---
title: "Wielomiany"
lecture_number: 9
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Wielomiany

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-01
:class: [exercise]

Wyznacz pierwiastki wielomianu $w$ i zaznacz je na płaszczyźnie
zespolonej.

Określ krotności pierwiastków.

Ile jest różnych pierwiastków rzeczywistych?

Ile -- zespolonych?

:::{container} columns-2-auto

1. $w(z) = z^2-z - \dfrac{2j-14}{j+3}$
2. $w(z) = z^2 + (4 - 3 j)z + (1 - 7 j)$
3. $w(z) = (z^4-16)(z^2 - 4j+3)$
4. $w(z) = z^{19}+z^{14}-z^{9}-z^4 .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-02`, {numref}`lec-07-ex-03`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-02
:class: [exercise]

Liczba $z_0 = 1+2j$ jest jednym z pierwiastków wielomianu $w(z) = z^4 +2z^3+2z^2+10z+25 .$

Wyznacz jego pozostałe pierwiastki i podaj rozkład na czynniki nierozkładalne
nad $\rr$ i nad $\cc .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-09`, {numref}`lec-07-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-03
:class: [exercise]

Rozłóż wielomian $w$
na czynniki nierozkładalne nad $\cc$ i nad $\rr$
(jeśli wspołczynniki $w$ są rzeczywiste), dla:

:::{container} columns-2-auto

1. $w(z)= z^4+6z^2+25$
2. $w(z) = z^4 - (3+5j)^4 .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-04`, {numref}`lec-07-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-04
:class: [exercise]

Podaj ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste nad $\rr$
i nad $\cc$ (bez wyznaczania wartości współczynników):

:::{container} columns-3-auto

1. $\dfrac{2x^2-5}{(x-3)^3 (x^2 + 4)^2}$
2. $\dfrac{3x^2-5}{x^4 - 2x^3 + 2x -1}$
3. $\dfrac{x+1}{(x^4 + 4)^2} .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-07`, {numref}`lec-07-ex-08`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-05
:class: [exercise]

Wyznacz rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste nad $\rr$:

:::{container} columns-3-auto

1. $\dfrac{4x-10}{(x-1)(x-2)(x-3)}$
2. $\dfrac{3 x^2 + 5 x + 4}{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}$
3. $\dfrac{2x^3 +5x^2 +3x +1}{x^2(x^2+1)^2} .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-08`, {numref}`lec-07-ex-06`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-06
:class: [exercise]

Wyznacz pierwiastki wielomianu $w$ i zaznacz je na płaszczyźnie
zespolonej.

Określ krotności pierwiastków.

Ile jest różnych pierwiastków rzeczywistych?

Ile -- zespolonych?

:::{container} columns-2-auto

1. $w(z) = z^2+(1+j)z+j$
2. $w(z) = z^2 + (4 - 3 j) z + (1 - 5 j)$
3. $w(z) = (1+j\sqrt{3})z^4+8$
4. $w(z) = z^6 + (1 - 2 j)z^3 + 2 j - 2$
5. $w(z) = (z^2 - j z - 3 j + 1)((z - j)^3 + j)$
6. $w(z) = z^{13} +3z^{10} +3z^7+z^4$
7. $w(z) = z^{13} - jz .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-02`, {numref}`lec-07-ex-03`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 4. — pierwiastki wielomianu (z krotnościami)
var('z')
w = z^6 + (1 - 2*I)*z^3 + 2*I - 2
pierwiastki = w.roots(z)
show("Wielomian w(z) = ", w)
show("Pierwiastki:")
for p, _ in pierwiastki:
    show(p.simplify_full())
show("Liczba różnych pierwiastków rzeczywistych:", sum(1 for r, m in pierwiastki if bool(r.imag() == 0)))
show("Liczba różnych pierwiastków:", len(pierwiastki))
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-07
:class: [exercise]

Liczba $z_0 \in \cc$ jest jednym z pierwiastków wielomianu $w .$

Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

1. $w(z) = z^4 - 4 z^3 + 24 z^2 - 40 z + 100, \quad z_0 = 1-3j$
2. $w(z) = z^5 - 5 z^4 + 28 z^3 - 64 z^2 + 140 z - 100, \quad z_0 = 1$
3. $w(z) = z^4 - 2 z^3 - 18 z^2 - 2 z + 221, \quad z_0 = -3 + 2j .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-09`, {numref}`lec-07-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-08
:class: [exercise]

Rozłóż
wszystkie wielomiany z poprzednich zadań
na czynniki nierozkladalne nad $\cc$;
i nad $\rr$ jeśli wspołczynniki wielomianu są rzeczywiste.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-04`, {numref}`lec-07-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-09
:class: [exercise]

Wyznacz rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste nad $\rr$:

:::{container} columns-2-auto

1. $\dfrac{x+5}{(x+3)(x-9)}$
2. $\dfrac{8}{x^2 - 4x +2}$
3. $\dfrac{x^3 + 7 x^2 + 4 x + 20}{x^4-16}$
4. $\dfrac{x^2 -3x +6}{x^4 -5x^2 +4}$
5. $\dfrac{3 x^2 - 8 x + 3}{x^3 - 6 x^2 + 12 x - 8}$
6. $\dfrac{2x^3 +6x^2 +3x}{(x+1)^4} .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-08`, {numref}`lec-07-ex-06`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 4. — rozkład na ułamki proste nad R
var('x')
f = (x^2 -3*x +6)/(x^4 -5*x^2 +4)
show("Funkcja wymierna f(x) = ", f)
show("Rozkład nad R: f(x) = ", f.partial_fraction(x))
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-10
:class: [exercise]

Podaj ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste nad $\cc$
(bez wyznaczania wartości współczynników):

:::{container} columns-3-auto

1. $\dfrac{4z}{z^2-2jz +3}$
2. $\dfrac{z^2+3}{z^2(z^2+9)(z+3j)^2}$
3. $\dfrac{z+1}{(z^4 + 4)^2} .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-07`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-11
:class: [exercise]

Wyznacz rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste nad $\cc .$

:::{container} columns-2-auto

1. $\dfrac{4z^2+1}{z^4-1}$
2. $\dfrac{z^{2015}}{z^{2016}+1} .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-07`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1. — rozkład na ułamki proste nad C
var('z')
f = (4*z^2 + 1)/(z^4 - 1)
R = PolynomialRing(QQ[I], 'z')
zz = R.gen()
g = R(f.numerator()) / R(f.denominator())
reszta, wyrazy = g.partial_fraction_decomposition()
show("Funkcja wymierna f(z) =", f)
show("Rozkład nad C: f(x) = ",
     LatexExpr(" + ".join(r"\left(" + latex(SR(w)) + r"\right)" for w in wyrazy)))
</script>
</div>
```

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1. — rozkład na ułamki proste nad C
from IPython.display import Math
var('z')
f = (4*z^2 + 1)/(z^4 - 1)
num = f.numerator()
den = f.denominator()
der = diff(den, z)
pierwiastki = [s.rhs() for s in solve(den == 0, z)]
wyrazy = [((num/der).subs(z = r))/(z - r) for r in pierwiastki]
show("Funkcja wymierna f(z) =", f)
show("Rozkład nad C: f(x) = ", LatexExpr(" + ".join(r"\left(" + latex(w) + r"\right)" for w in wyrazy)))
</script>
</div>
```