---
title: "Zastosowania całki oznaczonej"
lecture_number: 10
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Zastosowania całki oznaczonej

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-01
:class: [exercise]

Oblicz całki oznaczone:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \IntDef{0}{2\pi}{|\sin x|}  $
2. $\displaystyle \IntDef{-2}{2}{x^2\cdot\sgn(x+1)}.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-02
:class: [exercise]

Znajdź i naszkicuj wykres funkcji $F:\rr\to \rr$,

```{math}

\begin{aligned}
      F(x) & =\IntDef[t] {-1} x {f(t)} \ ,
           &
      \text{gdzie }
      f(t) & = \begin{cases}
         0      & \text{dla } t<0     \\
          e^{-t} & \text{dla } t\geq 0
       \end{cases} .
\end{aligned}
```

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-02`, {numref}`lec-08-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-03
:class: [exercise]

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

1. $y=\sin x,\quad y=\cos 2x$, $\quad$ zawierającego we wnętrzu punkt $\left(0, \frac{1}{2}\right) $
2. $y=e^{-x},\quad y=e^{3x},\quad y=\sqrt{e}.$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-09`, {numref}`lec-08-ex-10`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-04
:class: [exercise]

Oblicz objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół osi $OX$ obszaru opisanego nierównościami:

1. $0\leq x\leq 1,\quad 0\leq y\leq \sqrt{1-x^2} \quad$  -- _półkula_
2. $0\leq x\leq \pi,\quad \sin x\leq y\leq 2\sin x.$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-11`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-05
:class: [exercise]

Oblicz pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wokół osi $OX$ wykresu funkcji:

1. $y=3x \quad$ dla $0\leq x\leq 1 \quad$  -- _powierzchnia boczna stożka_
2. $y=\sqrt{x} \quad$ dla $0\leq x\leq 1$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-12`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-06
:class: [exercise]

Oblicz długość łuku krzywej:

1. $x(t) = t^2,\quad y(t) = t -\tfrac 1 3 t^3 \quad$ dla $0\leq t\leq 3 $
2. $y=x\sqrt{x} \quad$ dla $0\leq x\leq 1.$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-13`, {numref}`lec-08-ex-14`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-07
:class: [exercise]

Znajdź i naszkicuj wykres funkcji $F:\rr\to \rr$, jeśli

```{math}
\begin{aligned}
F(x) & =\IntDef[t] {-1} x {f(t)} \ ,
&
\text{gdzie }
f(t) & = \begin{cases}
1       & \text{dla } t<0     \\
\sin{t} & \text{dla } t\geq 0
\end{cases} .
\end{aligned}
```

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-02`, {numref}`lec-08-ex-05`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
var('t x')
f1(t) = 1          # gałąź dla t < 0
f2(t) = sin(t)     # gałąź dla t >= 0
f = piecewise([((-oo, 0), f1), ((0, oo), f2)])
show("f(t) =", f)

# F dla x < 0: całka z f1 od -1 do x
F1 = integrate(f1, t, -1, x)
# F dla x >= 0: całka z f1 od -1 do 0, plus całka z f2 od 0 do x
assume(x > 0)
F2 = integrate(f1, t, -1, 0) + integrate(f2, t, 0, x)
forget(x > 0)
F = piecewise([((-oo, 0), F1), ((0, oo), F2)])
show("F(x) =", F)
show( plot(f, (t, -3, 3),
      color='gray',
      thickness=2,
      linestyle='--',
      legend_label='f(t)'
      ) + plot(F, (x, -3, 3),
      color='blue',
      thickness=2,
      legend_label='F(x)')
)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-08
:class: [exercise]

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

1. $2y=-x^2,\quad 2x=-y^2$
2. $x=0, \quad x = \dfrac \pi 2,  \quad y= 1- x^2, \quad y = 1+e^{2\sin(x)} \sin(2x) .$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-09`, {numref}`lec-08-ex-10`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
# Przecięcie: x^2/2 = sqrt(-2x)  =>  x = -2 lub x = 0.
var('x')
f1 = -x^2/2
f2 = -sqrt(-2*x)
A1 = integrate(f1 - f2, x, -2, 0)
show(plot(f1, (x, -2, 0), color='blue', legend_label='2y=-x^2') +
     plot(f2, (x, -2, 0), color='red', legend_label='2x=-y^2'),
     title=r"Obszar między krzywymi")
show("Pole:", A1)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-12
:class: [exercise]

Oblicz objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół osi $OX$ obszaru opisanego nierównościami:

1. $0\leq x\leq\frac{\pi}{2},\quad 0\leq y\leq \sin x+\cos x$
2. $1\leq x\leq 2,\quad 0\leq y\leq \dfrac 1 x \quad$  -- _fragment trąbki Torricellego_
3. $0\leq x\leq \pi,\quad 0\leq y\leq \sin x \quad$  -- _bryła pod łukiem sinusoidy_

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-11`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1.
f1(x) = sin(x) + cos(x)
a = 0
b = pi/2

V1 = pi * integral(f1(x)^2, x, a, b)
show("Objętość =", V1)

Revolution = revolution_plot3d(
    f1, (x, a, b),
    opacity=.5,
    rgbcolor=(0.3, 0.3, 0.3),
    show_curve=True,
    parallel_axis='x',
    print_vector=True)
EndCaps = sum([revolution_plot3d((ii, x), (x, 0, f1(ii)), opacity=.5, rgbcolor=(0.3, 0.3, 0.3), show_curve=False, parallel_axis='x') for ii in [a, b]])
show(Revolution + EndCaps, transparent=True, frame=False)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-13
:class: [exercise]

Oblicz pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wokół osi $OX$ wykresu funkcji:

1. $y=\sqrt{1-x^2} \quad$ dla $-1\leq x\leq 1 \quad$  -- _sfera_
2. $y=\cosh x \quad$ dla $0\leq x\leq 2 \quad$   -- _pasek katenoidy_
3. $y=\cosh x \quad$ dla $-1\leq x\leq 1.$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-12`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 2.
f2(x) = cosh(x)
a2 = 0
b2 = 2

S2 = 2*pi * integral(f2(x) * sqrt(1 + diff(f2(x), x)^2), x, a2, b2)
show("Pole powierzchni =", S2)

Revolution2 = revolution_plot3d(
    f2, (x, a2, b2),
    opacity=.5,
    rgbcolor=(0.3, 0.3, 0.3),
    show_curve=True,
    parallel_axis='x',
    print_vector=True)
show(Revolution2, transparent=True, frame=False)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-09
:class: [exercise]

Oblicz długość łuku krzywej:

1. $x(t) = t \cos t,\quad y(t) = t \sin t \quad$ dla $0\leq t\leq \pi$
2. $y= 1 - \ln(\cos x ) \quad$ dla $0\leq x\leq \frac \pi 4.$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-08-ex-13`, {numref}`lec-08-ex-14`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 1: krzywa parametryczna x(t), y(t)
var('t')
x1(t) = t*cos(t)
y1(t) = t*sin(t)
L1 = integral(sqrt(diff(x1(t), t)^2 + diff(y1(t), t)^2), t, 0, pi)
show("Długość łuku (punkt 1) =", L1)
show(parametric_plot((x1(t), y1(t)), (t, 0, pi),
       color='blue', thickness=2,
       title=r"$x=t\cos t,\; y=t\sin t,\; 0\leq t\leq\pi$"))

# Punkt 2: krzywa kartezjańska y = f(x)
var('x')
f2(x) = 1 - ln(cos(x))
L2 = integral(sqrt(1 + diff(f2(x), x)^2), x, 0, pi/4)
show("Długość łuku (punkt 2) =", L2)
show(plot(f2(x), (x, 0, pi/4),
       color='red', thickness=2,
       title=r"$y=1-\ln(\cos x),\; 0\leq x\leq\pi/4$"))
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-11
:class: [exercise]

Oblicz wartości $X_{\text{śr}}, X_{\text{św}}, X_{\text{sk}}
$
dla $\frac {2\pi} \omega$-okresowego
$x(t) = X_m\sin(\omega t),$ gdzie $X_m > 0$ jest amplitudą sygnału, zaś $\omega > 0$ jego pulsacją.

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Sygnał okresowy: x(t) = X_m*sin(omega*t), okres T = 2*pi/omega.
# Zmienne symboliczne: X_m > 0, omega > 0.
var('X_m omega t', domain='positive')

x(t) = X_m*sin(omega*t)
T = 2*pi/omega

# Wartość średnia: (1/T) * integral_0^T x(t) dt.
X_sr = (1/T) * integrate(x(t), t, 0, T)
show("Wartość średnia X_śr:", X_sr)

# Wartość skuteczna: sqrt((1/T) * integral_0^T x(t)^2 dt).
X_sk = sqrt((1/T) * integrate(x(t)^2, t, 0, T))
show("Wartość skuteczna X_sk:", X_sk)

# Wartość szczytowa: max |x(t)| = X_m.
X_max = X_m
show("Wartość szczytowa X_m:", X_max)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-10-ex-10
:class: [exercise]

Oblicz $X_{\text{śr}}, X_{\text{św}}, X_{\text{sk}}
$
dla sygnału prostokątnego o okresie $T>0$,
amplitudzie $X_m > 0$ i współczynniku wypełnienia $\alpha\in(0,1)$,
danego dla $t\in[0,T)$ wzorem
$
   x(t) =
   \begin{cases}
      X_m & \text{dla } t\in[0,\alpha T]  \\
      0   & \text{dla } t\in(\alpha T, T)
   \end{cases}.
$
::::