---
title: "Układy równań liniowych"
lecture_number: 12
has_solutions: true
has_exercises: true
file_format: mystnb
kernelspec:
  name: sagemath
  display_name: SageMath
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Układy równań liniowych

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-01
:class: [exercise]

Rozwiąż układ równań $\left\{\begin{array}{r}
 x+2y+3z = 1 \\
 2y+z=-4 \\
 x+y+z=0
\end{array} \right.$ metodą Cramera.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-02
:class: [exercise]

Rozwiąż układ równań liniowych
oraz podaj przykład trzech różnych rozwiązań dla:

:::{container} columns-2-auto

1. $\left\{
   \begin{array}{r}
   x+ 2y-3z = 0 \\
   \pi x+ 2\pi y-3\pi z = 0 \\
   -x- 2y+3z = 0
   \end{array}
   \right.$

2. $\left\{
   \begin{array}{r}
   2 x_1-6 x_2+3 x_3+2 x_4 = 0 \\
   x_1-3 x_2+2 x_3+3 x_4 = 0   \\
   -x_1+3 x_2+x_3+x_4 = 0
   \end{array}
   \right.$

3. $\left\{
   \begin{array}{r}
   x_1+x_2+x_3+5 x_4 = 0  \\
   2 x_1+2 x_2+ x_3+8 x_4 = 0 \\
   -x_1-x_2+x_3-x_4 = 0
   \end{array}
   \right. .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-02`, {numref}`lec-10-ex-03`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-03
:class: [exercise]

Rozwiąż niejednorodny układ równań liniowych
oraz jeśli to możliwe podaj przykład trzech różnych rozwiązań dla:

:::{container} columns-2-auto

1. $\left\{\begin{array}{r}
   x-2y+z = -3 \\
   -y+z=-2 \\
   2x-3y+z=-4
   \end{array} \right.$

2. $\left\{\begin{array}{r}
   3 x_1+12 x_2-3 x_3+x_4 = 1\\
   3 x_1+12 x_2-3 x_3-2 x_4 = -2 \\
   x_1+4 x_2-x_3+2 x_4 = -1
   \end{array} \right. .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-04`, {numref}`lec-10-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-04
:class: [exercise]

Określ liczbę rozwiązań układu równań w zależności od
parametru $a\in\rr$:

:::{container} columns-2-auto

1. $ \left\{\begin{array}{r}
    a x+(a+2)y+2(a-1)z=0 \\
    x+a y +(3-a)z = a +1
   \end{array}\right.$

2. $\left\{\begin{array}{r}
   (a-1)
   x +(a+3)y  = 4 \\
   x+ay=2a \\
   2x+(3a+1)y = 4a
   \end{array}\right.$

3. $\left\{\begin{array}{r}
   x +(a-1)y +az = 2a \\
   2x+y=1 \\
   ax-y+(a+2)z = 4+a
   \end{array}\right. .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-06`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-05
:class: [exercise] wzór Picka

Do wyznaczania pola wielokąta na płaszczyźnie o wierzchołkach w punktach kratowych
(o współrzędnych całkowitych) można stosować wzór:

```{math}
S = \alpha W+\beta B+\gamma,
```

gdzie $W$ oznacza liczbę punktów kratowych wewnątrz wielokąta,
$B$ liczbę punktów kratowych na brzegu (wierzchołki i na bokach),
natomiast $\alpha,\beta,\gamma$ są rzeczywistymi współczynnikami. Znajdź te współczynniki.
::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-06
:class: [exercise]

Rozwiąż jednorodny układ równań liniowych
oraz podaj przykład trzech różnych rozwiązań dla:

:::{container} columns-2-auto

1. $\left\{
   \begin{array}{r}
   -x_1-x_2+x_3-x_4+3 x_5 = 0  \\
   x_1+x_2+3 x_3+x_4+x_5 = 0   \\
   2 x_1+2 x_2+5 x_3+2 x_4+x_5 = 0 \\
   -x_1-x_2-2 x_3-x_4 = 0
   \end{array}
   \right.$

2. $\left\{
   \begin{array}{r}
   2 x_1-4 x_2+4 x_3+3 x_4+2 x_5 = 0 \\
   x_1-2 x_2+2 x_3+2 x_4-2 x_5 = 0   \\
   -x_1+2 x_2-2 x_3-x_4+x_5 = 0  \\
   -x_1+2 x_2-2 x_3+2 x_4-3 x_5 = 0
   \end{array}
   \right. .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-02`, {numref}`lec-10-ex-03`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1. — układ jednorodny
A = matrix(QQ, [[-1, -1, 1, -1, 3], [ 1, 1, 3, 1, 1], [ 2, 2, 5, 2, 1], [-1, -1, -2, -1, 0]])
# --- funkcje pomocnicze ---
def DisplayAnswer(x):
    latex.matrix_column_alignment('l')
    latex.matrix_delimiters(left=r'\{ ', right='. ')
    return latex(matrix(x).transpose())

def LinearEqsAnswer(AB, label="x", latex_label=None):
    c = AB.ncols()-1
    d = AB.nrows()
    A = AB[:,0:c]
    b = AB[:,-1]
    if A.rank() == AB.rank():
        x_vars = [var('x'+str(i+1), latex_name=(latex_label+'_'+str(i+1)) if latex_label else None) for i in range(c)]
        X = matrix(SR, c, 1, x_vars)
        OneSolution = matrix(SR, A.solve_right(b))
        Kernel = A.right_kernel()
        M = Kernel.basis_matrix().echelon_form().transpose()
        dd = Kernel.dimension()
        T = [var('t'+str(i+1)) for i in range(dd)]
        Solution = [X[i,0] == (OneSolution + M*matrix(SR, dd, 1, T))[i,0] for i in range(c)]
        return Solution
    else:
        return [0]
# --------------------------

show("Rząd macierzy:", A.rank())
show("Baza przestrzeni rozwiązań (jądra A):", A.right_kernel().basis())
show("Ogólne rozwiązanie:", DisplayAnswer(LinearEqsAnswer(A.augment(matrix(QQ, 4, 1)))))
# trzy różne rozwiązania jako kombinacje liniowe bazy jądra
b = A.right_kernel().basis()
v1 = b[0]
v2 = 2*b[0] + 3*b[1]
v3 = -b[0] + b[1]
show("Rozwiązanie 1:", v1)
show("Rozwiązanie 2:", v2)
show("Rozwiązanie 3:", v3)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-07
:class: [exercise]

Rozwiąż niejednorodny układ równań liniowych
oraz jeśli to możliwe podaj przykład trzech różnych rozwiązań dla:

:::{container} columns-2-auto

1. $\left\{\begin{array}{r}
   x_1+3x_2+x_3 +4x_4+2x_5=1\\
   -x_1-3x_2 -x_3- 8x_4 +6x_5=3 \\
   2x_1+ 6x_2+3x_3+7x_4+8x_5=2
   \end{array} \right.$

2. $\left\{\begin{array}{r}
   x-y+z = 1 \\
   x+y-z=1   \\
   x+y+z=3   \\
   x+2y-z=2
   \end{array} \right. .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-04`, {numref}`lec-10-ex-05`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1. — układ niejednorodny
A = matrix(QQ, [[ 1, 3, 1, 4, 2], [-1, -3,-1,-8, 6], [ 2, 6, 3, 7, 8]])
b = vector(QQ, [1, 3, 2])
# --- funkcje pomocnicze ---
def DisplayAnswer(x):
    latex.matrix_column_alignment('l')
    latex.matrix_delimiters(left=r'\{ ', right='. ')
    return latex(matrix(x).transpose())

def LinearEqsAnswer(AB, label="x", latex_label=None):
    c = AB.ncols()-1
    d = AB.nrows()
    A = AB[:,0:c]
    b = AB[:,-1]
    if A.rank() == AB.rank():
        x_vars = [var('x'+str(i+1), latex_name=(latex_label+'_'+str(i+1)) if latex_label else None) for i in range(c)]
        X = matrix(SR, c, 1, x_vars)
        OneSolution = matrix(SR, A.solve_right(b))
        Kernel = A.right_kernel()
        M = Kernel.basis_matrix().echelon_form().transpose()
        dd = Kernel.dimension()
        T = [var('t'+str(i+1)) for i in range(dd)]
        Solution = [X[i,0] == (OneSolution + M*matrix(SR, dd, 1, T))[i,0] for i in range(c)]
        return Solution
    else:
        return [0]
# --------------------------

show("Wektor wyrazów wolnych b:", b)
show("Rząd A:", A.rank())
show("Rząd macierzy rozszerzonej [A|B]:", A.augment(b.column()).rank())
# jedno rozwiązanie szczególne (metoda ogólna)
p = A.solve_right(b)
show("Rozwiązanie szczególne p (A*p = b):", p)
# przestrzeń rozwiązań jednorodnych
ker = A.right_kernel().basis()
show("Baza jądra macierzy A:", ker)
show("Ogólne rozwiązanie:", DisplayAnswer(LinearEqsAnswer(A.augment(b.column()))))
# trzy różne rozwiązania niejednorodne
v1 = p
v2 = p + ker[0]
v3 = p - 2*ker[0] + ker[1]
show("Rozwiązanie 1:", v1)
show("Rozwiązanie 2:", v2)
show("Rozwiązanie 3:", v3)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-08
:class: [exercise]

Określ liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru $a\in\rr$:

:::{container} columns-2-auto

1. $\left\{\begin{array}{r}
   ay+6z-at=a+2 \\
   (3-a)x+(a-2)y+(a-1)z-t=1 \\
   -4x+2y+2t=a-3
   \end{array}\right.$

2. $\left\{\begin{array}{r}
   (a - 1)
   x_4 + 2 x_3 - a x_2 + x_1 + a - 5 = 0 \\
   (a - 1) x_4 + 2 x_3 + x_1 - a - 5 = 0 \\
   (5 - 2 a) x_4 + 2 x_3 + a x_2 + x_1 + 1 = 0
   \end{array}\right. .$

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-06`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-09
:class: [exercise]

Dla jakich wartości parametru $a\in\rr$ układ równań

$$
\left\{\begin{array}{r}
   x+y = az+2   \\
   y+z = ax - a \\
   z+x = ay
\end{array}\right.
$$

ma rozwiązanie, w którym $x>1$?

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-06`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-10
:class: [exercise]

Rozwiąż układ

$$
\left\{\begin{array}{r}
x+ay-az = a \\
-2x-2ay+2az=-a-1
\end{array}\right.
$$

w zależności od parametru $a\in\rr .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-06`.
:::

::::