---
title: "Funkcje wymierne i ułamki proste"
lecture_number: 2
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Funkcje wymierne i ułamki proste

Niech $\mathbb{K}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ lub zespolonych $\mathbb{C} .$

## Wielomiany

**Wielomianem** (stopnia $n\in\mathbb{N}$) o współczynnikach ze zbioru $\mathbb{K}$ będziemy
nazywać każdą funkcję $f:\mathbb{K}\rightarrow\mathbb{K}$ określoną wzorem:

$$
\begin{aligned}
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n,
\end{aligned}
$$

gdzie $a_n\neq 0$, $a_0,a_1,\ldots a_n\in\mathbb{K} .$

Stopień wielomianu $f$ oznaczamy $stf .$ Wielomiany stopnia $0$ (zerowego) to elementy zbioru $\mathbb{K} .$
Wielomian zerowy definiujemy jako funkcję $f(x)\equiv 0 .$

$\mathbb{K}[x]$ - zbiór wielomianów o
współczynnikach z  $\mathbb{K} .$ W $\mathbb{K}[x]$ definiujemy działania dodawania i
mnożenia wielomianów (w zwykły sposób).

st$(f+g)=\max($st$f$, st$g)$ \\
$st (f\cdot g)=st f +st g$

Wielomian $f\in\mathbb{K}[x]$ jest **rozkładalny** w
$\mathbb{K}[x]$, jeśli istnieją wielomiany $g,h\in\mathbb{K}[x]$,
$st g>0$ i $st h>0$, takie że $f=g\cdot h .$ Wielomian
$f\in\mathbb{K}[x]$ jest **nierozkładalny** w $\mathbb{K}[x]$,
jeśli

$$
\begin{aligned}
\forall\; g,h \in\mathbb{K}[x]\;\; f=g\cdot h\;\Rightarrow
\;\;st g=0\;\vee\; st h=0.
\end{aligned}
$$

W zbiorze $\mathbb{K}[x]$ jest wykonalne dzielenie z
resztą, tzn.

$$
\begin{aligned}
\forall\;(f,g\in\mathbb{K}[x],\;st f\geq st g)\;\;\exists\;(p,r\in\mathbb{K}[x])\;\;f=p\cdot
g+r,\; st r<st g\; {\rm lub}\; r=0.
\end{aligned}
$$

:::{prf:remark}

Dla wielomianów $f\in\mathbb{K}[x]$ i $g(x)=x-a$

$$
\begin{aligned}
f(x)=p(x)\cdot (x-a)+r,\;\; r\in\mathbb{K}.
\end{aligned}
$$

Stąd wynika $f(a)=r$ (tw. B\'{e}zouta).

:::

$a\in \mathbb{K}$ jest **pierwiastkiem** wielomianu $p\in \mathbb{K}[x]$, jeśli $p(a) = 0 .$

:::{prf:theorem}

 (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Każdy wielomian $f\in\mathbb{C}[x]$, $st f\geq 1$ ma
pierwiastek w $\mathbb{C} .$

:::

:::{prf:theorem}

Każdy wielomian $f\in\mathbb{C}[x]$ można rozłożyć na iloczyn
wielomianów pierwszego stopnia (niekoniecznie różnych):

$$
\begin{aligned}
f(x)=a_n\cdot(x-x_1)^{k_1}\cdot \ldots\cdot (x-x_m)^{k_m},
\end{aligned}
$$

gdzie $x_i\neq x_j$ dla $i\neq j$, $k_i\in\mathbb{N}$, $k_1+\ldots +k_m=n=st f .$ $k_i$ nazywamy krotnością pierwiastka $x_i .$
:::

:::{prf:theorem}

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu $f\in\mathbb{C}[x]$ są
liczbami rzeczywistymi i $f(z_0)=0$ dla pewnego $z_0\in\mathbb{C}$,
to $f(\overline{z_0})=0 .$

:::

:::{prf:example}

$ (x-z_0)\cdot
(x-\overline{z_0})=(x^2-2Rez_0\cdot x+ |z_0|^2) \in
\mathbb{R}[x].$

:::

W $\mathbb{C}[x]$ jedyne wielomiany nierozkładalne
to wielomiany stopnia pierwszego. W $\mathbb{R}[x]$ wielomiany
nierozkładalne to wielomiany stopnia pierwszego oraz wielomiany
stopnia drugiego, dla których $\Delta<0 .$

## Funkcje wymierne i ułamki proste.

:::{prf:definition}
**Funkcją wymierną** względem $\mathbb{K}$ nazywamy
funkcję postaci $\duze\frac{f(x)}{g(x)}$, gdzie
$f,g\in\mathbb{K}[x]$, $st g>0 .$
:::

Funkcję wymierną nazywamy **właściwą**, jeśli $st f<st g .$

:::{prf:remark}

Dowolną funkcję wymierną można przedstawić
jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:

$$
\begin{aligned}
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{p(x)\cdot
g(x)+r(x)}{g(x)}=p(x)+\frac{r(x)}{g(x)},\;\;\; st r<st
g.
\end{aligned}
$$

:::

:::{prf:definition}
Funkcję wymierną właściwą względem $\mathbb{K}$ nazywamy
**ułamkiem prostym** względem $\mathbb{K}$, gdy jest postaci:

$$
\begin{aligned}
\frac{f(x)}{(h(x))^k},\;\;\; st f<st h,\;\;\;
k\in\mathbb{N},\;\;\; h(x)\;\text{- wielomian nierozkładalny w
}\mathbb{K}[x].
\end{aligned}
$$
:::

Ułamki proste względem $\mathbb{C}$: $\duze\frac{A}{(x-z_0)^k}$, $A,z_0\in\mathbb{C}$

Ułamki proste względem $\mathbb{R}$:

1. **pierwszego rodzaju**: $\duze\frac{A}{(x-a)^k}$,\; $A,a\in\mathbb{R}$
2. **drugiego rodzaju**: $\duze\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k}$,\; $A,B,p,q\in\mathbb{R}$,\; $p^2-4q<0 .$

:::{prf:theorem}

Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić jako sumę ułamków
prostych i rozkład ten jest jednoznaczny.

:::

Jeżeli w mianowniku funkcji wymiernej
występuje czynnik $(x-a)^k$, $k>1$, to w poszukiwanym rozkładzie
odpowiada mu suma składników:
$$
\begin{aligned}
\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots +\frac{A_k}{(x-a)^k}.
\end{aligned}
$$

Jeżeli w mianowniku funkcji wymiernej występuje czynnik
$(x^2+px+q)^k$, $k>1$, to w poszukiwanym rozkładzie odpowiada mu
suma składników:
$$
\begin{aligned}
\frac{A_1x+B_1}{x^2+px+q}+\frac{A_2x+B_2}{(x^2+px+q)^2}+\cdots
+\frac{A_kx+B_k}{(x^2+px+q)^k}.
\end{aligned}
$$

**Metoda współczynników nieoznaczonych**

1. Piszemy rozkład na sumę ułamków prostych przy czym liczniki
   ułamków są nieoznaczone (nieznane współczynniki, niewiadome).
2. Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy
   je.
3. Licznik powstałego w ten sposób ułamka (z niewiadomymi
   współczynnikami) przyrównujemy do licznika rozkładanego  ułamka
   $\Rightarrow$ współczynniki przy odpowiednich potęgach muszą być
   równe.
4. Rozwiązujemy powstały układ równań.

**Uwaga.** W szczególnym przypadku, gdy mamy rozkład

$$
\begin{aligned}
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\cdots+\frac{A_k}{x-a_k},
\end{aligned}
$$

to
$f(x)=A_1(x-a_2)\cdots(x-a_k)+A_2(x-a_1)(x-a_3)\cdots(x-a_k)+\cdots+A_k(x-a_1)\cdots(x-a_{k-1}) .$
Wstawiając do $f(x)$ kolejne wartości $a_i$ otrzymujemy
$A_1,\ldots,A_k .$

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:class: [exercise]

Rozłożyć podane wielomiany na czynniki nierozkładalne w $\mathbb{R}[x]$:

1. $p(x)=x^4+x^2+1\in \mathbb{R}[x]$
2. $p(x)=x^7-x\in \mathbb{R}[x]$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Podać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste
nad $\mathbb{R}$ (bez wyznaczania wartości współczynników).

1. $\dfrac{2x^2-5}{(x-3)^3 (x^2 + 4)^2}$
2. $\dfrac{3x^2-5}{x^4 - 2x^3 + 2x -1}$
3. $\dfrac{x+1}{(x^4 + 4)^2}$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Wyznaczyć rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste nad $\mathbb{R} .$

1. $\dfrac{x+5}{(x+3)(x-9)}$
2. $\dfrac{2x^2+3x-1}{x^3-x}$
3. $\dfrac{2x^3+5x^2 +3x +1}{x^2(x^2+1)^2}$
4. $\dfrac{2x^3 +6x^2 +3x}{(x+1)^4}$

::::

## Zadania dodatkowe

::::{exercise}
:class: [exercise]

Obliczyć iloraz oraz resztę z dzielenia wielomianu $p(x)=2x^4-5x^3+2x\in\mathbb{R}[x]$ przez wielomian $q(x)=x^2-1\in\mathbb{R}[x] .$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Podać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste
nad $\mathbb{C}$ (bez wyznaczania wartości współczynników).

1. $\dfrac{4z}{z^2-2iz +3}$
2. $\dfrac{z^2+3}{z^2(z^2+9)(z+3i)^2}$
3. $\dfrac{z+1}{(z^4 + 4)^2}$

::::

```{include} ../_includes/titlepage-info.md
```