---
title: "Równania różniczkowe"
lecture_number: 12
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Równania różniczkowe

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

:::{prf:remark}

Przyjmuje się,
że kropka nad funkcją oznacza jej pochodną względem zmiennej $t$:

```{math}
\begin{aligned}
\dot u = \Diff[t]{u},
      \qquad
      \dot u(t) = \Diff[t]{u}(t),
      \qquad
      \ddot u = \Diff[t^2]{^2 u},
      \qquad
      \ddot u (t) = \Diff[t^2]{^2 u}(t).
\end{aligned}
```

   Dla $n\in \nn_0$, ogólną $n$-tą pochodną oznaczmy też standardowo:

```{math}
\begin{aligned}
u^{(n)} = \Diff[t^n]{^n u},
      \qquad
      u^{(n)}(t) = \Diff[t^n]{^n u} (t).
\end{aligned}
```

:::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-01
:class: [exercise]

Czy funkcja
$u(t) = \dfrac {\sin t} t$
jest rozwiązaniami równania różniczkowego
$t\dot u + u = \cos t.$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-01`, {numref}`lec-11-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-02
:class: [exercise]

Znajdź całkę szczególną zagadnienia Cauchy'ego:

:::{container} columns-2-auto

1. $u^2\cdot\dot u  -3t^3 = 0$, $\quad$ $u(1) = 1$
2. $(t^2+1)\dot u + 3u = 0$, $\quad$ $u(1)= e^{-\frac \pi 4}.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-05`, {numref}`lec-10-ex-07`, {numref}`lec-10-ex-06`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-03
:class: [exercise]

Rozwiąż równanie różniczkowe:

:::{container} columns-2-auto

1. $\dot u + 2t\cdot u = te^{-t^2}$
2. $t\cdot \dot u - 2u = 4 t^4.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-08`, {numref}`lec-10-ex-09`, {numref}`lec-10-ex-06`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-04
:class: [exercise]

Znajdź całkę szczególną zagadnienia Cauchy'ego:

:::{container} columns-2-auto

1. $\ddot u - 6\dot u +9 u = 0$, $\quad$ $u(0) = 0, \dot u(0)=1$
2. $\dot u  -2 u = -4t+1$, $\quad$ $u(0) = 2$
3. $\ddot u - \dot u -6 u = 6e^t$, $\quad$ $u(0) = 1, \dot u(0)=0$
4. $\ddot u - 4\dot u +13 u = 40\sin t$, $\quad$ $u(0) = 1, \dot u(0)=0$
5. $\ddot u + 4u = 4\cos 2t$, $\quad$ $u(0) = 1, \dot u(0)=0.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-11-ex-06`, {numref}`lec-11-ex-07`, {numref}`lec-11-ex-02`, {numref}`lec-11-ex-01`, {numref}`lec-11-ex-04`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-05
:class: [exercise]

Sprawdź, czy funkcje z podanej rodziny
są rozwiązaniami równania różniczkowego, jeśli:

1. $u(t) = c\cdot e^{-2t} + \frac 1 3 e^t$,
$\quad$ $c\in\rr$
$\quad$ dla równania $\quad$
$\dot u +2u = e^t$
2. $u(t) = c_1\cdot \sin 5t  + c_2\cdot \cos 5t $,
$\quad$ $c_1,c_2\in\rr$
$\quad$ dla równania $\quad$
$\ddot u +25u = 0.$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-10-ex-01`, {numref}`lec-11-ex-05`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-06
:class: [exercise]

Znajdź całkę szczególną zagadnienia Cauchy'ego:

:::{container} columns-2-auto

1. $t\cdot \dot u =\tan u$, $\quad$ $u\left(2\right)=-\frac{\pi}{6}$
2. $\displaystyle \dot u \cdot\sin u  + \frac{\cos u}{1+4t^2} = 0$, $\quad$ $u(0) = 2$
3. $\dot u  -3 u = t$, $\quad$ $u(0) = -1$
4. $\dot u +3 u = 9t^2$, $\quad$ $u(0) = 2$
5. $\ddot u + 4\dot u + 4u = 0$, $\quad$ $u(0) = 1, \dot u(0)=1$
6. $\ddot u -3\dot u =3t + 1$  $\quad$ $u(0) = 0, \dot u(0)=1$
7. $\ddot u - 8 \dot u +17 u = t e^{4t}$  $\quad$ $u(0) = -1, \dot u(0)=0.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-11-ex-06`, {numref}`lec-10-ex-07`, {numref}`lec-10-ex-08`, {numref}`lec-11-ex-01`, {numref}`lec-11-ex-04`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 3: du/dt - 3u = t, u(0) = -1
var("t")
u = function("u")
eq = diff(u(t), t) - 3*u(t) == t
sol = desolve(eq, u(t), ics=[0, -1])
show("Rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego: u(t)=", sol)
</script>
</div>
```

::::{exercise}
:label: prob-12-ex-07
:class: [exercise]

Rozwiąż równanie różniczkowe:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \dot u - \frac{2t}{1+t^2}\cdot u = 1 + t^2 $
2. $\dot u -2u = \cos t-t\sin t$
3. $\dot u + 4u = 5\sin 3t$
4. $\ddot u - 8 \dot u +17 u =  e^{4t}\cdot \sin t$
5. $y''-7y'+12y=-e^{4x}$
6. $y''-4y'+3y=3xe^{2x}.$
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-11-ex-06`, {numref}`lec-10-ex-08`, {numref}`lec-10-ex-09`, {numref}`lec-11-ex-04`.
:::

::::

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">
# Punkt 5: y'' - 7y' + 12y = -e^(4x)
var("x")
y = function("y")
eq = diff(y(x), x, 2) - 7*diff(y(x), x) + 12*y(x) == -exp(4*x)
sol = desolve(eq, y(x))
show("Rozwiązanie ogólne: y(x) =", sol)
</script>
</div>
```