--- title: "Lecture 2: Ciągi liczbowe" lecture_number: 2 has_solutions: true has_exercises: true file_format: mystnb kernelspec: name: sagemath display_name: SageMath --- ```{include} ../_includes/sagecell-loader.md ``` # Ciągi liczbowe ## Definicja ciągu :::{prf:definition} **Ciągiem liczbowym** {index}`ciąg; liczbowy` (w skrócie **ciągiem** {index}`ciąg`) nazywamy funkcję $f:\nn \to \rr$. **$n$-tym wyrazem ciągu** {index}`ciąg; wyraz` nazywamy wartość $\, a_n = f(n)$, zaś sam ciąg oznaczamy przez ```{math} (a_n) \qquad\text{lub}\qquad (a_n)_{n\in\nn}. ``` ::: ::::{prf:example} :class: [example] 1. **Ciąg arytmetyczny**. {index}`ciąg; arytmetyczny` Przyjmujemy $$a_n = a + (n-1)\cdot r,$$ gdzie $a\in\rr$ jest pierwszym wyrazem ciągu, $r\in\rr$ -- różnicą ciągu. 2. **Ciąg geometryczny**. {index}`ciąg; geometryczny` Przyjmujemy $$a_n = a\cdot q^{n-1},$$ gdzie $a\in\rr$ jest pierwszym wyrazem ciągu, $q\in\rr$ -- iloczynem ciągu. 3. **Ciąg naprzemienny**. {index}`ciąg; naprzemienny` Przyjmujemy $$a_n = \cos(n\pi) = (-1)^{n}.$$ 4. Ciąg przydatny do definicji liczby Eulera, to $$a_n = \left(1 + \frac 1 n\right)^n.$$ :::: :::{narration} Ciąg możemy też zadać **rekurencyjnie** {index}`ciąg; rekurencyjny`, to znaczy wyraz $a_{n+1}$ uzależnić od wyrazów $a_1,\ldots, a_{n}$. ::: :::{prf:example} :class: [example] 1. **Ciąg arytmetyczny** {index}`ciąg; arytmetyczny` możemy zadać rekurencyjnie: $$a_1 = a \qquad\text{i}\qquad a_{n+1} = a_n + r.$$ 2. **Ciąg geometryczny** {index}`ciąg; geometryczny` możemy zadać rekurencyjnie: $$a_1 = a \qquad\text{i}\qquad a_{n+1} = q\cdot a_n.$$ 3. Słynny ciąg Fibonacciego: $$F_1 = F_2 = 1 \qquad\text{i}\qquad F_{n+2} = F_n + F_{n+1}.$$ 4. Inny przykład: $$a_1 = 1, \qquad a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}.$$ ::: :::{narration} Ponieważ ciąg jest funkcją, więc wszystkie definicje z poprzedniego rozdziału odnoszące się do funkcji, pozostają w mocy. W szczególności będą nas interesować ciągi (nie)ograniczone i monotoniczne. Warto zauważyć, że w przypadku ciągów, dla sprawdzenia monotoniczności wystarczy porównywać kolejne wyrazy. ::: ::::{prf:definition} Ciąg $(a_n)$ jest: 1. **rosnący** {index}`ciąg; rozsnący` $\qlq \forall n\in\nn\ a_n < a_{n+1}\ $ 2. **niemalejący** {index}`ciąg; niemalejący` $\qlq \forall n\in\nn\ a_n \leq a_{n+1}\ $ 3. **malejący** {index}`ciąg; malejący` $\qlq \forall n\in\nn\ a_n > a_{n+1}\ $ 4. **nierosnący** {index}`ciąg; nierosnący` $\qlq \forall n\in\nn\ a_n \geq a_{n+1}\ $. :::: ## Granica ciągu :::{prf:definition} **Granicą** {index}`granica; ciągu` (skończoną lub właściwą) ciągu $(a_n)$ nazywamy liczbę $g\in\rr$, jeśli $$ \forall \epsilon > 0\ \exists n_\epsilon\in\rr\ \forall n > n_\epsilon\quad |a_n-g| < \epsilon. $$ Jeśli granica istnieje, to piszemy: $$ \LimInfty a_n = g \qquad\text{lub}\qquad a_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} g $$ i mówimy, że ciąg jest **zbieżny** {index}`ciąg; zbieżny` (do granicy $g$). Jeśli ciąg nie ma granicy, to mówimy, że jest **rozbieżny** {index}`ciąg; rozbieżny`. ::: ::::{prf:remark} [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/djra58js) [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/cu9usfq4) 1. Granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie. 2. Ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do $g\in\rr$ pod waruniem, że dla dowolnie małego $\epsilon>0$, prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończoną liczbą) jego wyrazy należą do otoczenia $g$ o promieniu $\epsilon$. :::: :::{prf:example} :class: [example] 1. Dla $a_n = c\in \rr$, $\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n = c$, bo $|a_n - c| = 0 < \epsilon$ jest spełnione dla $n\in \nn$. 2. Dla $a_n = \frac 1 n$, $\LimInfty a_n = 0$. Wystarczy w definicji przyjąć $n_\epsilon = \epsilon^{-1}.$ Istotnie, dla $n > \epsilon^{-1}$ mamy ```{math} \left|\frac 1 n - 0 \right| = \frac 1 n < \frac 1 {\epsilon^{-1}} = \epsilon. ``` 3. Dla $a_n = (-1)^n$ granica nie istnieje. Istotnie, biorąc $\epsilon=\frac 1 2$ otrzymujemy ```{math} |a_n-g| < \epsilon \Leftrightarrow a_n -\frac 1 2 < g < a_n + \frac 1 2. ``` To by oznaczało, że $g > a_{2n} - \frac 1 2 = \frac 1 2$ i $g < a_{2n+1} + \frac 1 2 = -\frac 1 2,$ co daje sprzeczność. ::: ::::{prf:proposition} Niech $a>0$. :::{container} columns-2-auto 1. $\LimInfty \sqrt[n]{a} = 1$ 2. $\LimInfty \sqrt[n]{n} = 1.$ ::: :::: ::::{prf:theorem} o działaniach arytmetycznych na granicach :oasis-title: Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach Niech $c\in \rr$ oraz załóżmy, że istnieją skończone granice $\LimInfty a_n = a$ i $\LimInfty b_n = b.$ Wówczas: :::{container} columns-2-auto 1. $\LimInfty c\cdot a_n = c\cdot a\ $ 2. $\LimInfty a_n \pm b_n = a \pm b\ $ 3. $\LimInfty a_n \cdot b_n = a \cdot b\ $ 4. $\LimInfty a_n^c = a^c\ $ 5. $\LimInfty \frac{a_n} {b_n} = \frac a b$, jeśli tylko $b_n,b\neq 0\ $. ::: :::: :::{prf:example} :class: [example] Licząc granicę nawet bardzo prostego ciągu, korzystamy z własności granic: $$ \LimInfty \frac 2 {n^2} - \sqrt[n]{n^3} & = 2\cdot\LimInfty \frac 1 n\cdot \LimInfty \frac 1 n - \left(\LimInfty\sqrt[n]{n}\right)^3 \\ & = 2\cdot 0 - 1 = -1. $$ ::: ::::{prf:proposition} 1. $ \LimInfty a_n = 0 \Leftrightarrow \LimInfty |a_n| = 0.$ 2. $ \LimInfty a_n = g \Rightarrow \LimInfty |a_n| = |g|.$ 3. Jeśli $\quad\LimInfty a_n = a, \quad \LimInfty b_n = b \quad$ oraz $$ \Exists{ n_0 \in \nn} \Forall {n > n_0} \; a_n \leq b_n$$ to $\quad a \leq b$. :::: :::{prf:theorem} o trzech ciągach :oasis-title: Twierdzenie o trzech ciągach Jeśli $\quad\LimInfty a_n = g, \quad \LimInfty c_n = g \quad$ oraz $$ \Exists{ n_0 \in \nn} \Forall{ n > n_0} \; a_n \leq b_n \leq c_n,$$ to $\quad \LimInfty b_n = g$. ::: ::::{exercise} :label: lec-02-ex-01 :class: [exercise] Policzmy granicę ciągu $b_n = \sqrt[n]{4^n + n^{20}\cdot 2^n + n^{2026}}$. :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-03a-ex-02`, {numref}`prob-03a-ex-04`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Znajdziemy ciągi $a_n$ i $c_n$ spełniające założenia twierdzenia o 3. ciągach. Zauważmy, że dla każdego $n\in\nn$ $$ a_n = 4 = \sqrt[n]{4^n + 0 + 0} \leq \sqrt[n]{4^n + n^{20}\cdot 2^n + n^{2026}} = b_n . $$ Korzystając z nierówności: $$ 1 \leq n^{20} \leq n^{2026} \quad \text{oraz} \quad 1 \leq 2^n \leq 4^n $$ dostajemy $$ b_n & = \sqrt[n]{4^n + n^{20}\cdot 2^n + n^{2026}} \\ & \leq \sqrt[n]{n^{2026}\cdot 4^n + n^{2026}\cdot 4^n + n^{2026}\cdot 4^n} \\ & = 4\sqrt[n]{3\cdot n^{2026}} \\ & = 4\sqrt[n]{3} \cdot\left(\sqrt[n]{n}\right)^{2026} = c_n. $$ Korzystając z podanych granic ciągów: $$ \LimInfty{\sqrt[n]{3}} = 1, \quad \LimInfty{\sqrt[n]{n}} = 1 $$ oraz operacji na granicach widzimy, że ```{math} \LimInfty{a_n} = \LimInfty{c_n} = 4. ``` Zatem z twierdzenia o 3. ciągach $$ \LimInfty{b_n} = 4. $$ ::: :::{prf:corollary} Jeśli $\LimInfty a_n = 0$ i ciąg $(b_n)$ jest ograniczony, to $\LimInfty a_n\cdot b_n = 0.$ ::: ::::{exercise} :label: lec-02-ex-02 :class: [exercise] Obliczmy granicę ciągu liczbowego: :::{container} columns-2-auto 1. $\LimInfty \frac {\sin \Paren{n^2+\sqrt{n}}} {n}$ 2. $\LimInfty \frac {2^n} {n!}$. ::: :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-03a-ex-02`, {numref}`prob-03a-ex-04`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown 1. Możemy skorzystać z wniosku. Zauważmy, że $$ \dfrac {\sin \Paren{n^2+\sqrt{n}}} {n} = \dfrac {1}{n} \cdot \sin \Paren{n^2+\sqrt{n}}, $$ przy czym: - $a_n = \dfrac 1 n \LimToInfty 0,$ - zaś $\Absolute{\sin \Paren{n^2+\sqrt{n}}} \leq 1$, więc ciąg $b_n = \sin \Paren{n^2+\sqrt{n}}$ jest ograniczony. 2. Przyjmijmy $a_n = \dfrac 2 n$ oraz $b_n = \dfrac {2^{n-1}} {(n-1)!}$ i zauważmy, że $\dfrac {2^n} {n!} = a_n \cdot b_n. $ Widzimy, że $\LimInfty{a_n} = 0$ oraz $$ 0 < b_n = \dfrac {2^{n-1}} {(n-1)!} & = \dfrac 2 {n-1} \cdot \dfrac 2 {n-2} \cdot \ldots \cdot \dfrac 2 {3} \cdot \dfrac 2 {2} \cdot \dfrac 2 {1} \\ & < 1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1\cdot 1\cdot 2 = 2, $$ więc $b_n$ jest ograniczony. Zatem $\LimInfty \frac {2^n} {n!} = 0$. ::: :::{prf:theorem} Jeśli ciąg monotoniczny (od pewnego miejsca) jest ograniczony, czyli $$ \exists m,M\in\rr\ m < a_n < M, $$ to jest zbieżny do granicy $g$, przy czym $\quad m \leq g \leq M$. ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-cell] from myst_nb import glue from IPython.display import Math glue("sageglue_2_0", Math(latex(DisplayInLine(list((1 + 1/n)^n for n in [1..10])))), display=False) ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-cell] from myst_nb import glue from IPython.display import Math glue("sageglue_2_1", Math(latex(DisplayInLine(list(((1 + 1/n)^n).n(20) for n in [1..10])))), display=False) ``` :::{prf:example} :class: [example] Niech $a_n = \left(1 + \frac 1 n\right)^n$ będą wyrazami ciągu. Pierwszych 10 wyrazów to: ```{glue:math} sageglue_2_0 ``` które w przybliżeniu są równe: ```{glue:math} sageglue_2_1 ``` Można pokazać, że jest on rosnący i ograniczony ($2 \leq a_n \leq 3$). Na mocy twierdzenia ma granicę w przedziale $[2,3]$. ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-cell] from myst_nb import glue from IPython.display import Math body_01 = latex(e.n(100)) content = rf""" e = \LimInfty \left(1 + \frac 1 n\right)^n \simeq {body_01}\ldots """ glue('sageglue_2_2', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False) ``` :::{prf:definition} **Liczbę Eulera** {index}`liczba Eulera` definiujemy jako granicę ```{glue:math} sageglue_2_2 ``` Podstawę $e$ w funkcji wykładniczej $e^x$ nazywamy **naturalną** (czyli jest to funkcja wykładnicza o podstawie naturalnej). Podobnie logarytm o podstawie $e$ nazywamy **logarytmem naturalnym** {index}`funkcja; logarytm naturalny` oznaczanym przez ```{math} \ln x = \log_e x . ``` ::: ## Granica niewłaściwa :::{prf:definition} **Rozbieżnym do plus nieskończoności** {index}`ciąg; rozbieżny do plus nieskończoności` nazywamy ciąg $(a_n)$, jeśli $$ \forall M\in\rr \ \exists n_M \in\rr\ \forall n > n_M\quad a_n > M. $$ Piszemy: $$ \LimInfty a_n = +\infty \qquad\text{lub}\qquad a_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty. $$ **Rozbieżnym do minus nieskończoności** {index}`ciąg; rozbieżny do minus nieskończoności` nazywamy ciąg $(a_n)$, jeśli $$ \forall M\in\rr \ \exists n_M\in\rr\ \forall n > n_M \quad a_n < M. $$ Piszemy: $$ \LimInfty a_n = -\infty \qquad\text{lub}\qquad a_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} -\infty. $$ W obu przypadkach mówimy, że $(a_n)$ ma **granicę niewłaściwą** {index}`granica; niewłaściwa`. ::: :::{prf:example} :class: [example] [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/wcsre7rc) 1. Dla $q>1$, $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \log_q n = + \infty$. Wystarczy w definicji przyjąć $n_M = q^M.$ Istotnie, ponieważ $\log_q$ jest funkcją rosnącą dla $q>1$ otrzymujemy ```{math} n > n_M = q^M \Quad{\imply} \log_q n > \log_q q^M = M, ``` 2. Analogicznie, dla $0 0$ i załóżmy, że istnieją granice $\LimInfty a_n = \LimInfty b_n = \pm \infty$ (obie takie same!). Wówczas: :::{container} columns-2-auto 1. $\LimInfty \frac 1 {a_n} = 0 \ $ 2. $\LimInfty -a_n = \mp\infty \ $ 3. $\LimInfty c\cdot a_n = \pm\infty \ $ 4. $\LimInfty a_n + b_n = \pm\infty\ $ 5. $\LimInfty a_n \cdot b_n = +\infty\ $. ::: :::: ## Ważne przykłady granic ::::{tip} Zbierzmy najważniejsze podstawowe przykłady granic ciągów: 1. $\LimInfty n^\alpha = \begin{cases} 0, & \text{dla } \alpha < 0 \\ 1, & \text{dla } \alpha = 0 \\ +\infty, & \text{dla } \alpha > 0 \end{cases} $ 2. $\LimInfty q^n = \begin{cases} 0, & \text{dla } -1 < q < 1 \\ 1, & \text{dla } q = 1 \\ +\infty, & \text{dla } q > 1 \end{cases} $ 3. $\LimInfty \log_q n = \begin{cases} -\infty, & \text{dla } 0 < q < 1 \\ +\infty, & \text{dla } q > 1 \end{cases} $ 4. $\LimInfty \sqrt[n]{a} = 1$ 5. $\LimInfty \sqrt[n]{n} = 1$ 6. $\LimInfty \Paren{1 + \dfrac{1}{n}}^n = e$ :::: ## Symbole nieoznaczone :::{prf:remark} W przypadku, gdy $\LimInfty a_n = 0$, $\LimInfty b_n = \pm\infty$, nie możemy bezpośrednio stwierdzić jaka jest granica $\LimInfty a_n\cdot b_n$. Istotnie, - jeśli $a_n = \frac 1 n \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$, $b_n = n^2 \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$, dostaniemy $\LimInfty a_n\cdot b_n = +\infty$ - jeśli $c\in\rr\setminus\Set{0}$, $a_n = \frac 1 n \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$, $b_n = c\cdot n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sgn c \cdot \infty$, dostaniemy $\LimInfty a_n\cdot b_n = c$ - jeśli $a_n = \frac 1 {n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$, $b_n = n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$, dostaniemy $\LimInfty a_n\cdot b_n = 0$. Mówimy, że $0\cdot\infty$ jest **symbolem nieoznaczonym**. ::: :::{prf:definition} Podstawowe **symbole nieoznaczone** {index}`ciąg; symbol nieoznaczony` to: $$ \displaystyle +\infty - \infty,\ -\infty + \infty,\ 0\cdot\infty,\ \frac 0 0,\ \frac \infty \infty,\ 1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0. $$ ::: ::::{exercise} :label: lec-02-ex-05 :class: [exercise] Obliczmy granice ciągów będących ilorazem sum potęg o różnych podstawach: :::{container} columns-2-auto 1. $\LimInfty \dfrac{2^n+4^n}{3\cdot 4^n+3^n}$ 2. $\LimInfty \dfrac{5^n+2^n}{3^n+4^n}$ 3. $\LimInfty \dfrac{4^n+2^n}{2^{2n+1}+3\cdot 4^n}.$ ::: :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-03a-ex-01`, {numref}`prob-03a-ex-03`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Kluczowa obserwacja: w sumie $a^n+b^n$ (dla $a,b>0$) przy $n\to\infty$ dominuje składnik o **większej podstawie**. Należy wyciągnąć przed nawias potęgę o największej podstawie z licznika i mianownika. 1. W liczniku i mianowniku dominuje $4^n$ (bo $4>3$ oraz $4>2$): $$ \LimInfty \frac{2^n+4^n}{3\cdot 4^n+3^n} = \LimInfty \frac{4^n\Paren{\Paren{\frac 2 4}^n + 1}} {4^n\Paren{3 + \Paren{\frac 3 4}^n}} = \LimInfty \frac{0+1}{3+0} = \frac 1 3. $$ 2. W liczniku dominuje $5^n$, w mianowniku dominuje $4^n$: $$ \LimInfty \frac{5^n+2^n}{3^n+4^n} = \LimInfty \frac{5^n\Paren{\Paren{\frac 2 5}^n + 1}} {4^n\Paren{\Paren{\frac 3 4}^n + 1}} = \LimInfty \Paren{\frac 5 4}^n \cdot \frac{1+0}{1+0} = +\infty, $$ ponieważ $\frac 5 4>1$. 3. W liczniku dominuje $4^n$ (bo $4>2$). W mianowniku $2^{2n+1}=2\cdot 4^n$, zatem $2^{2n+1}+3\cdot 4^n=5\cdot 4^n$ i również dominuje $4^n$ (bo $4>2$): $$ \LimInfty \frac{4^n+2^n}{2^{2n+1}+3\cdot 4^n} = \LimInfty \frac{4^n+2^n}{5\cdot 4^n} = \LimInfty \frac{1+\Paren{\frac 2 4}^n}{5} = \frac 1 5. $$ ::: ::::{exercise} :label: lec-02-ex-03 :class: [exercise] Policzmy granice: :::{container} columns-2-auto 1. $\LimInfty \frac{1 + \ldots + n}{2n^2 + 4\sqrt n + 1}$ 2. $\LimInfty \sqrt{n+2} - \sqrt{n}.$ ::: :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-03a-ex-01`, {numref}`prob-03a-ex-03`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown 1. Przypomnijmy, że $1 + \ldots + n = \frac {n(n+1)} 2 \LimToInfty +\infty$, więc $$ \LimInfty \frac{1 + \ldots + n}{2n^2 + 4\sqrt n + 1} = \IndefiniteSymbol & = \LimInfty \frac {n(n+1)} 2 \cdot\frac{1}{2n^2 + 4\sqrt n + 1} \\ & = \LimInfty \frac{\cancel{n^2}\left(1 + \frac 1 n \right)} {\cancel{n^2} \left(4 + 8\cdot \frac 1 {n \sqrt n} + 2\cdot \frac 1 {n^2}\right) } = \frac 1 4. $$ 2. Mamy symbol nieoznaczony $+\infty - \infty$, którego pozbędziemy się mnożąc licznik i mianownik (równy 1) przez sprzężenie ciągu: $$ \sqrt{n+2} - \sqrt{n} & = \frac {\Paren{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}\Paren{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}} {{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}} \\ & = \frac {n+2 - n} {{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}} = \frac {2} {{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}} \LimToInfty \Brack{\frac 2 {+\infty}} =0. $$ ::: :::{prf:proposition} Załóżmy, że $\LimInfty a_n = 0$, $\LimInfty b_n = \pm \infty$ oraz istnieje (niekoniecznie właściwa) granica $c = \LimInfty a_n\cdot b_n$. Wówczas $$ \LimInfty \left(1 + a_n \right)^{b_n} = \begin{cases} 0 & \text{dla } c = -\infty \\ e^{c} & \text{dla } c\in\rr \\ +\infty & \text{dla } c = +\infty \end{cases} . $$ ::: :::{prf:remark} 1. Jeśli chcemy skorzystać z tego stwierdzenia, musimy konicznie sprawdzić założenia! 2. W celu znalezienia wyrazów $a_n$, warto uświadomić sobie, że $\quad 1 + a_n = q_n \Leftrightarrow a_n = q_n -1.$ ::: ::::{exercise} :label: lec-02-ex-04 :class: [exercise] Policzmy granicę $\LimInfty \Paren{\frac{n^2-n+2}{n^2+1}}^{2n+1}$. :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-03a-ex-02`, {numref}`prob-03a-ex-04`, {numref}`prob-03a-ex-05`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Sprawdźmy założenia stwierdzenia: $$ a_n & = \frac{n^2 -n +2}{n^2+1} - 1 = \frac{\cancel{n^2} -n + 2 - \cancel{n^2} -1}{n^2 + 1} = \frac {\bcancel{n}\Paren{-1 + \frac 1 n}} {n^{\bcancel{2}}\Paren{1 + \frac 1 {n^2}}} \LimToInfty 0, \\ b_n & = 2n+1 \LimToInfty +\infty. $$ Możemy teraz obliczyć $$ c = \LimInfty a_n \cdot b_n = \LimInfty \frac{(-n + 1)(2n+1)}{n^2 + 1} = \LimInfty \frac{\cancel{n^2}\Paren{-1 + \frac 1 n}\Paren{2+\frac 1 n}} {\cancel{n^2}\Paren{1 + \frac 1 {n^2}}} = -2. $$ Korzystając ze stwierdzenia otrzymujemy $$ \LimInfty \Paren{\frac{n^2-n+2}{n^2+1}}^{2n+1} = e^{-2}. $$ ::: ## Funkcje hiperboliczne :::{narration} Nim przejdziemy do omawiania granic funkcji, zdefiniujemy jeszcze jedną bardzo ważną rodzinę funkcji. Są to funkcje hiperboliczne. ::: :::{prf:definition} Funkcja **sinus hiperboliczny** {index}`funkcja; sinus hiperboliczny` ```{math} \Sh = \sinh : \rr \to \rr,\quad \sinh(x) = \frac {e^x - e^{-x}}{2}, ``` jest rosnąca, zatem różnowartościowa, nieograniczona i nieparzysta. $R_{\sinh} = \rr$. ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show(plot( cosh(x), (x, -3, 3), thickness=3, color = PWRed, legend_label=r'$\cosh x$' ), transparent=True, frame=False ) ``` :::{prf:definition} Funkcja **cosinus hiperboliczny** {index}`funkcja; cosinus hiperboliczny` ```{math} \Ch = \cosh : \rr \to \rr,\quad \cosh(x) = \frac {e^x + e^{-x}}{2}, ``` jest malejąca dla $x < 0$, rosnąca dla $x > 0$, ograniczona z dołu i parzysta. $R_{\cosh} = [1,+\infty)$. ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show(plot( sinh(x), (x, -3, 3), thickness=3, color = PWRed, legend_label=r'$\sinh x$' ), transparent=True, frame=False ) ``` :::{prf:definition} Funkcja **tangens hiperboliczny** {index}`funkcja; tangens hiperboliczny` $$ \Th = \tgh : \rr \to \rr,\quad \tgh(x) = \frac {\sinh x} {\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}, $$ jest rosnąca, zatem różnowartościowa, ograniczona i nieparzysta. $R_{\tgh} = (-1,1)$. ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show(plot( tanh(x), (x, -3, 3), thickness=3, color = PWRed, legend_label=r'$\tanh x$' ), transparent=True, frame=False) ``` :::{prf:definition} Funkcja **cotangens hiperboliczny** {index}`funkcja; cotangens hiperboliczny` $$ \Cth = \ctgh : \rr\setminus\Set{0} \to \rr,\quad \ctgh(x) = \frac {\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}, $$ jest malejąca dla $x < 0$ i dla $x > 0$, różnowartościowa, nieograniczona i nieparzysta. $R_{\ctgh} = \rr\setminus [-1,1]$. ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show(plot( tanh(x)**(-1), (x, -3, 3), thickness=3, color = PWRed, detect_poles='show', ymin=-5, ymax=5, legend_label=r'$\coth x$' ), transparent=True, frame=False) ``` ::::{prf:proposition} Funkcje hiperboliczne mają następujące własności: :::{container} columns-2-auto 1. $\Ch^2 x - \Sh^2 x = 1\ $ 2. $\Ch^2 x + \Sh^2 x = \Ch 2x\ $ 3. $\Sh 2x = 2\Sh x \Ch x \ $ 4. $\displaystyle {\Ch^2 x} = \frac 1 {1-\Th^2 x}\ $. ::: ::::