---
title: "Całka nieoznaczona II"
lecture_number: 8
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Całka nieoznaczona II

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-08-ex-01
:class: [exercise]

Oblicz całki nieoznaczone, korzystając z odpowiednich zależności trygonometrycznych:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \Int{ \sin 4x \cdot \cos 6x }$
2. $\displaystyle \Int{ \sin^3 x }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-17`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-08-ex-02
:class: [exercise]

Oblicz całki nieoznaczone, korzystając (jeśli trzeba) z rozkładu na ułamki proste:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \Int{ \frac 9 {(3x^2 + 3)^3} }$
2. $\displaystyle \Int{ \frac {1} {2x^2 - 4x +6} }$
3. $\displaystyle \Int{ \frac { 4x - 7} {(2x^2 - 4x +6)^2} }$
4. $\displaystyle \Int{ \frac {6 x^2 - 23 x + 27}{2 (x - 3) (x^2 - 2 x + 3)} }$
5. $\displaystyle \Int{ \frac {-5 - 2 x + 2 x^3}{(x^2-1) (4 + x^2)} }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-08`, {numref}`lec-07-ex-09`, {numref}`lec-07-ex-10`, {numref}`lec-07-ex-11`, {numref}`lec-07-ex-12`, {numref}`lec-07-ex-13`, {numref}`lec-07-ex-14`, {numref}`lec-07-ex-15`, {numref}`lec-07-ex-16`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-08-ex-03
:class: [exercise]

Oblicz całkę nieoznaczoną
$\displaystyle \Int{ \displaystyle\frac{1}{\sin 2x} }$
korzystając z podstawienia  $t = \tan \frac x 2$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-18`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-08-ex-04
:class: [exercise]

Oblicz całkę nieoznaczoną
$\displaystyle \Int{ \displaystyle\frac{1}{1 + \tan x} }$
korzystając z podstawienia $t = \tan x$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-19`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-08-ex-05
:class: [exercise]

Oblicz całki nieoznaczone, korzystając z odpowiednich zależności trygonometrycznych:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \Int{ \cos 3x \cdot  \cos x }$
2. $\displaystyle \Int{ \cos^3 x }$
3. $\displaystyle \Int{ \sin^2 x \cdot \cos^4 x }$
4. $\displaystyle \Int{ \sin^7 x }$
5. $\displaystyle \Int{ \sin^4 x \cdot \cos^3 x }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-17`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 4.
f = sin(x)^7
F = integral(f, x)
show("Funkcja f to:", f)
show("Funkcja pierwotna f to:", F)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-08-ex-06
:class: [exercise]

Oblicz całki nieoznaczone, korzystając (jeśli trzeba) z rozkładu na ułamki proste:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \Int{ \frac{1}{\Paren{x^2-6x+13}^3 } }$
2. $\displaystyle \Int{ \frac{x+1}{\Paren{x^2+ 8x+25}^2 } }$
3. $\displaystyle \Int{ \frac{x^2-5x+9}{x^2+5x+6} }$
4. $\displaystyle \Int{ \frac{1}{x(x+1)^2} }$
5. $\displaystyle \Int{ \frac{1}{x^4+1} }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-08`, {numref}`lec-07-ex-09`, {numref}`lec-07-ex-10`, {numref}`lec-07-ex-11`, {numref}`lec-07-ex-12`, {numref}`lec-07-ex-13`, {numref}`lec-07-ex-14`, {numref}`lec-07-ex-15`, {numref}`lec-07-ex-16`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
f = 1/(x^2 - 6*x + 13)^3
F = integral(f, x)
show("Funkcja f to:", f)
show("Funkcja pierwotna f to:", F)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-08-ex-07
:class: [exercise]

Oblicz całki nieoznaczone,
korzystając z podstawienia uniwersalnego $t = \tan \frac x 2$:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \Int{ \displaystyle\frac{1}{\cos 2x} }$
2. $\displaystyle \Int{ \frac{1}{2\cos x+\sin 2x} }$
3. $\displaystyle \Int{ \frac{1}{\sin x+ 2\cos x+3} }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-18`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
f = 1/cos(2*x)
F = integral(f, x)
show("Funkcja f to:", f)
show("Funkcja pierwotna f to:", F)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-08-ex-08
:class: [exercise]

Oblicz całki nieoznaczone:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \Int{ x\cdot\arctan \left(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\right) }$
2. $\displaystyle \Int{ \frac{e^{2x}+e^x}{\sqrt{4-e^{2x}}} }$
3. $\displaystyle \Int{ \frac{e^{2x}+x}{e^{2x}+x^2} }$
4. $\displaystyle \Int{ \frac{4}{x( x+2\sqrt{x}+4)} }$
5. $\displaystyle \Int{ \frac{\arctan x}{(x+1)^2} }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-07-ex-03`, {numref}`lec-07-ex-06`, {numref}`lec-07-ex-07`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
f = x*arctan((x + 1)/(x - 1))
F = integral(f, x)
show("Funkcja f to:", f)
show("Funkcja pierwotna f to:", F)
</script>
</div>
```