---
title: "Zastosowania pochodnej"
lecture_number: 6
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Zastosowania pochodnej

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-01
:class: [exercise]

Wyznacz równania tych stycznych do krzywej

```{math}
\displaystyle  y=\frac{x^2+1}{x-1},\ x\neq 1,
```

które są równoległe do prostej $x+y=5$.
Ponadto wyznacz równania prostych normalnych
w znalezionych punktach.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-05-ex-06`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-04
:class: [exercise]

Wykaż, że:

1. $\displaystyle  2\arctan x+\arcsin\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)=\pi \quad$ dla $x\geq 1$
2. $\displaystyle  \frac{x}{x+1}\leq \ln(x+1) \quad$ dla $x\geq 0$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-05-ex-08`, {numref}`lec-05-ex-09`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-03
:class: [exercise]

Znajdź wartości ekstremalne funkcji $f(x)= x^3 - 6|x|$ na zbiorze $\left[-1, 2 \right]$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-06-ex-03`, {numref}`lec-06-ex-02`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-02
:class: [exercise]

Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji $f$, jeśli:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle  f(x)=x\cdot e^{-\frac{2}{x}}$
2. $\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1+\ln x)^2}.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-06-ex-06`, {numref}`lec-06-ex-04`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-05
:class: [exercise]

Zapisz wzór Taylora rzędu 0, 1, 2, 3, 4
w punkcie $x_0 = 1$
dla funkcji $f(x) = x^4 - 4x^2.$
Jakie będzie rozwiniecie rzędu $n \geq 5$?

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-06-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-06
:class: [exercise]

Napisz ogólny wzór Maclaurina dla funkcji
$f(x)=\cos x$
i korzystając z niego podaj przybliżenie funkcji
wielomianem stopnia 6.
Oblicz z dokładnością $10^{-6}$ przybliżoną wartość $\cos \tfrac 1 {5}.$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-06-ex-01`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-09
:class: [exercise]

Wykaż, że:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \ln(x+1)\leq x \quad$ dla $x\geq 0$
2. $2x\arctan x\geq\ln(x^2+1) \quad$ dla $x\in\rr$
3. $\ln x <2\sqrt{x} \quad$ dla $x>0$
4. $\displaystyle  2x<\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \quad$ dla $x\in (0, 1)$.
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-05-ex-09`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-08
:class: [exercise]

Znajdź wartości ekstremalne funkcji:

1. $f(x)= \sqrt{\sin x} \quad$ na zbiorze $\left[0, \frac {3\pi} 4\right]$
2. $f(x)= |x - 2|\sqrt{2 x - 1} \quad$ na zbiorze $\left[\frac 1 2, 3 \right]$
3. $f(x)= (x-1)^2 + 3\sqrt{x^2-2x + 1} \quad$ na zbiorze $\left[0, 3 \right]$
4. $f(x)= \sqrt x + \sqrt{5-x^2} \quad$ na zbiorze $\left[0, 2 \right]$
5. $f(x)= \sqrt{4-x^2} + \sqrt{5-x^2} \quad$ na zbiorze $\left[-2, 2 \right]$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-06-ex-02`, {numref}`lec-06-ex-03`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-07
:class: [exercise]

Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji $f$, jeśli:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle  f(x)=\arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$
2. $\displaystyle f(x)=\frac{e^{x^2+1}}{x^2-1}$
3. $f(x)=2\arctan x-x$
4. $\displaystyle f(x)=\frac 1 {\ln x + \ln (3 - x)} .$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-06-ex-06`, {numref}`lec-06-ex-04`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 4.
var('x')
f = 1/(ln(x) + ln(3 - x))

show("f(x) =", f)
show("dziedzina: x in (0,3), z wyjątkiem zer mianownika")

# zera mianownika f: ln(x)+ln(3-x)=0  <=>  ln(x(3-x))=0  <=>  x(3-x)=1
zera_f = solve(x*(3-x) == 1, x)
show("zera mianownika f:", zera_f)

# pochodna
fp = f.diff(x)
show("f'(x) =", fp)

licznik = fp.numerator().simplify_full()
mianownik = fp.denominator()
show("licznik f':", licznik)
show("mianownik f':", mianownik)

# punkty krytyczne (zera licznika f')
pkt_kryt = solve(fp == 0, x)
show("punkty krytyczne:", pkt_kryt)

# na dziedzinie (0,3) mamy x>0 i 3-x>0, więc x*(3-x)>0,
# a (ln(x)+ln(3-x))^2 >= 0 (zero tylko w punktach wykluczonych z dziedziny f)
# zatem znak f'(x) pokrywa się ze znakiem licznika (3-2x) razy stały znak reszty
show("f'>0  <=> x jest w dziedzinie i", solve(2*x - 3 > 0, x))
show("f'<0  <=> x jest w dziedzinie i", solve(2*x - 3 < 0, x))

# wykres pomocniczy na całej dziedzinie
plot(f, (x, 0.01, 2.99), ymin=-10, ymax=10).show()
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-10
:class: [exercise]

Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji

```{math}
\displaystyle  f(x)=\arctan \left(\frac{2+x}{2-x}\right)-\arctan \left(\frac{x}{2}\right).
```

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-06-ex-06`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-06-ex-11
:class: [exercise]

Napisz ogólny wzór Maclaurina dla funkcji

```{math}
f(x)=\sqrt{1+x}
```

i korzystając z niego podaj przybliżenie funkcji
wielomianem stopnia 4.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-06-ex-01`.
:::

::::