---
title: "Liczby zespolone II"
lecture_number: 1
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Liczby zespolone II

## Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkiem stopnia $0<n\in\mathbb{N}$ z liczby zespolonej $z$ nazywamy każdą liczbę zespoloną $w$ spełniającą warunek:

$$
\begin{aligned}
w^n=z.
\end{aligned}
$$

:::{prf:theorem}

Niech $1<n\in\mathbb{N} .$ Istnieje dokładnie $n$ różnych pierwiastków zespolonych stopnia $n$ z liczby zespolonej $z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\neq 0 .$ Pierwiastki te są postaci:

$$
\begin{aligned}
w_k=\sqrt[n]{|z|}(\cos\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}),\;\; k=0,1,\ldots,n-1.
\end{aligned}
$$

:::

Liczbę $w_0=\sqrt[n]{|z|}(\cos\dfrac{\varphi}{n}+i\sin\dfrac{\varphi}{n})$ nazywamy pierwiastkiem głównym z liczby $z .$

Wszystkie pierwiastki zespolone z liczby $z\neq 0$ leżą na okręgu o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $\sqrt[n]{|z|}$ w wierzchołkach wielokąta foremnego wpisanego w ten okrąg. Zatem dzielą one łuk okręgu na $n$ równych części.

:::{prf:corollary}

Niech $0<n\in\mathbb{N} .$ Pierwiastki stopnia $n$ z 1 można zapisać następująco:

$$
\begin{aligned}
(\sqrt[n]{1})_k=w_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}=(\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n})^k,\;\; k=0,1,\ldots,n-1.
\end{aligned}
$$

:::

Każdy pierwiastek $n$-tego stopnia z jedynki jest potęgą liczby $\varepsilon=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n} .$ $\varepsilon$ nazywamy
**pierwiastkiem** pierwotnym z 1.

## Postać wykładnicza liczby zespolonej

Każdą liczbę zespoloną $z$ można zapisać w **postaci** wykładniczej:

$$
\begin{aligned}
z=|z|e^{i\varphi},
\end{aligned}
$$

gdzie $\varphi\in\mathbb{R}$ jest argumentem $z .$ W szczególności, $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi .$

**Wzory Eulera**:

- $\cos\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}$,
- $\sin\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i} .$

:::{prf:remark}

Dwie liczby zespolone $r_1e^{i\varphi_1}$ oraz $r_2e^{i\varphi_2}$, gdzie $0\leq r_1,r_2\in\mathbb{R}$, $\varphi_1,\varphi_2\in \mathbb{R}$, sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy $r_1=r_2=0$ albo $r_1=r_2>0\;\; oraz\;\; \varphi_1=\varphi_2+2k\pi,\; k\in \zz .$

:::

## Równania algebraiczne drugiego stopnia

Niech $a,b,c\in\C .$ Równanie algebraiczne drugiego stopnia

$$
\begin{aligned}
az^2+bz+c=0
\end{aligned}
$$

o współczynnikach zespolonych rozwiązuje się w ten sam sposób co równanie o współczynnikach rzeczywistych. Równanie \eqref{row} ma pierwiastki:

$$
\begin{aligned}
z_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \;\; {\rm dla}\;\; \Delta=b^2-4ac\in \C.
\end{aligned}
$$

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:class: [exercise]

Narysować na płaszczyźnie $\mathbb{R}^2$ podane zbiory:

1. $\sqrt{-2i}$
2. $\sqrt[8]{1}$
3. $\sqrt[3]{\dfrac{i^3}{(1-i)^{6}}}$
4. $\{z\in \mathbb{C} \mid \dfrac{\pi}{2}<arg(z^3)<\pi\}$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

W zbiorze $\mathbb{C}$ liczb zespolonych rozwiązać równania i rozwiązania podać w postaci algebraicznej:

1. $z^2-3z+3+i=0$
2. $z^4-2z^2+4=0$
3. $(\overline{z})^6=4|z^4|$
4. $z^{6}=\dfrac{(-\sqrt{3}-i)^3}{(1-i)^{6}}$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego jest punkt $z_0=1+2i .$ Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego trójkąta,
jeżeli jego środkiem jest początek układu współrzędnych.

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Korzystając ze wzoru Moivre'a wyrazić $\cos3x$ przez funkcję $\cos x .$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Pokazać, że suma zespolonych pierwiastków $n$-tego stopnia z 1 równa jest 0. Ile wynosi iloczyn tych pierwiastków?

::::

```{include} ../_includes/titlepage-info.md
```