Powrót

Rozkład temperatury dla pręta nieograniczonego - zagadnienie początkowe

Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja $u=u(x,t),$ spełniająca jednorodne równanie przewodnictwa cieplnego

$$\frac{\partial u}{\partial t}=a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$ dla $$x\in\mathbb{R},$$$$t>0.$$ Zakładamy, że dany jest początkowy rozkład temperatury $$u(x,0)=\varphi(x),$$$$x\in\mathbb{R},$$ gdzie $\varphi$ jest funkcją spełniającą zał ożenia wystarczające dla przedstawienia jej w postaci wzoru cał kowego Fourier'a.

Szkic rozwiązania

Rozwiązanie $u(x,t)$ zagadnienia początkowego zapisać można w postaci

$$u(x,t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(r)F(x,t,r)dr,$$ gdzie$$F(x,t,r)=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\exp\left[ -\frac{\left( r-x\right) ^{2}%%}{4a^{2}t}\right] .$$

Przykład obliczeniowy 1

Przykład obliczeniowy 2

Przykład obliczeniowy 3