---
title: "Lecture 10: Równania różniczkowe II"
lecture_number: 10
has_solutions: true
has_exercises: true
file_format: mystnb
kernelspec:
  name: sagemath
  display_name: SageMath
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Równania różniczkowe II

## Jednorodne równania liniowe

:::{narration}

Niech $n\in \nn$, $a,b\in\rr$, $a < b$ i niech $p_0, \ldots, p_{n-1} : (a,b) \to \rr$
będą funkcjami ciągłymi.
:::

:::{prf:definition}

Równanie różniczkowe, które można doprowadzić do postaci

```{math}
:label: eq-RRZLinioweJednorodne

\begin{aligned}
   u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u = 0
\end{aligned}
```

nazywamy
jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu $n$.
{index}`równanie różniczkowe; liniowe jednorodne`
:::

:::{prf:proposition}

Jeśli funkcje $u_1,\ldots, u_k : (a,b) \to \rr$, $k\in \nn$,
są rozwiązaniami równania
{eq}`eq-RRZLinioweJednorodne`, to również ich dowolna kombinacja liniowa
ze współczynnikami $C_1, \ldots, C_k \in \rr$, czyli

```{math}
u = \sum_{i=1}^k C_i\cdot u_i = C_1\cdot u_1 + \ldots + C_k \cdot u_k,
```

jest rozwiązaniem tego równania.
:::

:::{prf:definition}

Układ $u_1,\ldots, u_n$ -- $n$ całek równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodne` --
nazywamy
**układem podstawowym całek** {index}`układ podstawowy całek`
lub **układem fundamentalnym całek** {index}`układ fundamentalny całek`
tego równania, jeśli dla każdego $t\in (a,b)$
**wrońskian** {index}`wrońskian`

$$
W(t) =
   \Det{
   u_1(t)      & u_2(t)      & \cdots & u_n(t)      \\
   \dot u_1(t)    & \dot u_2(t)    & \cdots & \dot u_n(t)    \\
   \cdots      &          &     & \cdots      \\
   u_1^{(n-1)}(t) & u_2^{(n-1)}(t) & \cdots & u_n^{(n-1)}(t)
   }
   \neq 0
$$

:::

:::{prf:example}
:class: [example]

Niech $\omega > 0$.

Układem podstawowym całek równania
$
\quad
\ddot u + \omega^2 \cdot u = 0
\quad
$
są funkcje

```{math}
u_1(t) = \cos \omega t, \quad u_2(t) = \sin \omega t .
```

Istotnie, obie funkcje są całkami tego równania:

$$
\dot u_1(t) = -\omega\sin \omega t,
   \quad
   \ddot u_1(t) = -\omega^2\cos \omega t
    & \Quad{\imply}
   \ddot u_1 + \omega^2 \cdot u_1
   = -\omega^2\cos \omega t + \omega^2\cdot \cos \omega t = 0
   \\
   \dot u_2(t) = \omega\cos \omega t,
   \quad
   \ddot u_2(t) = -\omega^2\sin \omega t
    & \Quad{\imply}
   \ddot u_2 + \omega^2 \cdot u_2
   = -\omega^2\sin \omega t + \omega^2\cdot \sin \omega t = 0 .
$$

Ponadto wrońskian jest równy

$$
W(t) =
   \Det{
   u_1(t)          & u_2(t)         \\
   \dot u_1(t)        & \dot u_2(t)
   }
   = \Det{
   \cos \omega t      & \sin \omega t     \\
   -\omega \sin \omega t & \omega \cos \omega t \\
   }
   =\omega\Paren{\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t} = \omega \neq 0.
$$

:::

:::{prf:theorem}

Jeśli $u_1,\ldots, u_n : (a,b)\to\rr$ jest układem podstawowym
całek równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodne`, to
rodzina

$$
\Solutions{} = \Set{
      \sum_{i=1}^n C_i\cdot u_i = C_1\cdot u_1 + \ldots + C_n \cdot u_n :
      C_1, \ldots, C_n \in \rr
   }
$$

jest rozwiązaniem ogólnym
tego równania, czyli dla każdego warunku początkowego Cauchy'ego:

$$
u(t_0) = u_0 \in \rr,\quad \dot u(t_0) = u_1 \in \rr,
   \ldots,\quad u^{(n-1)}(t_0) = u_{n-1} \in \rr,
$$

istnieje całka szczególna $u\in \Solutions{}$
spełniająca ten warunek początkowy.
:::

:::{prf:example}
:class: [example]

Niech $\omega > 0$.

Rozwiązanie ogólne równania
$
\quad
\ddot u + \omega^2 \cdot u = 0
\quad
$
ma postać

$$
u(t) = C_1 \cos \omega t + C_2 \sin \omega t,
   \quad C_1, C_2 \in \rr
$$

czyli jest harmoniką o pulsacji $\omega$.

Dla
warunku początkowego Cauchy'ego:
$
\quad
u(0) = 1, \dot u(0) = 0
\quad
$
rozwiązanie znajdziemy różniczkując rozwiązanie ogólne:

```{math}
\dot u(t) = - C_1 \omega \sin \omega t + C_2\, \omega \cos \omega t,
```

i rozwiązując układ równań liniowych na $C_1, C_2 \in \rr$:

$$
\Uklad{
      u(0) = C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 = 1 \\
      \dot u(0) = - C_1 \omega \sin 0 + C_2\, \omega \cos 0 = 0
   }
   \Leftrightarrow \quad
   \Uklad{
      C_1  = 1               \\
      C_2  = 0
   }
   .
$$

Zatem rozwiązanie szczególne to
$
\quad
u(t) = \cos \omega t .
$
:::

## Jednorodne równania liniowe o stałych współczynnikach

:::{narration}

Niech $p_0, \ldots, p_{n-1} \in \rr$.
:::

:::{prf:definition}

Równanie różniczkowe, które można doprowadzić do postaci

```{math}
:label: eq-RRZLinioweJednorodneStale

\begin{aligned}
   u^{(n)} + p_{n-1}\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1\cdot \dot u + p_0\cdot u = 0
\end{aligned}
```

nazywamy
jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu $n$ o stałych współczynnikach.
{index}`równanie różniczkowe; liniowe jednorodne`
:::

:::{prf:definition}

Wielomian

$$
w(\lambda) = \lambda^n + p_{n-1}\lambda^{n-1}
   + \ldots + p_1 \lambda + p_0
$$

nazywamy
**wielomianem charakterystycznym** {index}`wielomian; charakterystyczny`
równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodneStale`.
:::

:::{narration}

Naszym celem jest znalezienie układu podstawowego całek takiego równania.

Rozwiązania poszukujemy w postaci funkcji

```{math}
u(t) = e^{\lambda\cdot t}.
```

Zauważmy, że

$$
\Diff[t^k]{^k u} (t)
   = \Diff[t^k]{^k} e^{\lambda\cdot t}
   = \lambda^k\cdot e^{\lambda\cdot t}.
$$

Jeśli $u(t)$ spełnia równanie {eq}`eq-RRZLinioweJednorodneStale`, to

$$
u^{(n)} + p_{n-1}\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1\cdot \dot u + p_0\cdot u
    \\ & = \lambda^n\cdot e^{\lambda\cdot t} + p_{n-1}\lambda^{n-1}\cdot e^{\lambda\cdot t}
   \\ & \quad + \ldots + p_1 \lambda\cdot e^{\lambda\cdot t} + p_0\cdot e^{\lambda\cdot t}       \\
    & = (\lambda^n + p_{n-1}\lambda^{n-1}
   + \ldots + p_1 \lambda + p_0)\cdot e^{\lambda\cdot t}
   = 0
$$

Ponieważ $e^{\lambda\cdot t} \neq 0$, to musi zachodzić
$\lambda^n + p_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + p_1 \lambda + p_0 = 0$.

To oznacza, że jeśli
$\lambda_1\in\rr$ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodneStale`,
to powyższa równość spełniona jest tożsamościowo, więc

$$
u_1:\rr \to \rr,
\quad
u_1(t) = e^{\lambda_1\cdot t},
$$

jest rozwiązaniem równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodneStale`.

Niestety, to rozumowanie nie wyczerpuje tematu, gdyż pierwiastki wielomianu
nie muszą być rzeczywiste i mogą być wielokrotne.

Dlatego rozpatrzymy różne przypadki poczynając od najprostrzych,
a kończąc na postaci ogólnej.
:::

### Wielomian charakterystyczny ma różne pierwiastki rzeczywiste

:::{narration}

Jeśli wielomian charakterystyczny równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodneStale`
ma jednokrotne pierwiastki rzeczywiste równe $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$,
to funkcje $u_1,\ldots, u_n:\rr \to \rr$,

$$
u_1(t) = e^{\lambda_1\cdot t},
   u_2(t) = e^{\lambda_2\cdot t},
   \ldots, u_n(t) = e^{\lambda_n\cdot t},
$$

są układem podstawowym całek tego równania różniczkowego.

Innymi słowy, rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy'ego
można zapisać w postaci

$$
u(t)
   = C_1\cdot e^{\lambda_1\cdot t} + C_2\cdot e^{\lambda_2\cdot t} + \ldots + C_{n}\cdot e^{\lambda_n\cdot t},
$$

gdzie $C_1, \ldots, C_n \in \rr$.
:::

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-01
:class: [exercise]

Znajdźmy rozwiązanie równania:
$
\quad
\ddot u -3 \dot u = 0$,$\quad u(0) = \dot u(0) = 1$.

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-12-ex-04`, {numref}`prob-12-ex-06`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Wielomian charakterystyczny tego równania to

   ```{math}
   w(\lambda) = \lambda^2 - 3\lambda = \lambda\Paren{\lambda - 3}.
   ```

   Zatem pierwiastki to:
   $
   \quad
   0,\ 3$,
   $\quad$
   a zatem całka ogólna ma postać

   $$
   u(t) = C_1\, e^{0 t} + C_2\, e^{3 t}
   = C_1 + C_2\, e^{3 t},
   \quad C_1, C_2 \in \rr.
   $$

2. W celu znalezienia rozwiązania szczególnego
   obliczamy pochodną
   $
   \dot u(t) = 3 C_2\, e^{3 t}
   $
   i rozwiązujemy układ równań:

   $$
   \Uklad{
   u(0) = C_1 + C_2\, e^{3\cdot 0} = 1 \\
   \dot u(0) = 3 C_2\, e^{3 \cdot 0} = 1
   }
   \Leftrightarrow \quad
   \Uklad{
   C_1  = 1 - C_2 = \frac 2 3       \\
   C_2  = \frac 1 3
   }
   .
   $$

Ostateczne rozwiązanie to
$
\quad
u(t) = \frac 2 3  + \frac 1 3 e^{3t} .
$
:::

### Wielomian charakterystyczny ma jeden pierwiastek rzeczywisty

:::{narration}

Jeśli wielomian charakterystyczny równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodneStale`
ma jeden, $n$-krotny, pierwiastek rzeczywisty równy $\lambda$,
to funkcje $u_1,\ldots, u_n:\rr \to \rr$,

$$
u_1(t) = e^{\lambda\cdot t}, \qquad
   u_2(t) = t\cdot e^{\lambda\cdot t}, \qquad
   \ldots, \qquad  u_n(t) = t^{n-1}\cdot e^{\lambda \cdot t},
$$

są układem podstawowym całek tego równania różniczkowego.

Innymi słowy, rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy'ego
można zapisać w postaci

$$
u(t) = v(t)\cdot e^{\lambda\cdot t}
   = \left(a_0 + a_1\cdot t + \ldots + a_{n-1}\cdot t^{n-1}\right)\cdot e^{\lambda\cdot t},
$$

czyli $v\in\rr_{n-1}[t]$
jest pewnym wielomianem stopnia co najwyżej $n-1$.
:::

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-02
:class: [exercise]

Znajdźmy rozwiązanie równania:
$
\quad
\ddot u -2 \dot u + u = 0$,
$
\quad
u(0) = \dot u(0) = 1$.

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-12-ex-04`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Wielomian charakterystyczny tego równania to

   ```{math}
   w(\lambda) = \lambda^2 - 2\lambda + 1 = \Paren{\lambda - 1}^2.
   ```

   Zatem mamy dwukrotny pierwiastek
   $
   \quad 1$,
   $\quad$
   a zatem całka ogólna ma postać

   $$
   u(t) = \Paren{a_0 + a_1 t} e^{t}
   \quad a_0, a_1 \in \rr.
   $$

2. W celu znalezienia rozwiązania szczególnego
   obliczamy pochodną

   ```{math}
   \dot u(t) = \Paren{a_1 + a_0 + a_1 t} e^{t}
   ```

   i rozwiązujemy układ równań:

   $$
   \Uklad{
   u(0) = \Paren{a_0 + a_1 \cdot 0} e^{0} = 1 \\
   \dot u(0) = \Paren{a_1 + a_0 + a_1 \cdot 0} e^{0} = 1
   }
   \Leftrightarrow \quad
   \Uklad{
   a_0 = 1                     \\
   a_1  = 1 - a_0 = 0
   }
   .
   $$

Ostateczne rozwiązanie to
$
\quad
u(t) = e^{t} .
$
:::

### Wielomian charakterystyczny ma pierwiastki rzeczywiste

:::{narration}

Jeśli wielomian charakterystyczny równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodneStale`
ma $k\in\nn$ różnych pierwiastków rzeczywistych $\lambda_1,\ldots, \lambda_k \in \rr$,
krotności odpowiednio $r_1,\ldots, r_k \in \nn$,
to rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy'ego
można zapisać w postaci

$$
u(t) = v_1(t)\cdot e^{\lambda_1\cdot t}
   + v_2(t)\cdot e^{\lambda_2\cdot t}
   + \ldots
   + v_k(t)\cdot e^{\lambda_k\cdot t},
$$

gdzie $v_1\in\rr_{r_1-1}[t], v_2\in\rr_{r_2-1}[t], \ldots v_k\in\rr_{r_k-1}[t]$.
:::

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-03
:class: [exercise]

Znajdźmy rozwiązanie równania:
$
\quad
\dddot u + \ddot u = 0$,

$
\quad
u(0) = \dot u(0) = \ddot u(0) = 1$.
::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Wielomian charakterystyczny tego równania to

   ```{math}
   w(\lambda) = \lambda^3 + \lambda^2 = \lambda^2\Paren{\lambda + 1}.
   ```

   Zatem mamy pierwiastki
   $
   \quad
   -1,\, 0
   \quad
   $
   krotności odpowiednio
   $
   \quad
   1, \, 2$,
   $\quad$
   a zatem całka ogólna ma postać

   $$
   u(t) = \Paren{a_0 + a_1 t} e^{0\cdot t} + b_0\, e^{-t}
   = \Paren{a_0 + a_1 t}  + b_0\, e^{-t},
   \quad a_0, a_1, b_0 \in \rr.
   $$

2. W celu znalezienia rozwiązania szczególnego
   obliczamy pochodne:

   $$
   \begin{aligned}
   \dot u(t)  & = a_1 - b_0\, e^{-t} ,
   &
   \ddot u(t) & = b_0\, e^{-t}
   \end{aligned}
   $$

   i rozwiązujemy układ równań:

   $$
   \Uklad{
   u(0) = \Paren{a_0 + a_1 \cdot 0}  + b_0\, e^{0} = 1 \\
   \dot u(0) = a_1 - b_0\, e^{0} = 1             \\
   \ddot u(0) =  b_0\, e^{0} = 1
   }
   \Leftrightarrow \quad
   \Uklad{
   a_0 = 1 - b_0 = 0                    \\
   a_1  = 1 + b_0 = 2                   \\
   b_0 = 1
   }
   .
   $$

Ostateczne rozwiązanie to
$
\quad
u(t) = 2t + e^{-t} .
$
:::

### Wielomian charakterystyczny stopnia 2 ma pierwiastek nierzeczywisty

:::{narration}

Załóżmy, że $n=2$, czyli rozpatrujemy równanie rzędu $2$.

Jeśli wielomian charakterystyczny równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodneStale`
ma pierwiastek nierzeczywisty:

```{math}
\lambda = \alpha + \omega j,\quad \alpha\in\rr,\, \omega\in\rr\setminus\Set 0,
```

(a więc drugim pierwiastkiem jest $\overline\lambda = \alpha - \omega j$)
to funkcje $u_1,u_2:\rr \to \rr$,

$$
u_1(t) = \cos \omega t \cdot e^{\alpha\cdot t}, \qquad
   u_2(t) = \sin \omega t \cdot e^{\alpha\cdot t},
$$

są układem podstawowym całek tego równania różniczkowego.

Innymi słowy, rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy'ego
można zapisać w postaci harmoniki o pulsacji $\omega$ pomnożonej przez funkcję wykładniczą

```{math}
u(t) =\left(a\cos \omega t + b\sin \omega t\right)\cdot e^{\alpha\cdot t},
```

gdzie $a,b\in\rr$.
:::

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-04
:class: [exercise]

Znajdźmy rozwiązanie zagadnienia:
$
\quad
\ddot u - 2 \dot u + 5u = 0$,
$
\quad
u(0) = \dot u(0) = 1$.

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-12-ex-04`, {numref}`prob-12-ex-06`, {numref}`prob-12-ex-07`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Wielomian charakterystyczny tego równania to

   ```{math}
   w(\lambda) = \lambda^2 -2 \lambda + 5.
   ```

   Wyróżnik to $\Delta = 4 - 4\cdot 5 = -4^2$,
   więc jego pierwiastki to
   $
   \quad
   \lambda_+ = \frac {2 + 4j} {2} = 1 + 2j,\, \lambda_- = 1 - 2j $,
   $\quad$
   a zatem
   $
   \quad
   \alpha = 1,\, \omega = 2
   \quad
   $
   i całka ogólna ma postać

   $$
   u(t) = \Paren{a\cos 2 t + b\sin 2 t} \cdot e^{t}
   \quad a, b \in \rr.
   $$

2. W celu znalezienia rozwiązania szczególnego
   obliczamy pochodną

   $$
   \dot u(t) & = \Paren{-2a\sin 2 t + 2b\cos 2 t} \cdot e^{t}
   + \Paren{a\cos 2 t + b\sin 2 t} \cdot e^{t}
   \\ &
   = \Paren{(a+2b)\cos 2 t + (b-2a)\sin 2 t} \cdot e^{t}
   $$

   i rozwiązujemy układ równań:

   $$
   \Uklad{
   u(0) = \Paren{a\cos 0 + b\sin 0} \cdot e^{0} = 1          \\
   \dot u(0) = \Paren{(a+2b)\cos 0 + (b-2a)\sin 0} \cdot e^{0} = 1 \\
   }
   \Leftrightarrow \quad
   \Uklad{
   a = 1                                \\
   b = \frac 1 2 \Paren{1 - a} = 0
   }
   .
   $$

Ostateczne rozwiązanie to
$
\quad
u(t) = \cos 2t \cdot e^{t} .
$
:::

### Wielomian charakterystyczny ma dokładnie 2 pierwiastki nierzeczywiste

:::{narration}

Jeśli wielomian charakterystyczny równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodneStale`
ma $\frac n 2$-krotny pierwiastek nierzeczywisty $\lambda = \alpha + \omega j$, $\omega\neq 0$,
(a więc drugim pierwiastkiem jest $\overline\lambda = \alpha - \omega j$)
rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy'ego
można zapisać w postaci

```{math}
u(t) =\left(v(t)\cdot \cos \omega t + w(t)\cdot\sin \omega t\right)\cdot e^{\alpha\cdot t},
```

gdzie $v,w\in\rr_{\frac n 2 -1}[t]$.
:::

### Wielomian charakterystyczny ma dowolne pierwiastki

::::{narration}

Jeśli wielomian charakterystyczny równania {eq}`eq-RRZLinioweJednorodneStale`
ma zarówno pierwiastki rzeczywiste i nierzeczywiste niekoniecznie jednokrotne,
to rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy'ego
jest kombinacją liniową funkcji:

1. $v(t)\cdot e^{\lambda\cdot t}$, gdzie $v\in \rr_{r-1}[t]$,
   dla każdego pierwiastka rzeczywistego $\lambda\in\rr$ krotności $r\in\nn$
2. $\left(v(t)\cdot \cos \omega t + w(t)\cdot\sin \omega t\right)\cdot e^{\alpha\cdot t}$,
   gdzie $v,w\in \rr_{r-1}[t]$,
   dla każdej pary pierwiastków nierzeczywistych $\alpha + \omega j, \alpha - \omega j\in\cc$,
   występujących w krotności $r\in\nn$.

::::

## Niejednorodne równania liniowe

:::{narration}

Niech $n\in \nn$, $a,b\in\rr$, $a < b$ i niech $p_0, \ldots, p_{n-1}, f : (a,b) \to \rr$
będą funkcjami ciągłymi.
:::

:::{prf:definition}

Równanie różniczkowe, które można doprowadzić do postaci

```{math}
:label: eq-RRZLinioweNieJednorodne

\begin{aligned}
   u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u = f(t)
\end{aligned}
```

nazywamy
niejednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu $n$.
{index}`równanie różniczkowe; liniowe niejednorodne`
:::

:::{prf:theorem}

Jeśli

- $u_0: (a,b)\to \rr$ jest pewną (dowolnie wybraną) całką szczególną
  równania {eq}`eq-RRZLinioweNieJednorodne`,
- $u_1,\ldots, u_n : (a,b)\to\rr$ jest układem podstawowym
  całek równania jednorodnego

  ```{math}
  u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u = 0,
  ```

to rodzina

$$
\Solutions{} = \Set{
      u_0 + \sum_{i=1}^n C_i\cdot u_i = u_0 +  C_1\cdot u_1 + \ldots + C_n \cdot u_n :
      C_1, \ldots, C_n \in \rr
   }
$$
jest rozwiązaniem ogólnym
równania niejednorodnego {eq}`eq-RRZLinioweNieJednorodne`,
czyli dla każdego warunku początkowego Cauchy'ego:
$$
u(t_0) = u_0 \in \rr,\quad \dot u(t_0) = u_1 \in \rr,
   \ldots,\quad u^{(n-1)}(t_0) = u_{n-1} \in \rr,
$$
istnieje całka szczególna $u\in \Solutions{}$
spełniająca ten warunek początkowy.
:::

:::{prf:example}
:class: [example]

Przypomnijmy, że na poprzednim wykładzie podaliśmy rozwiązanie
równania liniowego pierwszego rzędu

```{math}
\Diff[t]{u} + p(t)\cdot u = f(t),
```

które jest szczególnym przypadkiem
niejednorodnego równania liniowego {eq}`eq-RRZLinioweNieJednorodne`.

Rozwiązanie miało postać:

$$
u(t) = C(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }},
   \qquad
   \text{gdzie } C(t) = \Int[t]{ f(t)\cdot e^{\Int[t]{ p(t) }} }.
$$

Ponieważ całka nieoznaczona jest rodziną funkcji różniących się o stałą $C_1\in\rr$,
to możemy napisać:

$$
u(t) & = \left(\Int[t]{ f(t)\cdot e^{\Int[t]{ p(t) }} } + C_1\right)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }}
   \\
        & = \underbrace{e^{- \Int[t]{ p(t) }}\cdot\Int[t]{ f(t)\cdot e^{\Int[t]{ p(t) }} }}_{u_0(t)}
   + C_1\cdot \underbrace{e^{- \Int[t]{ p(t) }}}_{u_1(t)}.
$$

:::

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-05
:class: [exercise]

Sprawdźmy, że $u_0(t) = e^{\omega t}$ jest rozwiązaniem
równania
$\ddot u + \omega^2 \cdot u = 2\omega^2\, e^{\omega t}.$

Zapiszmy jego ogólne rozwiązanie
oraz znajdźmy całkę pierwszą dla warunku Cauchy'ego: $u(0)= \dot u(0) = 1$.

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-12-ex-01`, {numref}`prob-12-ex-05`.
:::

::::

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Obliczamy pochodne $u_0$:
   $
   \quad
   \dot u_0(t)  = \omega\, e^{\omega t},\,
   \ddot u_0(t)  = \omega^2\, e^{\omega t}
   \quad
   $
   i sprawdzamy, że $u_0$ spełnia równanie:

   $$
   \ddot u(t) + \omega^2 \cdot u(t)
   = \omega^2 \, e^{\omega t}
   + \omega^2\cdot e^{\omega t}
   = 2\omega^2\, e^{\omega t}
   .
   $$

2. Potrzebujemy rozwiązania ogólnego równania jednorodnego
   $
   \quad
   \ddot u + \omega^2 \cdot u = 0 .
   \quad
   $
   Wielomian charakterystyczny tego równania to

   $$
   w(\lambda) = \lambda^2 + \omega^2
   = \lambda^2 - \Paren{\omega j}^2
   = \Paren{\lambda - \omega j}
   \Paren{\lambda + \omega j},
   $$

   więc jego pierwiastki to
   $
   \quad
   \omega j ,\, -\omega j $,
   $\quad$
   a zatem
   $
   \quad
   \alpha = 0,\, \omega = \omega
   \quad
   $
   i całka ogólna ma postać

   $$
   u_J(t) = \Paren{a\cos \omega t + b\sin \omega t} \cdot e^{0\cdot t}
   = {a\cos \omega t + b\sin \omega t}
   \quad a, b \in \rr.
   $$

   To oznacza, że rozwiązanie ogólne równania
   $
   \quad
   \ddot u + \omega^2 \cdot u = 2\omega^2\, e^{\omega t}
   \quad
   $
   to

   $$
   u(t) = u_J(t) + u_0(t)
   = {a\cos \omega t + b\sin \omega t} + e^{\omega t},
   \quad a, b \in \rr.
   $$

3. W celu znalezienia rozwiązania szczególnego
   obliczamy pochodą

   $$
   \dot u(t)
   = {-a\omega \sin \omega t + b\omega \cos \omega t} + \omega\, e^{\omega t}
   $$

   i rozwiązujemy układ równań:

   $$
   \Uklad{
   u(0) = {a\cos 0 + b\sin 0} + e^{0} = 1                 \\
   \dot u(0) = {a\omega \sin 0 + b\omega \cos 0} + \omega\, e^{0} = 1 \\
   }
   \Leftrightarrow \quad
   \Uklad{
   a = 0                                \\
   b = \frac 1 \omega \Paren{1 - \omega} = \frac 1 \omega - 1
   }
   .
   $$

   Ostateczne rozwiązanie to
   $
   \quad
   u(t) = {\Paren{\frac 1 \omega - 1}\sin \omega t} + e^{\omega t} .
   $
:::

:::{prf:proposition}
:label: stw-SumaFunkcjiPoPrawejStronie

Niech $m\in\nn$ i dla $i= 1,\ldots, m$ niech będzie dana funkcja ciągła $f_i:(a,b)\to \rr$.

Załóżmy, że $u_{0i}:(a,b)\to\rr$ jest całką szczególną równania

```{math}
u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u = f_i(t)
```

(tzn. lewa strona równania jest zawsze taka sama) dla $i= 1,\ldots, m$.

Wówczas $u_0: (a,b)\to \rr$,

```{math}
u_0 = u_{01} + u_{02} + \ldots + u_{0m},
```

jest całką szczególną równania

$$
u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u
   = f_1(t) + f_2(t) + \ldots + f_m(t).
$$

:::

## Niejednorodne równania liniowe o stałych współczynnikach

:::{narration}

Niech $p_0, \ldots, p_{n-1} \in \rr$ oraz $f: (a,b)\to \rr$.
:::

:::{prf:definition}

Równanie różniczkowe, które można doprowadzić do postaci

```{math}
:label: eq-RRZLinioweNieJednorodneStale

\begin{aligned}
   u^{(n)} + p_{n-1}\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1\cdot \dot u + p_0\cdot u = f(t)
\end{aligned}
```

nazywamy
niejednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu $n$ o stałych współczynnikach.
{index}`równanie różniczkowe; liniowe niejednorodne`
:::

:::{narration}

Ponieważ wiemy jak rozwiązać dowolne jednorodne równanie liniowe o stałych współczynnikach,
to potrzebujemy jedynie znaleźć rozwiązanie szczególne równania
{eq}`eq-RRZLinioweNieJednorodneStale` przy zadanej funkcji $f$.

Nie dla każdej funkcji $f$ istnieje prosta metoda znajdowania tej całki szczególnej,
ale jest klasa funkcji, tzw. quasi-wielomianów, kiedy możemy przewidzieć jakiej postaci
ona będzie.

Nazywamy to **metodą przewidywań** {index}`metoda przewidywań`.

Załóżmy, że

```{math}
f(t) = \left(v_1(t)\cdot \cos \OmegaColored t + v_2(t)\cdot\sin \OmegaColored t\right)\cdot e^{\AlphaColored\cdot t} ,
```

gdzie $v_1,v_2\in \rr[t]$.

Wówczas całki szczególnej równania {eq}`eq-RRZLinioweNieJednorodneStale`
szukamy w postaci

```{math}
u_0(t) = t^\Krotnosc \cdot\left(w_1(t)\cdot \cos \OmegaColored t + w_2(t)\cdot\sin \OmegaColored t\right)\cdot e^{\AlphaColored\cdot t},
```

gdzie:

- $\Krotnosc \in\nn_0$ jest krotnością pierwiastka $\AlphaColored + \OmegaColored j$
  wielomianu charakterystycznego równania

  ```{math}
  u^{(n)} + p_{n-1}\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1\cdot \dot u + p_0\cdot u = 0
  ```

- $w_1, w_2 \in \rr[t]$, przy czym
  $
  \deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{\deg v_1, \deg v_2}.
  $
:::

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-06
:class: [exercise]

Znajdźmy całkę szczególną równania różniczkowego:

:::{container} columns-2-auto

1. $\ddot u - u = 3t^2 + 1\,  $
2. $\ddot u - u = 4t\cdot e^t\,  $
3. $\ddot u + u = 8\sin t \cdot e^{2t}\,  $
4. $\ddot u + u = 2\sin t - \cos t\, . $

:::

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-12-ex-04`, {numref}`prob-12-ex-06`, {numref}`prob-12-ex-07`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
var('a b')
var('a0', latex_name = "a_0")
var('a1', latex_name = "a_1")
var('a2', latex_name = "a_2")
fa(t) = a0 + a1*t + a2*t^2
fb(t) = (a0*t + a1*t^2)*e^t
fc(t) = (a*cos(t) + b*sin(t))*e^(2*t)
fd(t) = t^1*(a*cos(t) + b*sin(t))
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u_0(t)   & = t^{\color{Orange} 0} \cdot\Paren{"
    + r"\Paren{a_0 + a_1 t + a_2 t^2}\cos \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t}"
    + r" + \Paren{b_0 + b_1 t + b_2 t^2}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t}"
    + r"} \cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t}"
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex(fa(t=t))
    + r","
    + r"\\"
    + r"\dot u_0(t) & = "
    + latex(SD(fa))
    + r", \qquad"
    + r"\ddot u_0(t) "
    + r" = "
    + latex(SD(SD(fa)))
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_0", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"\ddot u_0 - u_0"
    + r"& ="
    + latex(SD(SD(fa)))
    + r" - \Paren{"
    + latex(fa(t=t))
    + r"}"
    + r"= 3t^2 + 1"
    + r"\\ & \Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"-a_2 = 3"
    + r"\\"
    + r"-a_1 = 0"
    + r"\\"
    + r"2a_2 - a_0 = 1"
    + r"}"
    + r"\Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"a_2 = -3"
    + r"\\"
    + r"a_1 = 0"
    + r"\\"
    + r"a_0 = 2a_2 - 1 = -7"
    + r"}"
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_1", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u_0(t)    & = t^{\color{Orange} 1} \cdot\Paren{"
    + r"\Paren{a_0 + a_1 t}\cos \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t}"
    + r" + \Paren{b_0 + b_1 t}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t}"
    + r"} \cdot e^{{\color{PWBlue} 1}\cdot t}"
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex(fb(t))
    + r","
    + r"\\"
    + r"\dot u_0(t)  & = "
    + latex(fb.diff(t)(t=t))
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex(SD(fb))
    + r" ,"
    + r"\\"
    + r"\ddot u_0(t) & = "
    + latex(SD(fb).diff(t))
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex(SD(SD(fb)))
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_2", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"\ddot u_0 - u_0"
    + r"& = "
    + latex(SD(SD(fb)))
    + r" - "
    + latex(fb(t))
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex((SD(SD(fb)) - fb).full_simplify())
    + r" = 4t\, e^t"
    + r"\\ & \Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"4a_1 = 4"
    + r"\\"
    + r"2(a_0 + a_1) = 0"
    + r"}"
    + r"\Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"a_1 = 1"
    + r"\\"
    + r"a_0 = - a_1 = -1"
    + r"}"
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_3", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u_0(t)    & = t^{\color{Orange} 0} \cdot\Paren{"
    + r"{a}\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}"
    + r" + {b}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}"
    + r"} \cdot e^{{\color{PWBlue} 2}\cdot t}"
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex(fc(t=t))
    + r","
    + r"\\"
    + r"\dot u_0(t)  & = "
    + latex(fc.diff(t)(t=t))
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex(SD(fc))
    + r" ,"
    + r"\\"
    + r"\ddot u_0(t) & = "
    + latex(SD(SD(fc)))
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_4", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"\ddot u_0 + u_0"
    + r"& = "
    + latex(SD(SD(fc)))
    + r" + "
    + latex(fc(t=t))
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex((SD(SD(fc)) + fc).full_simplify())
    + r" = 8\sin t \cdot e^{2t}"
    + r"\\ & \Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"4(a + b) = 0"
    + r"\\"
    + r"-4(a - b) = 8"
    + r"}"
    + r"\Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"a = -1"
    + r"\\"
    + r"b = 1"
    + r"}"
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_5", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u_0(t) = "
    + latex(fc(a = -1, b = 1))
    + r"."
)
glue("sageglue_10_6", Math(content), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u_0(t)    & = t^{\color{Orange} 1} \cdot\Paren{"
    + r"{a}\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}"
    + r" + {b}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}"
    + r"} \cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t}"
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex(fd(t=t))
    + r","
    + r"\\"
    + r"\dot u_0(t)  & = "
    + latex(fd.diff(t)(t=t))
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex(SD(fd))
    + r" ,"
    + r"\\"
    + r"\ddot u_0(t) & = "
    + latex(SD(SD(fd)))
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_7", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"\ddot u_0 + u_0"
    + r"& ="
    + latex(SD(SD(fd)))
    + r" + "
    + latex(fd(t))
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex((SD(SD(fd)) + fd).full_simplify())
    + r" = - \cos t + 2\sin t"
    + r"\\ & \Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"2b = -1"
    + r"\\"
    + r"-2a = 2"
    + r"}"
    + r"\Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"b = -\frac 1 2"
    + r"\\"
    + r"a = -1"
    + r"}"
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_8", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u_0(t) = "
    + latex(fd(a = -1, b = -1/2))
    + r"."
)
glue("sageglue_10_9", Math(content), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Wielomian charakterystyczny równania jednorodnego
   $
   \quad
   \ddot u - u = 0
   \quad
   $
   to

   $$
   w(\lambda) = \lambda^2 - 1
   = \Paren{\lambda - 1}\Paren{\lambda + 1},
   $$

   więc jego pierwiastki to
   $
   \quad
   -1,\, 1 $,
   $\quad$
   oba krotności 1.
   Ponieważ

   $$
   f(t) = 3t^2 + 1 =  \Paren{
   \Paren{3t^2 + 1}\cos \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t}
   + 0\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t}
   }\cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t}
   \\
   \Quad{\imply}
   {\color{PWBlue} \AlphaColored = 0} ,\,
   {\color{PWRed} \OmegaColored = 0} ,
   $$

   to
   $
   \quad
   \AlphaColored + \OmegaColored j = 0
   \quad
   $
   nie jest pierwiastkiem $w$, więc:

   - ${\color{Orange} \Krotnosc = 0} \, $
   - $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{2, -\infty} = 2 \, .$

   Rozwiązanie szczególne jest postaci

   ```{glue:math} sageglue_10_0
   ```

   Wstawiając do równania otrzymujemy:

   ```{glue:math} sageglue_10_1
   ```

   Zatem rozwiązanie szczególne to
   $
   \quad
   u_0(t) = -3 t^2 - 7 .
   $

2. Wielomian charakterystyczny równania jednorodnego
   $
   \quad
   \ddot u - u = 0
   \quad
   $
   to

   $$
   w(\lambda) = \lambda^2 - 1
   = \Paren{\lambda - 1}\Paren{\lambda + 1},
   $$

   więc jego pierwiastki to
   $
   \quad
   -1,\, 1 $,
   $\quad$
   oba krotności 1.
   Ponieważ

   $$
   f(t) = 4t\cdot e^t =  \Paren{
   {4t}\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t}
   + 0\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t}
   }\cdot e^{{\color{PWBlue} 1}\cdot t}
   \\
   \Quad{\imply}
   {\color{PWBlue} \AlphaColored = 1} ,\,
   {\color{PWRed} \OmegaColored = 0} ,
   $$

   to
   $
   \quad
   \AlphaColored + \OmegaColored j = 1
   \quad
   $
   jest jednokrotnym pierwiastkiem $w$, więc:

   - ${\color{Orange} \Krotnosc = 1} \, $
   - $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{1, -\infty} = 1 \, .$

   Rozwiązanie szczególne jest postaci

   ```{glue:math} sageglue_10_2
   ```

   Wstawiając do równania otrzymujemy:

   ```{glue:math} sageglue_10_3
   ```

   Zatem rozwiązanie szczególne to
   $
   \quad
   u_0(t) = \Paren{t^2 - t} e^t .
   $

3. Wielomian charakterystyczny równania jednorodnego
   $
   \quad
   \ddot u + u = 0
   \quad
   $
   to

   $$
   w(\lambda) = \lambda^2 + 1
   = \Paren{\lambda - j}\Paren{\lambda + j},
   $$

   więc jego pierwiastki to
   $
   \quad
   -j,\, j $,
   $\quad$
   oba krotności 1.
   Ponieważ

   $$
   f(t) = 8\sin t \cdot e^{2t} =  \Paren{
   0\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}
   + 8\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}
   }\cdot e^{{\color{PWBlue} 2}\cdot t}
   \\
   \Quad{\imply}
   {\color{PWBlue} \AlphaColored = 2} ,\,
   {\color{PWRed} \OmegaColored = 1} ,
   $$

   to
   $
   \quad
   \AlphaColored + \OmegaColored j = 2 + j
   \quad
   $
   nie jest pierwiastkiem $w$, więc:

   - ${\color{Orange} \Krotnosc = 0} \, $
   - $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{-\infty, 0} = 0 \, .$

   Rozwiązanie szczególne jest postaci

   ```{glue:math} sageglue_10_4
   ```

   Wstawiając do równania otrzymujemy:

   ```{glue:math} sageglue_10_5
   ```

   Zatem rozwiązanie szczególne to

   ```{glue:math} sageglue_10_6
   ```

4. Wielomian charakterystyczny równania jednorodnego
   $
   \quad
   \ddot u + u = 0
   \quad
   $
   to

   $$
   w(\lambda) = \lambda^2 + 1
   = \Paren{\lambda - j}\Paren{\lambda + j},
   $$

   więc jego pierwiastki to
   $
   \quad
   -j,\, j $,
   $\quad$
   oba krotności 1.
   Ponieważ

   $$
   f(t) = 2\sin t - \cos t =  \Paren{
   -1\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}
   + 2\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}
   }\cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t}
   \\
   \Quad{\imply}
   {\color{PWBlue} \AlphaColored = 0} ,\,
   {\color{PWRed} \OmegaColored = 1} ,
   $$

   to
   $
   \quad
   \AlphaColored + \OmegaColored j = j
   \quad
   $
   jest jednokrotnym pierwiastkiem $w$, więc:

   - ${\color{Orange} \Krotnosc = 1} \, $
   - $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{0,0} = 0 \, .$

   Rozwiązanie szczególne jest postaci

   ```{glue:math} sageglue_10_7
   ```

   Wstawiając do równania otrzymujemy:

   ```{glue:math} sageglue_10_8
   ```

   Zatem rozwiązanie szczególne to

   ```{glue:math} sageglue_10_9
   ```

:::

:::{narration}

Pora na przykład, w którym skorzystamy z {prf:ref}`stw-SumaFunkcjiPoPrawejStronie`.
:::

::::{exercise}
:label: lec-11-ex-07
:class: [exercise]

Rozwiążmy zagadnienie Cauchy'ego:

$$
\quad
   \ddot u - 4 \dot u + 5u = 65\cos 2t + 2\sin t \cdot  e^{2t},
   \quad
   u(0) = 0, \dot u (0) = 1.
$$

:::{note}
:class: [see-problem]

Pomoże rozwiązać {numref}`prob-12-ex-04`.
:::

::::

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
var('a b')
u(t) =  (a*cos(t) + b*sin(t))*e^(2*t)
fe(t) = t^0*(a*cos(2*t) + b*sin(2*t))
ff(t) = t^1*(a*cos(t) + b*sin(t))*e^(2*t)
U(t) = u + fe(a = 1, b = -8) + ff(a = -1, b = 0)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u_J(t)"
    + r" & = "
    + latex(u)
    + r","
    + r"\\"
    + r"\quad a, b \in \rr."
)
glue("sageglue_10_10", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u_{01}(t)    & = t^{\color{Orange} 0} \cdot\Paren{"
    + r"{a}\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t}"
    + r" + {b}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t}"
    + r"} \cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t}"
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex(fe(t=t))
    + r","
    + r"\\"
    + r"\dot u_{01}(t)  & = "
    + latex(fe.diff(t)(t=t))
    + r"\\"
    + r"\ddot u_{01}(t) & = "
    + latex(fe.diff(t,2)(t=t))
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_11", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"\ddot u - 4 \dot u + 5u"
    + r"& ="
    + latex(fe.diff(t,2)(t=t))
    + r" - 4\Paren{"
    + latex(fe.diff(t)(t=t))
    + r"}"
    + r" + 5\Paren{"
    + latex(fe(t=t))
    + r"}"
    + r"= 65 \cos 2t"
    + r"\\ & \Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"a - 8b = 65"
    + r"\\"
    + r"8a + b = 0"
    + r"}"
    + r"\Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"a = 1"
    + r"\\"
    + r"b = -8"
    + r"}"
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_12", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"\color{PWRed}u_{01}(t) = "
    + latex(fe(a = 1, b = -8))
    + r"."
)
glue("sageglue_10_13", Math(content), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u_{02}(t)    & = t^{\color{Orange} 1} \cdot\Paren{"
    + r"{a}\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t}"
    + r" + {b}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t}"
    + r"} \cdot e^{{\color{PWBlue} 2}\cdot t}"
    + r"\\ &"
    + r" = "
    + latex(ff(t=t))
    + r","
    + r"\\"
    + r"\dot u_{02}(t)  & = "
    + latex(ff.diff(t).full_simplify())
    + r"\\"
    + r"\ddot u_{02}(t) & = "
    + latex(ff.diff(t,2).full_simplify())
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_14", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"\ddot u - 4 \dot u + 5u"
    + r"& ="
    + latex((ff.diff(t,2) - 4*(ff.diff(t)) + 5*(ff)).full_simplify())
    + r" = 2\sin t \cdot e^{2t}"
    + r"\\ & \Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"2b = 0"
    + r"\\"
    + r"-2a = 2"
    + r"}"
    + r"\Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"a = -1"
    + r"\\"
    + r"b = 0"
    + r"}"
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_15", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"\color{PWBlue}u_{02}(t) = "
    + latex(ff(a = -1, b = 0))
    + r"."
)
glue("sageglue_10_16", Math(content), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u(t) &"
    + r" = {\color{PWGreen} u_J(t)}"
    + r" + {\color{PWRed} u_{01}(t)}"
    + r" + {\color{PWBlue} u_{02}(t)}"
    + r"\\ & ="
    + r"{\color{PWGreen} "
    + latex(u(t=t))
    + r"}"
    + r" + {\color{PWRed} "
    + latex(fe(a = 1, b = -8))
    + r"}"
    + r" + {\color{PWBlue} "
    + latex(ff(a = -1, b = 0))
    + r"},"
    + r"\quad a, b \in \rr ."
)
glue("sageglue_10_17", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"\dot u(t) & = "
    + latex(U.diff(t).full_simplify())
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_18", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"\Uklad{"
    + r"u(0) = "
    + latex(U(t=0).simplify())
    + r" = 0"
    + r"\\"
    + r"\dot u(0) = "
    + latex(U.diff(t)(t=0).simplify())
    + r" = 1"
    + r"}"
    + r" \Leftrightarrow \quad"
    + r"\Uklad{"
    + r"a = -1"
    + r"\\"
    + r"b = 18 - 2a = 20"
    + r"}"
    + r" ."
)
glue("sageglue_10_19", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
from myst_nb import glue
from IPython.display import Math

content = (
    r"u(t) = "
    + latex(u(t)(a=-1, b=20))
    + latex(fe(a = 1, b = -8) + ff(a = -1, b = 0))
    +r"."
)
glue("sageglue_10_20", Math(r"\begin{aligned}" + content + r"\end{aligned}"), display=False)
```

:::{solution-without-reference}
:class: [solution] dropdown

1. Potrzebujemy rozwiązania ogólnego równania jednorodnego
   $
   \quad
   \ddot u - 4 \dot u + 5u = 0 .
   \quad
   $
   Wielomian charakterystyczny tego równania to

   ```{math}
   w(\lambda) = \lambda^2 - 4 \lambda + 5
   ```

   Wyróżnik to $\Delta = 4^2 - 4\cdot 5 = -2^2$,
   więc jego pierwiastki to
   $
   \quad
   \lambda_+ = \frac {4 + 2j} {2} = 2 + j,\, \lambda_- = 2 - j $,
   $\quad$
   a zatem
   $
   \quad
   \alpha = 2,\, \omega = 1
   \quad
   $
   i całka ogólna ma postać

   ```{glue:math} sageglue_10_10
   ```

2. Znajdujemy rozwiązanie szczególne równania
   $
   \quad
   \ddot u - 4 \dot u + 5u = 65\cos 2t.$

   $\quad$
   Ponieważ

   $$
   f_1(t) = 65\cos 2t =  \Paren{
   65\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t}
   + 0\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t}
   }\cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t}
   \\
   \Quad{\imply}
   {\color{PWBlue} \AlphaColored = 0} ,\,
   {\color{PWRed} \OmegaColored = 2} ,
   $$

   to
   $
   \quad
   \AlphaColored + \OmegaColored j = 2j
   \quad
   $
   nie jest pierwiastkiem $w$, więc:

   - ${\color{Orange} \Krotnosc = 0} \, $
   - $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{0,-\infty} = 0 \, .$

   Rozwiązanie szczególne jest postaci

   ```{glue:math} sageglue_10_11
   ```

   Wstawiając do równania otrzymujemy:

   ```{glue:math} sageglue_10_12
   ```

   Zatem rozwiązanie szczególne to

   ```{glue:math} sageglue_10_13
   ```

3. Znajdujemy rozwiązanie szczególne równania
   $
   \quad
   \ddot u - 4 \dot u + 5u = 2\sin t \cdot  e^{2t}.$

   $\quad$
   Ponieważ

   $$
   f_2(t) = 2\sin t \cdot  e^{2t} =  \Paren{
   0\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}
   + 2\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}
   }\cdot e^{{\color{PWBlue} 2}\cdot t}
   \\
   \Quad{\imply}
   {\color{PWBlue} \AlphaColored = 2} ,\,
   {\color{PWRed} \OmegaColored = 1} ,
   $$

   to
   $
   \quad
   \AlphaColored + \OmegaColored j = 2 + j
   \quad
   $
   jest jednorodnym pierwiastkiem $w$, więc:

   - ${\color{Orange} \Krotnosc = 1} \, $
   - $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{-\infty, 0} = 0 \, .$

   Rozwiązanie szczególne jest postaci

   ```{glue:math} sageglue_10_14
   ```

   Wstawiając do równania otrzymujemy:

   ```{glue:math} sageglue_10_15
   ```

   Zatem rozwiązanie szczególne to

   ```{glue:math} sageglue_10_16
   ```

4. Korzystając z {prf:ref}`stw-SumaFunkcjiPoPrawejStronie`
   wnioskujemy, że rozwiązaniem ogólnym równania

   ```{math}
   \ddot u - 4 \dot u + 5u = 65\cos 2t + 2\sin t \cdot  e^{2t}
   ```

   jest

   ```{glue:math} sageglue_10_17
   ```

5. W celu znalezienia rozwiązania szczególnego
   obliczamy pochodną

   ```{glue:math} sageglue_10_18
   ```

   i rozwiązujemy układ równań:

   ```{glue:math} sageglue_10_19
   ```

   Ostateczne rozwiązanie to

   ```{glue:math} sageglue_10_20
   ```

:::