---
title: "Całka nieoznaczona I"
lecture_number: 7
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Całka nieoznaczona I

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-01
:class: [exercise]

Udowodnij, że $\displaystyle \Int{ x^{-1 + \sin x} (x \cos x \cdot \ln x + \sin x) } = x^{\sin x} +C$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-02
:class: [exercise]

Oblicz całki nieoznaczone, w pierwszej kolejności korzystając z całkowania przez części:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \Int{  \arctan x }$
2. $\displaystyle \Int{ (x^2+1)\cos x  }$
3. $\displaystyle \Int{  \sqrt{x}\;\arctan \sqrt{x}  }$
4. $\displaystyle \Int{  (x^2 - 3x)\; e^{-x}  }$
5. $\displaystyle \Int{ e^{2x}\cos(4x)  }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-03`, {numref}`lec-07-ex-05`, {numref}`lec-07-ex-04`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-03
:class: [exercise]

Oblicz całki nieoznaczone, w pierwszej kolejności korzystając z całkowania przez podstawienie:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \Int{  (x+1)\sin(x^2+2x+2) }$
2. $\displaystyle \Int{   \arcsin x }$
3. $\displaystyle \Int{  \dfrac {\ln^2 (2x+1)}{2x+1}  }$
4. $\displaystyle \Int{  \frac{x^3}{\sqrt{(1-x^2)^3 }}  }$
5. $\displaystyle \Int{  e^{\sqrt{x}}  }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-06`, {numref}`lec-07-ex-07`, {numref}`lec-07-ex-02`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-04
:class: [exercise]

Oblicz całki nieoznaczone, w pierwszej kolejności korzystając z całkowania przez części:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \Int{ (2x+1)\log_2 x }$
2. $\displaystyle \Int{  (x^2-3x) \sin 3x    }$
3. $\displaystyle \Int{  x\ln^2 x  }$
4. $\displaystyle \Int{ \ln\left(1+\displaystyle\frac{2}{x}\right)  }$
5. $\displaystyle \Int{ \arcsin x   }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-03`, {numref}`lec-07-ex-07`, {numref}`lec-07-ex-05`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
f = (2*x + 1)*log(x, 2)
F = integral(f, x)
show("Funkcja f to:", f)
show("Funkcja pierwotna f to:", F)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-07-ex-05
:class: [exercise]

Oblicz całki nieoznaczone, w pierwszej kolejności korzystając z całkowania przez podstawienie:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \Int{ (2x^3-x) e^{x^2}  }$
2. $\displaystyle \Int{  \frac{\cos(\ln x)}{2x}  }$
3. $\displaystyle \Int{ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}  }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-06`, {numref}`lec-07-ex-07`, {numref}`lec-07-ex-02`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 3.
f = 1/(sqrt(x)+ (x)^(1/3))
F = integral(f, x)
show("Funkcja f to:", f)
show("Funkcja pierwotna f to:", F)
</script>
</div>
```