---
title: "Funkcje"
lecture_number: 5
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Funkcje

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-05-ex-01
:class: [exercise]

Wyznacz podane obrazy i przeciwobrazy zbiorów:

1. $f([1,4)), \ f((0,4)), \ f^{-1}(\Set{0,1}), \ f^{-1}(\rr_-), $

   dla $f:\rr\to\rr$, $\quad f(x) = x^2-4x+3$

2. $f((-1,3]),\ f^{-1}(\{-1,1,2\}),\ f^{-1}([-5,1)), $

   dla $f:(-3,4]\to\rr$, $\quad f(x) = \min \{|x|,2\}$

3. $f((0,\pi]\times\{2\pi\}), \ f((-2,2]\times(-2,2]),\ f^{-1}(\{0\}), $

   dla $f:\rr^2\to \rr$, $\quad f(x,y)=(y+2)\cdot \sin x $

4. $f([0,3) \times \Set{0}),\
   f^{-1}(\Set{1}),\
   f^{-1}((-\infty,1]), $

   dla $f: \rr\times\zz \to \rr, \quad f(x,y) = x^2+ y^2 - 2x + 2y + 2 .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-04-ex-01`, {numref}`lec-04-ex-02`, {numref}`lec-04-ex-03`, {numref}`lec-04-ex-04`, {numref}`lec-04-ex-05`, {numref}`lec-04-ex-06`, {numref}`lec-04-ex-07`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-05-ex-02
:class: [exercise]

Czy podana funkcja jest: injekcją, surjekcją, bijekcją? Podaj
dowód lub kontrprzykład:

:::{container} columns-2-auto

1. $f:\rr\setminus\{1\}\to\rr,\quad f(x) = \dfrac{2x+3}{x-1} $
2. $f:\rr_+\to\rr,\quad f(x) = x^2-2x-3 $
3. $f:\zz\to\zz,\quad f(x) = x^3-2x $
4. $f:\nn^2\to\nn,\quad f(n,m) = n^m $
5. $f:\rr\times\zz \to \rr,\quad f(x,n) = (x+1)\cos \frac {n\pi}{3} .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-04-ex-08`, {numref}`lec-04-ex-09`, {numref}`lec-04-ex-10`, {numref}`lec-04-ex-11`, {numref}`lec-04-ex-12`, {numref}`lec-04-ex-13`, {numref}`lec-04-ex-14`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-05-ex-03
:class: [exercise]

Określ zbiór wartości $R_f$
oraz znajdź funkcję odwrotną $f^{-1}: R_f \to D_f$, jeśli:

:::{container} columns-2-auto

1. $f: \left(\frac 1 3, +\infty\right) \to \rr,\quad \displaystyle f(x) = \ln(3x - 1) + 2 $
2. $f:\rr_+\to\rr,\quad f(x)= x^2+2x-1 .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-04-ex-16`, {numref}`lec-04-ex-17`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-05-ex-04
:class: [exercise]

Wyznacz podane obrazy i przeciwobrazy zbiorów:

1. $f(\Set{0,1,2,3}), \ f((2,+\infty)), \ f^{-1}(\Set{0,1}), \ f^{-1}((0,1)), $

   dla $f:\rr\to\rr$, $\quad f(x) = \left|x^2-5x+6 \right|$

2. $f(\{-2\}\times (2,7]), \ f((-3,0)\times\{2\}),\ f^{-1}(f(\{-3\}^2)), $

   dla $f:\rr^2\to \rr$, $\quad (x,y)\mapsto(x+3)(x+y+1)$

3. $f(\Set{-1,0}^2),\
   f(\Set{0} \times (-2,2]),\
   f^{-1}(\Set{4}),\
   f^{-1}([0,\infty)) $

   dla $f: \rr^2 \to \rr, \quad f(x,y) = (x - 3y + 3)^2$

4. $f(\Set{-1,0,1}^2),\
   f([-1,2) \times \Set{0}),\
   f^{-1}(\Set{1}),\
   f^{-1}((-\infty,1]) $

   dla $f: \rr\times\zz \to \rr, \quad f(x,y) = |2x + y|$

5. $f(\Set{0}\times \rr),\
   f(\Set{0} \times [-3,0)),\
   f^{-1}(\Set{4}),\
   f^{-1}([1,4)) $

   dla $f: \rr^2 \to \rr, \quad f(x,y) = x^2+ y^2 - 2x + 2y + 2$

6. $f(\{1\}\times (-2,1]),\ f^{-1}(\{-2,1,4\}), $

   dla $f:\nn\times\rr\to \rr$, $\quad f(x,y)=\max\{|x+y|,1\} .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-04-ex-01`, {numref}`lec-04-ex-02`, {numref}`lec-04-ex-03`, {numref}`lec-04-ex-04`, {numref}`lec-04-ex-05`, {numref}`lec-04-ex-06`, {numref}`lec-04-ex-07`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-05-ex-05
:class: [exercise]

Czy podana funkcja jest: injekcją, surjekcją, bijekcją? Podaj
dowód lub kontrprzykład:

:::{container} columns-2-auto

1. $f:\rr\setminus\Set{-\frac{3}{2}} \to \rr,\quad \displaystyle f(x) = \frac{3x - 2}{2x +3} $
2. $f:\rr\to\rr,\quad f(x)=\min\{x,x^2\} $
3. $f:\rr_+\to\rr,\quad x\mapsto 2x^2+4x-3 $
4. $f:\zz\to\zz,\quad x\mapsto x^3-3x $
5. $f:\zz\times\rr \to \rr,\quad (n,x) \mapsto (n+1)\cos \frac {x\pi}{3} .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-04-ex-08`, {numref}`lec-04-ex-09`, {numref}`lec-04-ex-10`, {numref}`lec-04-ex-11`, {numref}`lec-04-ex-12`, {numref}`lec-04-ex-13`, {numref}`lec-04-ex-14`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-05-ex-06
:class: [exercise]

Określ zbiór wartości $R_f$
oraz znajdź funkcję odwrotną $f^{-1}: R_f \to D_f$, jeśli:

:::{container} columns-2-auto

1. $f:\rr_+\to\rr,\quad x\mapsto 2x^2+4x-3 $
2. $f: \rr\setminus\Set{-\frac{3}{2}} \to \rr,\quad \displaystyle f(x) = \frac{3x - 2}{2x +3} $
3. $f: \left(-\frac \pi 2, \frac \pi 2 \right) \to \rr,\quad \displaystyle f(x) = 2\tg(x - \pi) -3 $
4. $f: \left[-\frac \pi 6, \frac \pi 6 \right] \to \rr,\quad \displaystyle f(x) = \ln(2 + \sin 3x) .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-04-ex-16`, {numref}`lec-04-ex-17`.
:::

::::