---
title: "Liczby zespolone I"
lecture_number: 1
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Liczby zespolone I

:::{prf:definition}
**Liczbą** zespoloną $z$ nazywamy (uporządkowaną) parę $(a,b)$ liczb rzeczywistych $a,b\in\mathbb{R} .$
:::

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczymy przez $\C:=\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{R}\} .$

:::{prf:remark}

Dwie liczby zespolone $z_1=(a_1,b_1)$ i $z_2=(a_2,b_2)$ są  równe, gdy $a_1=a_2$ oraz $b_1=b_2 .$

:::

W zbiorze $\C$ określamy działania dodawania oraz mnożenia:

$$
\begin{aligned}
&z_1+z_2=(a_1,b_1)+(a_2,b_2):=(a_1+a_2,b_1+b_2)\\
&z_1-z_2=(a_1,b_1)-(a_2,b_2):=(a_1-a_2,b_1-b_2)\\
&z_1\cdot z_2=(a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2):=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1)
\end{aligned}
$$

Każdej liczbie rzeczywistej $a$ można jednoznacznie przyporządkować liczbę zespoloną $(a,0) .$ Dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych traktowanych jak liczby zespolone jest zgodne z klasycznym dodawaniem i mnożeniem liczb rze\-czy\-wis\-tych:

$$
\begin{aligned}
&(a_1,0)+(a_2,0)=(a_1+a_2,0)\\
&(a_1,0)\cdot(a_2,0)=(a_1a_2,0).
\end{aligned}
$$

Będziemy zamiennie stosować zapis $a$ oraz $(a,0)$, w obu przypadkach mając na myśli liczbę rzeczywistą $a .$ Wtedy

$$
\begin{aligned}
a\cdot (a_1,b_1)=(a,0)\cdot (a_1,b_1)=(aa_1,ab_1)=(a_1,b_1)\cdot a.
\end{aligned}
$$

Liczby postaci $(0,b)$ będziemy nazywać **liczbami** urojonymi.
Zauważmy, że

$$
\begin{aligned}
(0,1)\cdot  (0,1)=(-1,0).
\end{aligned}
$$

W zbiorze liczb zespolonych $\C$ rozwiązaniem równania $x^2+1=0$ jest liczba urojona $(0,1) .$

Wprowadzamy oznaczenie: $i:=(0,1)$, gdzie $i^2=-1 .$

## Postać algebraiczna liczby zespolonej

Każdą liczbę zespoloną $z=(a,b)$ można jednoznacznie zapisać w **postaci** algebraicznej:

$$
\begin{aligned}
(a,b)=(a,0)+(0,b)=a\cdot (1,0)+b\cdot(0,1)= a+bi.
\end{aligned}
$$

$Rez:=a$ - część rzeczywista liczby $z$\\
$Imz:=b$ - część urojona liczby $z$

:::{prf:remark}

Dwie liczby zespolone $z_1=a_1+b_1i$ oraz $z_2=a_2+b_2i$ są równe, gdy $Rez_1=Rez_2$ oraz $Imz_1=Imz_2 .$

:::

- $Re(z_1+z_2)=Rez_1+Rez_2$
- $Im(z_1+z_2)=Imz_1+Imz_2$

W przypadku, gdy liczby zespolone są zapisane w postaci algebraicznej, działania na nich można wykonywać tak jak dodawanie i mnożenie dwumianów o współczynnikach rzeczywistych zastępując $i^2$ przez $-1$:

$$
\begin{aligned}
&(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\
&(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\\
&(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
\end{aligned}
$$

:::{prf:definition}
**Sprzężeniem** liczby zespolonej $z=a+bi$ nazywamy liczbę zespoloną $\overline{z}:=a-bi .$
:::

**Własności sprzężenia**

- $\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}$
- $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$
- dla $z_2\neq 0$, $\overline{\dfrac{z_1}{z_2}}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$
- $\overline{\overline{z}}=z$
- $\overline{z}=z$ $\Leftrightarrow$ $z\in \mathbb{R}$
- $z+\overline{z}=2Rez$, $z-\overline{z}=2Im(z)i$

:::{prf:definition}
**Modułem** liczby zespolonej $z=a+bi$ nazywamy liczbę rzeczywistą $\sqrt{a^2+b^2}$, którą oznaczamy $|z| .$
:::

Jeżeli $z=a\in \mathbb{R}$, to $|z|=\sqrt{a^2}$ jest wartością bezwzględną liczby $a .$

**Własności modułu**

1. $|z|\geq 0$, $|z|=0$ $\Leftrightarrow$ $z=0$
2. $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$
3. dla $z_2\neq 0$, $|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$
4. $|z|^2=z\cdot\overline{z}$
5. $|z|=|\overline{z}|$
6. $Rez\leq |Rez|\leq|z|$, $Imz\leq |Imz|\leq|z|$
7. $|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$ (tzw. nierówność trójkąta)
8. $||z_1|-|z_2||\leq|z_1-z_2|$

Dzielenie liczb zespolonych można wyrazić, dla $z_2\neq 0$:

$$
\begin{aligned}
\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{z_1\cdot \overline{z_2}}{z_2\cdot \overline{z_2}}=\dfrac{z_1\cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2}.
\end{aligned}
$$

### Interpretacja geometryczna liczby zespolonej $z=a+bi$

Liczbę zespoloną $z=a+bi$ można traktować jako wektor na płaszczyźnie $\mathbb{R}^2$, którego początek pokrywa się się z początkiem układu współrzędnych,
a koniec znajduje się w punkcie $z=(a,b) .$ Wtedy dodawanie i odejmowanie liczb ze\-spo\-lo\-nych jest dodawaniem i odejmowaniem wektorów.

Moduł $|z|$ liczby zespolonej $z=a+bi$ jest długością wektora o początku w początku układu współrzędnych i końcu w punkcie $(a,b)$, czyli jest odległością punktu $z$ od początku ukladu. Wtedy $|z_1-z_2|$ to odległość punktów $z_1$ i $z_2 .$

## Postać trygonometryczna liczby zespolonej

:::{prf:theorem}

Dla każdej liczby zespolonej $0\neq z=a+bi$ istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista $0\leq\varphi<2\pi$ taka, że $\cos\varphi=\dfrac{a}{|z|}$ oraz $\sin\varphi=\dfrac{b}{|z|} .$

:::

Liczbę $\varphi$ nazywamy **argumentem** głównym liczby $z$ i oznaczamy $argz .$
Przyjmujemy, że $arg0=0 .$

Każdą liczbę zespoloną $z$ można przedstawić w **postaci** trygonometrycznej

$$
\begin{aligned}
z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha),
\end{aligned}
$$

gdzie $\alpha\in \mathbb{R} .$
Jeżeli $\varphi=argz$, to $\alpha=\varphi+2k\pi$, dla $k\in \zz .$ Liczbę $\alpha$ nazywamy **argumentem** liczby $z$ i oznaczamy symbolem $Argz .$

:::{prf:remark}

Dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe moduły, a ich argumenty różnią się o całkowitą wielokrotność kąta pełnego.

:::

Jeżeli $z=|z|(\cos\varphi+\sin\varphi)$, $z_1=|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)$ oraz $z_2=|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$, to

- $\overline{z}=|z|(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))$
- $z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$
- dla $z_2\neq 0$, $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))$
- $z^n=|z|^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
**Wzór Moivre'a**: $(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n=\cos n\varphi+i\sin n\varphi .$

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:class: [exercise]

Zaznaczyć na płaszczyźnie $\mathbb{R}^2$ wszystkie liczby zespolone takie, że

1. $Re((z-i)^2)= 0$
2. $|\overline{z}-1+3i| \leq 5 .$
3. $z+i=\overline{z+i} .$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:

1. $z_1=1-i$
2. $z_2=1+\sqrt{3}i .$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Korzystając z postaci trygonometrycznej obliczyć następujące wyrażenia a wynik podać w postaci algebraicznej:

1. $\left(\dfrac{(1+\sqrt{3}i)}{(1-i)}\right)^{20}$
2. $(1+i)^{2018}$

::::

```{include} ../_includes/titlepage-info.md
```