---
title: "Lecture 7: Całka oznaczona Riemanna"
lecture_number: 7
has_solutions: true
has_exercises: true
file_format: mystnb
kernelspec:
  name: sagemath
  display_name: SageMath
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Całka oznaczona Riemanna

## Definicja sumy całkowej Riemanna

:::{prf:definition}

**Podziałem przedziału** {index}`podział przedziału` $[a,b]$
nazywamy skończony zbiór punktów
$\Delta_n = \Set{x_0, x_1,\ldots, x_n}\subseteq [a,b]$,
przy czym

```{math}
a = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b.
```

:::

:::{narration}

Zatem podział $\Delta_n$ wyznacza zbiór $n$ podprzedziałów
$[x_{k-1}, x_k]\subseteq [a,b]$, dla $k = 1, \ldots, n$,
których suma daje cały przedział $[a,b]$.

Długość $k$-tego przedziału
oznaczmy przez

```{math}
\Delta x_k = x_k - x_{k-1} .
```

:::

:::{prf:definition}

**Średnicą podziału** {index}`średnica  podziału` $\Delta_n$
nazywamy
liczbę

```{math}
\delta_n = \max \Set{\Delta x_k : k = 1,\ldots, n}
```

:::

:::{prf:example}
:class: [example]

Zapiszmy _explicite_ wzór na punkt $x_k$ podziału
$\Delta_n = \Set{x_0, x_1,\ldots, x_n}$
przedziału
$[a,b]$ na $n$ podprzedziałów równej długości.

Ponieważ składa się on z $n$ odcinków równej długości,
to

$$
n\cdot \Delta x_k = b-a
   \Quad{\Rightarrow}
   x_k - x_{k-1} = \Delta x_k = \frac {b-a} n.
$$

Zatem $(x_k)$ jest kawałkiem ciągu arytmetycznego
o początkowym wyrazie $x_0 = a$ i kroku $\frac{b-a}{n}$, co implikuje:

$$
x_k = a + k\cdot \frac{b-a}{n} ,
   \quad
   \text{dla }
   k= 0, \ldots, n .
$$

Średnica tego podziału jest oczywiście równa
$
\delta_n = \frac {b-a} n .
$
:::

:::{prf:definition}

**Sumą całkową Riemanna** {index}`suma całkowa Riemanna`
funkcji $f:[a,b] \to \rr$, odpowiadającą podziałowi $\Delta_n$, nazywamy sumę iloczynów

```{math}
\sigma_n = \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\cdot \Delta x_k.
```

gdzie dla każdego $k = 1,\ldots, n$ wybieramy **pewną wartość**
$ \xi*k \in [x*{k-1}, x_k].$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
   var('x')
   c = 1
   f1(x) = .8*((x-c)^3-2*(x-c)+1.5)
   a = -1 + c
   b = 1 + c

   abTicks = plot(0, (x, a, b),
   thickness=0,
   color = PWBlue,
   fontsize=30,
   ticks=[[a+.01,b],[]],
   tick_formatter=[["$a$","$b$"],[]])

   One = RandomRiemannSum(f1,a,b,4)
   Two = RandomRiemannSum(f1,a,b,8)
   Three = RandomRiemannSum(f1,a,b,16)
   Four = RandomRiemannSum(f1,a,b,32)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(abTicks + One[2],
   transparent=True, frame=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(abTicks + Two[2],
   transparent=True, frame=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(abTicks + Three[2],
   transparent=True, frame=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(abTicks + Four[2],
   transparent=True, frame=False)
```

:::{prf:remark}

Suma całkowa wyznacza sumę pól prostokątów o bokach
$[x_{k-1}, x_k]$ i $[0,f(\xi_k)].$

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
f(x) = x
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(HomogeneousRiemannSum(f,0,2,10)[2],
   transparent=True, frame=False)
```

:::{prf:example}
:label: wyp:SumaRiemanna
:class: [example]

Dla funkcji

$$
f(x) = x,
   \quad
   \text{gdzie } x\in [0,t]
$$

obliczmy
sumę całkową Riemanna odpowiadającą podziałowi
$[0,t]$ na $n$ podprzedziałów równej długości
i $\xi_k = x_k$.

Przyjmując $a = 0, b=t$ otrzymujemy:

$$
\begin{aligned}
\Delta x_k & = \frac {t-0} n = \frac t n ,
& \xi_k & = x_k = 0 + k\cdot \frac {t-0} n = k\cdot\frac t n
\end{aligned}
$$

dla
$k = 1, \ldots, n$.

Stąd

$$
\sigma_n
   = \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\cdot \Delta x_k
   = \sum_{k=1}^n k\cdot\frac t n \cdot \frac t n
   = \frac {t^2}{n^2} \cdot \sum_{k=1}^n k
   = \frac {t^2}{n^2} \cdot \frac {n(n+1)} 2
   = \Paren{1 + \frac 1 n} \frac {t^2} 2.
$$

:::

## Określenie całki oznaczonej Riemanna

:::{narration}

W dalszej kolejności interesować nas będą ciągi podziałów.

Każdemu ciągowi podziałów $(\Delta_n)$ przedziału $[a,b]$
odpowiada ciąg średnic $(\delta_n)$.
:::

:::{prf:definition}

Ciąg podziałów $(\Delta_n)$ przedziału $[a,b]$ nazywamy
**ciągiem normalnym** {index}`ciąg; normalny`,
jeśli odpowiadający mu ciąg średnic $(\delta_n)$
jest zbieżny do $0$ (tzn. $\LimInfty{\delta_n} = 0$).
:::

:::{prf:example}
:class: [example]

1. Ciąg podziałów przedziału $[a,b]$ na $n$ podprzedziałów równej długości
   jest ciągiem normalnym.

   Istotnie, $\delta_n = \frac {b-a} {n} \LimToInfty{0}$.
2. Niech
   $
   \Delta_n = \Set{0, \frac 1 {2^n}, \ldots, \frac 1 4, \frac 1 2, 1},
   $
   dla $n\in \nn$, będzie podziałem przedziału $[0,1]$.

   Zauważmy, że $\delta_n = \frac 1 2$, więc
   $
   \LimInfty \delta_n = \tfrac 1 2,
   $
   czyli ciąg podziałów $(\Delta_n)$ nie jest normalny.
:::

:::{prf:definition}

Dla funkcji $f: [a,b] \to \rr$,
jeśli dla każdego ciągu normalnego $(\Delta_n)$ podziałów
przedziału $[a,b]$
i każdego wyboru punktów $\xi_k$,
ciąg sum całkowych $(\sigma_n)$ jest zbieżny
do tej samej granicy właściwej $g\in\rr$, to
nazywamy ją
**całką oznaczoną (Riemanna)** {index}`całka; oznaczona Riemanna`
funkcji $f$ na przedziale $[a,b]$
i oznaczmy symbolem

```{math}
\IntDef{a}{b}{f(x)} = g.
```

:::

:::{narration}

Można zatem w skrócie napisać:

```{math}
\IntDef{a}{b}{f(x)} = \LimInfty{\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\cdot \Delta x_k}.
```

:::

:::{prf:definition}

Jeśli $\displaystyle \IntDef{a}{b}{f(x)}$ istnieje, to: - funkcję $f$ nazywamy **podcałkową** i mówimy, że jest
**całkowalna** {index}`funkcja; całkowalna` (w sensie Riemanna)

- przedział $[a,b]$ nazywamy **przedziałem całkowania**
- punkty $a, b$ nazywamy odpowiednio **dolną i górną granicą całkowania**.
  :::

:::{narration}

Do tego miejsca całka oznaczona $\displaystyle \IntDef{a}{b}{f(x)}$
określona była dla $a < b$.
:::

:::{prf:definition}

Jeśli **$a > b$**,
to definiujemy

```{math}
\IntDef{a}{b}{f(x)}  =  - \IntDef{b}{a}{f(x)}.
```

Ponadto dla dowolnej funkcji $f$ i $a\in\rr$ przyjmujemy, że

```{math}
\IntDef{a}{a}{f(x)} = 0.
```

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(abTicks + PlotUnderGraph(f1,a,b,"$D$"),
   transparent=True, frame=False)
```

:::{prf:remark}

Niech $f:[a,b] \to \rr$ będzie **nieujemną** funkcją ciągłą.

Rozważmy figurę płaską

```{math}
D = \Set{(x,y)\in \rr^2 : a \leq x \leq b, \ 0 \leq y \leq f(x)},
```

czyli obszar ograniczony przez: oś $OX$, wykres funkcji $f$,
oraz proste $x = a$ i $x = b$.

Zauważmy, że
w tym przypadku
ciąg sum całkowych Riemanna
dąży w granicy
do pola $D$.
:::

:::{prf:definition}

**Pole figury** {index}`pole figury` $D$ z powyższej uwagi
definiujemy jako całkę oznaczoną

```{math}
\displaystyle |D| = \IntDef{a}{b}{f(x)}.
```

:::

:::{prf:example}
:class: [example]

1. Dla funkcji stałej $f(x) = c$, $x\in [a,b]$,
    obszar $D$ jest prostokątem o podstawie $b-a$ i wysokości $c$,
    więc (dość łatwo można dowieść nawet z definicji, że)

   ```{math}
   \IntDef{a}{b}{c} = c \cdot(b-a).
   ```

2. Dla danych z {prf:ref}`wyp:SumaRiemanna` mamy

   $$
   \LimInfty \sigma_n =
   \LimInfty \Paren{1 + \frac 1 n} \frac {t^2} 2 =
   \frac {t^2} 2.
   $$

   To oznacza, że jeśli

   $$
   \IntDef{0}{t}{x}
   $$

   istnieje, to jest równa $\displaystyle \frac {t^2} 2$.

   Aby to udowodnić należałoby policzyć granice dla wszystkich ciągów normalnych!

   Wynik jest zgodny z interpretacją geometryczną
   całki oznaczonej, gdyż
   pole trójkąta o podstawie $t$ i wysokości $t$
   jest równe $\displaystyle \frac {t^2} 2$.
:::

## Podstawowe własności całki oznaczonej

:::{prf:theorem} warunek konieczny

Jeśli funkcja $f: [a,b] \to \rr$ jest całkowalna,
to jest ograniczona.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(plot(
[0, 1],
(x, 0, 1),
thickness=3, aspect_ratio=1, detect_poles='show',  ymin=0, ymax=1,
color = PWRed,
legend_label=r'$\chi_{[0,1]}(x)$'
),
   transparent=True, frame=False)
```

:::{prf:example}
:class: [example]

Istnieją funkcje ograniczone, które nie są całkowalne.

Dla przykładu, funkcja Dirichleta $D: [a,b]\to \rr$,

$$
D(x) =
   \begin{cases}
   1 & \text{dla } x\in \qq \\
   0 & \text{w p.p.}
   \end{cases}.
$$

Jeśli weźmiemy ciąg podziałów na $n$ równych odcinków,
i w każdym z nich będziemy wybierać
$\xi_k\in \qq$, to

$$
\LimInfty{\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\cdot \Delta x_k}
   = \LimInfty{\sum_{k=1}^n 1 \cdot \Delta x_k}
= \LimInfty{b-a}
   = b-a
$$

jeśli zaś $\xi_k\neq \qq$, to

$$
\LimInfty{\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\cdot \Delta x_k}
   = \LimInfty{\sum_{k=1}^n 0 \cdot \Delta x_k}
   = \LimInfty{0}
   = 0 .
$$

Nie istnieje ta sama granica dla każdego ciągu normalnego.
:::

:::{prf:theorem}

[warunek dostateczny]
Jeśli funkcja $f: [a,b] \to \rr$ jest ciągła poza skończoną liczbą punktów,
to jest całkowalna na $[a,b]$ w sensie Riemanna.
:::

:::{narration}

**Zbiór wszystkich funkcji całkowalnych** na przedziale $[a,b]$ oznaczymy przez

$$
R[a,b] = \Set{f :
      \text{istnieje }\IntDef{a}{b}{f(x)} }.
$$

:::

:::{prf:theorem}

Niech $a,b\in\rr$ oraz $f,g \in R[a,b]$.

Wówczas:

1. jeśli $f$ i $g$ różnią się w skończonej liczbie punktów, to
   $\displaystyle \IntDef{a}{b}{f(x)} = \IntDef{a}{b}{g(x)}\ $
2. jeśli $\forall x\in [a,b] \ f(x) \leq g(x)$, to
   $\displaystyle \IntDef{a}{b}{f(x)} \leq \IntDef{a}{b}{g(x)}$
3. jeśli $c \in (a,b)$, to
   $f|_{[a,c]} \in R[a,c]$, $f|_{[c,b]} \in R[c,b]$ oraz

   ```{math}
   \IntDef{a}{b}{f(x)} = \IntDef{a}{c}{f(x)} + \IntDef{c}{b}{f(x)}
   ```

4. ogólniej, jeśli $a, b, c \in \rr$ i $f \in R[\min(a,b,c), \max(a,b,c)]$, to

   ```{math}
   \IntDef{a}{b}{f(x)} + \IntDef{b}{c}{f(x)} + \IntDef{c}{a}{f(x)} = 0
   ```

5. jeśli $K \in \rr$, to $K\cdot f, f \pm g, f\cdot g \in R[a,b]$ oraz

   $$
   \IntDef{a}{b}{K\cdot f(x)}   & = K\cdot \IntDef{a}{b}{f(x)} ,
   \\
   \IntDef{a}{b}{f(x) \pm g(x)} & = \IntDef{a}{b}{f(x)} \pm \IntDef{a}{b}{g(x)}
   $$

6. jeśli $\alpha, \beta \in [a,b]$ i $\alpha \leq \beta$, to
   $f|_{[\alpha, \beta]} \in R[\alpha, \beta]$.
:::

:::{prf:example}
:class: [example]

Zazwyczaj

$$
\IntDef{a}{b}{f(x) \cdot g(x)}  \neq \IntDef{a}{b}{f(x)} \cdot \IntDef{a}{b}{g(x)}.
$$

Dla przykładu, jeśli $f(x) = g(x) = C$, dla pewnej stałej $C\in\rr$, to

$$
\begin{aligned}
\IntDef{a}{b}{f(x) \cdot g(x)}
& = (b-a)\cdot C^2
& \IntDef{a}{b}{f(x)} \cdot \IntDef{a}{b}{g(x)} & = ((b-a)\cdot C)^2.
\end{aligned}
$$

Równość zachodzi jedynie dla $b-a = 1.$
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(abTicks + PlotUnderGraph(f1-2.5,a,b,"$D$"),
transparent=True, frame=False)
```

:::{prf:remark}

Niech $f:[a,b] \to \rr$ będzie **niedodatnią** funkcją ciągłą.

Rozważmy figurę płaską

```{math}
D = \Set{(x,y)\in \rr^2 : a \leq x \leq b, \ f(x) \leq y \leq 0},
```

czyli obszar ograniczony przez: wykres funkcji $f$, oś $OX$,
oraz proste $x = a$ i $x = b$.

Z 5. własności powyższego twierdzenia widać, że:

$$
\IntDef{a}{b}{f(x)}
   = -\IntDef{a}{b}{-f(x)} =
   - \displaystyle |D|
$$

:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-01
:class: [exercise]

Wykorzystując interpretację geometryczną całki oznaczonej obliczmy

```{math}
\IntDef{-3}{3}{|x - 1|-1}.
```

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-03`, {numref}`prob-09-ex-06`, {numref}`prob-09-ex-07`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
f(x) = abs(x-1) -1
g(x) = 0
show(PlotBetweenGraphs(f, g, -3,3),
   transparent=True, frame=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Na rysunku przedstawiamy wykres funkcji podcałkowej

```{math}
f(x) = |x-1| - 1
```

(można przesunąć wykres funkcji $|x|$ o wektor $(1,-1)$,
lub przeprowadzić odpowiednie obliczenia),
która jest ciągła więc $f \in R[-3, 3]$.

Korzystając z własności całki oznaczonej wynika, że:

$$
\IntDef{-3}{3}{f(x)}
   =\IntDef{-3}{0}{f(x)}
   +\IntDef{0}{2}{f(x)}
   +\IntDef{2}{3}{f(x)}
$$

Na przedziałach $[-3,0]$ i $[2,3]$ funkcja $f$ jest nieujemna,
więc 1. i 3. całka to pola skrajnych trójkątów:

$$
\IntDef{-3}{0}{f(x)} = \tfrac 1 2 \cdot 3\cdot 3 = \tfrac 9 2  ,
   \quad
   \IntDef{2}{3}{f(x)} = \tfrac 1 2 \cdot 1\cdot 1 = \tfrac 1 2 .
$$

Natomiast na przedziale $[0,2]$ funkcja jest niedodatnia, więc 2. całka to pole środkowego trójkąta pomnożone przez $-1$:

$$
\IntDef{0}{2}{f(x)} = -\tfrac 1 2 \cdot 2\cdot 1 = -1 .
$$

Stąd

$$
\IntDef{-3}{3}{f(x)} = \tfrac 9 2 -1 + \tfrac 1 2  = 4.
$$

:::

## Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego

:::{narration}

Niech $f\in R[a,b]$.

Ustalmy $\alpha \in [a,b]$.

Wiemy, że dla każdego $x \in [a,b]$ całka
$\displaystyle \IntDef[t]{\alpha}{x}{f(t)}$
ma ustaloną wartość liczbową.
:::

:::{prf:definition}

Funkcję $F : [a,b] \to \rr$ zadaną wzorem

```{math}
F(x) = \IntDef[t]{\alpha}{x}{f(t)},
```

nazywamy
**funkcją górnej granicy całkowania** {index}`funkcja; górnej granicy całkowania`.
:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-02
:class: [exercise]

Znajdźmy i naszkicujmy wykres funkcji $F:\rr\to \rr$,

```{math}
F(x) = \IntDef[t] {-1} x { \sgn t } .
```

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-04`, {numref}`prob-09-ex-07`, {numref}`prob-10-ex-02`, {numref}`prob-10-ex-07`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
   f(t) = sgn(t)
   g(x) = 0
   F(x) = integrate(f(t),t,-1,x)
   show(plot(
   f,
   (x, -2, 1),
   thickness=1, color = PWRed,
   legend_label=r'$\operatorname{sgn}x$',
   )
   + PlotBetweenGraphs(f, g, -3/2,-1)
   + PlotBetweenGraphs(f, g, -1,0.01)
   + PlotBetweenGraphs(f, g, 0.01,1/2),
   transparent=True, frame=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

W celach pomocniczych na rysunku przedstawiamy wykres funkcji podcałkowej

```{math}
f(t) = \sgn t ,
```

która jest ciągła poza punktem $0$, więc $f \in R[a, b]$ dla dowolnych $a,b \in \rr$.

- Jeśli $x \leq -1$, to na przedziale całkowania $[x, -1]$, $f(t) = -1$,
  więc

  $$
  F(x) =  \IntDef[t] {-1} x { -1 } =  \IntDef[t] {x} {-1} { 1 } = -1-x.
  $$

- Jeśli $-1 < x \leq 0$, to na przedziale całkowania $[-1, x]$, $f(t) = -1$,
  więc

  $$
  F(x) =  \IntDef[t] {-1} x { -1 }
  = - \IntDef[t] {-1} x { 1 } = -(x - (-1)) = -1 - x.
  $$

- Jeśli $x > 0$, to

  $$
  F(x) = \IntDef[t] {-1} x { \sgn t }
  = \IntDef[t] {-1} 0 { -1 }
  + \IntDef[t] {0} x { 1 }
  = -1 \cdot 1 + x \cdot 1 = x-1 .
  $$

Podsumowując,

$$
F(x) = \begin{cases}
      -x-1 & \text{dla } x \leq 0 \\
      x-1  & \text{dla } x > 0
      \end{cases}
      = |x| - 1 .
$$

Zauważmy, że $F$ jest ciągła i $\displaystyle F' (x_0) = \sgn x_0 = f(x_0)$ dla $x_0 \neq 0$.
:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
   show(
      plot(
      -x-1,
      (x, -2, 0),
      thickness=3, color = PWRed,
      legend_label=r'$-x-1$'
      )+
      plot(
      x-1,
      (x, 0, 2),
      thickness=3, color = PWBlue,
      legend_label=r'$x-1$'
      ),
   transparent=True, frame=False
   )
```

:::{prf:theorem}

Jeśli $f \in R[a,b]$ i $\alpha \in [a,b]$, to:

1. funkcja górnej granicy całkowania $F$ jest ciągła;
2. (pierwsze tw. główne rachunku całkowego)
   w każdym punkcie $x_0 \in [a,b]$ ciągłości funkcji $f$,
   funkcja górnej granicy całkowania $F$ jest różniczkowalna oraz

   ```{math}
   F'(x_0) = \Diff{} \IntDef[t]{\alpha}{x}{f(t)}\, \Big|_{x = x_0} = f(x_0).
   ```

:::

:::{prf:corollary}

Jeśli $f : X \to \rr$ jest funkcją ciągłą,
zaś $g,h : [a,b] \to X$ funkcjami różniczkowalnymi,
to w każdym punkcie $x_0 \in [a, b]$ zachodzi

$$
\Diff{} \IntDef[t]{g(x)}{h(x)}{f(t)}\, \Big|_{x = x_0} =
   f(h(x_0))\cdot h'(x_0) - f(g(x_0))\cdot g'(x_0).
$$

:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-03
:class: [exercise]

Obliczmy pochodne funkcji:

:::{container} columns-3-auto

1. $\displaystyle F(x) = \IntDef[t]{1}{x}{e^{t^2}}$
2. $\displaystyle F(x) = \IntDef[t]{-1}{\sin x}{e^{t^2}}$
3. $\displaystyle F(x) = \IntDef[t]{1+x^2}{e^{2x}}{\frac {\sin t} {t}}.$

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-05`, {numref}`prob-09-ex-08`, {numref}`prob-09-ex-09`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1.  Ponieważ funkcja $f(t) = e^{t^2}$ jest ciągła dla każdego $t\in\rr$,
    to korzystając z pierwszego tw. głównego rach. całkowego otrzymamy

   ```{math}
   \Diff{} \IntDef[t]{1}{x}{e^{t^2}} = f(x) = e^{x^2}.
   ```

2. Funkcje
   $\quad f(t) = e^{t^2},\ g(x) = -1,\ h(x) = \sin x \quad$
   są różniczkowalne (więc ciągłe) dla każdego $x\in\rr.$

   Z wniosku otrzymujemy, że

   $$
   \Diff{} \IntDef[t]{-1}{\sin x}{e^{t^2}}
   & = f(h(x))\cdot h'(x) - f(g(x))\cdot g'(x)
   \\
   & = f(\sin x)\cdot \cos x - f(-1)\cdot 0
   = e^{\sin^2 x} \cos x .
   $$

3. Funkcja
   $\quad
   f(t) = \dfrac {\sin t} {t}
   \quad$
   jest ciagła dla $t\neq 0$,
   zaś
   $\quad
   g(x) = 1+ x^2,\ h(x) =  e^{2x}
   \quad$
   są różniczkowalne dla każdego $x\in\rr$
   i przyjmują wartości ściśle dodatnie, więc różne od 0.
   Zatem z wniosku otrzymujemy, że

   $$
   \Diff{} \IntDef[t]{1+x^2}{e^{2x}}{\frac {\sin t} {t}}
   & = f(h(x))\cdot h'(x) - f(g(x))\cdot g'(x)
   \\
   & = f(e^{2x})\cdot  2 e^{2x} - f(1+ x^2)\cdot 2x
   \\
   & = \frac {\sin e^{2x}} {e^{2x}} \cdot 2 e^{2x}  - \frac {\sin \Paren{1+ x^2}} {1+x^2} \cdot 2x
   = 2\sin e^{2x}  - \frac {2x\sin \Paren{1+ x^2}} {1+x^2} .
   $$

:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-04
:class: [exercise]

Znajdźmy ekstrema funkcji $\displaystyle F(x) = \IntDef[t]{1}{x^2}{\frac {\sin t} t}$
dla $x\in \rr_+$.

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-05`, {numref}`prob-09-ex-08`, {numref}`prob-09-ex-09`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

part_1 = (
   r"F''(\sqrt{k\pi})"
   r"= "
)
part_2 = latex( (2*sin(x^2)/x).diff(x) )
part_3 = (
   r"\, \Big|_{x=\sqrt{k\pi}}"
   r"= 4 \cos k \pi"
   r"= 4\cdot (-1)^k"
   r"\neq 0,"
)
content = rf"""
{part_1}{part_2}{part_3}
"""
glue('sageglue_7_0', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Funkcja
$\quad
f(t) = \dfrac {\sin t} t
\quad$
jest ciągła dla $t > 0$,
więc możemy ją całkować na przedziale o końcach $1$ oraz $x^2$
dla każdego $x\in(0, +\infty)$.

Dla tych $x$ mamy $1,\ x^2 > 0$, więc

$$
F'(x)
   = f(x^2) \cdot \Paren{x^2}'
   = \frac {\sin x^2} {x^2} \cdot 2x
   = \frac {2\sin x^2} {x} .
$$

Pochodna istnieje dla $x\in \rr_+$ więc znajdujemy punkty krytyczne:

$$
F'(x) = 0
   \qlq
   \sin x^2 = 0
   \qlq
   x^2 \in \Set{k \pi : k \in \zz}
   \qlq
   x \in \Set{\sqrt {k \pi} : k \in \nn}.
$$

Następnie liczymy drugą pochodną w każdym z tych punktów:

```{glue:math} sageglue_7_0
```

by wywnioskować, że:

- dla $k=2n$,
  $F''(\sqrt{k\pi}) > 0$, więc $F$ ma minimum lokalne dla $x=\sqrt{2n\pi},\ n\in\nn$

- dla $k=2k-1$,
  $F''(\sqrt{k\pi}) < 0$, więc $F$ ma maksimum lokalne dla $x=\sqrt{(2n-1)\pi},\ n\in\nn.$
:::

:::{prf:theorem}

Jeśli $f:[a,b]\to \rr$ jest ciągła i $\alpha,\beta \in [a,b]$, to:

1. $F(x) = \displaystyle \IntDef[t]{\alpha}{x}{f(t)}$
   jest funkcją pierwotną funkcji $f$ na przedziale $[a,b]$
2. (drugie tw. główne rachunku całkowego, tw. Newtona-Leibniza) zachodzi wzór

   ```{math}
   \IntDef{\alpha}{\beta}{f(x)} = F(x)\Big|_\alpha^\beta = F(\beta) - F(\alpha)
   ```

3. jeśli $\Phi:[a,b]\to \rr$ jest dowolną funkcją pierwotną
   funkcji $f$, to

   ```{math}
   \IntDef{\alpha}{\beta}{f(x)} = \Phi(x)\Big|_\alpha^\beta = \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) .
   ```

:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-05
:class: [exercise]

Obliczmy całki oznaczone:

:::{container} columns-3-auto

1. $\displaystyle \IntDef{-\alpha}{\alpha}{\sin x}$
   dla $\alpha\in\rr$
2. $\displaystyle \IntDef{0}{2}{e^x\cdot\sgn(x-1)}$
3. $\displaystyle \IntDef{e^{-1}}{e}{\Absolute{\ln x}} .$

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-09-ex-04`, {numref}`prob-10-ex-01`, {numref}`prob-10-ex-02`, {numref}`prob-10-ex-07`.
:::

::::


```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

part_1 = (
   r"\IntDef{0}{2}{e^x\cdot\sgn(x-1)}"
   r"& = \IntDef{0}{1}{-e^x}"
   r"+ \IntDef{1}{2}{e^x}"
   r"\\ &"
   r"= "
)
part_2 = IntegrationDef('-e^x', '0', '1')
part_3 = (
   r"+ "
)
part_4 = IntegrationDef('e^x', '1', '2')
part_5 = (
   r"= - e + 1 + e^2 - e"
   r"\\ & = e^2 - 2e + 1 = \Paren{e - 1}^2."
)
content = rf"""
{part_1}{part_2}{part_3}{part_4}{part_5}
"""
glue('sageglue_integration_7_0', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Rozbijamy całkę na dwie uwzględniając znak funkcji sinus:

   $$
   \IntDef{-\alpha}{\alpha}{\sin x}
   =  \NewtonLeibniz{-\alpha}{\alpha}{-\cos x}
   = -\cos \alpha - \Paren{-\cos \Paren{-\alpha}} = 0.
   $$

2. Zauważmy, że
   $
   \quad
   e^x\cdot\sgn(x-1) = \begin{cases}
   -e^x & \text{dla } x-1 < 0 \Leftrightarrow x < 1 \\
   e^x  & \text{dla } x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1
   \end{cases}.
   \quad
   $
   Zatem

   ```{glue:} sageglue_integration_7_0
   ```

3. Przypomnijmy, że całkując przez części otrzymaliśmy, że

   $$
   \Int{\ln x} = x (\ln x - 1) + C.
   $$

   Ponieważ
   $\quad \ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1 $,
   $\quad$
   to

   $$
   \IntDef{e^{-1}}{e}{\Absolute{\ln x}}
   & = \IntDef{e^{-1}}{1}{-\ln x}
   + \IntDef{1}{e}{\ln x}
   \\
   & = -\NewtonLeibniz{e^{-1}}{1}{x (\ln x - 1)}
   + \NewtonLeibniz{1}{e}{x (\ln x - 1)}
   \\
   & = -\Paren{
   -1 + 2e^{-1}
   }
   + \Paren{
   0 + 1
   } = 2 - 2 e^{-1} .
   $$

:::

## Działania na całkach oznaczonych

:::{prf:theorem} o całkowaniu przez części
:oasis-title: Twierdzenie o całkowaniu przez części

Niech $X$ będzie przedziałem domkniętym o końcach $a,b \in \rr$ oraz
$f,g:X \to \rr$ będą
różniczkowalne, $f',g':X \to \rr$ będą ciągłe.

Wówczas

```{math}
\IntDef{a}{b}{f(x)\cdot g'(x)} = f(x)\cdot g(x)\Big|_a^b - \IntDef{a}{b}{f'(x)\cdot g(x)}.
```

:::

:::{prf:remark}

W powyższym twierdzeniu nie zakładamy, że $a < b$.
:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-06
:class: [exercise]

Policzmy całkę oznaczoną
$\displaystyle\IntDef{-\frac \pi 2}{\frac \pi 2}{(2x+1)\,\sin x} .$
::::


```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

part_1 = (
   r"\IntDef{-\frac \pi 2}{\frac \pi 2}{(2x+1)\,\sin x}"
   r"& = "
)
part_2 = IntegrationDefByPartsNewline(x, 2*x+1, sin(x), '(.)(.)', '.(.)', r'{-\frac \pi 2}', r'{\frac \pi 2}')
part_3 = (
   r"\\ &"
   r"= \Paren{\pi + 1}\cdot \Paren{-\cos \tfrac \pi 2}"
   r"- \Paren{-\pi + 1} \cdot \Paren{-\cos \Paren{- \tfrac \pi 2}}"
   r"+ "
)
part_4 = IntegrationDef('2\sin x', r'{-\frac \pi 2}', r'{\frac \pi 2}')
part_5 = (
   r"\\ &"
   r"= 2\sin \tfrac \pi 2 - 2\sin \Paren{-\tfrac \pi 2} = 4."
)
content = rf"""
{part_1}{part_2}{part_3}{part_4}{part_5}
"""
glue('sageglue_integration_7_2', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

```{glue:math} sageglue_integration_7_2
```

:::

:::{prf:theorem} o całkowaniu przez podstawienie $t=h(x)$
:oasis-title: Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie $t=h(x)$

Niech $X$ będzie przedziałem domkniętym o końcach $a,b \in \rr$ oraz:

1. funkcja $h:X \to \rr$ jest
   różniczkowalna i $h(X) = T$
2. funkcja $g:T \to \rr$ jest ciągła i ma funkcję pierwotną $G:T \to \rr$
3. funkcja $f:X \to \rr$ jest postaci $f(x) = g\circ h(x) \cdot h'(x)$.

   Wówczas,

$$
\IntDef{a}{b}{f(x)} & =
\IntDef{a}{b}{g(h(x)) \cdot h'(x)} =
\WaveBrack{
t          & = h(x)   & x & = a \Rightarrow t = h(a) = \alpha \\
dt         & = h'(x)\ dx & x & = b \Rightarrow t = h(b) = \beta
}
\\
           &
= \IntDef[t]{\alpha}{\beta}{g(t)}
= G(t)\Big|_\alpha^\beta
= G(\beta) - G(\alpha).
$$

:::

:::{prf:remark}

W powyższym twierdzeniu nie zakładamy, że $a < b$ lub $\alpha < \beta$.
:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-07
:class: [exercise]

Policzmy całki oznaczone:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle\IntDef{0}{1}{ \frac {x}{(2x^2 + 3)^2} } $
2. $\displaystyle\IntDef{-\pi}{\pi}{\frac {\sin x}{1 + 2\cos x + 3\cos^2 x}} .$

:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

var('x t')
part_1 = (
   r"\IntDef{0}{1}{ \frac {x}{(2x^2 + 3)^2} }"
   r"& = "
)
part_2 = IntegrationDefBySubstitutionIPrepare('x', x, t, 2*x^2+3, 0, 1, r'\tfrac 1 4\, dt & = x\, dx')
part_3 = (
   r"\\ &"
   r"= \IntDef[t]{3}{5}{ \frac {1}{t^2} \cdot \frac 1 4 }"
   r"= "
)
part_4 = IntegrationDef('-\\frac 1 4 t^{-1}', '3', '5')
part_5 = (
   r"= -\frac 1 4 \Paren{\frac 1 5 - \frac 1 3} = \frac 1 {30} ."
)
content = rf"""
{part_1}{part_2}{part_3}{part_4}{part_5}
"""
glue('sageglue_integration_7_4', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

var('x t')
part_1 = (
    r"\IntDef{-\pi}{\pi}{\frac {\sin x}{1 + 2\cos x + 3\cos^2 x}}"
    r" & = "
)
part_2 = IntegrationDefBySubstitutionIPrepare('x', x, t, cos(x), -pi, pi, r'- dt & = \sin (x) \, dx')
part_3 = (
    r" \\ &"
    r" = \IntDef[t]{-1}{-1}{\frac {1}{1 + 2 t + 3 t^2}\cdot (-}"
    r" = - \IntDef[t]{-1}{-1}{\frac {1}{1 + 2 t + 3 t^2}} = 0 ."
)

content = rf"""
{part_1}{part_2}{part_3}
"""
glue('sageglue_integration_7_21', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```


:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Standardowe podstawienie przy całkowaniu ułamka prostego drugiego rodzaju:

   ```{glue:math} sageglue_integration_7_4
   ```

2. Czasami śledzenie granic całkowania bardzo upraszcza zadanie:

   ```{glue:math} sageglue_integration_7_21
   ```

:::

:::{prf:theorem} o całkowaniu przez podstawienie $x=\varphi(t)$
:oasis-title: Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie $x=\varphi(t)$

Niech $T$ będzie przedziałem domkoniętym o końcach $\alpha, \beta$,
$X$ -- przedziałem domkniętym o końcach $a, b$ oraz:

1. funkcja $\varphi:T \to \rr$ jest
   różniczkowalna, różnowartościowa i $\varphi(T) = X$
2. funkcja $\varphi':T \to \rr$ jest
   ciągła;
3. funkcja $f:X \to \rr$ jest ciągła.

   Wówczas,

   $$
   \IntDef{a}{b}{f(x)} & =
      \WaveBrack{
      x          & = \varphi(t)   & x = a \Leftrightarrow t = \varphi^{-1}(a) = \alpha \\
      dx         & = \varphi'(t)\ dt & x = b \Leftrightarrow t = \varphi^{-1}(b) = \beta
      }
      = \IntDef[t]{\alpha}{\beta}{f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) } .
   $$

:::

:::{prf:remark}

W powyższym twierdzeniu nie zakładamy, że $a < b$ lub $\alpha < \beta$.
:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-08
:class: [exercise]

Policzmy całkę oznaczoną
$ \quad \displaystyle
\IntDef{0}{2}{ \sqrt{4 - x^2} } $
::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

var('x t')
part_1 = (
    r"\IntDef{0}{2}{ \sqrt{4 - x^2} }"
    r" & = "
)
part_2 = IntegrationDefBySubstitutionIIPrepare(x, 2*sin(t), arcsin(x/2), r't & \in \Brack{0, \tfrac \pi 2}', 0, 2, 't')
part_3 = (
    r" \\ & ="
    r" \IntDef[t]{0}{\frac \pi 2}{ \sqrt{4 - 4 \sin^2 t} \cdot 2 \cos t}"
    r" = 4 \IntDef[t]{0}{\frac \pi 2}{ \cos^2 t}"
    r" \\ & ="
    r" 2 \IntDef[t]{0}{\frac \pi 2}{ 1+ \cos 2t}"
    r" = 2 \cdot \frac \pi 2 = \pi ."
)

content = rf"""
{part_1}{part_2}{part_3}
"""
glue('sageglue_integration_7_5', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

```{glue:math} sageglue_integration_7_5
```

:::

## Pole trapezu krzywoliniowego

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
   var('x')
   c = 1
   f1(x) = .3*((x-c)^3-2*(x-c)+1.5)
   f2(x) = .3*sin(6*x) -.3
   a = -1 + c
   b = 1 + c
   show(abTicks + PlotBetweenGraphs(f1+.5,f2+.5,a,b,"$D$"),
   transparent=True, frame=False)
```

:::{narration}

Dla ciągłych funkcji $f, g:[a,b] \to \rr$
takich, że

```{math}
\Forall {x\in [a,b]} g(x) \leq f(x),
```

rozważmy **trapez krzywoliniowy**

$$
D = \Set{(x,y)\in \rr^2 : a \leq x \leq b, \ g(x) \leq y \leq f(x)},
$$

czyli obszar ograniczony przez: wykresy funkcji $f$ i $g$,
oraz proste $x = a$ i $x = b$.

Pole figury $|D|$ jest różnicą
pól "pod wykresem funkcji $f$" i "pod wykresem funkcji $g$", czyli

$$
|D|
= \IntDef{a}{b}{f(x) - g(x)}.
$$

:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-09
:class: [exercise]

Obliczmy pole figury ograniczonej krzywymi
$2y^2 = x, 8y = x^3$.

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-03`, {numref}`prob-10-ex-08`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
   f(x) = sqrt(x/2)
   g(x) = x^3/8
   show(plot(f, (x,0,2.1), color = PWRed, aspect_ratio=2,
   legend_label=r'$f(x)$') +
   plot(-f, (x,0,.2), color = PWBlue,
   legend_label=r'$-f(x)$') +
   plot(g, (x,-.3,2.1), color = PWGreen,
   legend_label=r'$g(x)$') +
   PlotBetweenGraphs(f, g, 0,2),
   transparent=True, frame=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math


f(x) = sqrt(x/2)
g(x) = x^3/8

F = f.integrate(x)   # pierwotna f
G = g.integrate(x)   # pierwotna g

part_1 = (
    r"|D| & = \IntDef{0}{2}{f(x) - g(x)}"
    + r"=\IntDef{0}{2}{\sqrt{\frac{x}{2}} - \frac{1}{8}x^3}"
    + r"\\ & =\left["
    + latex(F(x))
    + r" - "
    + latex(G(x))
    + r"\right]_0^2 = "
    + r"\left("
    + latex(F(2))
    + r" - "
    + latex(G(2))
    + r"\right) - \left("
    + latex(F(0))
    + r" - "
    + latex(G(0))
    + r"\right) = "
    + latex((f(x) - g(x)).integrate(x, 0, 2))
    + r"."
)

glue(
    "sageglue_integration_7_6",
    Math(r"\begin{aligned}" + part_1 + r"\end{aligned}"),
    display=False,
)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. W celu określenia parametrów $a, b\in \rr$, znajdujemy punkty przecięcia krzywych:

   $$
   \begin{cases}
   2y^2 = x \\
   8y = x^3
   \end{cases}
   \Leftrightarrow
   \quad
   \begin{cases}
   x= 2y^2 \\
   8y = 8y^6
   \end{cases}
   \Leftrightarrow
   \quad
   \begin{cases}
   x= 2y^2 \\
   y(y^5-1) = 0
   \end{cases}.
   $$

   Drugie równanie daje rozwiązania $y\in \Set{0,1}$, więc
   szukane punkty przecięć to $(0,0)$ i $(2,1)$.

   Stąd $a = 0$, $b = 2$.

2. Ponieważ $x\geq 0$, więc $8y = x^3 \geq 0$.

   Przyjmujemy

   $$
   \begin{aligned}
   g(x) & = \frac 1 8 x^3,
   &
   f(x) & = \sqrt{\frac x 2},
   \end{aligned}
   $$

   ponieważ

   $$
   g(x) \leq f(x)
   \qlq
   x^3 \leq 8\sqrt{\frac x 2}
   \qlq
   x^6 \leq 32 x
   \qlq
   x(x^5-2^5) \leq 0
   \qlq
   x\in [0, 2].
   $$

3. Obliczamy pole:

```{glue:math} sageglue_integration_7_6
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-10
:class: [exercise]

Obliczmy pole figury

```{math}
D = \Set{(x,y)\in \rr^2 : 2x - 4 \leq y, \ y^2 \leq 4x }.
```

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-03`, {numref}`prob-10-ex-08`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
f(x) = 2*sqrt(x)
g(x) = 2*x - 4
show(
   plot(f, (x,0,4+.2), color = PWRed,
   legend_label=r'$f(x)$') +
   plot(-f, (x,0,1.2), color = PWBlue,
   legend_label=r'$-f(x)$') +
   plot(g, (x,.8,4+.1), color = PWGreen,
   legend_label=r'$g(x)$') +
   PlotBetweenGraphs(f, -f, 0, 1) +
   PlotBetweenGraphs(f, g, 1, 4),
   transparent=True, frame=False
)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

body_01 = latex((2 * x - 4 ^ 2 - 4 * x).expand())
body_02 = latex((2 * x - 4 ^ 2 - 4 * x).factor())
content = rf"""
\begin{{cases}}
2x - 4 = y \\
y^2 = 4x
\end{{cases}}
\Leftrightarrow
\quad
\begin{{cases}}
y = 2x - 4 \\
(2x-4)^2 = 4x
\end{{cases}}
&
\Leftrightarrow
\quad
\begin{{cases}}
y = 2x - 4 \\
{body_01} = 0
\end{{cases}}
\\ &
\Leftrightarrow
\quad
\begin{{cases}}
y = 2x - 4 \\
{body_02} = 0
\end{{cases}}.
"""
glue('sageglue_7_2', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

part_1 = (
   r"|D| = |D_1| + |D_2|"
   r"& ="
   r"\IntDef{0}{1}{2\sqrt x - \Paren{-2\sqrt x}}"
   r" + "
   r"\IntDef{1}{4}{2\sqrt x - \Paren{2x-4}}"
   r" \\"
   r"& ="
)
part_2 = IntegrationDef(latex((4*sqrt(x)).integrate(x)), "0", "1")
part_3 = (
   r" + "
)
part_4 = IntegrationDef((latex((2*sqrt(x)).integrate(x)) + " + " + latex((-2*x + 4).integrate(x))), "1", "4")
part_5 = (
     r" \\ & ="
   + latex((4*sqrt(x)).integrate(x,0,1))
   + r" + "
   + latex((2*sqrt(x) - 2*x + 4).integrate(x,1,4))
   + r" = 9"
)
content = rf"""
{part_1}{part_2}{part_3}{part_4}{part_5}
"""
glue('sageglue_integration_7_22', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

part_1 = (
    r"|D| & = \IntDef[y]{-2}{4}{\frac 1 2 y + 2 - \frac 1 4 y^2}"
    r" \\ & = "
)
part_2 = IntegrationDef(
    latex((y/2 + 2 - y^2/4).integrate(y)),
    "-2",
    "4"
)
part_3 = (
   r" = "
    + latex((y/2 + 2 - y^2/4).integrate(y)(y=4))
    + r" - \Paren{" + latex((y/2 + 2 - y^2/4).integrate(y)(y=-2)) + r"}"
    + r"= 9 ."
)
content = rf"""
{part_1}{part_2}{part_3}
"""
glue('sageglue_integration_7_23', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Na początku znajdujemy punkty przecięcia kawałków brzegów
zadanych prze nierówności:

```{glue:math} sageglue_7_2
```

Drugie równanie daje rozwiązania $x\in \Set{1,4}$, więc
szukane punkty przecięć to $(1,-2)$ i $(4,4)$.

Z rysunku pomocniczego wnioskujemy, że istotny może być również
wierzchołek obróconej paraboli, czyli punkt $(0,0)$.

**Sposób 1.**
Zauważmy, że

$$
y^2 \leq 4x
   \qlq
   |y| \leq 2 \sqrt{x}
   \qlq
   -2\sqrt{x} \leq y \leq 2 \sqrt{x},
$$

więc posiłkują się rysunkiem przyjmujemy $D = D_1 \cup D_2$,
gdzie:

$$
D_1 & :
   \left\{
   \begin{aligned}
      0 \leq       & \ x \leq 1       \\
      -2\sqrt{x} \leq & \ y \leq 2 \sqrt{x}
   \end{aligned}
   \right. ,
       &
   D_2 & :
   \left\{
   \begin{aligned}
      1 \leq    & \ x \leq 4       \\
      2x-4 \leq & \ y \leq 2 \sqrt{x}
   \end{aligned}
   \right. .
$$

Stąd pole figury jest równe:

```{glue:math} sageglue_integration_7_22
```

**Sposób 2.**
Można zamienić rolami zmienne $x$ i $y$,
czyli założyć, że rozpatrywane krzywe są wykresami
funkcji $x = f(y)$.

Zauważmy, że

$$
y^2 \leq 4x
   \qlq
   \frac 1 4 y^2 \leq x
   \Quad{\text{oraz}}
   2x - 4 \leq y
   \qlq
   x \leq \frac 1 2 y + 2,
$$

więc (upewniając się na rysunku pomocniczym) otrzymujemy, że

$$
D : \left\{
   \begin{aligned}
      -2 \leq      & \ y \leq 4          \\
      \frac 1 4 y^2 \leq & \ x \leq \frac 1 2 y + 2
   \end{aligned}
   \right. .
$$

Stąd pole figury jest równe:

```{glue:math} sageglue_integration_7_23
```

:::

## Objętość bryły obrotowej

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
   var('x y z')
   c = 1
   f1(x) = .8*((x-c)^3-2*(x-c)+1.5)
   a = -1 + c
   b = 1 + c

   One = RandomRiemannSum(f1,a,b,5)
   Two = RandomRiemannSum(f1,a,b,20)
   Revolution = revolution_plot3d(
   f1, (x,a,b),
   opacity=.5,
   rgbcolor=(0.3, 0.3, 0.3),
   show_curve=True,
   parallel_axis='x',
   print_vector=True)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(
   abTicks + PlotUnderGraph(f1,a,b),
   transparent=True, frame=False
   )
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(
   Revolution +
   implicit_plot3d(x-a,[x,a-.1,b+.1],[y,-2.1,2.1],[z,-2.1,2.1], opacity=.5) +
   implicit_plot3d(x-b,[x,a-.1,b+.1],[y,-2.1,2.1],[z,-2.1,2.1], opacity=.5),
   tachyon = false,
   transparent=True, frame=False
   )
```

:::{narration}

Dla ciągłej i **nieujemnej** funkcję $f: [a,b] \to \rr$
rozważmy **bryłę obrotową** $V$ w $\rr^3$
powstałą przez obrót
wokół osi $OX$
trapezu krzywoliniowego wyznaczonego przez $f$.

**Objętość bryły obrotowej**
$V$ wyraża się wzorem

```{math}
|V| = \pi\cdot  \IntDef{a}{b}{\left[f(x)\right]^2}.
```

:::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(abTicks + One[2],
   transparent=True, frame=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(RiemannSumRevolved(f1, One[0], One[1]), tachyon = false,
   transparent=True, frame=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(abTicks + Two[2],
   transparent=True, frame=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(RiemannSumRevolved(f1, Two[0], Two[1]), tachyon = false,
   transparent=True, frame=False)
```

:::{prf:remark}

Powyższy wzór wynika z następującego rozumowania.

Dla dowolnego podziału
$\Delta_n = \Set{x_0, x_1,\ldots, x_n}
$
przedziału $[a,b]$
i każdego wyboru punktów $\xi_k\in [x_{k-1}, x_k]$ dla $k = 1,\ldots, n$,
definiujemy sumę

```{math}
S_n = \sum_{k=1}^n \pi\cdot\left[f(\xi_k)\right]^2 \cdot \Delta x_k,
```

która jest sumą objętości walców o
promieniu podstawy równym $f(\xi_k)$ i wysokości
$\Delta x_k
.$

Widzimy, że suma $S_n$ jest sumą całkową Riemanna odpowiadającą funkcji

```{math}
x \mapsto \pi\cdot\left[f(x)\right]^2.
```

Jest to funkcja ciągła, więc
dla każdego ciągu normalnego $(\Delta_n)$ podziałów
przedziału $[a,b]$
i każdego wyboru punktów $\xi_k$,
ciąg sum całkowych $S_n$ jest zbieżny
do tej samej granicy właściwej

$$
\LimInfty{\sum_{k=1}^n \pi\cdot\left(f(\xi_k)\right)^2 \cdot \Delta x_k}
   = \IntDef{a}{b}{\pi\cdot \left[f(x)\right]^2}.
$$

:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-11
:class: [exercise]

Obliczmy objętość stożka ściętego o promieniach podstaw $R,r\in \rr_+$
i wysokości $h\in \rr_+$.

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-04`, {numref}`prob-10-ex-12`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
var('x r h')
c = 0
f1(x) = .5*x + .5
a = 0 + c
b = 1 + c
show(
   plot(f1, (x,a,b), aspect_ratio=1, ymin = 0, thickness=3, color = PWRed,
   legend_label=r'$f(x)$',
   fontsize=20,
   ticks=[[a+.001,b],[f1(a),f1(b)]],
   tick_formatter=[["$0$","$h$"],["$r$","$R$"]]
   )+PlotUnderGraph(f1,a,b),
   transparent=True, frame=False
)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(
   sum([revolution_plot3d((ii,x), (x,0,f1(ii)), opacity=.5, rgbcolor=(0.3, 0.3, 0.3), show_curve=False, parallel_axis='x') for ii in [a,b]]) +
   revolution_plot3d(f1, (x,a,b), opacity=.5, rgbcolor=(0.3, 0.3, 0.3), show_curve=True, parallel_axis='x'),
   tachyon = false,
   transparent=True, frame=False
)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

var('x h alpha r t')
R = alpha*h + r
part_1 = (
    r"|V| & = \pi \cdot \IntDef{0}{h}{\Brack{f(x)}^2} = "
)
part_2 = (
    r"\pi \cdot \IntDef{0}{h}{\Brack{\alpha x + r}^2}"
    + r" \\ & = "
    + IntegrationDefBySubstitutionIPrepare('x', x, t, alpha*x + r, 0, h, '')
    + r" \\ & = \pi\cdot \IntDef{t}{r}{R}{\frac {t^2} \alpha}"
    + r" = \pi \cdot \Brack{\frac{t^3}{3 \alpha}}\Big|_r^R"
    + r" \\ & = \frac{\pi h}{3(R- r)}\Paren{R^3 - r^3}"
    + r" = \frac{1}{3}\pi h\Paren{R^2 + Rr + r^2}"
)
content = rf"""
{part_1}{part_2}
"""
glue('sageglue_integration_7_10', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Bryła powstanie przez obrócenie
trapezu krzywoliniowego
wyznaczonego przez funkcję $f$, którego wykresem jest
prosta przechodzącą przez punkty $A = (0, r)$ i $B = (h, R)$:

$$
f(x) = \frac{R - r}{h}(x - 0) + r = \frac {R - r} h x + r = \alpha x + r,
$$

gdzie dla przejrzystości zapisu przyjeliśmy $\alpha = \dfrac {R - r} h$.

Zatem objętość tej bryły będzie równa:

```{glue:math} sageglue_integration_7_10
```

:::

## Pole powierzchni obrotowej

:::{narration}

Dla różniczkowalnej i **nieujemnej** funkcji $f: [a,b] \to \rr$
rozważmy **powierzchnię obrotową**
$S$ w $\rr^3$, powstałą przez
obrót
wokół osi $OX$
wykresu funkcji $f$.

**Pole powierzchni obrotowej** $S$
wyraża się wzorem

```{math}
|S| = 2\pi\cdot  \IntDef{a}{b}{f(x)\sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}}.
```

:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-12
:class: [exercise]

Obliczmy pole powierzchni obrotowej powstałej przez
obrót wokół osi $OX$ wykresu funkcji:
$
\quad
f(x) = |x|^3,\quad x\in\Brack{-1, 1}.
$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-05`, {numref}`prob-10-ex-13`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
var('x y z')
f1(x) = abs(x)^3
a = -1
b = 1
show(
   plot(f1, (x,a,b), aspect_ratio=1, thickness=3, color = PWRed,
   legend_label=r'$|x|^3$'),
   transparent=True, frame=False
   )
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(
   revolution_plot3d(f1, (x,a,b), opacity=.5, rgbcolor=(0.3, 0.3, 0.3), show_curve=True, parallel_axis='x'),
   aspect_ratio=(1,1,1),
   tachyon = false,
   transparent=True, frame=False
   )
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

var('x t')
part_1 = (
    r"|S| & = 2 \cdot 2\pi\cdot  \IntDef{0}{1}{f(x)\sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}}"
    r" \\ & "
)
part_2 = (
    r"= 4\pi\cdot  \IntDef{0}{1}{x^3\sqrt{1 + 9x^4}}"
    + r" = "
    + IntegrationDefBySubstitutionIPrepare('x', x, t, 1 + 9*x^4, 0, 1, '')
    + r" \\ & "
    + r"= 4\pi \cdot \IntDef[t]{1}{10}{\frac {1}{36} t^{\frac 1 2} }"
    + r" = \frac \pi 9 \cdot "
    + IntegrationDef(r"\frac 2 {3} t^{\frac 3 2}", "1", "10")
    + r" = \frac {2\pi} {27} \Paren{\sqrt{1000} - 1}."
)
content = rf"""
{part_1}{part_2}
"""
glue('sageglue_integration_7_11', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```


:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown
Z symetrii zagadnienia widzimy,
że pole tej powierzchni jest dwókrotnością
pola powierzchni obrotowej dla funcji:

```{math}
f(x) = x^3,\quad x\in\Brack{0, 1}.
```

Ponieważ $f'(x) = 3 x^2$, to

```{glue:math} sageglue_integration_7_11
```

:::

## Długość łuku

:::{narration}

Dla różniczkowalnych funkcji $x, y: [a, b] \to \rr$,
których pochodne są ciągłe,
oraz

$$
\forall t_1, t_2 \in (a, b) \quad
   t_1 \neq t_2 \Rightarrow (x(t_1), y(t_1)) \neq (x(t_2), y(t_2)),
$$

rozważmy **gładki łuk** (t.j. **gładką krzywą bez samoprzecięć**)

$$
\Gamma = \Set{(x(t), y(t))\in \rr^2 : t \in [a, b]},
$$

czyli przeciwdziedzinę funkcji $F: [a, b] \to \rr^2, \ F(t) = (x(t), y(t))$.

Mówimy, że łuk $\Gamma$ jest zadany parametrycznie przez:
$\quad x(t), y(t),\ t\in [a, b]$.
:::

:::{narration}

**Długość gładkiego łuku** $\Gamma$
wyraża się wzorem

$$
|\Gamma| = \IntDef[t]{a}{b}{\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}}.
$$

:::

:::{prf:example}
:class: [example]

[GEOGEBRA](https://www.geogebra.org/calculator/tsgkjxjw)
Łuk okręgu o środku w punkcie $(x_0, y_0)$ i promieniu $r > 0$,
między kątami $a,b \in \rr$, gdzie $b - a \in (0,2\pi]$,
jest zadany parametrycznie przez:

$$
x(t)  = x_0 + r \cos t,
   \quad
   y(t)  = y_0 + r \sin t,
   \quad
   t     \in [a,b].
$$

Ponieważ
$
\quad
x'(t) = -r \sin t,\ y'(t) = r \cos t$,
$\quad$
to
długość tego łuku jest równa

$$
\IntDef[t]{a}{b}{\sqrt{r^2 \sin^2 t + r^2 \cos^2 t}}
   = \IntDef[t]{a}{b}{r} = r \cdot \Paren{b-a}.
$$

W szczególności dla $b-a = 2\pi$ otrzymujemy wzór na obwód koła
o promieniu $r$.
:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-13
:class: [exercise]

Obliczmy długość łuku
cykloidy zadanej parametrycznie dla ustalonego $a\in\rr_+$
przez

```{math}
x(t) = a(t - \sin t), \quad y(t) = a(1 - \cos t),\quad t\in [0,2\pi].
```

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-06`, {numref}`prob-10-ex-09`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
t = var('t')
cycloid = (t - sin(t), 1 - cos(t))
show(
   parametric_plot(cycloid, (t,0,2*pi), aspect_ratio=1, thickness=3, color = PWRed),
   transparent=True, frame=False
)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

var('t a')
part_1 = (
    r"|\Gamma| & = \IntDef[t]{0}{2\pi}{\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}}"
    r" \\ & "
)
part_2 = (
    r"= 2a\cdot \IntDef[t]{0}{2\pi}{\sin \tfrac t 2}"
    + r" = 2a "
    + IntegrationDef(r"-2 \cos \tfrac t 2", "0", "2\pi")
    + r" = 2a (2 + 2) = 8a ."
)
content = rf"""
{part_1}{part_2}
"""
glue('sageglue_integration_7_12', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Funkcje $x,y$ są różniczkowalne.

W celu skorzystania ze wzoru liczymy pochodne:

```{math}
x'(t) = a(1 - \cos t), \quad y'(t) = a\sin t,
```

i obliczamy

$$
\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}
    &
   = \sqrt{a^2(1 - \cos t)^2 + a^2 \sin^2 t}
   = a\sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t}
   \\ &
   = a\sqrt{2 - 2\cos t }
   = a\sqrt{4 \sin^2 \tfrac t 2 }
   = 2a \Absolute{\sin \tfrac t 2}.
$$

Ponieważ dla $t \in [0, 2\pi]$, $\sin \tfrac t 2 \geq 0$,
długość tego łuku jest równa

```{glue:} sageglue_integration_7_12
```

:::

:::{narration}

Jeśli funkcja $f:[a,b]\to\rr$ jest różniczkowalna
i $f':[a,b]\to\rr$ jest ciągła, to jej wykres $\Gamma$
jest łukiem gładkim zadanym
parametrycznie przez:

```{math}
x(t) = t, \qquad y(t) = f(t),\qquad t\in [a,b].
```

Zatem wzór na długość tego łuku, czyli wykresu funkcji $f$ przyjmie postać

$$
|\Gamma|
   = \IntDef[t]{a}{b}{\sqrt{[(t)']^2 + [f'(t)]^2}}
   = \IntDef[t]{a}{b}{\sqrt{1 + [f'(t)]^2}}.
$$

:::

::::{exercise}
:label: lec-08-ex-14
:class: [exercise]

Obliczmy długość wykresu funkcji $\displaystyle f(x) = \cosh x$,
$x\in [0,b]$, gdzie $b\in\rr_+.$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-10-ex-06`, {numref}`prob-10-ex-09`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-input, hide-output]
show(parametric_plot((t,cosh(t)), (t,0,1), aspect_ratio=1, thickness=3, color = PWRed),
   transparent=True, frame=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

var('x b')
part_1 = (
    r"|\Gamma| & = \IntDef{0}{b}{\sqrt{1 + [f'(x)]^2}}"
)
part_2 = (
   r" = \IntDef{0}{b}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}}"
    + r"\\ & = \IntDef{0}{b}{\sqrt{\cosh^2 x}}"
    + r" = \IntDef{0}{b}{\cosh x}"
    + r"\\ & = "
    + IntegrationDef(r"\sinh x", "0", "b")
    + r" = \sinh b ."
)
content = rf"""
{part_1}{part_2}
"""
glue('sageglue_integration_7_13', Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

Ponieważ
$
\quad
f'(x) = \sinh x$,
$\quad$
to długość wykresu tej funkcji jest równa

```{glue:math} sageglue_integration_7_13
```

:::