---
title: "Całka oznaczona"
lecture_number: 9
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Całka oznaczona

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-01
:class: [exercise]

Niech $f:[-a, a]\to\rr$, gdzie $a>0$, będzie funkcją ciągłą w $[-a, a]$.
Korzystając z własności całki oznaczonej wykaż, że:

- $\displaystyle \IntDef{-a}{a}{f(x)} = \IntDef{0}{a}{f(x)+f(-x)}$  ,
- jeśli $f$ jest funkcją parzystą, to $\displaystyle \IntDef{-a}{a}{f(x)} = 2\cdot\IntDef{0}{a}{f(x)}$,
- jeśli $f$ jest funkcją nieparzystą, to $\displaystyle \IntDef{-a}{a}{f(x)} = 0.$

Jaka jest interpretacja geometryczna tych tożsamości?
::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-02
:class: [exercise]

Niech $f:\rr\to\rr$ będzie funkcją całkowalną
w sensie Riemanna na dowolnym odcinku domkniętym.
Korzystając z własności całki oznaczonej wykaż, że
jeśli $f$ jest funkcją okresową o okresie $T>0$, to dla każdego $t_0\in \rr$

$$
\displaystyle \IntDef{t_0}{t_0+T}{f(x)} = \IntDef{0}{T}{f(x)} \ .
$$

Jaka jest interpretacja geometryczna tej tożsamości?
::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-03
:class: [exercise]

Wykorzystując interpretację geometryczną całki oznaczonej oblicz:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \IntDef{-2}{0}{1 + |2x + 1|} + \IntDef{0}{2}{x-1}$
2. $\displaystyle \IntDef{0}{5}{\min\Brace{2,|x-3|}-1 }.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-04
:class: [exercise]

Znajdź i naszkicuj wykres funkcji $F:\rr\to \rr$, jeśli:

1. $
   \begin{aligned}
   F(x) & =\IntDef[t] {-2} x {f(t)}
   &
   \text{dla }
   f(t) & =\begin{cases}
   \tfrac 1 2 & \text{dla } |t|<1     \\
   0          & \text{dla } |t|\geq 1
   \end{cases} ;
   \end{aligned}
   $

2. $
   \begin{aligned}
   F(x) & =\IntDef[t] 0 x {f(t)}
   &
   \text{dla }
   f(t) & =\begin{cases}
   t+1 & \text{dla } t<0     \\
    t-1 & \text{dla } t\geq 0
    \end{cases} .
    \end{aligned}
    $

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-02`, {numref}`lec-08-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-05
:class: [exercise]

Nie obliczając całki zbadaj monotoniczność $F:\rr\to \rr$,

```{math}
F(x)=\displaystyle\IntDef[t] x {2x}{\frac{1}{t^2+2t+2}} \ .
```

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-04`, {numref}`lec-08-ex-03`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-06
:class: [exercise]

Wykorzystując interpretację geometryczną całki oznaczonej oblicz:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \IntDef{-2}{2}{1 - |2x + 1|}$
2. $\displaystyle \IntDef{-5}{0}{\max\Brace{1,|x+2|}-2}.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-01`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
var('x')
f = 1 - abs(2*x + 1)
result = integrate(f, x, -2, 2)
show(plot(f, (x, -2, 2),
      color='blue', thickness=2,
      fill=True, fillcolor='lightblue', fillalpha=0.3,
      title=r"f(x)"))
show("Całka:", result)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-07
:class: [exercise]

Znajdź i naszkicuj wykres funkcji $F:\rr\to \rr$,
$
\begin{aligned}
F(x) = \IntDef[t] {-2} x { \min\Brace{0,1-|t|} }
\end{aligned}
$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-02`, {numref}`lec-08-ex-01`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
# Punkt 1.
var('t')
f = piecewise([
    ((-oo, -1), 1 + t),
    ((-1, 1), 0),
    ((1, oo), 1 - t)
])
show("f(t) =", f)
F = f.integral(t, -2, x)
show("F(x) =", F)
show( plot(f, (t, -3, 3),
      color='gray',
      thickness=2,
      linestyle='--',
      legend_label='f(t)'
      ) + plot(F, (x, -3, 3),
      color='blue',
      thickness=2,
      legend_label='F(x)')
)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-08
:class: [exercise]

Nie obliczając całki zbadaj monotoniczność $F: \rr\setminus\Set{0}\to\rr$,

$$
F(x)=\IntDef[t] x {2x} {\frac{e^t}{t}} \ .
$$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-04`, {numref}`lec-08-ex-03`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-09-ex-09
:class: [exercise]

Korzystając z reguły de l'Hospitala oblicz granicę:

:::{container} columns-2-auto

1. $
   \begin{aligned}
   \lim_{x\to \infty}
   \frac
   {\displaystyle \IntDef[t] {x^2}{x^2+1} {\ln(t+1)}}{x^2}
   \end{aligned}
   $

2. $
   \begin{aligned}
   \lim_{x\to 0^+}
   \frac
   {\displaystyle \IntDef[t] 0 {\sin x} {\sqrt{\tan t}}}
   {\displaystyle \IntDef[t] 0 {\tan x} {\sqrt{\sin t}}}
   \end{aligned}
   $

3. $
   \begin{aligned}
   \lim_{x\to \infty}
   \frac
   {\displaystyle\IntDef[t] {x^3} {5} {\arctan \left(t^2 \right)}}
   {x^3+x}
   \end{aligned}
   $

4. $
   \begin{aligned}
   \lim_{x\to\infty}
   \frac
   {\displaystyle\IntDef[t] {e^x} {e^{3x}} {\frac{1} {\ln^3t}}}
   {e^{3x}}\ .
   \end{aligned}
   $

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-03`, {numref}`lec-08-ex-04`.
:::

::::