Powrót
 

Zagadnienie drgań membrany - membrana nieograniczona

Odkształcenie powierzchni sprężystej (membrany)$u=u(x,y,t)$ opisane jest równaniem różniczkowym postaci

$$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\Delta u=0,$$ gdzie $$\Delta u=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partialy^{2}}%%$$ dla $(x,y)\in\mathbb{R}^{2},$$t>0.$

Poszukiwana funkcja $u=u(x,y,t)$ spełnia warunki początkowe postaci

$$u(x,y,0)=f(x,y),$$$$\frac{\partial u}{\partial t}(x,y,0)=\varphi(x,y)$$ dla $$(x,y)\in\mathbb{R}^{2},$$ opisujące początkowy kształt membrany i prędkość początkową drgań.

Następujące twierdzenie określa warunki dostateczne dla istnienia rozwiązania i podaje jego postać (tzw. wzór Poissona)

Twierdzenie

Jeżeli funkcje $f$ i $\varphi$ są odpowiednio klasy$\mathbb{C}^{3}$ i $\mathbb{C}^{2}$, to funkcja $u$ postaci

$$u(x,y,t)=\frac{1}{2\pi c}\iint\limits_{K_{ct}}\frac{\varphi(p,q)dpdq}%%{\sqrt{c^{2}t^{2}-(p-x)^{2}-(q-y)^{2}}}+$$ $$+\frac{\partial}{\partial t}\left[ \frac{1}{2\pi c}\iint\limits_{K_{ct}}%%\frac{f(p,q)dpdq}{\sqrt{c^{2}t^{2}-(p-x)^{2}-(q-y)^{2}}}\right]$$ gdzie $K_{ct}$ jest kołem o środku w punkcie $(x,y)$ i promieniu $ct$, jest rozwiązaniem rozważanego zagadnienia.

Przykład obliczeniowy