfrac \pi 2 t}{t} \right],\qquad T = \nn$
2. $A_t = \left[\dfrac {(-1)^t} t,\, 3 - \dfrac 1 t \right],\qquad T = \nn$
3. $A_t = \left(\dfrac{5\cdot(-1)^t} t,\, 1- \dfrac 4 {t^2}\right],\qquad T = \nn$
4. $A_t = \nn \setminus \Set{3t, 3t + \dfrac 6 t},\qquad T = \nn .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-03-ex-12`, {numref}`lec-03-ex-03`, {numref}`lec-03-ex-04`, {numref}`lec-03-ex-05`, {numref}`lec-03-ex-10`, {numref}`lec-03-ex-11`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-04-ex-10
:class: [exercise]

Naszkicuj

```{math}
\begin{aligned}
\bigcup_{t\in T} A_t \ , \
\bigcap_{t\in T} A_t
,
\end{aligned}
```

jeśli:

1. $A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : y\leq tx(x-2)},\qquad T = \nn_0$
2. $A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x > \dfrac 1 t \wedge y \geq -t},\qquad T = \nn$
3. $A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x \leq t \vee y < - \dfrac 1 t},\qquad T = (1,+\infty)$
4. $A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : y \geq \dfrac x t },\qquad T = \nn$
5. $A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : y < tx},\qquad T = (1, +\infty)$
6. $A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : y > \dfrac t x \wedge x \neq 0 },\qquad T = \nn$
7. $A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : y \leq \dfrac 1 {t x} \wedge x \neq 0 },\qquad T = (1,+\infty) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-03-ex-12`, {numref}`lec-03-ex-10`, {numref}`lec-03-ex-11`, {numref}`lec-03-ex-09`.
:::

::::