Szkic rozwiązania

Stosując metodę rozdzielenia zmiennych otrzymujemy równość

$\displaystyle \frac{T^{\prime\prime}(t)}{a^{2}T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}%%=-l^{2}=const.$ Wynika stąd, że dla dowolnej wartości rzeczywistej parametru

funkcja postaci $\displaystyle u_{1}(x,t)=\exp\left( -a^{2}l^{2}t\right) \left[ A(l)\cos lx+B(l)\sinlx\right]$ spełnia wyjściowe równanie (być może bez zadanego warunku początkowego).

Przedstawiając rozwiązanie całego zagadnienia w postaci całki

$\displaystyle u_{1}(x,t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp\left( -a^{2}l^{2}t\right)\left[ A(l)\cos lx+B(l)\sin lx\right] dl,$ funkcje

wyznaczamy ze wzorów $\displaystyle A(l)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(r)\cos lrdr,$ $\displaystyle B(l)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(r)\sin lrdr.$ Otrzymane rozwiązanie

zagadnienia początkowego zapisać można w postaci równoważnej $\displaystyle u(x,t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(r)F(x,t,r)dr,$ gdzie $\displaystyle F(x,t,r)=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\exp\left[ -\frac{\left( r-x\right) ^{2}%%}{4a^{2}t}\right] .$ Z ostatniego wzoru wynika, że w przyjętym modelu zaburzenia cieplne rozchodzą się z nieskończoną prędkością.