---
title: "Szeregi Fouriera"
lecture_number: 16
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Szeregi Fouriera

```{raw} html
<div class="sagecell-widget sagecell-exercise">
<script type="text/x-sage">

</script>
</div>
```

## Zadania na zajęcia

:::{prf:remark}

W rozwiązaniach zadań mogą być przydatne:

- obliczone na wykładzie rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera;
- fakt, że jeśli $f$ jest funkcją całkowalną, okresową o okresie $T>0$, to dla każdego $t_0\in \rr$

  ```{math}
  \displaystyle \IntDef{t_0}{t_0+T}{f(x)} = \IntDef{0}{T}{f(x)}
  ```

- wzory trygonometryczne:

  ```{math}
  \begin{aligned}
  \sin \alpha  \cdot \sin \beta
  & = \frac 1 2 \left( \cos (\alpha - \beta)  - \cos (\alpha + \beta)   \right)
  \\
  \sin \alpha  \cdot \cos \beta
  & = \frac 1 2 \left( \sin (\alpha - \beta)  + \sin (\alpha + \beta)    \right)
  \\
  \cos \alpha  \cdot \cos \beta
  & = \frac 1 2 \left( \cos (\alpha - \beta)  + \cos (\alpha + \beta)    \right)
  \\
  \sin^2 \alpha
  & = \frac{1- \cos 2\alpha} 2
  \\
  \cos^2 \alpha
  & = \frac{1+ \cos 2\alpha} 2
  \\
  \sin \alpha \cos \alpha
  & = \frac{\sin 2\alpha} 2.
  \end{aligned}
  ```

:::

::::{exercise}
:label: prob-16-ex-01
:class: [exercise]

Znajdź rozwinięcie w szereg Fouriera (w szczególności współczynniki $a_n$ i $b_n$)
funkcji $f(x) = \cos x$ w przedziale $[-\ell, \ell]$ dla:

:::{container} columns-3-auto

1. $\ell = 2\pi$
2. $\ell = \pi$
3. $\displaystyle \ell = \frac \pi 2$.

:::

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-14-ex-02`, {numref}`lec-14-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-16-ex-02
:class: [exercise]

Rozwiń w szereg Fouriera
(w szczególności podając współczynniki $a_n$ i $b_n$)
funkcję

```{math}
f(x) = \cos(-3x) + \cos 8x + \sin(-3x) + \sin^2 4x
```

w przedziale $[-\pi,\pi]$,
a następnie podaj wartości całek:

```{math}
\begin{aligned}
\frac 3 \pi \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \cos 8x}
   \qquad \text{oraz} \qquad
   \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \sin 8x}.
\end{aligned}
```

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-14-ex-03`, {numref}`lec-14-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-16-ex-03
:class: [exercise]

Rozważmy funkcję $f:(-\pi, \pi) \to \rr$, $f(x) = x + 3\sin x$.

- Pokaż, że $f$ spełnia 1. i 2. warunek Dirichleta.
- Rozszerz ją do funkcji $f:[-\pi, \pi] \to \rr$  zadając wartości na końcach przedziału,
  tak by spełniała 3. warunek Dirichleta.
- Rozwiń tę funkcję w szereg Fouriera w przedziale $[-\pi, \pi]$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-14-ex-04`, {numref}`lec-14-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-16-ex-04
:class: [exercise]

Rozwiń w szereg Fouriera funkcję
$f:(0, 2\pi)\to \rr,$

```{math}
f(x) = x + 3\sin x
```

rozszerzając ją do funkcji okresowej spełniającej warunki Dirichleta.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-14-ex-05`, {numref}`lec-14-ex-01`.
:::

::::

## Zadania domowe

::::{exercise}
:label: prob-16-ex-05
:class: [exercise]

Rozważmy funkcję $f:(-\pi, \pi) \to \rr$, $f(x) = 3x - \cos x$.

- Pokaż, że $f$ spełnia 1. i 2. warunek Dirichleta.
- Rozszerz ją do funkcji $f:[-\pi, \pi] \to \rr$  zadając wartości
  na końcach przedziału,
  tak by spełniała 3. warunek Dirichleta.
- Rozwiń tę funkcję w szereg Fouriera w przedziale $[-\pi, \pi]$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-14-ex-04`, {numref}`lec-14-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-16-ex-06
:class: [exercise]

Rozwiń w szereg Fouriera
funkcję

```{math}
f(x) = \cos^2 4x - \sin x \cdot\cos 2x
```

w przedziale $[-\pi,\pi]$,
a następnie podaj wartości całek

```{math}
\begin{aligned}
\IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \cos 3x}
   \qquad \text{oraz} \qquad
   \frac 1 {2\pi} \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \sin 3x}.
\end{aligned}
```

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-14-ex-03`, {numref}`lec-14-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-16-ex-07
:class: [exercise]

Wyznacz współczynniki $a_0, a_1, a_2, b_{2019}$ rozwinięcia w szereg Fouriera
funkcji
$f(x) = x - x\sin x$
w przedziale $[-\pi, \pi]$.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-14-ex-04`, {numref}`lec-14-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-16-ex-08
:class: [exercise]

Rozwiń w szereg Fouriera funkcję $f:(0, 2\pi)\to \rr$, $f(x) = 3x - \cos 2x$,
rozszerzając ją do funkcji okresowej spełniającej warunki Dirichleta.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-14-ex-05`, {numref}`lec-14-ex-01`.
:::

::::

::::{exercise}
:label: prob-16-ex-09
:class: [exercise]

Rozważ funkcję $f:\Brack{-2\pi, 2\pi}\to \rr$,

```{math}
\begin{aligned}
\displaystyle f(x) =    \begin{cases}
      A      & \text{dla } x=0                   \\
      B      & \text{dla } x\in \Set{-2\pi,2\pi} \\
      -e^{x} & \text{dla } x\in (-2\pi,0)        \\
      e^{-x} & \text{dla } x\in (0,2\pi)
   \end{cases} .
\end{aligned}
```

- Znajdź współczynniki $A,B \in \rr$, tak aby $f$ spełniała 2. i 3. warunek Dirichleta na $[-2\pi, 2\pi]$.
- Oblicz współczynniki $a_0, a_{4}, b_{4}$ rozwinięcia tej funkcji w szereg Fouriera.

:::{note}
:class: [see-lecture]

Warto spojrzeć na {numref}`lec-14-ex-04`, {numref}`lec-14-ex-01`.
:::

::::