---
title: "Liczby zespolone I"
lecture_number: 7
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Liczby zespolone I

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-01
:class: [exercise]

Niech $z_1 = 1-2j$, $z_2 = 2+j .$
Oblicz (na początku upraszczając podane wyrażenie):

1. $\displaystyle z_1^3+jz_2,\quad \overline{\overline{\left(\overline{z_1}^3 + \overline{j\cdot z_2}\right)}\cdot z_1^{-1}} $

2. $ \displaystyle \left(\RealPart\left(z_1^{33} \cdot z_2^{-32}\right)\right)^2 + \left(\ImagPart\left(\overline{z_1^{33} \cdot z_2^{-32}}\right)\right)^2, \quad \left|\frac {z_1^{2018}}{z_2^{2017}} \right|.$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-05-ex-01`, {numref}`lec-05-ex-03`, {numref}`lec-05-ex-04`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-02
:class: [exercise]

Korzystając z zależności $|z|^2 = z\cdot \overline{z}$ wykaż, że dla każdego $z_1, z_2 \in \cc$ zachodzi:

$$
\begin{aligned}
|z_1 + z_2|^2 & = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2 \RealPart(z_1\overline{z_2}) \\
|z_1 - z_2|^2 & = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2 \RealPart(z_1\overline{z_2}) \\
|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 & = 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2.
\end{aligned}
$$

Ostatnia z nich nosi nazwę tożsamości równoległoboku.

::::

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-03
:class: [exercise]

Zilustruj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych $z\in\cc$
spełniających warunek:

:::{container} columns-2-auto

1. $|z+j|^2\leq(\overline{z}-z)j+3$
2. $|(3j+4){z} -10-20j| > 5$
3. $ \left|\dfrac{z}{\overline{z}-2+2j}\right|\geq 1$
4. $|2z-1|-|2jz+4|=0$
5. $|z-j|+|z+j|=2 .$

:::

Uwaga! Jeśli tylko to możliwe, skorzystaj z interpretacji geometrycznej
podanej na wykładzie, nie rozwiązując równań po podstawieniu $z=x + jy .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-05-ex-02`, {numref}`lec-05-ex-03`, {numref}`lec-05-ex-04`, {numref}`lec-05-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-04
:class: [exercise]

Znajdź argument główny oraz postać trygonometryczną i wykładniczą liczb zespolonych
(w miarę potrzeby wykorzystując funkcje $\arcsin$ lub $\arctan$):

:::{container} columns-2-auto

1. $-2+2\sqrt{3}j, \, 3j-4$
2. $1+2j, \, 2-2j$
3. $\dfrac{j-2}{j+3}$
4. $\Paren{\sqrt{3}-j}\Paren{1+j} .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-06-ex-01`, {numref}`lec-06-ex-02`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-05
:class: [exercise]

Niech $z_1 = 3+2j$, $z_2 = 2-5j .$
Oblicz (na początku upraszczając podane wyrażenie):

$$
\begin{aligned}
z_1^2+jz_2, &  &
\RealPart(z_1 \cdot z_2),   &  &
|2\,\overline{z}_1 +\ImagPart z_2|, &  &
\dfrac{\overline{z}_2 -j|z_1+2j| }{z_1 }.
\end{aligned}
$$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-05-ex-01`, {numref}`lec-05-ex-03`, {numref}`lec-05-ex-04`.
:::

::::

``` {raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
z1 = 3 + 2*I
z2 = 2 - 5*I

show("z1^2 + j*z2 =", z1^2 + I*z2)
show("Re(z1*z2) =", real(z1 * z2))
show("|2*conj(z1) + Im(z2)| =", abs(2*conjugate(z1) + imag(z2)))
show("(conj(z2) - j*|z1 + 2j|)/z1 =", (conjugate(z2) - I*abs(z1 + 2*I)) / z1)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-06
:class: [exercise]

Wykaż, że podane równości zachodzą dla dowolnych $z,z_1, z_2\in\cc$:

:::{container} columns-2-auto

1. $\RealPart (z_1+z_2) = \RealPart z_1 + \RealPart z_2$
2. $\overline{z_1\cdot z_2} = \overline{z}_1\cdot\overline{z}_2$
3. $\ImagPart (jz) = \RealPart z$
4. $z- \overline{z} = 2j \, \ImagPart z .$

:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-07
:class: [exercise]

Podając dowód lub kontrprzykład wywnioskuj,
które z podanych równości zachodzą dla dowolnych $z,z_1, z_2\in\cc$:

$$
\begin{aligned}
z^2 + \overline{z^2}  & = 2 \, \RealPart \overline{z}^2,  &
\RealPart (z_1-z_2)   & = \RealPart z_1 - \ImagPart z_2, \\
\ImagPart \left(|z_1|^4\cdot z_2^3\right) & = \ImagPart |z_1|^4\cdot \ImagPart z_2^3, &
|z_1 + z_2|^2 & = |z_1|^2 + |z_2|^2\, ?
\end{aligned}
$$

::::

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-08
:class: [exercise]

Podając dowód lub kontrprzykład wywnioskuj,
które z podanych równości zachodzą dla dowolnych $z,z_1, z_2\in\cc$:

$$
\begin{aligned}
z- \overline{z} & = 2 \, \ImagPart z, &
\ImagPart (z_1+z_2) & = \ImagPart z_1 + \ImagPart z_2,   \\
\RealPart \left(z_1^7\cdot z_2^5\right) & = \RealPart z_1^7\cdot \RealPart z_2^5, &
|z_1+ z_2|  & = |z_1|+|z_2|\, ?
\end{aligned}
$$

::::

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-09
:class: [exercise]

Zilustruj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych spełniających podany warunek:

:::{container} columns-2-auto

1. $|z|^2+z=7-j$
2. $1\leq |z+2-j| <3$
3. $ \left|\dfrac{z-j}{z+2+j}\right|\geq 1$
4. $\left|z+\frac{7-j}{2-j}\right| \geq | \overline{z}+1+j|$
5. $|z-j|+|z+j|<4 .$

:::

Uwaga! Jeśli tylko to możliwe, skorzystaj z interpretacji geometrycznej
podanej na wykładzie, nie rozwiązując równań po podstawieniu $z=x + jy .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-05-ex-02`, {numref}`lec-05-ex-03`, {numref}`lec-05-ex-04`, {numref}`lec-05-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-10
:class: [exercise]

Znajdź argument główny oraz postać trygonometryczną i wykładniczą liczb zespolonych
(w miarę potrzeby wykorzystując funkcje $\arcsin$ lub $\arctan$):

:::{container} columns-2-auto

1. $-1-\sqrt{3}j, \quad 8+15j$
2. $-12-5j, \quad 1+\sqrt{3}j$
3. $\dfrac{1}{3+4j}$
4. $\Paren{2-2j}\Paren{-1+\sqrt{3}j} .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-06-ex-01`, {numref}`lec-06-ex-02`.
:::

::::

``` {raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 2.
z = -12 - 5*I
r = abs(z)
a = arg(z)

show("LICZBA NUMER 1:", z)
show("moduł:", r)
show("argument:", a)
show("trygonometryczna:", LatexExpr(r"%s\left(\cos\left(%s\right) + i\sin\left(%s\right)\right)" % (latex(r), latex(a), latex(a))))
show("wykładnicza:", LatexExpr(r"%s \, e^{i \cdot %s}" % (latex(r), latex(a))))

z = 1 + sqrt(3)*I
r = abs(z).simplify_full()
a = arg(z).simplify_full()

show("LICZBA NR 2:", z)
show("moduł:", r)
show("argument:", a)
show("trygonometryczna:", LatexExpr(r"%s\left(\cos\left(%s\right) + i\sin\left(%s\right)\right)" % (latex(r), latex(a), latex(a))))
show("wykładnicza:", LatexExpr(r"%s \, e^{i \cdot %s}" % (latex(r), latex(a))))
</script>
</div>
```