---
title: "Funkcje tworzące"
lecture_number: 5
has_solutions: false
has_exercises: true
---

```{include} ../_includes/sagecell-loader.md
```

# Funkcje tworzące

## Zadania na zajęcia

::::{exercise}
:class: [exercise]

Znaleźć wyraz ogólny ciągu, którego funkcją tworzącą jest $f(x)=\dfrac{x}{6x^2-5x+1} .$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Znaleźć funkcję tworzącą ciągu $(b_n)$ określonego rekurencyjnie: $b_0=4$, $b_n=3b_{n-1}-2^{n-1}$, dla $n\geq 1$ i na tej podstawie wyznaczyć wzór ogólny na wyraz $b_n .$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Znaleźć wyraz ogólny ciągu, którego funkcją tworzącą jest $\dfrac{1}{1-x^2} .$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Wyznaczyć funkcję tworzącą ciągu $\left(b_n\right)$ opisanego rekurencyjnie:

1. $b_0=1,\; b_1=2,\quad 32b_{n+2}+12b_{n+1}+b_n=2\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N}$,
2. $b_0=1,\; b_1=2,\quad 2b_{n+2}-3b_{n+1}+b_n=\frac{1}{3^n}\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N}$,
3. $b_0=1,\; b_1=2,\quad b_{n+2}-6b_{n+1}+b_n=0\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N} .$

::::

## Zadania dodatkowe

::::{exercise}
:class: [exercise]

Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu $(n^2) .$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

Rozwiązać kombinację równań rekurencyjnych:

1. $a_0=9,\quad a_1=1,\quad 5a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N}$;
2. $a_0=1,\quad a_1=1,\quad a_{n+2}=4a_n\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N}$,
3. $a_0=1,\quad a_1=2,\quad a_{n+2}+4a_n=0\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N} .$

::::

::::{exercise}
:class: [exercise]

$(*)$ Niech $d_n$ oznacza liczbę wszystkich podziałów liczby $n$, w których rozbicie składa się tylko z różnych liczb i niech $r_n$ będzie liczbą podziałów liczby $n$, w których występują tylko liczby nieparzyste. Znaleźć funkcje tworzące ciągów $d_n$ i $r_n$ oraz wywnioskować, że dla każdego $n$, $d_n=r_n .$

::::

```{include} ../_includes/titlepage-info.md
```