Szkic rozwiązania

Stosując podstawienie $\displaystyle u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),$ gdzie $\displaystyle w(x,t)=\alpha(t)+\left[ \beta(t)-\alpha(t)\right] \frac{x}{l}%%$ a następnie metodę Fouriera, otrzymujemy wzór na funkcję

postaci $\displaystyle v(x,t)=v_{1}(x,t)+v_{2}(x,t)$ gdzie $\displaystyle v_{1}(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{n}e^{-\left( \frac{n\pi}{l}\right)^{2}a^{2}t}\sin\pi\frac{nx}{l},$ $\displaystyle c_{n}=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}\left[ \varphi(s)-w(s,0)\right] \sin\pi\frac{ns}{l}ds,$ $\displaystyle \ n=1,2,...$ $\displaystyle v_{2}(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}d_{n}(t)\sin\pi\frac{nx}{l},$ $\displaystyle d_{n}(t)=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{t}e^{-\left( \frac{n\pi}{l}\......\partial r}(s,r)\right] \sin\pi\frac{ns}{l}ds\right\} dr,\text{\ \ }n=1,2,...$