Szkic rozwiązania

Szukane rozwiązanie

rozważanego zagadnienia przedstawiamy w postaci $\displaystyle u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t),$ gdzie $u_{1}$ i $u_{2}$ są rozwiązaniami jednorodnego równania przewodnictwa spełniającymi warunki $\begin{displaymath}%%\begin{array}[c]{l}%%u_{1}(x,0)=\varphi(x),\text{ \ \ }u_......\\u_{2}(x,0)=0,\text{ \ \ }u_{2}(0,t)=\alpha(t).\end{array}\end{displaymath}$ Korzystając z własności rozwiązania podstawowego równania przewodnictwa można wyprowadzić następujące wzory $\displaystyle u_{1}(x,t)=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int\limits_{0}^{+\infty}\left......xp\left[-\frac{\left( x+s\right) ^{2}}{4a^{2}t}\right] \right\} \varphi(s)ds,$ $\displaystyle u_{2}(x,t)=\frac{x}{2a\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\......\sqrt{(t-r)^{3}}}\exp\left[ -\frac{x^{2}}{4a^{2}\left( t-r\right)}\right] dr.$