---
title: "Przestrzenie liniowe II"
lecture_number: 15
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Przestrzenie liniowe II

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-01
:class: [exercise]

Wyznacz współrzędne wektora $v\in V$ w bazie $\uu B$ i
zapisz macierz $\MU B v$, jeśli:

1. $V=\rr^3, \quad \uu{B} = ((1,1,0), (-1,1,0), (0,0,3)), \quad v = (0,2,-2)$
2. $V = \Lin \uu B, \quad  \uu B = ((1,3,0), (0,-1,2)), \quad v_2 = (3,6,6) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-02
:class: [exercise]

Korzystając z macierzy $\MUSt{\St[n]}{\uu A}$ sprawdź
czy układ $\uu{A}$ w przestrzeni $V$ nad $\rr$ jest:

- liniowo niezależny
- bazą przestrzeni $V$?

1. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((2,1,1), (3,0,1), (0,3,1) )$
2. $V=\rr^3, \quad \uu{A} =((0,1,3), (2,3,-1), (1,0,-2))$
3. $V=\rr^4, \quad \uu{A} =((0,2,0,4), (1,3,0,1), (1,-1,0,0), (1,0,1,1)) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-06`, {numref}`lec-13-ex-07`, {numref}`lec-13-ex-08`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-03
:class: [exercise]

Wyznacz wymiar i bazę podprzestrzeni liniowych $V$ nad $\rr .$

1. $V = \Lin((1,0,-1), (-\pi,0,\pi)) \subseteq \rr^3$
2. $V = \Lin((1,0,2),(2,1,1),(3,2,0), (-1,3,-11),(2,-1,7)) \subseteq \rr^3$
3. $V = \Lin((2,0,0,-1), (1,1,0,0), (0,-1,0,-1), (2,-1,0,-2)) \subseteq \rr^4  .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-08`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-04
:class: [exercise]

W przestrzeni liniowej $\rr^2$,
niech

$$
\uu{A}=((5,-3),(7,-5)), \quad
\uu{B}= \St[2], \quad
\uu C = ((1,1), (-2,2), (1,5)).
$$

- Wyznacz macierz $\MU{B}{\uu A} .$
- Wykaż, że układ $\uu{A}$ jest bazą przestrzeni $\rr^2 .$
- Jeśli to możliwe, wyznacz macierz $\MU{A}{\uu B} .$
- Korzystając z tej macierzy, podaj współrzędne wektorów układu $\uu C$ w bazie $\uu{A} .$
- Zapisz macierz $\MU{A}{\uu C} .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-09`, {numref}`lec-13-ex-10`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-05
:class: [exercise]

Wyznacz współrzędne wektora $v\in V$ w bazie $\uu B$
i zapisz macierz $\MU B v,$ jeśli:

1. $V=\rr^2, \quad \uu{B} = ((1,-5),(5,2)), \quad v = (-2, -17)$
2. $V=\rr^3, \quad \uu{B} = ((1,2,-1), (1,0,1), (1,2,0)), \quad v = (0,-4,2)$
3. $V=\rr^3, \quad \uu{B} = ((3,1,0),(2,-1,-1), (-1,0,-1)), \quad v = (4,5,1)$
4. $V=\rr^3, \quad \uu{B} = ((1,1,0), (2,-3,-1), (-12,0,-1)), \quad v = (-5,-3,-3)$
5. $V=\Lin \uu B, \quad \uu{B} = ((0,1,-1),(4,5,0)), \quad v = (-4,1,-6)$
6. $V=\Lin \uu B, \quad \uu{B} = ((0,1,0,-1),(1,2,-1,0)), \quad v = (2,5,-2,-1) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-05`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
B = matrix(QQ, [[1, -5], [5, 2]]).transpose() # kolumny to wektory bazy B
v = vector(QQ, [-2, -17])
wsp = B.solve_right(v) # współrzędne wektora v w bazie B
M = matrix.column(wsp)
show("Macierz współrzędnych układu B:", B)
show("Wektor v:", v)
show("Współrzędne v w bazie B:", wsp)
show("Macierz współrzędnych:", M)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-06
:class: [exercise]

Korzystając z macierzy $\MUSt{\St[n]}{\uu A}$ sprawdź
czy układ $\uu{A}$ w przestrzeni $V$ nad $\rr$ jest:

- liniowo niezależny
- bazą przestrzeni $V$?

1. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,2,2), (-3,2,-1))$
2. $V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((2,0,-1), (0,-1,-1), (2,-1,-2))$
3. $V=\rr^4, \quad \uu{A} = ((1,0,1,-1), (0,0,-3,-4), (2,0,-1,-6))$
4. $V=\rr^4, \quad \uu{A} = ((0,1,0,-1), (0,0,-1,-1), (0,1,0,2), (0,1,1,0), (1,-1,1,0)) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-06`, {numref}`lec-13-ex-07`, {numref}`lec-13-ex-08`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 2.
A = matrix(QQ, [[2, 0, -1], [0, -1, -1], [2, -1, -2]]).transpose() # kolumny to wektory układu A
show("Macierz współrzędnych układu A:", A)
show("Rząd macierzy A:", A.rank())
show("Liniowo niezależny:", A.rank() == A.ncols())
show("Baza przestrzeni R^3:", A.rank() == 3)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-07
:class: [exercise]

Wyznacz wymiar i bazę podprzestrzeni liniowych $V$ nad $\rr .$

1. $V = \Lin((1,2,2), (-3,2,-1))$
2. $V = \Lin((1,1,-1), (0,-3,-4), (2,-1,-6))$
3. $V = \Lin((2,1,1), (3,0,1), (0,3,1) )$
4. $V = \Lin((0,1,3,0), (2,3,-1,0), (1,0,-2,0), (4,1,9,0))$
5. $V = \Lin((1,0,0,-1), (0,-1,0,-1), (1,0,0,2), (1,1,0,0)) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-08`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 3.
V = matrix(QQ, [[2, 1, 1], [3, 0, 1], [0, 3, 1]]).transpose() # kolumny to generatory V
show("Macierz współrzędnych generatorów V:", V)
show("Wymiar V:", V.rank())
show("Przykładowa baza V:", V.column_space().basis())
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-08
:class: [exercise]

W przestrzeni liniowej $\rr^2$,
niech

$$
\uu{A}=((1,-5),(5,2)), \quad
\uu{B}= \St[2], \quad
\uu C = ((-2, -17), (6,-3), (2,-64)).
$$

- Wyznacz macierz $\MU{B}{\uu A} .$
- Wykaż, że układ $\uu{A}$ jest bazą przestrzeni $\rr^2 .$
- Jeśli to możliwe, wyznacz macierz $\MU{A}{\uu B} .$
- Korzystając z tej macierzy, podaj współrzędne wektorów układu $\uu C$ w bazie $\uu{A} .$
- Zapisz macierz $\MU{A}{\uu C} .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-09`, {numref}`lec-13-ex-10`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
A = matrix(QQ, [[1, -5], [5, 2]]).transpose() # kolumny to wektory układu A
B = identity_matrix(QQ, 2) # standardowa baza B = (e1, e2)
C = matrix(QQ, [[-2, -17], [6, -3], [2, -64]]).transpose()

M_BA = B.solve_right(A) # [B]A : współrzędne kolumn A w bazie B
M_AB = A.solve_right(B) # [A]B (odwrotność [B]A)
M_AC = A.solve_right(C) # współrzędne kolumn C w bazie A

show("Macierz współrzędnych układu A:", A)
show("Macierz współrzędnych bazy standardowej B:", B)
show("Macierz współrzędnych układu C:", C)
show("Macierz przejścia [B]A:", M_BA)
show("A jest bazą R^2:", A.rank() == 2)
show("Macierz przejścia [A]B:", M_AB)
show("Macierz przejścia [A]C:", M_AC)
</script>
</div>
```