--- title: "Lecture 3b: Ciągłość funkcji" lecture_number: 3 has_solutions: true has_exercises: true file_format: mystnb kernelspec: name: sagemath display_name: SageMath --- ```{include} ../_includes/sagecell-loader.md ``` # Ciągłość funkcji ## Ciągłość funkcji w punkcie :::{narration} Niech $f:X \to \rr$ i $x_0 \in X$. ::: :::{prf:definition} Funkcję $f$ nazywamy **ciągłą w punkcie $x_0$**, {index}`funkcja; ciągła w punkcie` **w sensie Cauchy'ego**, jeśli $$ \forall \epsilon > 0\ \exists \delta_\epsilon>0 \ \forall x\in X \quad |x - x_0| < \delta_\epsilon \imply |f(x)- f(x_0)| < \epsilon. $$ Funkcję $f$ nazywamy **ciągłą w punkcie $x_0$**, {index}`funkcja; ciągła w punkcie` **w sensie Heinego**, jeśli dla każdego ciągu $(a_n)$ o wyrazach ze zbioru $X$ ```{math} \LimInfty a_n = x_0 \imply \LimInfty f(a_n) = f(x_0). ``` ::: ::::{prf:remark} [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/mm6zdmwp) 1. Obie definicje ciągłości funkcji w punkcie są równoważne. 2. W definicji nie zakładamy, że $x_0$ jest punktem skupienia $X$! W definicji Heienego nie zakładamy, że $a_n \neq x_0$. 3. Jeśli $x_0$ jest punktem izolowanym $X$, to funkcja jest ciągła w $x_0$! 4. Jeśli $x_0$ jest punktem skupienia $X$, to funkcja jest ciągła w $x_0$ $\qlq$ $\LimIn{x_0} f(x) = f(x_0).$ 5. Jeśli $x_0 \notin X$, to $f$ nie jest ciągła w $x_0$, nawet jeśli ma tam w $x_0$ granicę. :::: ::::{prf:definition} Funkcję $f:X\to\rr$ nazywamy 1. **ciągłą na zbiorze $A \subseteq X$** {index}`funkcja; ciągła; na zbiorze`, jeśli jest ciągła w każdym punkcie zbioru $A$. 2. **ciągłą** {index}`funkcja; ciągła`, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. :::: ::::{prf:example} :class: [example] 1. Funkcja $f(x) = c$ jest ciągła, bo $\LimInfty a_n = x_0 \imply \LimInfty f(a_n) = c = f(x_0)$. 2. Funkcja $f(x) = x$ jest ciągła. Jeśli $\LimInfty a_n = x_0$, to $f(a_n) = a_n \LimToInfty x_0 = f(x_0)$. 3. Funkcja $f(x) = \sin x$ jest ciągła. Zgodnie z definicją Cauchy'ego, dla ustalonego $\epsilon > 0$ musimy znaleźć $\delta_\epsilon > 0$ dające zadość warunkowi ```{math} |x - x_0| < \delta_\epsilon \imply |\sin x - \sin x_0| < \epsilon. ``` Zauważmy, że $$ \left|\sin x - \sin x_0\right| & = \left|2\sin\frac {x-x_0} 2 \cos\frac {x+x_0} 2 \right| \\ & \leq 2\left|\sin\frac {x-x_0} 2 \right| \\ & \leq 2\left|\frac{x- x_0} 2\right| = |x- x_0|. $$ Zatem wystarczy wziąć $\delta_\epsilon = \epsilon$. :::: :::{prf:theorem} o lokalnym zachowaniu znaku funkcji ciągłej :oasis-title: Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku funkcji ciągłej Jeśli funkcja $f: X \to \rr$ jest ciągła w punkcie $x_0$ i $f(x_0) \neq 0$, to istnieje otoczenie $x_0$, na którym funkcja ma ten sam znak co $f(x_0)$. ::: :::{prf:theorem} o działaniach arytmetycznych na funkcjach ciągłych :oasis-title: Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na funkcjach ciągłych Niech $f,g:X \to \rr$ będą funkcjami ciągłymi w punkcie $x_0\in X$. Wówczas $c\cdot f(x),\ f(x) \pm g(x), \ f(x) \cdot g(x) $ są ciągłe w $x_0$ $\frac{f(x)} {g(x)}$ jest ciągła w $x_0$, jeśli tylko $g(x_0)\neq 0.$ ::: :::{prf:example} :class: [example] 1. Z ciągłości funkcji stałej i $\id_\rr$, oraz powyższego twierdzenia wnioskujemy ciągłość wielomianów i funkcji wymiernych. 2. Ciągłość funkcji wykładniczej $f(x) = a^x$ dla $a>0$. Wiemy, że $\LimInfty \sqrt[n] a = \LimInfty a^{\frac 1 n} = 1$, co można uogólnić do $\LimIn{0} a^x = 1$. Zatem $\LimIn{0} f(x) = f(0),$ co daje ciągłość w $x_0 = 0.$ Dalej, $$ \LimIn{x_0} f(x) & = \LimIn{x_0} {a^x} = \LimIn{x_0} a^{x_0}\cdot a^{x-x_0} \\ & = a^{x_0}\cdot \LimIn{x_0} a^{x-x_0} = \WaveBrack{ y &= x - x_0 \\ y & \LimTo{x_0} {0} } \\ & = a^{x_0}\cdot \LimIn[y]{0} a^{y} = a^{x_0} = f(x_0), $$ co daje ciągłość w $x_0\in \rr.$ 3. Z ciągłości funkcji wykładniczej i na mocy powyższego twierdzenia, ciągłe są funkcje hiperboliczne $\sinh$ i $\cosh$ jako sumy funkcji wykładniczych $e^x$ oraz $e^{-x} = \left(\frac 1 e\right)^x$ pomnożonych przez stałe: ```{math} \begin{aligned} \sinh(x) & = \frac 1 2 {e^x} - \frac 1 2 e^{-x}, & \cosh(x) & = \frac 1 2 {e^x} + \frac 1 2 e^{-x}. \end{aligned} ``` Ponadto funkcje hiperboliczne $\tgh$ i $\ctgh$ są ciągłe jako ilorazy powyższych funkcji. 4. Funkcja $f(x) = {x \cdot \sin \frac 1 x}$ jest ciągła w dziedzinie $D_f= \rr\setminus\Set{0}$. Zatem jest ciągła. Zauważmy, że $\LimIn{0} x\cdot \sin \tfrac 1 x = 0$. Istotnie, $f$ jest iloczynem funkcji $x\mapsto x$, której granica w $0$ jest równa $0$, oraz funkcji $x \mapsto \sin \frac 1 x$, której wartości są ograniczone do przedziału $[-1, 1]$. Niemniej jednak, $f$ nie jest ciągła w punkcie $0$, gdyż $0\notin D_f$! ::: :::{prf:theorem} o ciągłości funkcji złożonej :oasis-title: Twierdzenie o ciągłości funkcji złożonej Jeśli funkcja $h:X\to Y$ jest ciągła w punkcie $x_0$ i funkcja $g:Y\to \rr$ jest ciągła w punkcie $h(x_0)$, to funkcja $g\circ h$ jest ciągła w punkcie $x_0.$ ::: :::{prf:example} :class: [example] 1. Funkcja $f(x) = \cos(x)$ jest ciągła jako złożenie funkcji ciągłych $\sin x$ oraz $x+ \frac\pi 2$: $$ \cos x = \sin\left(x+ \tfrac\pi 2 \right). $$ 2. Funkcje tangens i cotangens są ciągłe jako ilorazy funkcji ciągłych: ```{math} \begin{aligned} \tg(x) & = \frac {\sin x} {\cos x}, & \ctg(x) & = \frac {\cos x} {\sin x}. \end{aligned} ``` ::: :::{prf:theorem} o ciągłości funkcji odwrotnej :oasis-title: Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej Jeśli $I\subseteq \rr$ jest przedziałem i funkcja $f: I\to \rr$ jest ciągła i rosnąca (malejąca), to przeciwdziedzina $R_f = \Set{f(x) : x\in I}$ jest przedziałem oraz funkcja odwrotna $f^{-1}:R_f \to I$ jest ciągła i rosnąca (odp. malejąca). ::: ::::{prf:example} :class: [example] 1. Na mocy wcześniejszych rozważań i powyższego twierdzenia, ciągłe są funkcje logarytmiczne i cyklometryczne. 2. Dla dowolnego $\alpha\in \rr$, funkcja potęgowa $f(x) = x^\alpha = \Paren{e^{\ln x}}^\alpha = e^{\alpha \ln x}$ jest zatem ciągła jako złożenie funkcji ciągłych $e^x$ i $\alpha\ln x$. :::: :::{prf:theorem} o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej :oasis-title: Twierdzenie o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej Dla $x_0 \in \rr\cup\Set{\pm\infty}$, jeśli istnieje granica właściwa $\LimIn{x_0} f(x) = u_0 \in X$ i funkcja $h: X\to \rr$ jest ciągła w punkcie $u_0$, to $$ \LimIn{x_0} h\circ f(x) = h\left(\LimIn{x_0} f(x)\right) = h(u_0). $$ ::: ::::{exercise} :label: lec-04-ex-01 :class: [exercise] Policzmy granice: :::{container} columns-2-auto 1. $\LimIn{0} \cos\left(\frac {\sin \pi x} x \right) $ 2. $\LimIn{0} \frac {\log_a (1+ x)} x $ ::: 3. $\LimIn{x_0} f(x)^{g(x)}$, jeśli wiadomo, że $f>0$ oraz $ \LimIn{x_0} f(x) = a, \LimIn{x_0} g(x) = b.$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-01`, {numref}`prob-04-ex-05`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown 1. Ponieważ funkcja $\cos x$ jest ciągła (w każdym punkcie), to $$ \LimIn{0} \cos\left(\frac {\sin \pi x} x \right) = \cos \Paren{\LimIn{0} \frac {\sin \pi x} x } = \cos \Paren{\LimIn{0} \pi \cdot \frac {\sin \pi x} {\pi x} } = \cos \pi = -1. $$ 2. Zauważmy, że $\dfrac {\log_a (1+ x)} x = \log_a (1+x)^{\frac 1 x} .$ Ponieważ funkcja $\log_a x$ jest ciągła w swojej dziedzinie, to $$ \LimIn{0} \frac {\log_a (1+ x)} x = \log_a \Paren{\LimIn{0} (1+ x)^{\frac 1 x}} =\log_a e . $$ 3. Zauważmy, że $a = e^{\ln a}$ dla $a>0$, więc $$ \LimIn{x_0} f(x)^{g(x)} & = \LimIn{x_0} e^{\ln f(x)^{g(x)}} = \LimIn{x_0} \exp\Paren{g(x)\ln f(x)} = \exp\Paren{\LimIn{x_0} g(x)\ln f(x)} \\ & = \exp\Paren{\LimIn{x_0} g(x) \cdot \ln\Paren{ \LimIn{x_0} f(x) }} = e^{b \ln a} = e^{\ln a^b} = a^b. $$ ::: ## Punkty nieciągłości funkcji :::{prf:definition} **Punktem nieciągłości** {index}`punkt; nieciągości` funkcji $f:X \to \rr$ nazywamy $x_0 \in X$, w którym nie jest ona ciągła. **Izolowanym punktem nieciągłości** {index}`punkt; nieciągłości; izolowany` nazywamy punkt nieciągłości $x_0\in X$ funkcji $f:X\to \rr$, jeśli istnieje sąsiedztwo $x_0$, w którym $f$ jest ciągła. ::: :::{prf:definition} Izolowany punkt nieciągłości jest **I-go rodzaju** {index}`punkt; nieciągłości; I-go rodzaju`, jeśli w tym punkcie istnieją granice jednostronne właściwe. W przeciwnym przypadku jest on **II-go rodzaju** {index}`punkt; nieciągłości; II-go rodzaju`. ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show(sum(line([((n+2)^(-1)+0.01,0),((n+1)^(-1)-0.01,0)], thickness=3, color=PWBlue) for n in range(20)) + sum(circle(((n+1)^(-1),0), 0.01, thickness=1, color=PWBlue) for n in range(20)) + sum(circle(((n+1)^(-1),1), 0.01, thickness=0, fill=True, facecolor=PWBlue) for n in range(20)) + circle((0,0), 0.01, thickness=0, fill=True, facecolor=PWBlue) + line([(1+0.01,0),(1+4*0.01,0)], thickness=3,color=PWBlue)+ line([(-4*0.01,0),(-0.01,0)], thickness=3, color=PWBlue), transparent=True, frame=False) ``` :::{prf:example} :class: [example] Rozważmy funkcję $$ f(x) = \begin{cases} 1, & \text{dla } x\in\Set{\frac 1 n : n\in \nn} \\ 0, & \text{w p.p.} \end{cases}. $$ Jest ona nieciągła w punktach $x=\tfrac 1 n$ dla $n \in \nn$, gdyż ```{math} \begin{aligned} \LimIn{\frac 1 n} f(x) & = 0 \neq 1 = f\Paren{\tfrac 1 n}, \quad \text{dla } n\in \nn; \end{aligned} ``` oraz w punkcie $x=0$, gdyż dla ciągów $-\frac 1 n \LimToInfty 0$, $\frac 1 n \LimToInfty 0$ mamy: ```{math} \begin{aligned} \LimInfty f\Paren{-\tfrac 1 n} & = 0 \neq 1 = \LimInfty f\Paren{\tfrac 1 n}. \end{aligned} ``` Punkt $0$ nie jest izolowany, gdyż w każdym sąsiedztwie tego punkt $S(0,\delta)$ są punkty $\tfrac 1 n < \delta$, w których $f$ jest również nieciągła. Izolowane punkty nieciągłości ze zbioru $\Set{ \frac 1 n : n\in \nn}$ są I-go rodzaju. ::: ::::{exercise} :label: lec-04-ex-02 :class: [exercise] [GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/mezv2dru) Dla każdego parametru $a\in \rr$ zbadajmy ciągłość w każdym punkcie dla funkcji $$ f(x) = \begin{cases} (a + \cos x)^2, & \text{dla } x < 0 \\ \ln\Paren{e+x^2} & \text{dla } x = 0 \\ \dfrac {\sin x^2} {x^2 + x^3}, & \text{w p.p. } \end{cases} . $$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-02`, {numref}`prob-04-ex-03`, {numref}`prob-04-ex-06`, {numref}`prob-04-ex-07`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Dziedzina funkcji to $D_f = \rr$. 1. Dla $x<0$, $f(x) = (a + \cos x)^2 = a^2 + 2a\cos x + \cos^2 x$, więc $f$ jest ciągła w każdym punkcie jako suma funkcji ciągłych: - stałej $a^2$ - iloczynu stałej $2a$ i trygonometrycznej $\cos x$ - $\cos^2 x = \cos x \cdot \cos x$, która jest iloczynem funkcji trygonometrycznych $\cos x$. 2. Dla $x > 0$: - $\sin x^2$ jest złożeniem funkcji ciągłych $\sin x$ i $x^2$, więc jest ciągła; - $f$ jest ilorazem funkcji ciągłych $\sin x^2$ i wielomianu $x^2 + x^3$, więc jest ciągła w każdym punkcie. 3. Dla $x=0$: $f$ jest ciągła w $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\Quad{\LimIn{0} f(x) = f(0).}$ Obliczmy: $$ \LimIn{0^-} f(x) & =\LimIn{0^-} (a + \cos x)^2 = (a+1)^2, & f(0) & = \ln e = 1, \\ \LimIn{0^+} f(x) & = \LimIn{0^+} \frac {\sin x^2} {x^2 + x^3} = \LimIn{0^+} \frac {\sin x^2} {x^2} \cdot \frac 1 {1+x} = 1. $$ Układ równań $\Quad{\LimIn{0^-} f(x) = \LimIn{0^+} f(x) = f(0)} $ jest spełniony dla $a \in \Set{ -2, 0}$ i dla takich parametrów funkcja jest ciągła w punkcie $0$. Ponieważ granice jednostronne właściwe istnieją, to dla $a \in \rr \setminus\Set{-2,0}$ w punkcie $0$ występuje nieciągłość I-go rodzaju. ::: ## Własności funkcji ciągłych :::{prf:theorem} Darboux, o przyjmowaniu wartości pośrednich :oasis-title: Twierdzenie Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich Jeśli funkcja $f:[a,b]\to \rr$ jest ciągła, $f(a) \neq f(b)$ oraz liczba $y_0$ jest zawarta między $f(a)$ i $f(b)$, to istnieje $x_0\in (a,b)$ taki, że $y_0 = f(x_0).$ ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show(plot(x^2, (x, -1, 2), thickness=3, color = PWBlue, legend_label=r'$x^2$', ticks=[[-1,sqrt(2),2],[1,2,4]], fontsize=30, tick_formatter=[["$a=-1$", "$x_0$","$b=2$"],["$f(a) = 1$","$y_0 = 2$","$f(b) = 4$"]] ) + line([(-1.1,1),(2.1,1)], thickness=1, color='black') + line([(-1.1,4),(2.1,4)], thickness=1, color='black') + line([(-1.1,2),(2.1,2)], thickness=1, rgbcolor=(0.72,0,0)) + point([(-1,1),(2,4),(sqrt(2),2)], pointsize=40, rgbcolor=(0.72,0,0)), transparent=True, frame=False) ``` :::{prf:remark} 1. Interpretacja geometryczna: każda prosta $y=y_0$, dla $y_0$ między $f(a)$ i $f(b)$, przecina wykres funkcji w co najmniej jednym punkcie. 2. Twierdzenie zachodzi jedynie dla przedziału domkniętego. Jeśli rozpatrzymy ciągłą funkcję $$ f(x) = x^2 \quad\text{na zbiorze } X = \qq\cap[-1,2], $$ to $f(-1) = 1$ i $f(2) = 4$, ale nie istnieje $x_0\in X$ taki, że $f(x_0) = 2 \in (1,2)$, gdyż rozwiązanie równania $x^2 = 2$ nie jest liczbą wymierną! ::: ::::{exercise} :label: lec-04-ex-03 :class: [exercise] Pokażmy, że równanie $x^3 + x - \frac 1 2 = 0$ ma pierwiastek w przedziale $\Paren{0,\frac 1 2}.$ :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-04`, {numref}`prob-04-ex-08`, {numref}`prob-04-ex-09`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Funkcja $f(x) = x^3 + x -\frac 1 2$ jest jako wielomian ciągła na przedziale $\Brack{0,\ \frac 1 2}$. Na krańcach tego przedziału przyjmuje wartości $$ f(0) = -\tfrac 1 2 < 0 \qtq[oraz] f\Paren{\tfrac 1 2} = \tfrac 1 8 + \tfrac 1 2 - \tfrac 1 2 = \tfrac 1 8 >0. $$ Przyjmując w twierdzeniu Darboux $a = 0, b = \frac 1 2, y_0 = 0 \in \Paren{-\frac 1 2,\ \frac 1 8}$, wnioskujemy, że istnieje $x_0 \in \Paren{0,\ \frac 1 2}$ taki, że $f(x_0) = 0$, czyli $x_0$ jest pierwiastkiem równania. ::: ::::{exercise} :label: lec-04-ex-04 :class: [exercise] Pokażmy, że równanie $\sin x = x -1 $ ma rozwiązanie. :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-04`, {numref}`prob-04-ex-08`, {numref}`prob-04-ex-09`. ::: :::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show(plot( sin(x), (x, -pi, pi), thickness=3, color = PWBlue, aspect_ratio=1, legend_label=r'$\sin x$', ) + plot( x-1, (x, -pi, pi), thickness=3, color = PWRed, legend_label=r'$x-1$' ), transparent=True, frame=False) ``` :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Funkcja $f(x) = \sin x - x + 1$ jest ciągła jako suma funkcji $\sin x$ i wielomianu $-x-1.$ Pa podstawie rysunku poglądowego spodziewamy się, że rozwiązanie będzie w okolicach $2$, więc dla łatwości rachunków przyjmijmy w twierdzeniu Darboux: ```{math} \begin{aligned} a & = 0, & f(a) & = \sin 0 + 1 = 1 > 0, \\ b & = \pi, & f(b) & = \sin \pi - \pi + 1 = 1 - \pi < 0. \end{aligned} ``` Wnioskujemy, że istnieje $x_0 \in \Paren{0,\ \pi}$ taki, że $f(x_0) = 0 \in \Paren{1-\pi,\ 1}$, czyli $x_0$ jest rozwiązaniem równania. ::: ::::{exercise} :label: lec-04-ex-05 :class: [exercise] Pokażmy, że $f(x) = \frac 1 4 {x^3} - \sin \pi x $ przyjmuje wartość $-\frac 1 3$ dla $x\in(-2,2)$. :::{note} :class: [see-problem] Pomoże rozwiązać {numref}`prob-04-ex-04`, {numref}`prob-04-ex-08`, {numref}`prob-04-ex-09`. ::: :::: :::{solution-without-reference} :class: [solution] dropdown Funkcja $f(x) = \frac 1 4 {x^3} - \sin \pi x$ jest ciągła jako suma wielomianu $\frac 1 4 x^3$ i złożenia funkcji $\sin x$ z wielomiane $\pi x$. Przyjmijmy w twierdzeniu Darboux: ```{math} \begin{aligned} a & = -2, & f(a) & = -2 - 0 = -2, \\ b & = 2, & f(b) & = 2-0 = 2. \end{aligned} ``` Ponieważ $-\frac 1 3 \in \Paren{-2,\ 2}$, to wnioskujemy, że istnieje $x_0 \in \Paren{-2,\ 2}$ taki, że $f(x_0) = - \frac 1 3$. ::: :::{prf:theorem} Weierstrassa, o przyjmowaniu wartości ekstremalnych :oasis-title: Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu wartości ekstremalnych Jeśli funkcja $f:[a,b]\to \rr$ jest ciągła, to jest ograniczona i istnieją $x_{min}, x_{max} \in [a,b]$ takie, że ```{math} \forall x\in[a,b]\qquad f(x_{min}) \leq f(x) \leq f(x_{max}). ``` ::: :::{prf:corollary} Przy założeniach i oznaczeniach twierdzenia Weierstrassa ```{math} R_f = f([a,b]) = \Brack{f(x_{min}),\ f(x_{max})}. ``` ::: ```{code-cell} sage :tags: [remove-cell] eps = 0.02 ``` ```{code-cell} sage :tags: [remove-input, hide-output] show(plot( x, (x, 0+eps, 1-eps), thickness=3, color = PWBlue, legend_label=r'$x$', aspect_ratio=1, ymax = 1, )+ circle((0,0), eps, thickness=1, color=PWBlue) + circle((1,1), eps, thickness=1, color=PWBlue) + circle((0,1/2), eps, thickness=0, fill=True, facecolor=PWBlue) + circle((1,1/2), eps, thickness=0, fill=True, facecolor=PWBlue), transparent=True, frame=False) ``` :::{prf:remark} 1. Funkcja ciągła na przedziale otwartym może być nieograniczona, więc wartości ekstremalne mogą nie istnieć. Na przykład ```{math} f(x) = \frac 1 x,\quad \text{dla } x \in (0,1) ``` nie jest ograniczona z góry. 2. Ograniczona funkcja ciągła na przedziale otwartym nie musi przyjmować wartości ekstremalnych. Na przykład: ```{math} f(x) = x, \quad \text{dla } x\in (0,1). ``` 3. Funkcja nieciągła na przedziale domkniętym nie musi przyjmować wartości ekstremalnych. Na przykład $$ f(x) = \begin{cases} x & \text{dla } x \in (0,1) \\ \frac 1 2 & \text{dla } x \in \Set{0,1} \end{cases} $$ jest ciągła poza punktami $0$ i $1$, gdyż ```{math} \begin{aligned} \LimIn{0^+} f(x) & = 0 \neq \tfrac 1 2 = f(0), & \LimIn{1^-} f(x) & = 1 \neq \tfrac 1 2 = f(1). \end{aligned} ``` Ponadto $R_f = (0,1)$, więc wartości ekstremalne nie są przyjmowane. :::