---
title: "Lecture 1: Funkcje rzeczywiste"
lecture_number: 1
has_solutions: false
has_exercises: false
file_format: mystnb
kernelspec:
  name: sagemath
  display_name: SageMath
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Funkcje rzeczywiste

## Definicja funkcji

:::{narration}
Niech $X, Y \subset \rr$ będą zbiorami niepustymi.
:::

:::{prf:definition}
**Funkcją** {index}`funkcja` odwzorowującą zbiór $X$ w $Y$ nazywamy przyporządkowanie
każdemu elementowi zbioru $X$ **dokładnie jednego** elementu ze zbioru $Y$.
:::

:::{narration}
Jeśli funkcję oznaczymy symbolem $f$, to zapis

```{math}
f:X\to Y.
```

czytamy jako
**$f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$**.

Przy tych oznaczeniach definicję funkcji możemy zapisać w następujący sposób:

```{math}
\forall x\in X\; \exists! y\in Y \; f(x) = y.
```

Niech $f: X \to Y$ będzie funkcją.
:::

:::{prf:definition}

**Dziedzina** {index}`funkcja; dziedzina` funkcji $f$
to
zbiór $D_f = X$.

**Przeciwdziedzina** {index}`funkcja; przeciwdziedzina` funkcji $f$
to
zbiór $Y$.

**Argumenty** {index}`funkcja; argument` funkcji $f$
to
elementy dziedziny $D_f$.

**Wartość** {index}`funkcja; wartość` funkcji $f$ dla argumentu $x\in X$ to
element $y = f(x)$.

Mówimy wtedy, że $x$ przechodzi na $y$, lub $x$ przechodzi na $f(x)$,
co zapisujemy jako

```{math}
x \mapsto y \qquad \text{lub} \qquad x \mapsto f(x).
```

**Zbiór wartości** {index}`funkcja; zbiór wartości`
funkcji $f$ to zbiór

```{math}
R_f = f(X) = \{f(x) : x \in X \}\subseteq Y
```

tych elementów przeciwdziedziny $y\in Y$,
dla których istnieje (niekoniecznie jeden)
argument $x\in X$ taki, że $y = f(x)$.

**Wykres** {index}`funkcja; wykres` funkcji $f: X \to Y$ to zbiór

```{math}
\Gamma_f = \Set{ (x,f(x)) : x\in X } \subseteq X\times Y \subseteq \rr^2.
```

:::

:::{narration}

Wykres funkcji $\Gamma_f$ można interpretować jako podzbiór płaszczyzny $\rr^2$,
dokładnie tak jak to jest uczone w szkole średniej.

Jeśli podamy wzór funkcji $f$ bez podania jej dziedziny, to zakładamy,
że $D_f\subseteq \rr$ jest maksymalnym zbiorem, na którym jest ona określona
i $f: D_f \to R_f$.

Podobnie jeśli podamy wzór $f$ i jedynie jej dziedzinę $D_f$,
to zakładamy, że $f: D_f \to R_f$.
:::

## Przykłady funkcji rzeczywistych

### Funkcje stałe

:::{narration}

**Funkcja stała** {index}`funkcja; stała` na zbiorze $X\subseteq \rr$
to funkcja
$
 f: X \to \rr,
 \quad
 f(x) = c \, ,
 \quad
$
gdzie $c\in \rr$.

$R_f = \Set{c}$.
:::

### Znak liczby

:::{narration}

**Znak liczby** {index}`funkcja; znak liczby`
to funkcja

$$
\sgn:\rr \to \rr, \qquad
\sgn(x) =
\begin{cases}
-1, & \text{dla } x < 0 \\
0,  & \text{dla } x = 0 \\
1,  & \text{dla } x > 0
\end{cases}.
$$

$R_{\sgn} = \Set{-1, 0, 1}.$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(
   plot(
   -1,
   (x, -3, 0),
   thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=-2, ymax=2,
   legend_label=r'$\operatorname{sgn}(x)$',
   color = PWRed
   )
   +
   plot(
   1,
   (x, 0, 3),
   thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=-2, ymax=2,
   color = PWRed
   )
   +
   point(
   (0, 0), pointsize=30,
   color = PWRed
   ),
   transparent=True, frame=False
)
```

### Wartość bezwzględna

:::{narration}

**Wartość bezwzględna** {index}`funkcja; wartość bezwzględna`
lub
**moduł** {index}`funkcja; moduł` to
funkcja

$$
\rr \to \rr, \qquad
x \mapsto |x| = x \cdot \sgn(x) =
\begin{cases}
-x, & \text{dla } x < 0 \\
x,  & \text{dla } x \geq 0
\end{cases},
$$

Zbiorem wartości jest $\rr_+ \cup \Set{0}$.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(
   plot(
   [abs(x)],
   (x, -3, 3),
   thickness=3,
   aspect_ratio=1,
   detect_poles='show',
   ymin=-1, ymax=3,
   legend_label=r'$|x|$',
   color = PWRed
   ),
   transparent=True, frame=False
)
```

### Podłoga i sufit

:::{narration}

**Część całkowita**, {index}`funkcja; część całkowita`
**cecha** {index}`funkcja; cecha`
lub
**podłoga** {index}`funkcja; podłoga` liczby
to funkcja

$$
\rr \to \rr, \qquad
x \mapsto [x] = \lfloor x \rfloor
= \max \Set{n \in \zz : n \leq x},
$$

czyli największa liczba całkowita nie większą niż $x$.

Zbiorem wartości jest $\zz$.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[floor(x)],
(x, -3, 3),
thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=-2, ymax=2,
legend_label=r'$\lfloor x \rfloor$',
color = PWRed
),
   transparent=True, frame=False)
```

:::{narration}

**Cecha górna** {index}`funkcja; cecha górna`
lub
**sufit** {index}`funkcja; sufit` liczby
to funkcja

$$
\rr \to \rr, \qquad
 x \mapsto \lceil x \rceil
 = \min \Set{n \in \zz : x \leq n},
$$

czyli najmniejsza liczba całkowita nie mniejszą niż $x$.

Zbiorem wartości jest $\zz$.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[ceil(x)],
(x, -3, 3),
thickness=3, aspect_ratio=1,  ymin=-2, ymax=2,
legend_label=r'$\lceil x \rceil$',
color = PWRed
),
   transparent=True, frame=False)
```

:::{prf:example}
:class: [example]

$$
\begin{aligned}
[7] = \lceil 7 \rceil & = 7,
 &
[-7] = \lceil -7 \rceil & = -7,
\\
[1.2]  & = 1 ,
 &
[-1.2] & = -2 ,
 &
\left[-\pi \right] = -4,
\\
\lceil 1.2 \rceil  & = 2 ,
 &
\lceil -1.2 \rceil & = -1 ,
 &
\lceil -\pi \rceil = -3.
\end{aligned}
$$

:::

### Wielomiany

:::{narration}

**Wielomian stopnia $n\in\nn_0$** {index}`wielomian`.

Dla
$a_0, a_1,\ldots, a_n \in \rr$, $a_n \neq 0$,
funkcja

$$
w:\rr\to \rr, \qquad
w(x) = a_0 + a_1 x+ \ldots + a_n x^n.
$$

Stopień wielomianu oznaczamy przez $\deg w$.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[x, x^2 + x - 2, x^5 + x^2 - x],
(x, -4, 4),
thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=-3, ymax=3,
legend_label=[r'$x$', r'$x^2+x-2$', r'$x^5+x^2-x$'],
color = ['#9a1006', '#3466af', '#006872']
),
   transparent=True, frame=False)
```

### Funkcje wymierne

:::{narration}

**Funkcja wymierna** {index}`funkcja; wymierna`.

Dla
$p,q$ wielomianów, $\deg q \geq 1$,
$D_f = \Set{x\in\rr : q(x)\neq 0}$,
funkcja

$$
f:D_f\to \rr, \qquad
f(x) = \frac {p(x)} {q(x)}.
$$

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[x^(-1)-1, (x+1)*(x^2-2)^(-1)],
(x, -5, 5),
thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=-4, ymax=4,
legend_label=[r'$x^{-1}-1$', r'$(x+1)(x^2-2)^{-1}$'],
color = ['#9a1006', '#3466af']
),
   transparent=True, frame=False)
```

### Funkcje potęgowe

:::{narration}

**Funkcja potęgowa** {index}`funkcja; potęgowa`.

Dla
$\alpha \in \rr$,
funkcja

$$
f:D_f \to \rr, \qquad
f(x) = x^\alpha.
$$

Przyjmujemy, że dziedzina $D_f$, zależna od $\alpha$,
jest maksymalnym zbiorem, na którym funkcja jest określona.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[x^(-pi),x^pi],
(x, 0, 5),
thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=-.1, ymax=4,
legend_label=[r'$x^{-\pi}$', r'$x^{\pi}$'],
color = ['#9a1006', '#3466af']
)+
plot(
[x^0],
(x, -1, 5),
thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=-.1, ymax=4,
legend_label=r'$x^0$',
color = PWGreen
),
   transparent=True, frame=False)
```

### Funkcje wykładnicze

:::{narration}

**Funkcja wykładnicza** {index}`funkcja; wykładnicza`.

Dla
$a \in \rr_+\setminus\Set{1}$,
funkcja

$$
\exp_a:\rr \to \rr, \qquad
\exp_a(x) = a^x.
$$

$R_{\exp_a} = \rr_+$.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[3^x,2^(-x)],
(x, -3, 3),
thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=-.1, ymax=4,
legend_label=[r'$3^x$', r'$2^{-x}$'],
color = ['#9a1006', '#3466af']
),
   transparent=True, frame=False)
```

::::{prf:proposition}

Dla $a, b \in \rr_+$ oraz $\alpha, \beta \in \rr$, zachodzą następujące wzory:

:::{container} columns-2-auto

1. $a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}$
2. $a^\alpha \cdot b^\alpha = \Paren{a\cdot b}^{\alpha}$
3. $\Paren{a^\alpha}^\beta = a^{\alpha\cdot \beta}$
4. $a^0 = 1$
5. $a^{-\beta} = \dfrac 1 {a^\beta}.$
:::

::::

### Funkcje logarytmiczne

:::{narration}

**Funkcja logarytmiczna** {index}`funkcja; logarytmiczna`.

Dla
$a \in \rr_+\setminus\Set{1}$,
funkcja

$$
f:\rr_+ \to \rr, \qquad
f(x) = \log_a x.
$$

$R_f = \rr$.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[log(x, 1/5), log(x,1/2), log(x,sqrt(5)), log(x,4)],
(x, 0, 5),
thickness=3, aspect_ratio=.5, detect_poles='show',  ymin=-3, ymax=4,
legend_label=[r'$\log_{1/5} x$', r'$\log_{1/2} x$', r'$\log_{\sqrt{5}} x$', r'$\log_4 x$'],
color = ['#9a1006', '#3466af', '#006872', '#e7a217']
),
   transparent=True, frame=False)
```

::::{prf:proposition}

Dla $a,b\in \rr_+\setminus\Set{1},\ x,z \in \rr_+,\ y \in \rr$ zachodzą następujące wzory:

:::{container} columns-2-auto

1. $\log_b 1 = 0$
2. $\log_b b = 1 $
3. $b^{\log_b x} = x$
4. $\log_b b^y = y$
5. $\log_b x \cdot z = \log_b x + \log_b z$
6. $\log_b \dfrac x z = \log_b x - \log_b z$
7. $\log_b x^a = a\cdot \log_b x$
8. $\log_b x = \dfrac {\log_a x} {\log_a b}$
9. $\log_b$ jest funkcją malejącą dla $b < 1$ i rosnąca dla $b > 1$.

:::

::::

### Funkcje trygonometryczne

:::{narration}

**Funkcje trygonometryczne** {index}`funkcja; trygonometryczna`.

Funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens,

$$
x\mapsto \sin x, \quad
x\mapsto \cos x, \quad
x\mapsto \tg x, \quad
x\mapsto \ctg x,
$$

określone na swoich maksymalnych dziedzinach.

$R_{\sin} = R_{\cos} = [-1, 1]$,\
$R_{\tg} = R_{\ctg} = \rr$.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[sin(x),cos(x),tan(x),cot(x)],
(x, -2*pi, 2*pi),
thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=-5, ymax=5,
legend_label=[r'$\sin x$', r'$\cos x$', r'$\operatorname{tg} x$', r'$\operatorname{ctg} x$'],
color = ['#9a1006', '#3466af', '#006872', '#e7a217']
),
   transparent=True, frame=False)
```

::::{prf:proposition}

Najważniejsze wzory trygonometryczne:

1. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
2. $\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$
3. $\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
4. $\sin x  \cdot \sin y = \frac 1 2 \left( \cos (x - y)  - \cos (x + y)\right)$
5. $\sin x  \cdot \cos x = \frac 1 2 \left( \sin (x - y)  + \sin (x + y) \right)$
6. $\cos x  \cdot \cos y = \frac 1 2 \left( \cos (x - y)  + \cos (x + y) \right).$

::::

## Obcięcie funkcji

:::{prf:definition}

**Obcięcie funkcji** {index}`funkcja; obcięcie`
$f:X\to\rr$ do zbioru $A\subseteq X$ definiujemy jako
funkcję $f|_A : A\to \rr$, zadaną wzorem

```{math}
f|_A(x) = f(x) \qquad \text{dla każdego } x \in A.
```

:::

## Superpozycja funkcji

:::{prf:definition}

**Superpozycję** {index}`funkcja; superpozycja`
lub **złożenie** {index}`funkcja; złożenie`
funkcji $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$
definiujemy jako funkcję

$$
g\circ f : X\to Z,
\qquad
g\circ f (x) =
g(f(x)).
$$

:::

:::{prf:remark}

W przypadku funkcji $f: X\to Y$ i $g: W \to Z$, superpozycję $g\circ f$ definiujemy
jedynie pod warunkiem, że $Y=W$.
:::

::::{prf:example}
:class: [example]

Dla funkcji
$f,g : \rr \to \rr$ i $h: \rr_+ \to \rr$ danych wzorami

$$
f(x)  = x^3, \quad
g(x)  = \sin x, \quad
h(x)  = \log x
$$

mamy:

- $ f\circ g  : \rr \to \rr, \quad f\circ g (x) = f(\sin x ) = \sin^3 x$

- $ g\circ f  : \rr \to \rr, \quad g\circ f (x) = g\left(x^3 \right) = \sin\left(x^3\right) $

- $ f \circ g \circ h  : \rr_+ \to \rr, \quad f \circ g(\log x)  = \sin^3 \left(\log x\right) . $

::::

## Ograniczoność funkcji

:::{prf:definition}

**Ograniczoną z góry** {index}`funkcja; ograniczona z góry`
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli

$$
\exists M\in\rr\ \forall x\in X \quad
f(x) < M.
$$

**Ograniczoną z dołu** {index}`funkcja; ograniczona z dołu`
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli

$$
\exists m\in\rr\ \forall x\in X \quad
m < f(x).
$$

**Ograniczoną** {index}`funkcja; ograniczona`
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli
jest ograniczona z dołu i z góry, lub równoważnie

$$
\exists M\in\rr_+\ \forall x\in X \quad
|f(x)| < M.
$$

:::

:::{narration}

Zaprzeczenie tego warunku daje definicję funkcji nieograniczonej.
:::

:::{prf:definition}

**Nieograniczoną** {index}`funkcja; nieograniczona`
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli

$$
\forall M\in\rr_+\ \exists x\in X \quad
|f(x)| \geq M.
$$

:::

:::{prf:example}
:class: [example]

Dla przykładu, funkcja $f:(0,+\infty)\to \rr,\ f(x) = \frac 1 x ,$ jest:

1. ograniczona z dołu przez $m = 0$
2. nieograniczona z góry, gdyż
   dla $M\in \rr$ wystarczy
   wziąć $ x = \frac 1 {|M| + 1}$,
   dla którego

```{math}
f\left(  \frac 1 {|M| + 1} \right) = {|M| + 1} \geq M,
```

więc prawdziwe jest zaprzeczenie wyrażenia z definicji.
:::

::::{prf:example}
:class: [example]

1. Wielomiany stałe, funkcje sinus, cosinus, znak liczby
   są ograniczone.
2. Wielomiany niestałe, funkcje wymierne, wykładnicza, logarytmiczna,
   tangens, cotangens i całość z liczby
   są nieograniczone.

::::

:::{prf:proposition}

Niech $X \subseteq \rr$, $c \in \rr$,
oraz $f,g : X \to \rr$ będą funkcjami ograniczonymi.

Wówczas

```{math}
c\cdot f,\quad f+g,\quad f\cdot g
```

są również funkcjami ograniczonymi.
:::

## Monotoniczność funkcji

:::{prf:definition}

**Rosnącą** {index}`funkcja; rosnąca` na zbiorze $A \subseteq X$
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli

$$
\forall x_1,x_2\in A \quad
x_1 < x_2 \imply f(x_1) < f(x_2).
$$

**Niemalejącą** {index}`funkcja; niemalejąca` na zbiorze $A \subseteq X$
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli

$$
\forall x_1,x_2\in A \quad
x_1 < x_2 \imply f(x_1) \leq f(x_2).
$$

**Malejącą** {index}`funkcja; malejąca` na zbiorze $A \subseteq X$
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli

$$
\forall x_1,x_2\in A \quad
x_1 < x_2 \imply f(x_1) > f(x_2).
$$

**Nierosnącą** {index}`funkcja; nierosnąca` na zbiorze $A \subseteq X$
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli

$$
\forall x_1,x_2\in A \quad
x_1 < x_2 \imply f(x_1) \geq f(x_2).
$$

:::

:::{narration}

Każda funkcja rosnąca na zbiorze jest na nim niemalejąca,
zaś malejąca -- nierosnąca.
:::

:::{prf:definition}

**Monotoniczną** {index}`funkcja; monotoniczna` na zbiorze $A \subseteq X$
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli jest na nim nierosnąca lub niemalejąca.
:::

:::{prf:example}
:class: [example]

Sprawdźmy z definicji, czy funkcja
$f: \Paren{\frac 1 2, +\infty} \to \rr,\ \displaystyle f(x) = \frac{x+1}{2x-1}$,
jest malejąca.

W tym celu
zauważmy, że dla
$x > \frac 1 2$
mianownik
$
2x - 1 > 0.
$
Stąd

$$
\begin{aligned}
f(x_1) & > f(x_2)
\\
\frac{x_1+1}{2x_1-1} & > \frac{x_2+1}{2x_2-1}
\\
(x_1 + 1)(2x_2 -1) & > (x_2 + 1)(2x_1 -1)
\\
2x_1x_2 - x_1 + 2x_2 -1 & > 2x_1x_2 - x_2 + 2x_1 -1
\\
x_2 & > x_1.
\end{aligned}
$$

W szczególności to oznacza, że

$$
x_1 < x_2 \Rightarrow  f(x_1) > f(x_2),
$$

czyli funkcja jest malejąca.
:::

::::{prf:example}
:class: [example]

1. Wielomiany stopnia $1$ oraz funkcje wykładnicze i logarytmiczne są monotoniczne
   (dwie ostatnie są rosnące, jeśli $a>1$ malejące w p.p.).
2. $x\mapsto\sin x$ jest rosnąca na zbiorach
   $\left[0,\frac \pi 2\right], \left[\frac {3\pi} 2, 2\pi\right]$,
   ale nie jest rosnąca na
   $\left[0,\frac \pi 2\right] \cup \left[\frac {3\pi} 2, 2\pi\right]$.

::::

:::{prf:proposition}

Niech $X \subseteq \rr$, $c>0$,
oraz $f,g : X \to \rr$ będą funkcjami rosnącymi
(odp. niemalejącymi, malejącymi, nierosnącymi).

Wówczas:

1. $c\cdot f,\ f+g$
   są również funkcjami rosnącymi
   (odp. niemalejącymi, malejącymi, nierosnącymi).
2. $-f$ jest funkcją malejącą
   (odp. nierosnącą, rosnącą, niemalejącą).
:::

::::{prf:example}
:class: [example]

Dla $a>1$, funkcja
$
f: \rr\to\rr,
\Quad{
f(x) = a^x - a^{-x},
}
$
jest rosnąca.

Istotnie:

- $g_1(x) = a^x \quad$ jest rosnąca, jako funkcja wykładnicza o podstawie $a>1$
- $g_2(x) = a^{-x} = \left( \frac 1 a\right)^x \quad$ jest malejąca, jako funkcja wykładnicza o podstawie $\frac 1 a < 1$
- $g_3(x) = -g_2(x) = - a^{-x} \quad$ jest rosnąca
- $f(x) = g_1(x) + g_3(x) \quad$ też jest rosnąca.

::::

## Funkcje injektywne

:::{prf:definition}

**Różnowartościową** {index}`funkcja; różnowartościowa`
lub **injektywną** {index}`funkcja; injektywna`
nazywamy funkcję $f: X\to Y$, jeśli

$$
\forall x_1, x_2
\in X \quad x_1\neq x_2
\Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2).
$$

**Injekcją** {index}`funkcja; injekcja`
nazywamy funkcję, która jest injektywna.
:::

:::{narration}

Na mocy prawa kontrapozycji warunek ten jest równoważny warunkowi

$$
\forall x_1, x_2
\in X \quad f(x_1) = f(x_2)
\Rightarrow x_1 = x_2.
$$

Innymi słowy, funkcja $f$ jest injektywna pod warunkiem, że każda wartość zbioru $Y$
jest przyjmowana dla co najwyżej jednego argumentu ze zbioru $X$.
:::

:::{prf:remark}
:label: rem-One

Wykres różnowartościowej funkcji $f: X \to Y$ przecina dowolną prostą poziomą
$\Set{(x,y): y = constans}$ w co najwyżej jednym punkcie.
:::

::::{prf:example}
:class: [example]

[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/vsgwzfep)
Niech
$f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x.$

Posiłkując się powyższą uwagą
wnioskujemy:

- $f: \rr \to \rr$ nie jest injektywna
- $f: [-3,4) \to \rr$ nie jest injektywna
- $f: (-1,2] \to \left[-\frac {16} 3, \frac {16} 3\right]$ jest injektywna.

::::

:::{prf:example}
:class: [example]

Sprawdźmy z definicji, czy funkcja
$\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{2x-1}$
jest różnowartościowa
W tyma celu wykonujemy przekształcenia:

$$
f(x_1) & = f(x_2)
\\
\frac{x_1+1}{2x_1-1} & = \frac{x_2+1}{2x_2-1}
\\
(x_1 + 1)(2x_2 -1) & = (x_2 + 1)(2x_1 -1)
\\
2x_1x_2 - x_1 + 2x_2 -1 & = 2x_1x_2 - x_2 + 2x_1 -1
\\
x_2 & = x_1.
$$

W szczególności to oznacza, że

$$
f(x_1) = f(x_2) \imply x_1 = x_2,
$$

czyli funkcja jest różnowartościowa.
:::

:::{prf:proposition}

Dla $X\subseteq \rr$, jeśli funkcja $f:X\to \rr$
jest rosnąca lub malejąca, to jest różnowartościowa.
:::

:::{prf:example}
:class: [example]

Dla $a>1$, funkcja
$f: \rr\to\rr, f(x) = a^x - a^{-x},$
jest różnowartościowa,
ponieważ pokazaliśmy już, że jest rosnąca
i możemy skorzystać z powyższego stwierdzenia.
:::

## Funkcje surjektywne

:::{prf:definition}

**Funkcją "na"** {index}`funkcja; na`
lub **surjektywną** {index}`funkcja; surjektywna`
nazywamy funkcję $f: X\to Y$, jeśli

```{math}
\forall y\in Y \; \exists x\in X \quad y = f(x).
```

**Surjekcją** {index}`funkcja; surjekcja`
nazywamy funkcję, która jest surjektywna.
:::

:::{prf:remark}
:label: rem-Three

Dla każdej liczby $c\in Y$ wykres surjektywnej funkcji $f: X \to Y$ przecina prostą poziomą
$\Set{(x,y): y = c}$ w **co najmniej** jednym punkcie.
:::

::::{prf:example}
:class: [example]

[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/vsgwzfep)
Niech
$f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x.$

Posiłkując się powyższą uwagą wnioskujemy:

- $f: \rr \to \rr$ jest surjekcją
- $f: [-3,4) \to \rr$ nie jest surjekcją
- $f: [-3,4) \to \left[-\frac {16} 3, \frac {16} 3\right]$ jest surjekcją.

::::

:::{narration}

W celu zbadania surjektywności funkcji rzeczywistej,
należy zbadać jej przebieg zmienności.
:::

## Funkcja odwrotna

:::{prf:definition}

Jeśli funkcja $f: X \to Y$ jest różnowartościowa i "na",
to zadaje jednoznaczne przyporządkowanie między elementami
zbiorów $X$ i $Y$, $x \mapsto f(x)$.

Zatem istnieje też jednoznaczne przyporządkowanie (czyli funkcja) $f^{-1}: Y \to X$
"w drugą stronę", między elementami zbiorów $Y$ i $X$, $y \mapsto f^{-1}(y)$,
o tej własności, że

$$
(\forall x\in X\quad f^{-1}\circ f(x)=x) \quad \wedge \quad
(\forall y\in Y\quad f\circ f^{-1}(y)=y),
$$

którą nazywamy
**funkcją odwrotną** {index}`funkcja; odwrotna` do
funkcji $f:X\to Y$.
:::

:::{narration}

Oznaczenie $f^{-1}$ jest umowne i nie należy go mylić z funkcją $x\mapsto x^{-1}$.

W szczególności zazwyczaj $f^{-1}(x) \neq \frac 1  {f(x)}.$
:::

:::{prf:remark}
:label: rem-Four

Dla $X, Y \subseteq \rr$ wykres funkcji $f^{-1}: Y \to X$
jest odbiciem wykresu $f: X \to Y$ względem prostej $y=x$.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
2*x-2,
(x, -4, 4),
thickness=3, color = PWBlue, aspect_ratio=1,
ymin=-4, ymax=4,
legend_label=r'$2x-2$'
) +
plot(
x/2 +1,
(x, -4, 4),
thickness=3, color = PWRed,
ymin=-4, ymax=4,
legend_label=r'$\frac{1}{2}x+1$'
) +
plot(
x,
(x, -4, 4),
thickness=1, color = PWGreen,
linestyle="--",
legend_label=r'$y=x$'
),
   transparent=True, frame=False)
```

:::{prf:example}
:class: [example]

Niech
$f : \rr \to \rr,\; f(x) = 2x-2$.

Szkicujemy jej wykres
i odbijamy go względem prostej $y=x$.

Bez trudu odczytamy, że wspołczynnik
nachylenia odbitej prostej jest równy $\frac 1 2$
oraz przechodzi ona przez punkt $(0,1)$.

Stąd

```{math}
f^{-1}(x) = \frac 1 2 x + 1.
```

Możemy sprawdzić, że

$$
f^{-1}\circ f(x) = f^{-1}\left( 2x-2 \right)
= \frac 1 2(2x-2) + 1 = x.
$$

:::

:::{prf:example}
:class: [example]

1. Dla dowolnej ustalonej liczby $k\in \nn,$
   funkcje

   ```{math}
   f: \rr \to \rr,\; x \mapsto x^{2k-1} \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr \to \rr,\; y \mapsto \sqrt[2k-1] y
   ```

   są wzajemnie odwrotne.

   Podobnie po zawężeniu dziedzin
   i przeciwdziedzin dla każdego $\alpha \neq 0$ funkcje

   ```{math}
   f: \rr_+ \to \rr_+,\; x \mapsto x^{\alpha} \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr_+ \to \rr_+,\; y \mapsto y^{1 / \alpha}
   ```

   są wzajemnie odwrotne.

2. Dla dowolnej ustalonej liczby $a>0$ wzajemnie odwrotne są

   ```{math}
   f: \rr \to \rr_+,\; x \mapsto a^x \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr_+ \to \rr,\; x \mapsto \log_a x
   ```

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
(x+1)*(2*x-1)^(-1),
(x, -4, 4),
thickness=3, color = PWRed, aspect_ratio=1,
detect_poles='show',
ymin=-4, ymax=4,
legend_label=r'$\frac{x+1}{2x-1}$'
)
+
plot(
x,
(x, -4, 4),
thickness=1, color = PWGreen,
linestyle="--",
legend_label=r'$y=x$'
),
   transparent=True, frame=False)
```

:::{prf:example}
:class: [example]

Znajdźmy funkcję odwrotną do

$$
f:\rr\setminus\Set{\tfrac 1 2} \to \rr\setminus\Set{\tfrac 1 2} ,
\quad
f(x) = \dfrac{x+1}{2x-1}.
$$

W tym celu przyjmujemy

```{math}
y = f(x) = \frac{x+1}{2x-1}
```

i wykonujemy przekształcenia:

$$
y & = \dfrac{x+1}{2x-1} & & & & \Big| \cdot (2x-1)\neq 0
\\
y(2x-1)  & = x+1
\qlq
  & 2xy-y& = x+1 & & \Big| -x+y
\\
&& 2xy-x  & = y+1
\\
&  & x(2y-1)& = y+1 & & \Big| : (2y-1)\neq 0
\\
&& x& = \frac{y+1}{2y-1}.
$$

Wnioskujemy, że

$$
f^{-1}:\rr\setminus\Set{\frac 1 2} \to \rr\setminus\Set{\frac 1 2},
\quad
f^{-1}(y) = \dfrac{y+1}{2y-1}
$$

co jest równoważne zapisowi

$$
f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{2x-1} = f(x) .
$$
:::

## Funkcje cyklometryczne

:::{narration}

**Funkcje cyklometryczne** {index}`funkcja; cyklometryczna`
(lub **kołowe** {index}`funkcja; kołowa`)
są funkcjami odwrotnymi do funkcji trygonometrycznych
obciętych do odpowiednich dziedzin.
:::

:::{prf:definition}

Dla funkcji
$
\quad
\color{PWBlue} \sin : \left[-\tfrac\pi 2, \tfrac \pi 2\right] \to [-1,1]
\quad
$
definiujemy odwrotną
**arcus sinus** {index}`funkcja; arcus sinus`

```{math}
{\color{PWRed} \arcsin : [-1,1] \to \left[-\tfrac\pi 2, \tfrac \pi 2\right]},
```

czyli
dla $\quad x\in\left[-\tfrac\pi 2, \tfrac \pi 2\right] \quad$ oraz $\quad y\in [-1,1] \quad$ zachodzi

$$y ={\color{PWBlue} \sin }\, x \quad \Leftrightarrow \quad {\color{PWRed} \arcsin }\, y = x .$$

:::


```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
sin(x),
(x, -0.5*pi, 0.5*pi),
thickness=3, color = PWBlue, aspect_ratio=1,
legend_label=r'$\sin x$'
) +
plot(
arcsin(x),
(x, -1, 1),
thickness=3, color = PWRed,
legend_label=r'$\arcsin x$'
),
   transparent=True, frame=False)
```

::::{prf:example}
:class: [example]

:::{container} columns-2-auto

1. $ \arcsin (-1) = -\frac \pi 2 $
2. $\arcsin \frac {\sqrt 2} 2 = \frac \pi 4.$

:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = latex(acos(-1 / 2))
content = rf"""
\arccos \Paren{{-\frac 1 2}} = {body_01}.
"""
glue('sageglue_1_0', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{prf:definition}

Dla funkcji
$
\color{PWBlue} \cos : \left[0, \pi \right] \to [-1,1]
$
definiujemy odwrotną
**arcus cosinus** {index}`funkcja; arcus cosinus`

```{math}
{\color{PWRed} \arccos : [-1,1] \to \left[0, \pi \right]},
```

czyli
dla $\quad x\in\ \left[0, \pi \right] \quad$ oraz $\quad y\in [-1,1] \quad$ zachodzi

$$y ={\color{PWBlue} \cos }\, x \quad \Leftrightarrow \quad {\color{PWRed} \arccos }\, y = x .$$

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
cos(x),
(x, 0, pi),
thickness=3, color = PWBlue, aspect_ratio=1,
legend_label=r'$\cos x$'
) +
plot(
arccos(x),
(x, -1, 1),
thickness=3, color = PWRed,
legend_label=r'$\arccos x$'
),
   transparent=True, frame=False)
```

::::{prf:example}
:class: [example]

:::{container} columns-2-auto

1. $\arccos (-1) = \pi $
2. {glue:}`sageglue_1_0`

:::

::::

::::{prf:proposition}

Dla $y \in \Brack{-1,1}$ zachodzą następujące wzory:

:::{container} columns-2-auto

1. $\arcsin (-y) = -\arcsin y$
2. $\arccos y = \dfrac \pi 2 - \arcsin y$
3. $\arccos (-y) = \pi - \arccos y.$
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = latex(atan(-1))
content = rf"""
\quad \arctg (-1) = {body_01},
"""
glue('sageglue_1_1', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = latex(atan(sqrt(3)))
content = rf"""
\quad \arctg {{\sqrt 3}} = {body_01}.
"""
glue('sageglue_1_2', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{prf:definition}

Dla funkcji
$
\quad
\color{PWBlue} \tg : \left(-\tfrac \pi 2, \tfrac \pi 2 \right) \to \rr
\quad
$
definiujemy odwrotną
**arcus tangens** {index}`funkcja; arcus tangens`

```{math}
{\color{PWRed} \arctg : \rr \to \left(-\tfrac \pi 2, \tfrac \pi 2 \right)},
```

czyli
dla $\quad x\in\left(-\tfrac \pi 2, \tfrac \pi 2 \right) \quad$ oraz $\quad y\in \rr \quad$ zachodzi

$$y ={\color{PWBlue} \tg }\, x \quad \Leftrightarrow \quad {\color{PWRed} \arctg }\, y = x .$$

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
tan(x),
(x, -arctan(5), arctan(5)),
thickness=3, color = PWBlue, aspect_ratio=1,
legend_label=r'$\operatorname{tg} x$'
) +
plot(
arctan(x),
(x, -5, 5),
thickness=3, color = PWRed,
legend_label=r'$\operatorname{arctg} x$'
),
   transparent=True, frame=False)
```

::::{prf:example}
:class: [example]

:::{container} columns-2-auto

1. {glue:}`sageglue_1_1`
2. {glue:}`sageglue_1_2`

:::

::::

:::{prf:definition}

Dla funkcji
$
\quad
\color{PWBlue} \ctg : \left(0, \pi \right) \to \rr
\quad
$
definiujemy odwrotną
**arcus cotangens** {index}`funkcja; arcus cotangens`

```{math}
{\color{PWRed} \arcctg : \rr \to \left(0, \pi \right)},
```

czyli
dla $\quad x\in\left(0, \pi \right) \quad$ oraz $\quad y\in \rr \quad$ zachodzi

$$y ={\color{PWBlue} \ctg }\, x \quad \Leftrightarrow \quad {\color{PWRed} \arcctg }\, y = x .$$

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
cot(x),
(x, acot(5), pi-acot(5)),
thickness=3, color = PWBlue, aspect_ratio=1, detect_poles='show', ymin=-4, ymax=4,
legend_label=r'$\operatorname{ctg} x$'
) +
plot(
arccot(x),
(x, 0.0, 5),
thickness=3, color = PWRed, aspect_ratio=1,
legend_label=r'$\operatorname{arcctg} x$'
) +
plot(
pi + arccot(x),
(x, -5, -0.001),
thickness=3, color = PWRed, aspect_ratio=1
),
   transparent=True, frame=False)
```

::::{prf:proposition}

Dla $y \in \rr$ zachodzą następujące wzory:

:::{container} columns-2-auto

1. $\arctg (-y) = -\arctg y $
2. $\arcctg y = \dfrac \pi 2 - \arctg y$
3. $\arcctg (-y) = \pi - \arcctg y.$
:::

::::

## Parzystość funkcji

:::{prf:definition}

**Parzystą** {index}`funkcja; parzysta`
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli

$$
\forall x\in X \quad
-x \in X
\wedge
f(-x) = f(x).
$$

**Nieparzystą** {index}`funkcja; nieparzysta`
nazywamy funkcję $f: X \to \rr$, jeśli

$$
\forall x\in X \quad
-x \in X
\wedge
f(-x) = -f(x).
$$

:::

:::{prf:remark}

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY,
zaś funkcji nieparzystej -- względem początku układu współrzędnych.
:::

::::{prf:proposition}

Niech $X\subseteq \rr$, $c\in\rr$ oraz $f, g: X \to \rr$.

1. Jeśli $f,g$ są obie parzyste (odp. nieparzyste) to
   $c\cdot f, f+g$ są również parzyste (odp. nieparzyste).
2. Iloczyn dwóch funkcji parzystych (lub dwóch nieparzystych) jest funkcją parzystą,
   zaś funkcji parzystej i nieparzystej -- funkcją nieparzystą.
3. Jeśli istnieje funkcja odwrotna do funkcji nieparzystej,
   to jest również funkcją nieparzystą.

::::

::::{prf:example}
:class: [example]

1. Funkcje parzyste to na przykład:

   $$ x^{2},\ |x|,\ -3 \cos x,\ 5x^4 + x \tg x,\ 2^x + 2^{-x}. $$

2. Funkcje nieparzyste to na przykład:

   $$ x,\ x^{3},\ \sin 2x,\ \arcsin x,\ \tg x,\ \arctg x,\ \dfrac x {|x|},\ 2^x - 2^{-x}. $$

::::