---
title: "Przestrzenie liniowe I"
lecture_number: 14
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Przestrzenie liniowe I

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-14-ex-01
:class: [exercise]

Czy $W$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej $V$ nad $\rr$?

1. $V = \rr^3, \quad W = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : (x+y)^2=z^2}$
2. $V = \rr^3, \quad W = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : (x+y)^2+z^2=0} .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-12-ex-01`, {numref}`lec-12-ex-02`, {numref}`lec-12-ex-03`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-14-ex-02
:class: [exercise]

Czy $v\in V$ jest kombinacją liniową wektorów układu $\uu A$?

Czy $v \in \Lin \uu A$?

1. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,-2,0), (2,-3,-1)), \quad v = (-2,2,2)$
2. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,2,1), (1,3,-1),(0,-1,2)), \quad v = (-11,4,1) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-12-ex-04`, {numref}`lec-12-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-14-ex-03
:class: [exercise]

Sprawdź z definicji, czy układ wektorów $\uu{A}$ w przestrzeni $V$ nad $\rr$ jest
liniowo niezależny.

Czy jest to baza przestrzeni $V$?

1. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,2,1), (1,3,-1))$
2. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((3,-2,0), (1,0,1), (2,-4,-4))$
3. $V=\rr^4, \quad \uu{A} = ((3,-2,0, 0), (1,0,1, 0), (2,1,1, 0), (1,2,3,4)) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-01`, {numref}`lec-13-ex-02`, {numref}`lec-13-ex-07`, {numref}`lec-13-ex-08`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-14-ex-04
:class: [exercise]

Wyznacz wymiar i bazę podprzestrzeni liniowych $V$ nad $\rr .$

1. $V = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : 2x+y-3z=0} \subseteq \rr^3 $
2. $V = \Set{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\rr^4 : x_1+x_2-x_4=x_2-2x_3=0} \subseteq \rr^4 $
3. $V = \ker
\Macierz{
4 & 3 & 2 & 1 \\
-1 & -2 & -3 & -4
} \subseteq \MSet{4}{1}{\rr} .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-03`, {numref}`lec-13-ex-04`, {numref}`lec-13-ex-08`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-14-ex-05
:class: [exercise]

Czy $W$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej $V$ nad $\rr$?

1. $V = \rr^2, \quad W = \{(x,y)\in \rr^2 : xy\leq 0 \}$
2. $V = \rr^3, \quad W = \{(x,y,z)\in \rr^3 : \sqrt{2x-z} = 0 \}$
3. $V = \rr^3, \quad W = \{(x,y,z)\in \rr^3 : \sqrt{2x-z} = \sqrt{y} \}$
4. $V = \rr^3, \quad W = \{(x,y,z)\in \rr^3 : (x+3z)^2 = 4 \}$
5. $V = \cc, \quad W = \{z\in\cc: \ImagPart z=3\} .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-12-ex-01`, {numref}`lec-12-ex-02`, {numref}`lec-12-ex-03`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-14-ex-06
:class: [exercise]

Czy $v\in V$ jest kombinacją liniową wektorów układu $\uu A$?

Czy $v \in \Lin \uu A$?

1. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,2,2), (-3,2,-1)), \quad v = (0,8,5)$
2. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((2,0,-1), (0,-1,-1), (2,-1,-2)), \quad v = (4,-12,2)$
3. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,1,-1), (0,-3,-4), (2,-1,-6)), \quad v = (3,-3,-11)$
4. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,0,-1), (0,-1,-1), (1,0,2), (1,1,0)), \quad v = (4,-2,2) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-12-ex-04`, {numref}`lec-12-ex-05`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
A = matrix(QQ, [[1, 2, 2], [-3, 2, -1]]).transpose() # kolumny to wektory układu A
v = vector(QQ, [0, 8, 5])
show("Macierz współrzędnych układu A:", A)
show("Wektor v:", v)
try:
    wsp = A.solve_right(v)
    show("v należy do Lin A:", True)
    show("Współrzędne v w bazie A:", wsp)
except ValueError:
    show("v należy do Lin A:", False)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-14-ex-07
:class: [exercise]

Sprawdź z definicji, czy układ wektorów $\uu{A}$ w przestrzeni $V$ nad $\kk$ jest:

- liniowo niezależny nad $\kk$
- bazą przestrzeni $V$ nad $\kk$?

1. $V=\cc, \quad \kk = \cc, \quad \uu{A} = (1-2j, 3+j)$
2. $V=\cc, \quad \kk = \rr, \quad \uu{A} = (1-2j, 3+j)$
3. $V=\rr^3, \quad \kk = \rr, \quad \uu{A} = ((1,2,1), (1,3,-1),(0,-1,2))$
4. $V=\rr^4, \quad \kk = \rr, \quad \uu{A} = ((1,0,-2,1), (-1,0,3,-1), (5,0,-1,2), (1,-1,1,0)) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-01`, {numref}`lec-13-ex-02`, {numref}`lec-13-ex-07`, {numref}`lec-13-ex-08`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 4.
A = matrix(QQ, [[1,0,-2,1], [-1,0,3,-1], [5,0,-1,2], [1,-1,1,0]]).transpose() # kolumny to wektory układu A
show("Macierz współrzędnych układu A:", A)
show("Rząd macierzy A:", A.rank())
show("Liniowo niezależny nad R:", A.rank() == A.ncols())
show("Baza przestrzeni R^4:", A.rank() == 4)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-14-ex-08
:class: [exercise]

Wyznacz wymiar i bazę podprzestrzeni liniowych $V$ nad $\rr .$

1. $V = \Set{(x,y,z,t)\in \rr^3 : 4x+5y+7z-4t=0} \subseteq \rr^4 $
2. $V = \Set{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\rr^4 : 2 x_1 - x_2 + 3 x_4 = -x_2 + x_3 -x_4 = 4x_1 -3x_2 + x_3 +5x_4  =0} \subseteq \rr^4 $

3. $V = \ker
   \Macierz{
   -1 & 1 & -2 & 2 & -3 \\
   1 & -4 & 5 & -8 & 7 \\
   1 & -2 & 3 & -4 & 5
   } \subseteq \MSet{5}{1}{\rr}$
4. $V = \ker
   \Macierz{
   -1 & 1 & -2 & 2 & -3 \\
   1 & -4 & 5 & -8 & 7 \\
   1 & -2 & 3 & -4 & 5
   }^T \subseteq \MSet{3}{1}{\rr}$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-03`, {numref}`lec-13-ex-04`, {numref}`lec-13-ex-08`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1 (układ równań).
# 4x + 5y + 7z - 4t = 0  w R^4
M = matrix(QQ, [[4, 5, 7, -4]])
V = M.right_kernel()
show("Macierz współczynników:", M)
show("Wymiar V:", V.dimension())
show("Baza V:", V.basis())
</script>
</div>
```

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 3 (jądro macierzy).
# ker [ -1  1 -2  2 -3 ]
#     [  1 -4  5 -8  7 ]
#     [  1 -2  3 -4  5 ]
M = matrix(QQ, [[-1, 1, -2, 2, -3], [1, -4, 5, -8, 7], [1, -2, 3, -4, 5]])
V = M.right_kernel()
show("Macierz:", M)
show("Rząd macierzy:", M.rank())
show("Wymiar jądra V:", V.dimension())
show("Baza V:", V.basis())
</script>
</div>
```