---
title: "Szeregi potęgowe"
lecture_number: 15
has_solutions: true
has_exercises: true
file_format: mystnb
kernelspec:
  name: sagemath
  display_name: SageMath
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Szeregi potęgowe

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

:::{prf:remark}

W rozwiązaniach poniższych zadań mogą być przydatne rozwinięcia funkcji:

- $ \displaystyle \frac 1 {1 -x} = \SeriesP x^n \qquad$ dla $x \in (-1,1)$
- $ \displaystyle e^x = \SeriesP \frac {x^n}{n!} \qquad$ dla $x \in \rr$
- $ \displaystyle \ln(1+x) = \Series \frac{(-1)^{n+1}} n \cdot x^n \qquad$ dla $x \in (-1,1]$
- $ \displaystyle \sin x = \SeriesP \frac {(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot x^{2n+1} \qquad$ dla $x \in \rr$
- $ \displaystyle \cos x = \SeriesP \frac {(-1)^n}{(2n)!} \cdot x^{2n} \qquad$ dla $x \in \rr.$

:::


```{code-cell} sage
:tags: [remove-cell]
var('x y n')
assume(n >= 1)
```

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-02
:class: [exercise]

Wyznacz promień zbieżności i przedział zbieżności szeregu potęgowego:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \SeriesP \frac {4^n}{n+1} (2-x)^n $
2. $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac {(x-1)^n}{n\cdot 2^n \ln n} . $
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-01
:class: [exercise]

Oblicz sumę szeregu liczbowego
$\displaystyle \SeriesP \frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{3^n}$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-03`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-03
:class: [exercise]

Korzystając ze znanych rozwinięć, rozwiń w szereg Maclaurina funkcję $f$,
podaj dla jakich $x\in\rr$ prawdziwe jest to rozwinięcie i oblicz podane pochodne dla:

1. $f(x) = x^3 \cos 4x, \quad$ oblicz: $f^{(13)}(0), f^{(14)}(0)$
2. $f(x) = x^5 \ln(2+x), \quad$ oblicz:   $f^{(4)}(0)$, $f^{(23)}(0)$
3. $\displaystyle f(x) = \frac {-5x^5} {x^2 + 4}, \quad$ oblicz: $f^{(4)}(0)$,  $f^{(19)}(0)$
4. $\displaystyle f(x) = \frac {1} {x^2 - 3x + 2}, \quad$ oblicz: $f^{(17)}(0)$
5. $\displaystyle f(x) = \frac {-2} {x^4 - 2x^2 + 1}, \quad$ oblicz: $f^{(12)}(0).$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-05`, {numref}`lec-13-ex-04`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-04
:class: [exercise]

Całkując rozwinięcie Maclaurina funkcji

$$
\displaystyle g(x) = \frac 1 {1+x^2}
$$

znajdź rozwinięcie
Maclaurina funkcji $f(x) = \arctan x$.
Pokaż, że jest ono prawdziwe dla $x\in [-1,1]$.
Ponadto pokaż, że

$$
\begin{aligned}
\SeriesP \frac {(-1)^n} {2n+1}
= \frac \pi 4.
\end{aligned}
$$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-02`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-06
:class: [exercise]

Wyznacz promień zbieżności i przedział zbieżności szeregu potęgowego:

:::{container} columns-2-auto

1. $\displaystyle \SeriesP \frac {(x+3)^{2n}}{5^n + 7^n} $
2. $\displaystyle \SeriesP \frac {\ln(n+2)}{n+2} (x-1)^n $
3. $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac {3^n}{n \Paren{\ln n}^2} (-x)^n. $
:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-05
:class: [exercise]

Oblicz sumę szeregu liczbowego
 $\displaystyle \SeriesP \frac {1}{n\cdot 3^n}$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-03`, {numref}`lec-13-ex-02`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-15-ex-07
:class: [exercise]

Korzystając ze znanych rozwinięć, rozwiń w szereg Maclaurina funkcję $f$,
podaj dla jakich $x\in\rr$ prawdziwe jest to rozwinięcie i oblicz podane pochodne dla:

1. $\displaystyle f(x) = x^5 \ln(2+x^3), \quad$ oblicz: $f^{(8)}(0)$, $f^{(11)}(0)$
2. $\displaystyle f(x) = x^6 \arctan x, \quad$ oblicz: $f^{(11)}(0), f^{(22)}(0)$
3. $\displaystyle f(x) = x \arctan x^2, \quad$ oblicz: $f^{(27)}(0), f^{(36)}(0)$
4. $\displaystyle f(x) = x^5 \cos^2 x, \quad$ oblicz: $f^{(55)}(0), f^{(66)}(0)$
5. $\displaystyle f(x) = \frac {x^5 - 2x^3} {4 + x^2}, \quad$ oblicz: $f^{(10)}(0), f^{(11)}(0)$
6. $\displaystyle f(x) = \frac {x^6} {4 - x^2}, \quad$ oblicz: $f^{(10)}(0), f^{(11)}(0)$
7. $\displaystyle f(x) = \frac {3x^7} {2 + 3x - 2x^2}, \quad$ oblicz: $f^{(9)}(0).$

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-13-ex-05`, {numref}`lec-13-ex-04`.
:::

::::